Hình thành một số kiến thức của hình học cao cấp từ nền tảng kiến thức toán học phổ thông cho sinh viên sư phạm toán

Bài viết đề cập tới việc hình thành một số kiến thức của Hình học cao cấp từ nền tảng kiến thức toán học phổ thông cho sinh viên sư phạm toán, qua đó giúp cho sinh viên thấy được mối quan hệ của nội dung Hình học cao cấp được học ở trường sư phạm với nội dung kiến thức hình học trong chương trình phổ thông.

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Sci., 2015, Vol 60, No 8A, pp 64-70 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn DOI: 10.18173/2354-1075.2015-0166 HÌNH THÀNH MỘT SỐ KIẾN THỨC CỦA HÌNH HỌC CAO CẤP TỪ NỀN TẢNG KIẾN THỨC TỐN HỌC PHỔ THƠNG CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM TỐN Trần Việt Cường Đỗ Thị Trinh Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên Tóm tắt Bài báo đề cập tới việc hình thành số kiến thức Hình học cao cấp từ tảng kiến thức tốn học phổ thơng cho sinh viên sư phạm tốn, qua giúp cho sinh viên thấy mối quan hệ nội dung Hình học cao cấp học trường sư phạm với nội dung kiến thức hình học chương trình phổ thơng Từ khóa: Hình học cao cấp, sinh viên, khoảng cách, kiến thức Mở đầu Nghiên cứu quan hệ toán cao cấp toán sơ cấp nhiều nhà nghiên cứu giáo dục, nhà toán học giới Việt Nam quan tâm Hai hướng chủ yếu nghiên cứu thời gian qua là: (1) Giải tốn sơ cấp cơng cụ tốn cao cấp (2) Biên soạn giáo trình sở toán cao cấp dạng giảng ngôn ngữ đơn gian [5] Theo hướng thứ nhất, vấn đề giải cách đơn lẻ khơng khái qt khơng mang tính lí luận lại đáp ứng nhu cầu mà thực tế dạy học bậc phổ thơng đòi hỏi Nó giúp cho GV thơng qua cách giải tốn tốn cao cấp, tìm thấy lời giải phù hợp với học sinh phổ thông Theo hướng thứ hai, khái niệm có liên quan đến mơn tốn bậc phổ thơng hình thành đường kiến tạo, xuất phát từ khái niệm toán sơ cấp để khái quát hoá, trừu tượng hoá thành khái niệm tốn cao cấp Các cơng trình nghiên cứu mối quan hệ toán cao cấp với toán sơ cấp dạy học nước ta phải kể đến cơng trình nghiên cứu Ngơ Thúc Lanh [8], Đào Tam [9], Nguyễn Thị Châu Giang [7], Nguyễn Văn Dũng [5] Thực tế dạy học cho thấy, nhiều sinh viên (SV) học tập mơn Hình học cao cấp (HHCC) chưa thấy mối liên hệ nội dung kiến thức HHCC với nội dung kiến thức hình học trường phổ thơng Một phần ngun nhân giảng viên (GV) dạy học HHCC tập trung vào việc cung cấp nội dung kiến thức cho SV mà chưa trọng việc phân tích cho SV thấy mối liên hệ nội dung kiến thức HHCC với nội dung kiến thức hình học trường phổ thơng [10] Ngày nhận bài: 10/7/2015 Ngày nhận đăng: 10/10/2015 Tác giả liên lạc: Trần Việt Cường, địa e-mail: tranvietcuong2006@gmail.com 64 Hình thành số kiến thức Hình học Cao cấp từ tảng kiến thức tốn học phổ thơng Để giúp cho SV phần thấy mối quan hệ đó, chúng tơi minh họa việc hình thành kiến thức HHCC xuất phát từ kiến thức phổ thông cho SV thơng qua việc hình thành kiến thức khoảng cách từ điểm đến m-phẳng siêu phẳng chương trình Hình học Afin Hình học Euclide 2.1 Nội dung nghiên cứu Vai trò việc hình thành kiến thức cho sinh viên Trong dạy học mơn Tốn nói chung dạy học Hình học cao cấp nói riêng, việc dạy học kiến thức Tốn học (khái niệm, định lí, cơng thức, quy tắc ) cho SV bao gồm hoạt động như: tiếp cận kiến thức, hình thành kiến thức, vận dụng kiến thức củng cố kiến thức.Trong hoạt động đó, hoạt động tiếp cận hình thành kiến thức bước quan trọng hoạt động dạy học kiến thức cho SV, nhằm giúp cho SV nắm vững đặc điểm đặc trưng kiến thức đó, từ phát triển tư cho thân Việc tổ chức hoạt động cho SV tiếp cận kiến thức Tốn học nói chung kiến thức Hình học cao cấp nói riêng từ nên tảng kiến thức tốn học phổ thơng khơng giúp cho SV thấy nội dung kiến thức xuất cách tự nhiên, khơng bị gò ép, áp đặt mà tạo điều kiện thuận lợi để SV hình thành nội dung kiến thức đó, thấy mối quan hệ nội dung kiến thức Hình học cao cấp học trường sư phạm với nội dung kiến thức tốn học trường phổ thơng Từ đó, giúp cho SV nắm vững hệ thống kiến thứctoán học, làm sở cho việc học tập nghiên cứu Tốn học 2.2 Một số ví dụ việc hình thành kiến thức Hình học cao cấp từ tảng kiến thức tốn học phổ thơng cho sinh viên sư phạm tốn * Hình thành kiến thức khoảng cách từ điểm đến m-phẳng Để giúp SV hình thành kiến thức khoảng cách từ điểm đến m-phẳng, GV tổ chức hoạt động sau: Hoạt động GV tổ chức cho SV tiếp cận kiến thức khoảng cách từ điểm đến 1-phẳng GV: Yêu cầu SV nhắc lại kiến thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng mặt phẳng SV: Trong mặt phẳng, cho đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = điểm I(x0 , y0 ) Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng ∆, kí hiệu d(I, ∆) tính theo cơng thức [1, 2]: d(I, ∆) = |ax0 + by0 + c| √ a + b2 (1) GV: Tổ chức cho SV nghiên cứu kiến thức theo định hướng gắn với Hình học cao cấp: Gọi n véc tơ pháp tuyến đường thẳng ∆ Khi đó, ta có n(a; b) √ Gọi u(b; -a), ta có a2 + b2 = |u|2 = u2 Khơng tính tổng qt, ta giả sử b = Khi đó, ta có 65 Trần Việt Cường Đỗ Thị Trinh ∆: ax + by + c = ⇔ ∆ : y+ cb −a : S(0; cb ) Khi x b Do đó, ta chọn điểm = − → đó, ta có SI = x0 , y0 − c (ax0 + by0 + c)2 = b(y0 − 0) − a(x0 − ) a c a c c =(a2 + b2 ) (x0 − 0)2 + (y0 − ) − a(x0 − 0) + b(y0 − ) b b →2 − →2 − =u SI − (u.SI) Do đó, ta có: −−→ − →2 − →2 u2 SI − (u.SI) Gr(u, SI) d (I, ∆) = = u2 Gr(u) (1’) GV: Tiếp theo, GV yêu cầu SV nhắc lại kiến thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng không gian SV: Trong không gian, cho đường thẳng(∆) có phương trình dạng tắc x − b1 y − b2 z − b3 = = a1 a2 a3 điểm I(x0 , y0 , z0 ) Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng (∆), kí hiệu d(I, (∆)) tính theo cơng thức: − → SI, u d(I, (∆)) = |u| (2), u(a1 , a2 , a3 ) véc tơ phương đường thẳng (∆) S(b1 , b2 , b3 ) điểm mà đường thẳng ∆ qua [3] GV: Tổ chức cho SV nghiên cứu kiến thức theo định hướng gắn với Hình học cao cấp: Ta có |u| = − → SI = (x0 − b1 , y0 − b2 , z0 − b3 ) 66 a21 + a22 + a23 Hình thành số kiến thức Hình học Cao cấp từ tảng kiến thức toán học phổ thơng Do đó, ta có: − → SI, u =[a3 (y0 − b2 ) − a2 (z0 − b3 ); a1 (z0 − b3 ) − a3 (x0 − b1 ); a2 (x0 − b1 ) − a1 (y0 − b2 )] − → SI, u =[a3 (y0 − b2 ) − a2 (z0 − b3 )]2 + [a1 (z0 − b3 ) − a3 (x0 − b1 )]2 +[a2 (x0 − b1 ) − a1 (y0 − b2 )]2 =[a21 + a22 + a23 ][(x0 − b1 )2 + (y0 − b2 )2 + (z0 − b3 )2 ] −[a1 (x0 − b1 ) + a2 (y0 − b2 ) + a3 (z0 − b3 )]2 − → − → =u2 SI − (u.SI)2 Do đó, ta có: −−→ − →2 − →2 Gr(u, SI) u2 SI − (u.SI) = d (I, ∆) = u2 Gr(u) (2’) GV: Chúng ta biết, đường thẳng 1- phẳng Do đó, cơng thức(1) (2) khoảng cách từ điểm đến 1- phẳng tương ứng không gian chiều không gian chiều Tổng qt, ta có cơng thức d2 (I, ∆) = −−→ − →2 − →2 u2 SI − (u.SI) Gr(u, SI) = u2 Gr(u) (*) gọi khoảng cách từ điểm đến 1-phẳng Chúng ta dễ dàng thấy được: Nếu mục tiêu trực chuẩn cho – phẳng (đường thẳng) α có phương trình x1a−b = x2a−b = xn −b2 = an điểm I(x01 , x02 , , x0n ) ta có [6] d2 (I, α) = i