Trong bài này, giới thiệu một số kết quả cơ bản của lý thuyết xấp xỉ Diophantine trên tập số thực R, cùng với một trong những công cụ mạnh nhất của nó: Liên phân số. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này.
XẤP XỈ DIOPHANTINE VÀ LIÊN PHÂN SỐ Lý Ngọc Tuệ (Đại học South Florida, Mỹ) Trong này, giới thiệu số kết lý thuyết xấp xỉ Diophantine tập số thực R, với cơng cụ mạnh nó: Liên phân số Xấp xỉ Diophantine gì? Lý thuyết xấp xỉ Diophantine bắt đầu với câu hỏi/vấn đề sau: Câu hỏi 1.1 Mỗi số vơ tỉ x R n Q xấp xỉ số hữu tỉ nào? p q Q tốt đến Vì tập hợp số hữu tỉ dày đặc tập số thực, ta có kết luận đầu tiên: Quan sát 1.2 Gọi x R X Q số vô tỉ Với " > 0, tồn vô số số hữu tỉ p Q cho: q ˇ ˇ ˇ ˇ ˇx p ˇ < ": ˇ qˇ Vậy ta lượng hóa độ dày đặc tập số hữu tỉ tập số thực khơng? Để làm vậy, ta cần phải có cách đo độ phức tạp số hữu tỉ, ước lượng mức độ dày đặc tập số hữu tỉ theo độ phức tạp Lưu ý ta đo độ dày đặc, nên với số hữu tỉ pq , độ lớn mẫu số q đóng vai trị quan trọng tử số p Vì cách đơn giản để đo độ phức tạp phân số pq giá trị tuyệt đối jqj mẫu số Để cho đơn giản, ta giả sử phân số pq có mẫu số dương q > Vì hai phân số có mẫu số q liên tiếp cách q1 , ta có được: Quan sát 1.3 Với số vô tỉ x R X Q, tồn vô số số hữu tỉ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇx p ˇ < : ˇ q ˇ 2q p q Q với q > cho: Câu hỏi đặt là: hàm số 2q Quan sát 1.3 tối ưu chưa? Hay nói cách khác, ta xấp xỉ số vô tỉ tốt Quan sát 1.3 khơng? Nhà tốn học vĩ đại Leonhard Euler trả lời câu hỏi vào năm 1748 ông phát triển lý thuyết liên phân số với định lý sau đây: Định lý 1.4 (Euler 1748 [3]) Với số vô tỉ x R X Q, tồn vô số số hữu tỉ q > cho: ˇ ˇ ˇ ˇ ˇx p ˇ < : ˇ q ˇ q2 25 p q Q với (1.1) Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015 Lưu ý 1.5 Định lý 1.4 thường gọi Định lý Dirichlet theo tên nhà toán học Peter Gustav Lejeune Dirichlet ông chứng minh lại kết gần 100 năm sau Euler Tuy nhiên cách chứng minh Dirichlet vừa đơn giản hơn, vừa giúp mở rộng Định lý 1.4 không gian khác Chúng ta quay trở lại với phương pháp Dirichlet sau Trong phần tiếp theo, giới thiệu liên phân số, công cụ mạnh lý thuyết xấp xỉ Diophantine tập số thực R, chứng minh Định lý 1.4 Liên phân số đề cập đến số Epsilon Nguyễn Hùng Sơn [8] Một số tài liệu tham khảo khác phần này: Davenport [1, Chương IV], Hardy & Wright [4, Chương X], Khintchine [6], Niven & Zuckerman [9, Chương 7], Schmidt [10, Chương I] Liên phân số đơn hữu hạn số hữu tỉ Một liên phân số hữu hạn có độ dài n C 1/ biểu thức có dạng: Œa0 I a1 ; :::; an WD a0 C : a1 C a2 C :: :C an với dãy số thực hữu hạn a0 R, a1 ; a2 ; :::; an R X f0g Khi a0 Z, a1 ; :::; an N, ta gọi biểu thức dạng liên phân số đơn hữu hạn Tuy trơng phức tạp, thật liên phân số đơn hữu hạn bắt nguồn từ thuật toán chia số nguyên Euclid sau: Xét phân số pq dạng tối giản, đặt u0 D p, u1 D p áp dụng thuật tốn Euclid, ta có được: u D u a0 C u ;1 Ä u2 < u1 u D u a1 C u ;1 Ä u3 < u2 :: : un D un an C unC1 ;1 Ä unC1 < un un D unC1 an Với Ä i Ä n, đặt ui , uiC1 i D i D C ta có mối quan hệ sau đây: với Ä i Ä n i C1 1; n D an : Thay vào phân số ban đầu, ta có: p D q D a0 C 1 D a0 C a1 C Lưu ý 2.1 Định nghĩa i D D a0 C a1 C a2 C tương đương với 26 i D Œa0 I a1 ; :::; an : 1 :: :C an D Œai I C1 ; :::; an Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015 Bài tập 2.2 Áp dụng phép chia Dirichlet để viết phân số số đơn hữu hạn 355 113 113 355 thành liên phân Bài tập 2.3 Cho a0 số thực, a1 ; :::; an , c số thực > So sánh Œa0 I a1 ; :::; an C c với Œa0 I a1 ; :::; an Bổ đề 2.4 Một số tính chất liên phân số hữu hạn: (i) Với Ä m Ä n: Œa0 I a1 ; :::; an D Œa0 I a1 ; :::; am ; Œam I amC1 ; :::; an (ii) Trong liên phân số đơn Œa0 I a1 ; :::; an , an > thì: Œa0 I a1 ; :::; an D Œa0 I a1 ; :::; an 1; 1: Như vậy, (hiển nhiên) liên phân số đơn hữu hạn cho ta số hữu tỉ, theo chiều ngược lại, số hữu tỉ ngồi cho ta liên phân số Và thực chất cách để biểu diễn số hữu tỉ dạng liên phân số đơn hữu hạn: Định lý 2.5 Cho liên phân số đơn hữu hạn Œa0 I a1 ; :::; an Œb0 I b1 ; :::; bm cho an > bm > Nếu Œa0 I a1 ; :::; an D Œb0 I b1 ; :::; bm n D m D bi với i D 0; 1; :::; n Chứng minh Với Ä i Ä n Ä j Ä m, đặt: i D Œai I C1 ; :::; an D Œbj I bj C1 ; :::; bm : j Khi ấy, giả thuyết Œa0 I a1 ; :::; an D Œb0 I b1 ; :::; bm viết lại thành với Ä i Ä n 1, n D an : Vì i D C iC1 i C1 >1 D b i c với Ä i Ä n 1: i C1 >1 bi D b i c với Ä i Ä m 1: D Tương tự: Giả sử với Ä i < fn; mg cho D b i c D b i c D b i i C1 i D D i i, ta có được: D i bi D Điều dẫn đến: i C1 D i C1 aiC1 D bi C1 Theo quy nạp, ta có với Ä i Ä fn; mg Giả sử n > m Khi m D am C mC1 > am D bm D : i C1 i D i D bi m trái với điều ta vừa chứng minh Vậy n D m D bi với Ä i Ä n Áp dụng định lý trên, ta có mối tương quan số hữu tỉ liên phân số đơn hữu hạn sau: Định lý 2.6 Mỗi liên phân số đơn hữu hạn đại diện cho số hữu tỉ, ngược lại, số hữu tỉ khác biểu diễn liên phân số đơn hữu hạn 27 Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015 Liên phân số đơn vô hạn số vô tỉ Cho dãy a0 ; a1 ; a2 ; ::: với a0 Z, N với i Ä Để định nghĩa liên phân số đơn vô hạn, ta phải chứng minh dãy liên phân số đơn hữu hạn tạo n phần tử hội tụ Với n Ä 0, liên phân số đơn hữu hạn Œa0 I a1 ; :::; an gọi phân số hội tụ thứ n Tử số mẫu số phân số hội tụ thứ n tính theo cơng thức quy hồi sau: p D 0; p D 1; pi D pi C pi ; với i (3.1) q D 1; q D 0; qi D pi C pi ; với i Bổ đề 3.1 Với n 0, pn D Œa0 I a1 ; :::; an : qn Chứng minh Ta chứng minh bổ đề quy nạp theo độ dài n Dễ dàng kiểm tra điều kiện ban đầu cho n D n D Giả sử bổ đề cho liên phân số đơn hữu hạn với độ dài n D k Gọi pn ; qn có từ cơng thức (3.1) với dãy a0 ; a1 ; ::: pn0 ; qn0 dựa theo dãy a1 ; a2 ; ::: Bài tập 3.2 Chứng minh với n pn D a0 pn0 C qn0 1, qn D pn0 : Bài tập 3.3 Áp dụng Bài tập 3.2 để chứng minh Bổ đề 3.1 Bài tập 3.4 Tìm tất phân số hội tụ 43 13 Bổ đề 3.5 (i) Với n 0: pnC1 qn (ii) Với n pn qnC1 D 1/n pnC1 qnC1 pn 1/n D : qn qn qnC1 pn qnC2 D 1/n an pnC2 qnC2 pn 1/n an D : qn qn qnC2 0: pnC2 qn Bài tập 3.6 Chứng minh bổ đề 2.6 Một số hệ đơn giản quan trọng Bổ đề 3.5 sau: Hệ 3.7 (i) Với n tối giản 0, pn qn nguyên tố nhau, hay nói cách khác, phân số (ii) Dãy phân số hội tụ thỏa mãn tính chất sau: p0 p2 p4 < < < q0 q2 q4 28 < p5 p3 p1 < < : q5 q3 q1 pn qn phân số Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015 Lưu ý an với n 1, dãy qn dãy tăng thực sự: q1 < q2 < :::, limn!1 qn D Áp dụng Bổ đề 3.5, ta có dãy pqnn dãy Cauchy: Định lý 3.8 Với dãy a0 ; a1 ; a2 ; ::: với a0 Z, an N, n 1, giới hạn lim Œa0 I a1 ; :::; an n!1 tồn Một liên phân số đơn vô hạn từ dãy a0 ; a1 ; ::: định nghĩa giới hạn có Định lý 3.8: Œa0 I a1 ; ::: WD lim Œa0 I a1 ; :::; an : (3.2) n!1 Mối tương quan liên phân số đơn vô hạn số vô tỉ tổng kết lại định lý sau Euler: Định lý 3.9 (Euler 1748) Mỗi số vô tỉ R X Q biểu diễn liên phân số đơn vô hạn Œa0 I a1 ; a2 ; ::: Và ngược lại, liên phân số đơn vô hạn Œa0 I a1 ; ::: đại diện cho số vô tỉ Ta chứng minh định lý bước qua ba bổ đề sau: Bổ đề 3.10 (Thuật toán Euler) Giả sử R X Q số vơ tỉ Đặt nghĩa hai dãy n R an Z với n sau: an D b n c Ta có được: a0 Z; an N với n nC1 D f ng D n an : D Định (3.3) 1, D Œa0 I a1 ; a2 ; :::: Chứng minh Theo định nghĩa, hiển nhiên an số nguyên, theo quy nạp, với n Vì thế, với n 0, 0< n an < 1: Điều dẫn đến: nC1 D Áp dụng đẳng thức: n n an > D an C nC1 anC1 D b nC1 c với n , ta có được: D Œa0 I a1 ; :::; an ; nC1 với n Áp dụng tập 2.3, n số chẵn, Ä < a0 I a1 ; :::; an C nC1 D Œa0 I a1 ; :::; an ; nC1 < Œa0 I a1 ; :::; an ; anC1 : 29 0: 0: n số vơ tỉ Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015 tương tự với n lẻ: Œa0 I a1 ; :::; an > > Œa0 I a1 ; :::; anC1 : Theo định lý kẹp giới hạn, D lim Œa0 I a1 ; :::; an D Œa0 I a1 ; a2 ; :::: n!1 Bài tập 3.11 Với ký hiệu Bổ đề 3.10, chứng minh với n D C pn nC1 qn C qn nC1 pn 0: : Bổ đề 3.12 Với dãy số a0 ; a1 ; ::: với a0 Z, an N, n 1, Œa0 I a1 ; ::: số vô tỉ p q Chứng minh Giả sử Œa0 I a1 ; ::: D số hữu tỉ, p; q Z Khi theo phần (ii) Hệ 3.7 vả Bổ đề 3.5, với n 0: ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ p pn ˇ ˇ pnC1 pn ˇ ˇ a1 1, a0 < < a0 C 1, ta có được: a0 D b c Tương tự với liên phân số Œb0 I b1 ; :::: b0 D b c D b0 C : Œb1 I b2 ; ::: Kết hợp lại, ta có được: a0 D b0 Áp dụng quy nạp, an D bn với n Œa1 I a2 ; ::: D Œb1 I b2 ; :::: 30 Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015 Sử dụng mối tương quan liên phân số đơn tập số thực, ta chứng minh Định lý 1.4: Theorem 1.4 Với số vô tỉ x R X Q, tồn vô số số hữu tỉ pq Q với q > cho: ˇ ˇ ˇ ˇ ˇx p ˇ < : ˇ q ˇ q2 Chứng minh Theo Định lý 3.9, số vơ tỉ x biểu diễn liên phân số đơn vô hạn: x D Œa0 I a1 ; :::: Gọi pn qn phân số hội tụ thứ n x Theo Định lý 3.8 phần (ii) Hệ 3.7, ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ pn pnC1 ˇ p n ˇx ˇ x q0 ˇ ˇ ˇ ˇ p1 ˇˇ ˇˇ > x q1 ˇ ˇ ˇ p2 ˇˇ > ::: q2 ˇ Chứng minh Giả sử x có mở rộng liên phân số đơn x D Œa0 I a1 ; a2 ; :::, pqnn phân số hội tụ x Đặt xn D Œan I anC1 ; anC2 ; ::: Bổ đề 3.10, ta có được: ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇx pn ˇ D ˇ xnC1 pn C pn pn ˇ Bài tập 3.11/ ˇ ˇ ˇ qn xnC1 qn C qn qn ˇ D Bổ đề 3.5/ qn xnC1 qn C qn / > xnC1 < anC1 C 1/ qn anC1 C 1/ qn C qn / D (3.1) qn qnC1 C qn / an 1/ qn anC1 qnC1 C qn / ˇ ˇ ˇ 1 pnC1 ˇˇ D > > ˇˇx : qn qnC2 qnC1 qnC2 qnC1 ˇ 31 Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015 Phân số p q (q > 0) gọi phân số xấp xỉ tốt x với phân số ˇ ˇ ˇ r ˇˇ ˇˇ p ˇˇ ˇ H) s > q: ˇx ˇ < ˇx s qˇ Định lý 4.2 Phân số hội tụ pn qn r s (s > 0): x phân số xấp xỉ tốt x Để chứng minh Định lý 4.2, ta dùng bổ đề sau: Bổ đề 4.3 Nếu hai số nguyên p; q với q > thỏa mãn: jxq q pj < jxqn pn j ; qnC1 Lời giải Ta chứng minh phản chứng Giả sử q < qnC1 Xét ma trận với hệ số nguyên:  à pn pnC1 : qn qnC1 Theo Bổ đề 3.5, định thức ma trận ˙1 Vì hệ phương trình tuyến tính:  Ã à  à pn pnC1 y p D qn qnC1 z q cú nghim nguyờn y; z/ Ô 0; 0/ Hn na, z Ô vỡ pq Ô pqnn Mặt khác, y D q D zqnC1 qnC1 trái với giả thuyết q < qnC1 Vy y Ô Vỡ q D yqn C zqnC1 < qnC1 , y z trái dấu với Theo phần (ii) Hệ 3.7, y xqn pn / z xqnC1 pnC1 / có dấu, ta có được: jxq trái với giả thuyết Vậy q pj D jx yqn C zqnC1 / ypn C zpnC1 /j D jy xqn pn / C z xqnC1 pnC1 /j D jy xqn pn /j C jz xqnC1 pnC1 /j > jxqn pn j qnC1 Chứng minh Định lý 4.2 Vì x số vơ tỉ, nên khơng tồn số hữu tỉ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇx p ˇ D ˇx pn ˇ : ˇ ˇ ˇ q qn ˇ Giả sử tồn p q (q > 0) cho: ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇx p ˇ < ˇx ˇ qˇ ˇ ˇ pn ˇˇ qn ˇ p q Ô pn qn vi: q qn : v Nhân hai bất phương trình dân đến: jxq Theo Bổ đề 4.3, q pj < jxqn pn j : qnC1 > qn trái với giả thuyết Vậy 32 pn qn phân số xấp xỉ tốt x Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015 Theo chiều ngược lại, Định lý sau phân số xấp xỉ x ‘đủ gần’ phân số phải phân số hội tụ x: Định lý 4.4 Nếu số hữu tỉ p q (q > 0) thỏa mãn: ˇ ˇ ˇx ˇ tồn phân số hội tụ pn qn ˇ p ˇˇ ; < q ˇ 2q D pq Lời giải Giả sử phân số hội tụ x không pq Gọi n số nguyên dương cho qn Ä b < qnC1 Theo Bổ đề 4.3: jxqn pn j Ä jxq pj < : 2q Từ ta suy ra: ˇ ˇ jqpn pqn j ˇˇ pn p ˇˇ Ä Dˇ qqn qqn qn qˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ pn ˇˇ ˇˇ pn ˇˇ Ä ˇˇx C ˇx ˇ qn qn ˇ 1 C < 2qqn 2q Điều dẫn đến q < qn , trái với giả thuyết Vậy p q D pn qn với n Số mũ Dirichlet tối ưu Số xấp xỉ Trở lại tính tối ưu Định lý 1.4, ta đặt câu hỏi cụ thể sau: Liệu hàm số q Định lý 1.4 thay hàm số theo q khác tiến nhanh q tiến vô hay không? Câu trả lời cho câu hỏi không, hay nói cách khác, số mũ Định lý 1.4 tối ưu Chúng ta chứng minh điều tồn số xấp xỉ định nghĩa sau: Số vô tỉ x R X Q gọi số xấp xỉ tồn số c > (có thể phụ thuộc vào x) cho với phân số pq : ˇ ˇ ˇx ˇ ˇ p ˇˇ c > 2: ˇ q q (5.1) Định lý 5.1 Tồn vô số số xấp xỉ Định lý 5.1 suy mối liên hệ số xấp xỉ liên phân số đơn sau: Định lý 5.2 Số vô tỉ x R X Q số xấp xỉ mở rộng liên phân số đơn x bị chặn Nói cách khác, tồn M > cho an < M với n với x D Œa0 I a1 ; a2 ; ::: 33 Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015 Ta dùng Bổ đề sau để chứng minh Định lý 5.2: Bổ đề 5.3 Với n 0: ˇ ˇ < ˇˇx qn anC1 C 2/ ˇ pn ˇˇ : < ˇ qn qn anC1 Lời giải Theo tính tốn phần chứng minh Bổ đề 4.1: ˇ ˇ ˇ ˇ 1 1 ˇx pn ˇ D Á< Ä : D ˇ ˇ qn qn xnC1 qn C qn / qn xnC1 qn anC1 qn2 xnC1 C qnqn Mặt khác, ˇ ˇ ˇ ˇ p 1 n ˇx ˇ> D ˇ ˇ qn qn Œ.anC1 C 1/ qn C qn qn2 anC1 C C qn qn Á> qn2 anC1 C 2/ : Chứng minh Định lý 5.2 Giả sử x D Œa0 I a1 ; a2 ; ::: số xấp xỉ kém, với n ta có được: ˇ ˇ ˇ ˇ c p n ˇx ˇ< < : ˇ ˇ 2 qn qn qn anC1 0, Từ dẫn đến mở rộng liên phân số x bị chặn: sup an Ä max a0 ; n : c Theo chiều ngược lại, giả sử x số xấp xỉ Điều tương đương với tồn dãy số ci > 0; rsii cho: ˇ ˇ ˇ ˇ r i ˇ Ä ci : lim ci D ˇˇx i !1 si ˇ qi2 Không tính tổng qt, ta đặt giả thiết ci < 12 Theo Định lý 4.4, phân số hội tụ x Vì vậy: ˇ ˇ ˇ ˇ p n ˇx ˇ Ä ci : < ˇ q a C 2/ q ˇ q2 n nC1 n ri si D pn qn n Từ suy ra: 2: ci Vế phải ! i ! 1, hay nói cách khác, dãy an khơng bị chặn Ta có điều phải chứng minh anC1 > Hệ 5.4 Tập số xấp xỉ khơng đếm Ví dụ cụ thể gần gũi số xấp xỉ số đại số bậc p p 2; 1C2 ; :::: Định lý 5.5 (Lagrange 1770 [7]) Số vô tỉ x số đại số bậc mở rộng liên phân số x vơ hạn tuần hồn Lưu ý 5.6 Mệnh đề đủ Định lý 5.5 chứng minh trước Euler [2] Chiều khó mệnh đề cần Lagrange chứng minh [7] 34 Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015 Hàm số Dirichlet tối ưu Trong phần trước, chứng minh phần q Định lý 1.4 cải thiện Tuy nhiên, số thay số khác nhỏ với kết sau Hurwitz: Định lý 6.1 (Hurwitz 1891 [5]) Với số vô tỉ x R X Q, tồn vô số số hữu tỉ q > cho: ˇ ˇ ˇ ˇ p ˇx ˇ < p1 : ˇ qˇ 5q p p q Lưu ý 6.2 Định lý 6.1 thật tối ưu với x D 52 , với số < C < tồn hữu hạn số hữu tỉ pq Q, q > thỏa mãn bất phương trình: ˇ ˇ ˇx ˇ Q với (6.1) p1 , ˇ p ˇˇ C < : q ˇ q2 Bài tập 6.3 Chứng minh Lưu ý 6.2 Định lý sau suy Định lý 6.1: Định lý 6.4 Ít phân số hội tụ liên tiếp x thỏa mãn bất đẳng thức (6.1) Lời giải Theo phần chứng minh Bổ đề 4.1: ˇ ˇ ˇ ˇ p 1 n ˇx ˇD D ˇ ˇ qn qn xnC1 qn C qn / qn2 xnC1 C qn qn với n Á Giả sử tồn n cho: qi p Ä qi xi C1 C Vì xn D an C , xn với i D n 2; n 1; n: qn qn D an qn C qn qn qn C xn qn D xn Vì vậy:  D xn Nói cách khác, phân số qn qn 1 xn à  D p C qn qn D an qn qn Ä Ã p C qn qn qn qn Ã2 p  qn qn 35 ; p 5: qn qn thỏa mãn bất đẳng thức:  à C Ä 0; à : 0: Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015 ta có được: qn qn p > Tương tự: qn > qn p : : Vì thế: qn Ä an D qn Vậy với n qn qn0) gọi phân số xấp xỉ tốt x với phân số ˇ ˇ ˇ r ˇˇ ˇˇ p ˇˇ ˇ H) s > q: ˇx ˇ < ˇx s qˇ Định lý 4.2 Phân số hội tụ pn qn r s (s > 0): x phân số xấp xỉ tốt... thuyết Vậy 32 pn qn phân số xấp xỉ tốt x Tạp chí Epsilon, Số 04, 08/2015 Theo chiều ngược lại, Định lý sau phân số xấp xỉ x ‘đủ gần’ phân số phải phân số hội tụ x: Định lý 4.4 Nếu số hữu tỉ p q (q