Nội dung chính của bài viết trình bày định lý Dirichlet, hình học số của Minkowski, vật lồi (Convex Bod), dạng tuyến tính (Linear Forms). Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này.
XẤP XỈ DIOPHANTINE TRÊN Rn - PHẦN 2: QUY TẮC DIRICHLET VÀ HÌNH HỌC CỦA CÁC SỐ Lý Ngọc Tuệ - Đại học Brandeis, Massachusetts, Mỹ Định lý Dirichlet Trong phần trước [11], với cơng cụ liên phân số, có câu trả lời cho câu hỏi: "Các số hữu tỉ xấp xỉ số vô tỉ tốt đến nào?" qua định lý sau Euler: p Định lý 1.1 (Euler 1748 [4]) Với số vô tỉ x R X Q, tồn vô số số hữu tỉ Q với q q > cho: ˇ ˇ ˇ ˇ p ˇx ˇ< 1: (1.1) ˇ q ˇ q2 Tuy nhiên, tận chưa có cách xây dựng liên phân số khơng gian nhiều chiều Rn có đầy đủ tính chất để trả lời câu hỏi khả xấp xỉ véc tơ Rn véc tơ hữu tỉ Qn Phải đến gần 100 năm sau, Định lý 1.1 mở rộng lên Rn nhà toán học Peter Gustav Lejeune Dirichlet Kết xem xuất phát điểm cho lý thuyết xấp xỉ Diophantine phát triển Vì nên Định lý 1.1 thường gọi Định lý Dirichlet (trên R) Trên không gian véc tơ Rn , giá trị tuyệt đối R bất đẳng thức (1.1) thay sup norm: xE WD maxfjx1 j; :::; jxn jg với xE D x1 ; :::; xn / Rn : Lưu ý sup norm tương đương với Euclidean norm: q p xE WD xE xE D x12 C x22 C ::: C xn2 thường dùng để định nghĩa khoảng cách Rn sau: p xE Ä xE Ä n xE : Định lý Dirichlet cho Rn phát biểu sau: Định  lý 1.2 (DirichletÃ1842 [3]) Với véc tơ xE Rn X Qn , tồn vô số véc tơ hữu tỉ pE p1 p2 pn D ; ; :::; Qn với pE Zn v q Z, q Ô 0, cho: q q q q xE pE < : q jqj1C n 15 (1.2) Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Dirichlet chứng minh Định lý 1.2 thông qua Định lý sau: với xE Rn , tồn pE Zn q Z, Định lý 1.3 (Dirichlet 1842 [3]) Với Q < jqj Ä Qn cho: q xE : Q pE < (1.3) Chứng minh Định lý 1.2 dựa vào Định lý 1.3 Với Q tìm pE Zn q Z, < jqj Ä Qn cho: xE Vì xE … Qn , xE pE q xE D q jqj pE < cố định, áp dụng Định lý 1.3, ta 1 : Ä Qjqj jqj1C n pE ¤ 0, nên với Q0 > cho q < xE Q0 pE ; q pE0 q tìm theo Định lý 1.3 tương ứng với Q0 thỏa mãn điều kiện: xE pE0 1 < 0 Ä < xE q Q jq j Q pE : q Điều dẫn đến: pE pE0 Ô : q q Vỡ vy, Q ! 1, ta có vơ số pE khác thỏa mãn (1.2) q Lưu ý 1.4 Định lý 1.3 gọi Định lý Dirichlet mạnh Định lý 1.2 gọi Định lý Dirichlet yếu Để chứng minh Định lý 1.3, Dirichlet sử dụng quy tắc nhốt thỏ vào chuồng (Dirichlet gọi Nguyên tắc ngăn kéo - Schubfachprinzip), hay gọi nguyên lý Dirichlet sau: Nguyên lý Dirichlet Nếu có k thỏ bị nhốt l chuồng, k > l, có chuồng có thỏ Lưu ý 1.5 Nguyên tắc biết đến nhà toán học trước Dirichlet (ss [8]), báo Dirichlet lần nguyên tắc áp dụng vào chứng minh kết quan trọng tốn, nên gắn với tên ơng Để minh họa ý tưởng chính, chứng minh Định lý 1.3 cho trường hợp n D sau: Chứng minh Định lý 1.3 với n D Với số thực x R, sử dụng ký hiệu phần nguyên phần thập phân x sau: bxc WD maxfa Z W a Ä xg 16 fxg WD x bxc: Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Khơng tính tổng qt, ta giả sử Q số nguyên dương (thay Q bQc cần), chia đoạn Œ0; 1/ thành Q đoạn: Ã Ä Ã Ä Ä Ã Q 1 ; ; :::; 0; ; ;1 ; Q Q Q Q Q Xét QÄC số thực à 0; fxg; f2xg; :::; fQxg Vì Q C > Q, theo Nguyên lý Dirichlet, tồn a aC1 đoạn ; , Ä a < Q Ä q1 ; q2 Q, q1 Ô q2 cho: Q Q Ã Ä a aC1 ; : fq1 xg; fq2 xg Q Q đoạn có độ dài Vậy đặt p1 D bq1 xc, p2 D bq2 xc, ta có được: j.q1 x p1 / Và (1.3) thỏa mãn với q D q1 q2 x p2 /j D jfq1 xg q2 p D p1 Chứng minh dễ dàng mở rộng cho n fq2 xgj < : Q p2 sau: Chứng minh Định lý 1.3 với n Tương tự trên, ta giả sử Q > số nguyên dương Chia hình hộp vng Œ0; 1/n thành Qn hình hộp vng nhỏ có độ dài cạnh : Q Ä Ã Ä Ã an an C a1 a1 C ; ::: ; với Ä a1 ; :::; an < Q: (1.4) Q Q Q Q Và xét Qn C véc tơ dạng: 0; fx1 g; :::; fxn g/; f2x1 g; :::; f2xn g/; :::; fQn x1 g; :::; fQn xn g/: Theo Nguyên lý Dirichlet, ta tìm véc tơ nằm trong hộp vuông nhỏ (1.4) Và lập luận tương tự trên, ta tìm pE Zn q Z với < jqj Ä Qn cho: q xE C pE < : Q Bài tập 1.6 Gọi Mm;n R/ tập ma trận m dòng n cột với hệ số thực Định lý 1.2 mở rộng Mm;n R/ thành dạng mệnh đề sau: Nếu ma trận A Mm;n R/ thỏa mãn AE q … Zm với qE Zn X f0g, tồn vơ số p; E qE/ Zm Zn vi qE Ô v AE q pE < Tìm Ä cho Định lý Dirichlet Mm;n R/ 17 qE Ä: Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Hình học số Minkowski Cũng R, tính tối ưu hàm jqj 1C n / Định lý 1.2 chứng minh tồn véc tơ xE xấp xỉ định nghĩa tính chất sau: tồn c > cho pE với véc tơ hữu tỉ Qn , q pE c xE > : (2.1) q jqj1C n Tuy nhiên không giống trường hợp R, n > 1, khơng có cơng cụ liên phân số để mơ tả qua chứng minh tồn véc tơ xấp xỉ Tập véc tơ xấp xỉ Rn đối tượng nghiên cứu quan trọng lý thuyết xấp xỉ Diophantine Chúng tơi có viết riêng tập số báo sau Cũng khơng có cơng cụ liên phân số hồn thiện không gian nhiều chiều, phải sử dụng công cụ khác để cải thiện số Định lý 1.2 Công cụ mà giới thiệu phần cịn lại Hình học số (Geometry of Numbers) Minkowski Hình học số (Geometry of Numbers) phát triển vào cuối kỷ 19, đầu kỷ 20 nhà toán học Hermann Minkowski [7] nhằm đưa đại số tuyến tính hình học vào giải số vấn đề lý thuyết số đại số Hình học số Minkowski nhanh chóng tìm ứng dụng xấp xỉ Diophantine, trở thành công cụ vô quan trọng Một số tài liệu tham khảo cho Hình học số: Cassels [2], Siegel [10], Gruber & Lekkerkerker [5] 2.1 Vật lồi (Convex Body) Một đối tượng nghiên cứu Hình học số tập lồi Rn định nghĩa sau: Tập hợp E  Rn gọi tập lồi với điểm x; E yE E bất kỳ, đoạn thẳng nối xE yE nằm E: x; E yE E ) t xE C t/yE E với Ä t Ä 1: E gọi đối xứng tâm như: xE E ) xE E: Bài tập 2.1 Phân loại tất tập lồi R ˚ « Ví dụ 2.2 (i) Tập x; y/ R2 W x C y Ä tập lồi R2 ˚ « (ii) Tập x; y/ R2 W x C y D tập lồi R2 ( ) n X (iii) Tập xE Rn W jxi j Ä tập lồi Rn i D1 ( (iv) Tập xE Rn W n Y ) jxi j < tập lồi Rn với n i D1 18 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Bài tập 2.3 Chứng minh ví dụ 2.2 Với tập E Rn , ký hiệu E hàm đặc trưng E: ( ; xE E E WD E x/ ; xE … E vol.E/ thể tích Rn E (độ đo Lebesgue E): Z vol.E/ D E x/: E E x/d Rn Định lý sau Minkowski, kết Hình học số, cho ta biết điều kiện đủ để tập lồi có chứa điểm có tọa độ nguyên: Định lý 2.4 (Định lý hình lồi Minkowski ) Gọi E  Rn tập lồi, đối xứng tâm bị chặn Rn Nếu như: (i) vol.E/ > 2n , (ii) vol.E/ D 2n E compact, E có chứa điểm tọa độ ngun khác 0: E \ Zn X f0g Ô ;: chng minh Định lý 2.4, ta cần đến Quy tắc Blichfeldt Hình học số (Định lý 2.6) Bổ đề sau: Bổ đề 2.5 Giả sử f x/ E hàm khả tích khơng âm Rn với: Z f x/d E x/ E < 1: Rn Tồn yE Rn cho: X Z f yE C p/ E Rn p2Z E n f x/d E x/: E Chứng minh Nếu chuỗi vế bên trái khơng bị chặn theo yE kết luận Bổ đề hiển nhiên Giả sử chuỗi vế bên trái bị chặn theo y, E theo Định lý hội tụ mạnh Lebesgue, ta có được: Z XZ f x/d E x/ E D f xE C p/d E x/ E Rn p2Z E n Z D Œ0;1/n Œ0;1/n X f xE C p/d E x/ E p2Z E n Ä vol.Œ0; 1/n / sup X n x2Œ0;1/ E p2Z E n D sup X n x2Œ0;1/ E p2Z E n 19 f xE C p/: E f xE C p/ E Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Nếu như: Z Rn X f x/d E x/ E < sup f xE C p/ E n x2Œ0;1/ E p2Z E n ta tìm yE Œ0; 1/n cho: Z X f x/d E x/ E Ä f yE C p/ E < sup Rn Z Rn f xE C p/: E n x2Œ0;1/ E p2Z E n p2Z E n Còn như: X X f x/d E x/ E D sup f xE C p/ E n x2Œ0;1/ E p2Z E n 91 08 Z < = X n @ vol yE Œ0; 1/ W f x/d E x/ E D f yE C p/ E A D 1; : ; Rn n p2Z E n nghĩa hầu hết yE Œ0; 1/ thỏa mãn Bổ đề Định lý 2.6 (Blichfeldt 1914 [1]) Nếu E tập đo Rn với vol.E/ > tồn véc tơ khác xE1 ; xE2 S cho xE2 xE1 Zn Chứng minh Áp dụng Bổ đề 2.5 với f D Z X E C p/ E E y E, Rn p2Z E n ta tìm yE Rn cho: E x/ E E x/d D vol.E/ > 1: Vì vậy, tồn pE1 ; pE2 Zn khác cho yE C pE1 ; yE C pE2 S Đặt xE1 D yE C pE1 , xE2 D yE C pE2 , ta có véc tơ thỏa mãn Định lý Chứng minh Định lý Vật˚ lồi Minkowski 2.4 Đầu tiên ta chứng minh cho trường hợp « n vol.E/ > Đặt S D xE W 2xE E , thể tích S là: vol.S/ D vol.E/ > 1: 2n Vì theo Định lý 2.6, ta tìm xE1 ; xE2 S khác cho xE1 đối xứng tâm, xE2 S , S tập lồi: t xE1 C t/ Với t D , xE2 S xE1 với Ä t Ä 1: xE2 S: Theo định nghĩa tập S:  xE1 Vậy, véc tơ pE D xE1 à xE2 D xE1 xE2 E: xE2 véc tơ tọa độ nguyên E 20 xE2 Zn Vì S Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 à k E D xE W Với trường hợp vol.E/ D E compact, xét dãy Ek D C xE E k 1Ck vol.Ek / > 2n với k, nên ta áp dụng trường hợp cho Ek để có dãy pEk Zn \ Ek Vì tập Ek bị chặn đều, dãy pEk dãy bị chặn, nên theo Định lý \ n Bolzano-Weierstrass, tồn dãy hội tụ Vì Z tập rời rạc E D Ek ,  n kD1 dãy hội tụ pk cho ta véc tơ tọa độ nguyên E ˚ « Lưu ý 2.7 Điều kiện thể tích Định lý 2.4 tối ưu qua ví dụ sau: tập E D xE Rn W xE < tập lồi, đối xứng tâm tích 2n , E \ Zn D f0g 2.2 Dạng tuyến tính (Linear Forms) Xét hệ bất phương trình tuyến tính n ẩn n bất phương trình sau: ja1;1 x1 :: : jan 1;1 x1 jan;1 x1 C ::: C a1;n xn j < c1 :: :: ::: : : C ::: C an 1;n xn j < cn C ::: C an;n xn j Ä cn (2.2) Áp dụng kết tập lồi cho phép ta tìm nghiệm ngun khơng hiển nhiên cho hệ bất phương trình tuyến tính trên: Định lý 2.8 (Định lý Dạng tuyến tính Minkowski ) Giả sử ma trận A D ai;j 1Äi;j Än n Y có jdet.A/j D 1, c1 ; c2 ; :::; cn > ci Thì hệ bất phương trình tuyến tính (2.2) có i D1 nghiệm nguyên khác Chứng minh Với Ä i Ä n, gọi Ai D ai;1 ; ai;2 ; :::; ai;n / véc tơ dòng thứ i ma trận A Và với k D 1; 2; :::, xét hình bình hành nhiều chiều sau: ˇ ˇ ˇ ˇ Ek WD xE Rn W ˇAi xE ˇ < ci với Ä i Ä n 1; ˇAn xE ˇ < cn C : k Bài tập 2.9 Chứng minh tập Ek tập lồi, đối xứng tâm, tích:  à n vol.Ek / D c1 c2 :::cn cn C > 2n : k Theo Định lý 2.4, ta tìm dãy véc tơ tọa độ nguyên zEk Ek khác Lập luận chứng minh Định lý 2.4 ta có véc tơ tọa độ nguyên cần tìm Chúng ta áp dụng Định lý Dạng tuyến tính để có chứng minh khác cho Định lý Dirichlet: Chứng minh khác cho Định lý 1.3 Với véc tơ xE Rn , xét ma trận A MnC1;nC1 R/ sau: 1 ::: x1 A1 B0 : : : B C x2 C B C B A2 C B :: C D B :: C: A D B ::: ::: : : : ::: (2.3) B C : C B C B : C @0 : : : xn A @ An A 0 ::: AnC1 21 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Với Q 1, áp dụng Định lý 2.8, ta tìm véc tơ tọa độ nguyên: p1 B :: C B C zE D B : C ZnC1 X @pn A q cho jqxi ˇ ˇ pj D ˇAi zEˇ < Q với Ä i Ä n ˇ ˇ jqj D ˇAnC1 zEˇ Ä Qn : Ta cần phải chng minh rng q Ô Gi s nh q D 0, vỡ zE Ô 0, nờn tn ti pi ¤ Điều dẫn đến: ˇ ˇ 1 Ä jpi j D ˇAi zEˇ < Ä (Vô lý) Q Vậy ta có véc tơ pE D p1 ; :::; pn / Zn q Z, q Ô cn tỡm 2.3 Ci thin hng số Định lý Dirichlet Rn n n Định  lý 2.10 (Minkowski à 1910) Với véc tơ xE R X Q , tồn vô số véc tơ hữu tỉ pE p1 p2 pn D ; ; :::; Qn với pE Zn q Z, q Ô 0, cho: q q q q xE pE Cn < q jqj1C n với Cn D n : nC1 (2.4) 1 Lưu ý 2.11 Khi n D 1, ta có C1 D , số tối ưu p Định lý Hurwitz (xem [11]) Có số kết cho số cho Định lý Dirichlet tốt Định lý 2.10, chẳng hạn Blitchfeldt [1] thay Cn bằng: n nC1  n 1C nC1 ÃnC3 ! Tuy nhiên số tối ưu cho Định lý Dirichlet Rn với n trọng lý thuyết xấp xỉ Dirichlet Hình học số n : câu hỏi mở quan Để chứng minh Định lý 2.10, với Q > C > 0, xét tập hợp EQ;C định nghĩa bởi: ˚ « EQ;C D y; E z/ D y1 ; :::; yn ; z/ RnC1 W Q n jzj C Q yE Ä C : Bổ đề 2.12 Với Q > C > 0, EQ;C tập compact, lồi, đối xứng tâm, tích: 2C /nC1 vol.EQ;C / D : nC1 Chứng minh Xét hàm f W EQ;C ! E1;C , y; E z/ 7! Q y; E Qn z 22 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Bài tập 2.13 Chứng minh f hàm tuyến tính, với định thức 1, song ánh EQ;C E1;C Vậy nên f f bảo tồn tính chất compact, lồi đối xứng tâm, ta cần chứng minh trường hợp Q D Tính compact đối xứng tâm tập E1;C hiển nhiên Gọi y; E z/ yE0 ; z / điểm E1;C , với Ä t Ä 1, áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có được: ˇ ˇ ˇ ˇ ˇt z C t/z ˇ C t yE C t/yE0 Ä jtzj C ˇ.1 t/z ˇ C t yE C t/yE0 ˇ ˇ D t jzj C yE C t/ ˇz ˇ C yE0 ÄC Vậy t y; E z/ C t/.yE0 ; z / E1;C Cuối ta tính thể tích E1 (cũng EQ ): Z C Z C jzj vol.E1 / D Z C jzj ::: C D 2nC1 jzj C Z C dy1 : : : dyn dz jzj C C z/n dz nC1 D 2C / : nC1 Chứng minh Định lý 2.10 Đặt C D n C 1/ nC1 ma trận A định nghĩa (2.3) Theo Bổ đề 2.12, tập AEQ;C tập compact, lồi, đối xứng tâm, tích vol.AEQ;C / D 2nC1 Áp dụng Định lý 2.4, ta tìm véc tơ tọa độ nguyên pEQ ; qQ / khác nằm AEQ;C , nghĩa pEQ ; qQ / thỏa mãn: ˇ ˇ Q n ˇqQ ˇ C Q qQ xE pEQ Ä C: Lưu ý với véc tơ tọa độ nguyên p; E q/, tồn hữu hạn Q > thỏa mãn: Q n jqj C Q q xE pE D C: Vậy nên ngoại trừ số đếm Q > 0, ba Q; pEQ ; qQ thỏa mãn bất đẳng thức: ˇ ˇ Q n ˇqQ ˇ C Q qQ xE pEQ < C: (2.5) Với Q; pEQ ; qQ thỏa mãn (2.5), áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân cho ta:  Ãn ˇ ˇ ˇ ˇ Q n n n ˇqQ ˇ qQ xE pEQ D n qQ xE pEQ Q ˇqQ ˇ n ! ˇ ˇ nˇ ˇ C Q qQ xE pEQ nC1 Q q Q Ä nn nC1  ÃnC1 C < nn nC1 23 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015  D n nC1 Ãn D Cnn ; tương đương với (2.4) Nếu ta chọn Q C thỡ qQ Ô 0, vỡ nu nh qQ D 0, pEQ Ô v bt ng thc (2.5) dẫn đến: qQ xE pEQ D pQ < CQ Ä (vô lý): Lưu ý thêm với p; E q/, tập: ˚ « ˚ Q > W p; E q/ AEQ;C D Q > W Q n jqj C Q q xE pE Ä C « bị chặn Vì Q ! 1, ta tìm vơ số p; E q/ thỏa mãn (2.4) Và với lập luận tương tự chứng minh Định lý 1.2 dựa vào Định lý 1.3, ta tìm vơ số véc pE tơ hữu tỉ thỏa mãn (2.4) q Tài liệu tham khảo [1] Blichfeldt, H., A new principle in the geometry of numbers with some applications, Trans Amer Math Soc 15 (1914), pp 227-235 [2] Cassels, J W S., An introduction to the Geometry of Numbers, Springer (1959) [3] Dirichlet, L G P., Verallgemeinerung eines Satzes aus der Lehre von den Kettenbrăuchen nebst einigen Anwendungen auf die Theorie der Zahlen, S B Preuss Akad Wiss (1842), pp 93–95 [4] Euler, L., Introductio in analysin infinitorum I, (1748) [5] Gruber, P., Lekkerkerker, C., Geometry of Numbers, North-Holland Mathematical Library (1987) [6] Hardy, G., Wright, E M., An introduction to the theory of numbers, 5th ed., Clarendon Press (1979) [7] Minkowski, H., Geometrie der Zahlen, Teubner: Leipzig U Berlin (1896 & 1910) [8] Rittaud, B., Heeffer, A., The Pigeonhole Principle - Two centuries before Dirichlet, The Mathematical Intelligencer 36, Springer (2014), pp 27–29 [9] Schmidt, W M., Diophantine approximation, Lectures Notes in Mathematics 785, Springer (1980) [10] Siegel, C L., Lectures on the Geometry of Numbers, Springer-Verlag (1989) [11] Lý Ngọc Tuệ, Xấp xỉ Diophantine R Liên phân số, Epsilon 4, (2015) 24 ... học số (Geometry of Numbers) Minkowski Hình học số (Geometry of Numbers) phát triển vào cuối kỷ 19, đầu kỷ 20 nhà toán học Hermann Minkowski [7] nhằm đưa đại số tuyến tính hình học vào giải số. .. infinitorum I, (1748) [5] Gruber, P., Lekkerkerker, C., Geometry of Numbers, North-Holland Mathematical Library (1987) [6] Hardy, G., Wright, E M., An introduction to the theory of numbers, 5th... thuyết số đại số Hình học số Minkowski nhanh chóng tìm ứng dụng xấp xỉ Diophantine, trở thành công cụ vô quan trọng Một số tài liệu tham khảo cho Hình học số: Cassels [2], Siegel [10], Gruber &