Bài báo này, chúng tôi đề cập tới việc dạy học nội dung Tâm tỉ cự cho sinh viên (SV) sư phạm toán theo định hướng gắn với nội dung Hình học sơ cấp, qua đó giúp cho SV thấy được mối quan hệ của nội dung Hình học cao cấp được học ở trường sư phạm với nội dung hình học trong chương trình phổ thông.
nếu điểm P1 , P2 , P3 P4 đồng phẳng; trọng tâm tứ diện P1 P2 P3 P4 điểm P1 , P2 , P3 P4 không đồng phẳng mà SV biết chương trình phổ thơng Qua hoạt động trên, GV giúp cho SV thấy mối quan hệ khái niệm Tâm tỉ cự họ điểm Pi học chương trình mơn Hình học Afin hình học Euclid trường Sư phạm với khái niệm trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ giác, trọng tâm tứ diện khái niệm mà SV biết chương trình phổ thơng ii) Tiếp theo, hướng dẫn GV, SV nghiên cứu nội dung hai định lí: Định lí 2.2 Tập hợp tất tâm tỉ cự họ điểm P0 , P1 , , Pk (với họ hệ số khác nhau) phẳng bé chứa điểm Định lí 2.3 Cho m phẳng α qua m + điểm độc lập P0 , P1 , , Pm điểm O tuỳ ý Điều m m −−→ −−→ kiện cần đủ để điểm M thuộc α OM = λi OPi , λi = i=0 i=0 Để giúp SV hiểu thấy ý nghĩa nội dung định lí (2.2) định lí (2.3), với cách làm tương tự nghiên cứu khái niệm Tâm tỉ cự họ điểm, GV phân tích đặc biệt hố định lí trên, SV thấy nội dung định lí (2.3) trường hợp tổng quát số toán mà SV giải chương trình phổ thơng: Bài tốn 2.1 Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC điểm O G trọng tâm tam −−→ −→ −−→ −−→ giác ABC 3OG = OA + OB + OC 45 Trần Trung, Trần Việt Cường Bài toán 2.2 Trong mặt phẳng, cho tứ giác ABCD điểm O G trọng tâm tứ giác ABCD −−→ −→ −−→ −−→ −−→ 4OG = OA + OB + OC + OD Bài tốn 2.3 Trong khơng gian, cho tứ diện ABCD điểm O G trọng tâm tứ diện ABCD −−→ −→ −−→ −−→ −−→ 4OG = OA + OB + OC + OD iii) Sau đó, để giúp SV nắm vững nội dung Tâm tỉ cự họ điểm không gian Afin, GV tiến hành phân tích cho SV thấy ý nghĩa, vai trò khái niệm với nội dung kiến thức hình học chương trình phổ thơng, chẳng hạn như: Trong không gian Afin n chiều An , xét hệ n + điểm độc lập A0 , A1 , A2 , , An Khi đó, ta có: {A0 ; A1 , A2 , , An } mục tiêu Afin ứng với sở Afin: −−−→ −−−→ −−−→ A0 A1 , A0 A2 , , A0 An Với điểm M, ta có: −−−→ A0 M = n i=1 n = −−−→ ti A0 Ai −−−→ −−−→ ti A0 M + M Ai i=1 n ti = −−−→ A0 M + n i=0 −−−→ − → ti M Ai = với t0 = − −−−→ ti M Ai i=1 i=1 Từ đó, ta có: n n i=1 ti hay n ti = nên M Tâm tỉ cự hệ i=0 điểm A0 , A1 , A2 , , An gắn với họ hệ số t0 , t1 , t2 , , tn , n ti = i=0 Khi đó, ta có t0 , t1 , t2 , , tn toạ độ trọng tâm M hệ điểm A0 , A1 , A2 , , An Như vậy, t0 , t1 , t2 , , tn toạ độ trọng tâm M hệ A0 , A1 , A2 , , An t1 , t2 , , tn toạ độ trọng tâm M mục tiêu Afin {A0 ; A1 , A2 , , An }, với n ti = i=0 Từ nhận xét này, GV yêu cầu SV sử dụng kiến thức đề tâm tỉ cự để định hướng lời giải giải toán sau [3]: 46 Dạy học nội dung tâm tỉ cự cho sinh viên Sư phạm Toán Bài toán 2.4 Cho tứ diện ABCD O điểm tứ diện Gọi V1 , V2 , V3 , V4 thể tích tứ diện OBCD, OCAD, OABD, OABC Chứng minh rằng: −→ −−→ −−→ −−→ − → V1 OA + V2 OB + V3 OC + V4 OD = (2.1) Ý tưởng vận dụng HHCC Gọi V thể tích tứ diện ABCD Đẳng thức cần chứng minh tương đương với hệ thức sau đây: V1 −→ V2 −−→ V3 −−→ V4 −−→ − → OA + OB + OC + OD = V V V V Điều chứng tỏ O tâm tỉ cự hệ bốn điểm độc lập {A, B, C, D} A3 ứng V1 V2 V3 V4 , , , , suy toạ độ O mục tiêu Afin {A; B, C, D} là: với họ hệ số: V V V V V2 V3 V4 , , V V V Tức ta có biểu diễn sau: −→ V2 − −→ V3 −→ V4 −−→ AO = AB + AC + AD V V V Do đó, ta cần chứng tỏ −− → −→ −−→ AB, AC, AD V2 V3 V4 , , V V V −→ hệ số AO khai triển sở Từ đó, ta có lời giải tốn sau: −→ − − → −→ −−→ Giả sử AO = xAB + y AC + z AD Ta cần chứng minh: x= V3 V4 V2 ,y = ,z = V V V 47 Trần Trung, Trần Việt Cường Thật vậy, dựng hình hộp M N OQAP RS nhận AO làm đường chéo chính, ba cạnh kề nằm ba cạnh tứ diện ABCD xuất phát từ đỉnh A AM Đặt x = Gọi O ′ giao điểm BO với mặt phẳng (ACD) Gọi H K lần lươt AB hình chiếu B O lên mặt phẳng (ACD) Gọi L giao điểm BN với AD Khi đó, ta có: OK OO ′ AM NL V2 = = = =x = ′ V BH BO BL AB Chứng minh tương tự y = Nên ta có: Vậy: V4 V3 ,z = V V −→ V3 −→ V4 −−→ −→ V2 − AB + AC + AD AO = V V V −→ −−→ −−→ −−→ − → V1 OA + V2 OB + V3 OC + V4 OD = Kết luận Khi dạy học, GV mơn Hình học dành lượng thời gian thích hợp để phân tích cho SV thấy mối quan hệ nội dung HHCC với nội dung HHSC giúp cho SV khơng hiểu rõ nội dung HHCC mà thấy mối quan hệ khăng khít kiến thức HHCC học trường Sư phạm với nội dung HHSC trình bày chương trình phổ thơng, tứ góp phần nâng cao hiệu dạy học mơn tốn trường phổ thơng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương, Tạ Mân, 1998 Hình học Afin hình học Euclid Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Việt Cường, Nguyễn Danh Nam, 2013 Giáo trình hình học sơ cấp Nxb Giáo dục Việt Nam [3] Đào Tam, 2004 Giáo trình hình học sơ cấp Nxb Đại học Sư phạm ABSTRACT Teaching the barycentric to mathematics students with an Orientation towards elementary geometry In this paper, we show how teaching the barycentric to mathematics high school students with an orientation associated with elementary geometry helps students see the relationship to high geometry 48 ... cầu SV sử dụng kiến thức đề tâm tỉ cự để định hướng lời giải giải toán sau [3]: 46 Dạy học nội dung tâm tỉ cự cho sinh viên Sư phạm Toán Bài toán 2.4 Cho tứ diện ABCD O điểm tứ diện Gọi V1 , V2... V4 OD = Kết luận Khi dạy học, GV môn Hình học dành lượng thời gian thích hợp để phân tích cho SV thấy mối quan hệ nội dung HHCC với nội dung HHSC giúp cho SV hiểu rõ nội dung HHCC mà thấy mối... Afin hình học Euclid Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Việt Cường, Nguyễn Danh Nam, 2013 Giáo trình hình học sơ cấp Nxb Giáo dục Việt Nam [3] Đào Tam, 2004 Giáo trình hình học sơ cấp Nxb Đại học