Dạy học hình học sơ cấp gắn với hình học cao cấp cho sinh viên sư phạm toán

Bài viết này trình bày việc nghiên cứu việc dạy học hình học sơ cấp (HHSC) ở các trường sư phạm gắn với nội dung hình học cao cấp (HHCC) cho sinh viên sư phạm, để sinh viên thấy được mối liên hệ giữa nội dung kiến thức HHCC với nội dung kiến thức HHSC ở trường phổ thông.

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science in Mathematics, 2014, Vol 59, No 2A, pp 68-74 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn DẠY HỌC HÌNH HỌC SƠ CẤP GẮN VỚI HÌNH HỌC CAO CẤP CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM TOÁN Trần Việt Cường Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Ngun Tóm tắt Bài viết trình bày việc nghiên cứu việc dạy học hình học sơ cấp (HHSC) trường sư phạm gắn với nội dung hình học cao cấp (HHCC) cho sinh viên sư phạm, để sinh viên thấy mối liên hệ nội dung kiến thức HHCC với nội dung kiến thức HHSC trường phổ thơng Từ giúp sinh viên bước đầu biết vận dụng kiến thức toán học cao cấp vào việc soi sáng kiến thức HHSC trường phổ thông biết vận dụng vào dạy học HHSC trường phổ thơng Từ khóa: Mối liên hệ Tốn học, Hình học sơ cấp, Hình học cao cấp Mở đầu Nội dung hình học xây dựng theo theo hai hướng sau: - Hướng thứ nhất, dùng phương pháp tiên đề, xuất phát từ số khái niệm (là khái niệm không định nghĩa) số tiên đề (là mệnh đề thừa nhận không chứng minh), người ta định nghĩa khái niệm khác suy diễn tính chất khác liên quan đến khái niệm có Các tính chất khẳng định chứng minh dựa vào khái niệm tiên đề gọi định lí, mệnh đề, bổ đề, hệ tuỳ thuộc vào nội dung vị trí Các khẳng định suy diễn nhờ quy tắc suy luận lơgíc - Hướng thứ hai, theo quan điểm hình học nhóm biến đổi Một phép biến đổi không gian V song ánh từ khơng gian V vào Tâp hợp phép biến đổi V lập thành nhóm với phép lấy tích ánh xạ Mỗi nhóm gọi nhóm biến đổi khơng gian V Trong khơng gian Euclid, có số nhóm biến đổi như: nhóm dời hình, nhóm Afin, nhóm xạ ảnh Hình học nhóm dời hình, Afin, xạ ảnh gọi Hình học Euclid, Hình học Afin, Hình học xạ ảnh [9] Nội dung chương trình mơn học HHSC trường sư phạm tập trung vào nội dung như: Cơ sở hình học Phương pháp tiên đề, Các phép biến hình, Các hình hình học quan hệ hình học, Quỹ tích Dựng hình [2,4,6] Dạy học tốn sơ cấp nói chung HHSC nói riêng cho sinh viên sư phạm việc làm cần thiết, không giúp sinh viên hiểu cách sâu sắc kiến thức tốn chương trình phổ thơng mà cịn giúp sinh viên ơn tập thơng hiểu cách có phê phán tài liệu tốn học trường phổ thông; bổ sung kiến thức cần thiết Liên hệ: Trần Việt Cường, e-mail: tranvietcuong2006@gmail.com 68 Dạy học hình học sơ cấp gắn với hình học cao cấp cho sinh viên sư phạm Toán toán sơ cấp mà chưa trình bày sách giáo khoa; phát triển thói quen giải tập tốn sơ cấp mà sinh viên có từ nhà trường phổ thơng; phát triển tư duy, khả suy ln lơgíc, lực tự học có thái độ phê phán điều học từ tài liệu nghe từ dạy giáo viên; giúp sinh viên khai thác mối liên hệ toán cao cấp tốn sơ cấp, Thực tế nay, có nhiều học sinh phổ thơng ngại học hình học nên chưa dành thời gian thích hợp cho việc học nội dung hình học Do đó, học sinh khơng nắm vững kiến thức cần thiết, dẫn đến kết học tập hình học khơng cao Với tâm lí vậy, nên bước vào trường sư phạm, nhiều sinh viên gặp khó khăn học tập môn học HHCC Dẫn đến, kết học tập môn học HHCC nhiều sinh viên mức trung bình Mặt khác, nhiều sinh viên học tập môn HHCC chưa thấy mối liên hệ nội dung kiến thức HHCC với nội dung kiến thức HHSC trường phổ thông nên chưa biết vận dụng kiến thức HHCC vào việc soi sáng kiến thức HHSC chưa biết vận dụng vào dạy học HHSC trường phổ thông Bài viết này, chúng tơi đề cập tới khía cạnh dạy học HHSC gắn với HHCC cho sinh viên sư phạm toán 2.1 Nội dung nghiên cứu Dạy học hình học sơ cấp trường sư phạm Trong chương trình đào tạo giáo viên sư phạm tốn, ngồi khối kiến thức Tâm lí học, Giáo dục học, kiến thức lí luận trị Mác Lênin, sinh viên trang bị khối kiến thức chun ngành như: Giải tích, Đại số, Hình học, Tốn ứng dụng Nghiệp vụ sư phạm Qua tìm hiểu số trường sư phạm tồn quốc chúng tơi nhận thấy, việc dạy học mơn tốn sơ cấp nói chung HHSC nói riêng trường thường theo hai hình thức sau: - Thứ nhất, môn Đại số sơ cấp HHSC Bộ môn Phương pháp dạy học đảm nhiệm (Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế, Trường Đại học Vinh) Hướng có ưu điểm thống việc dạy học nội dung toán sơ cấp thành khối thống nội dung lẫn phương pháp dạy học nội dung trường phổ thơng Hình thức địi hỏi giảng viên ngồi việc nắm vững lí luận phương pháp dạy học cịn phải vận dụng kiến thức toán sơ cấp vào giảng dạy tốn trường phổ thơng - Thứ hai, Bộ mơn Hình học đảm nhiệm việc dạy học HHSC, Bộ mơn Đại số đảm nhiệm việc dạy học môn Đại số sơ cấp Bộ mơn Lí luận Phương pháp dạy học đảm nhiệm việc dạy học học phần phương pháp dạy học (Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh) Hướng có ưu điểm giảng viên có điều kiện nắm vững mối liên hệ nội dung tốn sơ cấp trường phổ thơng với nội dung toán cao cấp trường sư phạm Tứ đó, giảng viên phân tích cho học sinh thấy ý nghĩa nội dung toán cao cấp nội dung toán sơ cấp tương ứng trường phổ thơng Hình thức đồi hỏi giảng viên mơn tốn cịn phải nắm vững vấn đề lí luận phương pháp dạy học Nội dung chương trình mơn học HHSC trường sư phạm tập trung vào nội dung như: Cơ sở hình học Phương pháp tiên đề, Các phép biến hình, Các hình hình học 69 Trần Việt Cường quan hệ hình học, Quỹ tích Dựng hình [2,4,6] Dạy học tốn sơ cấp nói chung HHSC nói riêng cho sinh viên sư phạm việc làm cần thiết, không giúp sinh viên hiểu cách sâu sắc kiến thức tốn chương trình phổ thơng mà cịn giúp sinh viên ơn tập thơng hiểu cách có phê phán tài liệu tốn học trường phổ thơng; bổ sung kiến thức cần thiết toán sơ cấp mà chưa trình bày sách giáo khoa; phát triển thói quen giải tập tốn sơ cấp mà sinh viên có từ nhà trường phổ thông; phát triển tư duy, khả suy lơgíc, lực tự học có thái độ phê phán điều học từ tài liệu nghe từ dạy giáo viên; giúp sinh viên khai thác mối liên hệ toán cao cấp toán sơ cấp 2.2 Khai thác mối quan hệ hình học sơ cấp hình học cao cấp dạy học Nội dung hình học xây dựng theo theo hai hướng sau: - Hướng thứ nhất, dùng phương pháp tiên đề, xuất phát từ số khái niệm (là khái niệm không định nghĩa) số tiên đề (là mệnh đề thừa nhận không chứng minh), người ta định nghĩa khái niệm khác suy diễn tính chất khác liên quan đến khái niệm có Các tính chất khẳng định chứng minh dựa vào khái niệm tiên đề gọi định lí, mệnh đề, bổ đề, hệ tuỳ thuộc vào nội dung vị trí Các khẳng định suy diễn nhờ quy tắc suy luận lơgíc - Hướng thứ hai, theo quan điểm hình học nhóm biến đổi Một phép biến đổi không gian V song ánh từ không gian V vào Tâp hợp phép biến đổi V lập thành nhóm với phép lấy tích ánh xạ Mỗi nhóm gọi nhóm biến đổi khơng gian V Trong khơng gian Euclid, có số nhóm biến đổi như: nhóm dời hình, nhóm Afin, nhóm xạ ảnh Hình học nhóm dời hình, Afin, xạ ảnh gọi Hình học Euclid, Hình học Afin, Hình học xạ ảnh [8] Việc khai thác mối liên hệ nội dung kiến thức tốn sơ cấp trường phổ thơng với nội dung kiến thức toán cao cấp nhằm giúp cho sinh viên biết phê phán nghiên cứu nội dung, chương trình sách giáo khoa tốn phổ thơng hành Chúng ta rèn luyện cho sinh viên thiết lập mối quan hệ theo hướng sau đây: - Các khái niệm tốn cao cấp cơng cụ để nhìn nhận tốn học phổ thơng theo quan niệm thống nhất, đầy đủ sâu sắc hơn: Các kiến thức HHSC trường hợp riêng kiến thức tương ứng HHCC, sử dụng kiến thức HHCC người giáo viên nhìn nhận mạch kiến thức HHSC cách thống nhất, đầy đủ sâu sắc Ví dụ Trong Đại số tuyến tính [7], có định lí Định lí 2.1 Tập S = xi sở không gian vectơ E vectơ x E viết dạng: x= xi i với hệ số xác định cách theo x Đặc biệt hố định lí mặt phẳng, thấy: Trong mặt phẳng cho hai vectơ a bkhác khơng phương, {a, b} sở mặt phẳng Do đó, với véc 70 Dạy học hình học sơ cấp gắn với hình học cao cấp cho sinh viên sư phạm Tốn tơ x mặt phẳng viết dạng x = ma + nb với hệ số m n xác định cách theo x Đó định lí biết chương trình sách giáo khoa [3] Định lí 2.2 Cho hai véc tơ khơng khơng phương a b Khi đó, vectơ x biểu thị cách qua hai véctơ a b, nghĩa có cặp số m n cho x = ma + nb Ví dụ Trong Hình học Afin [1], có định lí Định lí 2.3 Cho k điểm P1 , P2 , , Pk không gian Afin A k số thuộc trường K : λ1 , λ2 , λk cho k λi = Khi có điểm G cho: i=1 k −−→ λi GPi = i=1 Lúc điểm G gọi tâm tỉ cự hệ điểm Pi gắn với họ hệ số λi Trong trường hợp λi nhau, điểm G gọi trọng tâm hệ điểm Pi Đặc biệt hố định lí mặt phẳng, ta có: −−→ −−→ - Với k = λ1 = λ2 = ta có: GP1 + GP2 = hay G trung điểm đoạn thẳng P1 P2 mà ta biết hình học phẳng; −−→ −−→ −−→ - Với k = λ1 = λ2 = λ3 = ta có: GP1 + GP2 + GP3 = hay G trọng tâm tam giác P1 P2 P3 mà biết hình học phẳng - Sử dụng kiến thức HHCC để giải thích số kiến thức khó chương trình tốn học phổ thơng, đồng thời xác hố số kiến thức tốn học phổ thơng (vì nhiều lí sư phạm nên kiến thức khơng trình bày cách chặt chẽ lơ gíc sách giáo khoa hành) Ví dụ Hai tam giác tồn phép dời hình biến tam giác thành tam giác Theo HHCC, không gian E , hai tam giác ABC A′ B ′ C ′ tạo hai hệ điểm độc lập tuyến tính {A, B, C} {A′ , B ′ , C ′ } Do đó, tồn phép Afin: f : E2 → E2 cho f (A) = A′ , f (B) = B ′ f (C) = C ′ −−→ −−→ −− → −→ Xét phép biến đổi tuyến tính liên kết f f với hai sở {AB, AC} {A′ B ′ , A′ C ′ } E Ta có: −−→ −→ −−→ −− → f (AB) = A′ B ′ , f (AC) = A′ C ′ Do ∆ABC = ∆A′ B ′ C ′ nên ta có: −− → −→ −−→ −−→ AB.AC cos A = A′ B ′ A′ C ′ cos A′ ⇔ AB.AC = A′ B ′ A′ C ′ 71 Trần Việt Cường − → nghĩa f bảo tồn tích vơ hướng E Suy ra, f phép biến đổi trực giao nên f phép đẳng cự E , tức f phép dời hình mặt phẳng Vậy hai tam giác ABC A′ B ′ C ′ tồn phép dời hình biến tam giác thành tam giác - Vận dụng kiến thức tốn cao cấp định hướng tìm tịi lời giải cho số dạng tốn chương trình tốn học phổ thông +) Sử dụng hệ toạ độ Afin: Các bất biến Afin thể qua biểu thức toạ độ hệ toạ độ Afin Do đó, tốn chứa hồn tồn bất biến Afin sử dụng hệ toạ độ Afin để giải Các toán quan hệ song song giải nhờ kiến thức HHCC Ví dụ Cho hình hộp ABCDA1 B1 C1 D1 Gọi M ảnh đối xứng D1 qua A; N ảnh đối xứng D qua C1 ; I trung điểm cạnh BB1 Chứng minh ba điểm M, I, N thẳng hàng Ta có hình hộp - hộp không gian Afin chiều hộp khái niệm Afin Đối xứng, trung điểm quy tỉ số đơn -1 tỉ số đơn khái niệm Afin Thẳng hàng tính chất Afin Như vậy, tốn chứa đựng hồn tồn bất biến Afin Do đó, sử dụng hệ toạ độ Afin không gian Afin ba chiều để giải toán −−→ −−→ −− → −−→ −−→ Chẳng hạn, chọn hệ toạ độ A; AB, AD, AA1 , sau biểu thị véctơ M N , IM qua −−→ −−→ hệ toạ độ Afin tìm k hệ thức M N = kIM Từ đó, suy ba điểm M, I, N thẳng hàng +) Sử dụng tương đương Afin: Giả sử tốn u cầu chứng minh hình H có tính chất α, α tính chất Afin Khi ấy, ta thực theo bước sau [4]: Bước Chọn tập hợp hình tương đương Afin với hình H hình H ′ mà tính chất Afin dễ chứng minh Có thể xem H ′ ảnh H qua phép Afin f Ta có f (H) = H ′ Bước Ta chứng minh tính chất α hình H ′ Trong q trình chứng minh sử dụng thêm kiến thức hình học Euclid việc chứng minh thực cách dễ dàng nhanh gọn Bước Sau chứng minh tính chất α hình H ′ ta thực phép Afin f −1 biến hình H ′ thành hình H, tức f −1 (H ′ ) = H Như vậy, ta chứng minh tính chất Afin α hình H Trong HHSC, hai hình tương đương Afin bao gồm: + Hai tam giác Do đó, ta thường chọn hình H ′ tam giác tam giác vng + Hai tứ diện Do đó, ta thường chọn hình H ′ tứ diện tứ diện vng + Hai hình Elíp Do đó, ta thường chọn hình H ′ đường trịn + Hai hình bình hành Do đó, ta thường chọn hình H ′ hình vng + Hai hình hộp Do đó, ta thường chọn hình H ′ hình lập phương Ngồi hướng trên, sử dụng kiến thức toán cao cấp để sáng tạo tốn phổ thơng cách khai thác kiến thức hình học Afin, hình học Euclid hình học Xạ ảnh 72 Dạy học hình học sơ cấp gắn với hình học cao cấp cho sinh viên sư phạm Tốn Trong q trình giảng dạy trường sư phạm, để thẩm thấu cho sinh viên thấy mối liên hệ nội dung kiến thức toán cao cấp vừa học với nội dung toán sơ cấp trình bày chương trình phổ thơng, từ giúp cho sinh viên có khả vận dụng kiến thức toán cao cấp để soi sáng kiến thức toán sơ cấp biết cách tổ chức cho học sinh đường khám phá tìm kiếm nội dung kiến thức, người giảng viên tiến hành số hoạt động sau: - Nghiên cứu mối quan hệ phần kiến thức Toán phổ thơng với sở lí thuyết tốn cao cấp toán sơ cấp trang bị trường Sư phạm - Sử dụng góc nhìn ngơn ngữ kiến thức tốn cao cấp để phân tích kiến thức Tốn phổ thơng, nhằm thấy rõ chất sâu sắc khoa học toán học, phát triển lớp tốn cho tốn phổ thơng thơng qua hoạt động biến đổi đối tượng - Thông qua hoạt động chuyển đổi ngơn ngữ để tiến hành chuyển hóa sư phạm tri thức khoa học - tri thức chương trình - tri thức phương pháp Ví dụ với tốn: Cho hình lập phương ABCD.A1 B1 C1 D1 Gọi I, J trung điểm cạnh AB, C1 D1 Các điểm M, N thay đổi, thuộc cạnh AD, BB1 cho AM = BN Chứng minh, đường thẳng M N cắt vng góc với IJ trung điểm H đoạn M N (Hình 1) Giáo viên phát triển toán nhờ sử dụng bất biến Afin sử dụng tương đương Afin, sau chuyển sang ngơn ngữ phổ thơng tốn học sinh sau [5]: Hình lập phương tương đương Afin với hình hộp bất kì; trung điểm bất biến Afin; điều kiện AM = BN hình lập phương chuyển thành: BN AM = = k (k > 0) AD BB1 Từ đó, ta có tốn sau: Bài tốn 2.1 Cho hình hộp ABCD.A1 B1 C1 D1 Gọi I, J trung điểm cạnh AB, C1 D1 Các điểm M, N thay đổi, thuộc AD, BB1 cho: AM BN = =k AD BB1 Chứng minh đường thẳng M N cắt IJ trung điểm H M N Hình 73 Trần Việt Cường Kết luận Nếu biết tận dụng mối quan hệ nội dung HHCC HHSC trường phổ thông giảng dạy trường sư phạm khơng giúp sinh viên nắm vững mạch kiến thức hình học trường phổ thơng cách có hệ thống mà giúp cho sinh viên hiểu rõ chất, cội nguồn kiến thức, thấy mối quan hệ nội dung HHCC học tập trường sư phạm với nội dung hình học trường phổ thơng, tứ góp phần nâng cao hiệu dạy học mơn tốn trường phổ thông TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương, Tạ Mân, 1998 Hình học Afin hình học Euclid Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Việt Cường, Nguyễn Danh Nam, 2013 Giáo trình học hình học sơ cấp Nxb Giáo dục Việt Nam [3] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, Bùi Văn Nghị, 2006 Hình học 10 - nâng cao Nxb Giáo dục [4] Đào Tam, 2004 Giáo trình học hình học sơ cấp Nxb Đại học Sư phạm [5] Đào Tam, Trần Trung, 2010 Tổ chức hoạt động nhận thức dạy học mơn Tốn trường Trung học phổ thơng Nxb Đại học Sư phạm [6] Đỗ Đức Thái, Nguyễn Anh Tuấn, 2011 Về việc dạy học toán sơ cấp Khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Tạp chí Giáo dục, số 263 [7] Ngơ Việt Trung, 2002 Giáo trình Đại số tuyến tính Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [8] Nguyễn Thị Thanh Vân, 2011 Dạy học toán cao cấp Đại học Sư phạm theo hướng bồi dưỡng phương pháp sư phạm cho sinh viên Tạp chí Giáo dục, số 264 ABSTRACT Teaching elementary geometry in preparation for advanced geometry This article looks at the teaching of elementary geometry at the university of education in preparation for learning advanced geometry The goal is to show the connections between elementary and advanced geometry in high school, how to apply knowledge of advanced mathematics to help high school students obtain a clearer understanding of elementary geometry and how to use elementary geometry in high school teaching 74 .. .Dạy học hình học sơ cấp gắn với hình học cao cấp cho sinh viên sư phạm Toán toán sơ cấp mà chưa trình bày sách giáo khoa; phát triển thói quen giải tập tốn sơ cấp mà sinh viên có từ... gắn với hình học cao cấp cho sinh viên sư phạm Tốn Trong q trình giảng dạy trường sư phạm, để thẩm thấu cho sinh viên thấy mối liên hệ nội dung kiến thức toán cao cấp vừa học với nội dung tốn sơ. .. phẳng cho hai vectơ a bkhác không phương, {a, b} sở mặt phẳng Do đó, với véc 70 Dạy học hình học sơ cấp gắn với hình học cao cấp cho sinh viên sư phạm Toán tơ x mặt phẳng viết dạng x = ma + nb với