Tính toán mô phỏng điện từ trường ngày càng có vai trò quan trọng, đặc biệt trong lĩnh vực thiết kế, chế tạo và vận hành các thiết bị điện - điện tử. Bài báo này phát triển công thức tích hợp giữa các phương trình tích phân và vi phân dựa trên véc-tơ điện thế, ứng dụng cho các thiết bị điện có cấu trúc dạng vỏ mỏng dẫn điện. Hệ phương trình cuối cùng được giải bằng phương pháp số. Công thức được phát triển có ưu điểm là chỉ chia lưới vùng dẫn vỏ mỏng mà không cần chia lưới vùng không khí, làm giảm số ẩn và dung lượng tính toán. Thông qua mô phỏng, tính toán các thông số điện từ cho hai bài toán kinh điển và so sánh với phương pháp FEM 2D, phương pháp đề xuất được kiểm nghiệm và chứng tỏ khả năng áp dụng trong các bài toán thực tiễn.
SCIENCE - TECHNOLOGY P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 PHÁT TRIỂN CÔNG THỨC LAI TÍCH PHÂN - VI PHÂN 3D DỰA TRÊN VÉC TƠ ĐIỆN THẾ - ỨNG DỤNG CHO BÀI TOÁN CÓ CẤU TRÚC VỎ MỎNG DẪN ĐIỆN DEVELOPING AN HYBRID INTEGRO-DIFFERENTIAL FORMULATION 3D BASED ON THE ELECTRIC VECTOR POTENTIAL - APPLICATION TO THE CONDUCTIVE THIN SHELL STRUCTURE Lê Đức Tùng TĨM TẮT Tính tốn mơ điện từ trường ngày có vai trị quan trọng, đặc biệt lĩnh vực thiết kế, chế tạo vận hành thiết bị điện - điện tử Bài báo phát triển cơng thức tích hợp phương trình tích phân vi phân dựa véc-tơ điện thế, ứng dụng cho thiết bị điện có cấu trúc dạng vỏ mỏng dẫn điện Hệ phương trình cuối giải phương pháp số Cơng thức phát triển có ưu điểm chia lưới vùng dẫn vỏ mỏng mà khơng cần chia lưới vùng khơng khí, làm giảm số ẩn dung lượng tính tốn Thơng qua mơ phỏng, tính tốn thơng số điện từ cho hai toán kinh điển so sánh với phương pháp FEM 2D, phương pháp đề xuất kiểm nghiệm chứng tỏ khả áp dụng toán thực tiễn Từ khóa: Trường điện từ, vùng vỏ mỏng dẫn điện, dịng điện xốy, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp tích phân số ABSTRACT Electromagnetic modeling is becoming an increasingly important role, especially in the design, manufacture and operation of electrical-electronic devices This paper develops a hybrid formulation coupled between the integral and differential equations based on the electric vector potential, applied to electrical devices with conductive thin-shell structure The final equations were solved by numerical methods The advantage of proposed formulation is the only meshing on the thin-shell without air-meshing, reducing the unknowns and the memory computing Through the modeling and calculation of electromagnetic parameters for two classic problems and comparison with FEM 2D method, the developed method was validated and proved applicable in practical problems Keywords: Electromagnetics, conductive thin shell, eddy current, finite element method, numerical integral method Viện Điện, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Email: tung.leduc1@hust.edu.vn Ngày nhận bài: 02/5/2020 Ngày nhận sửa sau phản biện: 10/6/2020 Ngày chấp nhận đăng: 24/6/2020 TỪ VIẾT TẮT FEM Phương pháp phần tử hữu hạn PEEC Phương pháp mạch điện thay tương đương Website: https://tapchikhcn.haui.edu.vn MOM BEM IDM Phương pháp mômen Phương pháp phần tử biên Phương pháp lai tích phân - vi phân GIỚI THIỆU Các thiết bị điện phần thiếu văn minh dựa điện người Với phát triển không ngừng khoa học kỹ thuật, thiết bị điện ngày tinh vi đại Bên cạnh phức tạp hình dạng hình học từ dày đến mỏng, nhiều dạng thù hình, từ kích thước nhỏ đến lớn, thiết bị điện sử dụng nhiều vật liệu khác nhau: vật liệu điện, vật liệu từ, vật liệu cách điện, vật liệu composit… Do vậy, việc nghiên cứu thiết kế chế tạo thiết bị điện tiên tiến thách thức khơng nhỏ khoa học Trong q trình chế tạo thiết bị điện, tối ưu hóa chi phí vấn đề quan trọng Cùng với phát triển khoa học máy tính kiến thức vật lý đại, việc sử dụng cơng cụ mơ số ln ưu tiên lý tiết kiệm chi phí so với việc tạo thiết bị mẫu thực sử dụng mơ số, dễ dàng thay đổi tham số, tạo nhiều mơ hình ảo đáp ứng yêu cầu thiết kế mà không tốn thêm chi phí [1-4] Các phương pháp số thường áp dụng mô trường điện từ chia làm hai loại: Các phương pháp hữu hạn (finite methods) giải hệ phương trình Maxwell dạng vị phân, phương pháp phần tử hữu hạn FEM (Finite Element Method), phương pháp thể tích hữu hạn FVM (Finite Volume Method) phương pháp tích phân số giải hệ phương trình Maxwell dạng tích phân, phương pháp tích phân bề mặt BEM (Boundary Element Method), phương pháp mô men MoM (Method of Moment), phương pháp PEEC (Partial Element Equivalent Circuit) [5-10] Việc lựa chọn phương pháp hoàn toàn phụ thuộc vào tượng vật lý cần mô phỏng: tần số cao hay thấp, có vật liệu từ hay khơng, có xét đến hiệu ứng điện cảm hay điện dung, nguồn kích thích ngồi Tuy nhiên, khơng có phương Vol 56 - No (June 2020) ● Journal of SCIENCE & TECHNOLOGY 35 KHOA HỌC CÔNG NGHỆ pháp vạn tối ưu toán việc lựa chọn phương pháp tốt phụ thuộc vào tính chất thiết bị điện dải hoạt động Trong phương pháp mô tả trên, phương pháp hữu hạn FEM trở thành phương pháp tổng quát cho việc giải toán điện từ toán từ tĩnh toán từ động [2] Hiện nay, phương pháp phát triển thương mại hóa dạng phần mềm mơ phỏng, tiêu biểu phần mềm Maxwell công ty Ansys [3], phần mềm Flux3D công ty Cedrat [4] Tuy nhiên nhược điểm lớn phương pháp phải chia lưới tính tốn vùng khơng khí Do đó, sử dụng phương pháp FEM để mơ 3D thiết bị điện phức tạp, có nhiều khoảng trống khơng khí tạo phương trình phần tử hữu hạn với số bậc tự lớn Điều làm cho việc giải phương trình máy tính điện tử khó khăn chí khơng thể thực Bài báo phát triển công thức lai kết hợp phương trình vi phân tích phân dựa véc-tơ điện để mô điện từ cấu trúc có dạng vỏ mỏng dẫn điện Vùng vỏ mỏng mô tả hệ phương trình vi phân giải phương pháp FEM, tương tác với từ trường ngồi vùng khơng khí mơ giải phương pháp tích phân số Phương pháp cịn gọi phương pháp lai tích phân- vi phân IDM (Integro-Differential Method) Ưu điểm phương pháp nằm chỗ chia lưới vùng khơng khí bao quanh đối tượng tính tốn, giảm thời gian khối lượng tính tốn Phần báo giới thiệu hệ phương trình lai tích phân - vi phân phương pháp số giải hệ phương trình Để kiểm nghiệm phương pháp phát triển, hai ví dụ kinh điển mô so sánh kết mục Cuối kết luận báo hướng nghiên cứu trình bày mục PHƯƠNG PHÁP LAI TÍCH PHÂN - VI PHÂN Công thức phát triển dựa nghiên cứu S.J Salon [11] Tuy nhiên, công thức [11] có nhược điểm áp dụng cho cấu trúc dạng phẳng Trong phần này, tác giả phát triển hệ phương trình cho phép mơ điện từ cấu trúc dạng vỏ mỏng không gian 3D P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 =− = (1) (2) (3) = Phương trình Ampère-Maxwell (2) chứng tỏ tồn véc-tơ điện T định nghĩa: (4) = Xem xét thành phần pháp tuyến véc-tơ cảm ứng từ B bề mặt Γ, có: ( )⋅ = − ⋅ (5) Áp dụng phương pháp Galerkine cho bề mặt Γ, phương trình dạng tích phân mơ tả (5) là: ( )⋅ Γ=− ⋅ Γ (6) với wi hàm trọng số Áp dụng đẳng thức ( )= , phương trình (6) viết lại dạng: − ( × )⋅ Γ+ =− ( ⋅ +( )⋅ )× Γ (7) Γ Hốn đổi phận biểu thức thành phần thứ áp dụng định luật Stokes thành phần thứ hai vế trái phương trình (7), ta thu được: ( × )⋅ Γ− Γ= ⋅ Γ (8) ∮ w dΓ tích phân đường theo vịng C bao quanh bề mặt Γ Thành phần có giá trị với điều kiện biên [2] Như vậy, phương trình (8) trở thành: ( × ) dΓ = jω dΓ (9) Từ (3) (4), có: = σ = (10) σ Vậy: ( × )= ( (11) × ) Áp dụng đẳng thức: ( )=( ⋅ ) + × lưu ý bề mặt Γ : n.grads = véc-tơ điện T có thành phần phát tuyến, có phương trình sau: (12) ( × )=− ( (T )) Hình Vùng vỏ mỏng dẫn điện Chúng ta xem xét vùng vỏ mỏng dẫn điện ( , ) có bề dày e thể tích Ω Γ bề mặt trung bình hình Biến thiên điện từ trường vùng dẫn mơ tả hệ phương trình Maxwell: 36 Tạp chí KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ● Tập 56 - Số (6/2020) với Tn thành phần pháp tuyến véc-tơ T: T = Phương trình (9) trở thành: ⋅ (T ) dΓ = −jω dΓ (13) Từ trường điểm P viết dạng: Website: https://tapchikhcn.haui.edu.vn SCIENCE - TECHNOLOGY P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 (P) = (P) + (P) (14) Với H0 từ trường nguồn ngoài, HJ từ trường dịng điện xốy vùng dẫn vỏ mỏng gây Áp dụng định luật Biot-Savart, có: e × ( )= dΓ (15) 4π r với r véc-tơ điểm điểm lấy tích phân Γ điểm tính tốn từ trường P Kết hợp phương trình (13), (14), (15), có hệ phương trình cuối cùng: (T )dΓ ⎧ w ⋅ ⎪ σ ⎪ e μ × +jω w dΓ ⋅ dΓ (16) 4π r ⎨ ⎪ = −jω μ w dΓ ⎪ ⎩ = Để giải hệ phương trình (16), phương pháp số sử dụng cách chia lưới bề mặt Γ thành n phần tử với giả thiết mật độ dòng điện J số phần tử Gọi p số nút mạng lới Giá trị véc-tơ điện xác định dạng: T = [ ] ⋅ [ ] + [ s] ⋅ [ ] = [ [ ]= [ ]⋅[ ] ] Hay là: {[ ] + [ s] ⋅ [ ]} ⋅ [ ] = [ w ⋅ e μ 4π (i) = −jω μ R H0 x e y ] (19) w dΓ × dΓ ⋅ r w w Hình Cầu rỗng dẫn điện R Các giá trị thành phần ma trận [A], [Bs] [h0] là: (i, k) = jω 0 (18) Hệ phương trình (2) có p ẩn số [A] ma trận phần tử hữu hạn kích thước (p × p); [Bs] ma trận biểu thị định luật Biot - Savart, nhận từ công thức (17) với giá trị dịng điện xốy đơn vị (p × 3n) ; [P] ma trận (3n × p) [h0] véc-tơ kích thước p biểu thị thành phần pháp tuyến nguồn từ trường nút mạng lưới σ z (17) w (x, y, z)T Chúng ta thu hệ phương trình dạng ma trận: (i, k) = BÀI TOÁN ÁP DỤNG Do thiếu thiết bị để tiến hành thực nghiệm đo đếm kết thực tế, nên để kiểm chứng phương pháp phát triển mục 2, tác giả lựa chọn hai ví dụ kinh điển thiết bị có cấu trúc đối xứng trục (hình 3) Với ví dụ này, sử dụng phương pháp FEM 2D để mơ tính tốn Phương pháp FEM 2D có số phần tử chia lưới khơng cần nhiều mơ hình 3D, nên dễ dàng xác định nghiệm hội tụ kết xem giá trị chuẩn so sánh với phương pháp khác Các thiết bị mô mơ hình 3D phương pháp IDM trình bày báo Mục đích tốn xác định tổn thất joule vùng dẫn dạng vỏ mỏng phân bố dòng điện bề mặt vùng dẫn dΓ (20) dΓ (21) (22) với véc-tơ đơn vị dịng điện xốy phần tử k Tác giả thiết lập cơng cụ tính tốn mơi trường Matlab Trong phân trình bày kiểm chứng phương pháp phân tích đánh giá khả áp dụng, hướng phát triển nghiên cứu Website: https://tapchikhcn.haui.edu.vn H0 0 e Hình Đĩa mỏng dẫn điện 3.1 Cầu rỗng dẫn điện Ví dụ cầu rỗng với bề dày e = 2mm bán kính R = 0,1m, đặt từ trường H0 = [0 1] (A/m) với tần số f = 50Hz Độ dẫn điện cầu 6x107S/m (hình 2) Với tần số f = 50Hz, độ sâu bề mặt = 9mm thoả mãn điều điện >> e Kết tính tốn tổn thất Joule phương pháp FEM 2D hội tụ 20.000 phần tử chia lưới có giá trị 1,14x10-6 (W) Hình kết tính tốn tổn thất Joule phương pháp IDM sai số so với giá trị chuẩn theo số phần tử chia lưới Chúng ta nhận thấy, phương pháp phát triển cho kết tương tự so với FEM 2D Chỉ cần chia lưới thành 4800 phần tử đạt kết gần xác với sai số 0,3% Phương pháp có khả mơ điện từ vùng dẫn dạng vỏ mỏng Vol 56 - No (June 2020) ● Journal of SCIENCE & TECHNOLOGY 37 KHOA HỌC CƠNG NGHỆ Hình Tổn thất Joule tính tốn phương pháp IDM sai số so với giá trị chuẩn P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 Hình Tổn thất Joule tính tốn phương pháp IDM sai số so với giá trị chuẩn theo số phần tử chia lưới tần số f = 0,01Hz Cũng ví dụ trước, phương pháp IDM cho kết sát với giá trị chuẩn Chúng ta cần 3000 phần tử để thu kết gần xác, với sai số 0,1% Hình trình bày phân bố dịng điện xốy bề mặt đĩa mỏng xác định phương pháp IDM Hình Mật độ dịng điện tính tốn phương pháp IDM (A/m2) Hình hình ảnh phân bố dịng điện xoáy bề mặt cầu xác định bới phương pháp IDM Chúng ta lưu ý phương pháp FEM 2D xác định phân bố Như phương pháp phát triển có khả mô cấu trúc cong không gian 3D Đây ưu điểm so sánh với nghiên cứu [11], tính toán cho vùng vỏ mỏng dẫn điện dạng phẳng 3.2 Đĩa mỏng dẫn điện Bài toán thứ hai nghiên cứu thiết bị dạng đĩa mỏng dẫn điện có bán kính R = 1m, đặt từ trường đều, xoay chiều H0 = [0, 0, 1] (A/m) Độ dẫn điện đĩa mỏng 6x107S/m bề dày 0,05m (hình 3) Trước hết, xem xét toán tần số f = 0,01Hz Độ sâu bề mặt 0,6m, xác định khơng có hiệu ứng bề mặt trường hợp nghiên cứu Tổn thất Joule tính tốn phương pháp FEM 2D có giá trị hội tụ 7,33x10-9W xem giá trị chuẩn Hình thể tổn thất Joule xác định bới phương pháp phát triển theo số phần tử chia lưới 38 Tạp chí KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ● Tập 56 - Số (6/2020) Hình Mật độ dịng điện xốy xác định phương pháp IDM với tần số f = 0,01Hz (A/m2) Hình Ảnh hưởng tần số: Sai số tổn thất Joule theo tỷ lệ e/ Website: https://tapchikhcn.haui.edu.vn SCIENCE - TECHNOLOGY P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 Để đánh giá thêm khả tính toán phạm vi áp dụng phương pháp IDM, tác giả tiến hành tính tốn mơ với nhiều tần số khác Khi tần số tăng dần, độ sâu bề bề mặt trở nên bé dần Phương pháp phát triển báo dựa giả thiết dịng điện khơng đổi theo bề dày vùng vỏ mỏng khơng cịn xác điều kiện >> e không thoả mãn Để phương pháp IDM cho kết chấp nhận (sai số bé 2% so với giá trị chuẩn), hình tỷ số bề dày đĩa mỏng độ sâu bề mặt phải nhỏ 0,5 (e/ < 0,5) KẾT LUẬN Bài báo giới thiệu, phát triển cơng thức lai, kết hợp phương trình tích phân vi phân để giải tốn điện từ có cấu trúc dạng vỏ mỏng dẫn điện không gian 3D Phương pháp phát triển cần chia lưới bề mặt trung bình vùng vỏ mỏng, giúp giảm thời gian khối lượng tính tốn Các kết tính tốn, mơ so sánh với kết chuẩn đạt từ phần mềm công nghiệp dựa phương pháp phần tử hữu hạn 2D Tuy nhiên, phương pháp cịn có sai số hiệu ứng bề mặt vùng dẫn điện lớn (e >> ) Điểm giới hạn đầu tư nghiên cứu [10] K Ishibashi, Z Andjelic, Y Takahashi, T Takamatsu, K Tsuzaki, S Wakao, K Fujiwara, Y Ishihara, 2012 Some Treatments of Fictitious Volume Charges in Nonlinear Magnetostatic Analysis by BIE IEEE Transaction on Magnetics, vol 48, no 2, pp 463-466 [11] S.J Salon, B Mathewson and S Uda, 1983 An Integro-Differential Approach to Eddy Currents in Thin Plates IEEE Transactions on Magnetics, Vol.Mag-19, No.6 AUTHOR INFORMATION Le Duc Tung School of Electrical Engineering, Hanoi Unviversity of Science and Technology LỜI CẢM ƠN Nghiên cứu tài trợ Bộ Giáo dục Đào tạo đề tài mã số B2018-BKA-11-CtrVL TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Salon, Sheppard, and M V K Chari, 1999 Numerical methods in electromagnetism Academic Press [2] G Meunier, 2008 The Finite Element Method for Electromagnetic Modeling Wiley [3] Maxwell ANSYS Canonsburg, USA Available: www.ansys.com [4] Flux Cedrat Meylan, France [Online] Available: www.cedrat.com [5] C Hoer, C Love, 1965 Exact Inductance Equations for Rectangular Conductors With Applications to More Complicated Geometries Journal of Research of the national Bureau of Standards-C Engineering and Instrumentation, Vol 69C, No 2, 127-137, 1965 [6] De Camillis L., Ferranti F., Antonini G., Vande Ginste D., De Zutter D., 2012 Parameterized Partial Element Equivalent Circuit Method for Sensitivity Analysis of Multiport Systems IEEE Transactions on Components, Packaging and Manufacturing Technology, Vol.2, No.2, pp 248-255 [7] T Le-Duc, G Meunier, O Chadebec, J-M Guichon and J.P.A Bastos, 2013 General Integral Formulation for the 3D Thin Shell Modeling IEEE Transactions on Magnetics, Vol 49, No 5, pp 1989-1992 [8] T Le-Duc, O Chadebec, J-M Guichon, G Meunier and Y Lembeye, 2013 Coupling between Partial Element Equivalent Circuit Method and Magnetic Moment Method The International Journal for Computation and Mathematics in Electrical and Electronic Engineering (COMPEL), Vol 32, No 1, pp 383-395 [9] K Ishibashi, Z Andjelic, D Pusch, 2010 Nonlinear Eddy Current Analysis by BEM Minimum Order Formulation IEEE Transaction on Magnetics, vol 46, no 8, pp 3085-3088 Website: https://tapchikhcn.haui.edu.vn Vol 56 - No (June 2020) ● Journal of SCIENCE & TECHNOLOGY 39 ... làm cho vi? ??c giải phương trình máy tính điện tử khó khăn chí khơng thể thực Bài báo phát triển công thức lai kết hợp phương trình vi phân tích phân dựa véc- tơ điện để mô điện từ cấu trúc có dạng... PHƯƠNG PHÁP LAI TÍCH PHÂN - VI PHÂN Công thức phát triển dựa nghiên cứu S.J Salon [11] Tuy nhiên, cơng thức [11] có nhược điểm áp dụng cho cấu trúc dạng phẳng Trong phần này, tác giả phát triển hệ... đĩa mỏng độ sâu bề mặt phải nhỏ 0,5 (e/ < 0,5) KẾT LUẬN Bài báo giới thiệu, phát triển cơng thức lai, kết hợp phương trình tích phân vi phân để giải tốn điện từ có cấu trúc dạng vỏ mỏng dẫn điện