Mô hình bài toán trường điện từ trong hệ thống điện, máy điện và thiết bị điện là một chủ đề thiết thực và mang tính thời sự với các nhà nghiên cứu và chế tạo, đặc biệt với bài toán với mô hình có cấu trúc dạng dây. Hầu hết các bài toán điện từ đều được mô tả bởi hệ phương trình Maxwell và các luật trạng thái. Đây là các phương trình đạo hàm riêng được viết dưới dạng tích và vi phân, mô tả sự phân bố của trường điện từ trong không gian và biến đổi theo thời gian. Để phân tích được bài toán điện từ, trong bài báo này, nhóm tác giả đã áp dụng phương pháp tích phân số để tính toán sự phân bố của từ trường và dòng điện cảm ứng trên vòng dây, nơi mà nếu áp dụng trực tiếp phương pháp phần tử hữu hạn hay phương pháp sai phân hữu hạn sẽ gặp rất nhiều khó khăn, vì số bậc tự do lớn dẫn đến kích thước ma trận lớn và thời gian tính toán lớn. Kết quả đạt được từ phương pháp sẽ được so sánh với kết quả mô phỏng từ phần mềm thương mại.
SCIENCE - TECHNOLOGY P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 TÍNH TỐN ĐIỆN TỪ TRƯỜNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN SỐ - ỨNG DỤNG CHO BÀI TỐN CĨ CẤU TRÚC DẠNG DÂY CALCULATION OF ELECTROMAGNETICS BY AN PARTIAL ELEMENT EQUIVALENT CIRCUIT METHOD APPLICATION TO THE WINDING STRUCTURE Phạm Hồng Hải, Lê Đức Tùng*, Đặng Quốc Vương, Phạm Văn Bình TĨM TẮT Mơ hình toán trường điện từ hệ thống điện, máy điện thiết bị điện chủ đề thiết thực mang tính thời với nhà nghiên cứu chế tạo, đặc biệt với toán với mơ hình có cấu trúc dạng dây Hầu hết tốn điện từ mơ tả hệ phương trình Maxwell luật trạng thái Đây phương trình đạo hàm riêng viết dạng tích vi phân, mơ tả phân bố trường điện từ không gian biến đổi theo thời gian Để phân tích tốn điện từ, báo này, nhóm tác giả áp dụng phương pháp tích phân số để tính tốn phân bố từ trường dòng điện cảm ứng vòng dây, nơi mà áp dụng trực tiếp phương pháp phần tử hữu hạn hay phương pháp sai phân hữu hạn gặp nhiều khó khăn, số bậc tự lớn dẫn đến kích thước ma trận lớn thời gian tính tốn lớn Kết đạt từ phương pháp so sánh với kết mơ từ phần mềm thương mại Từ khố: Trường điện từ, dòng điện cảm ứng, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp PEEC ABSTRACT Modeling of electromagnetic problems in electrical systems, machines and devices are a practical subject and importance for researchers and manufactures, specially for the problem getting a line winding structure The electromagnetic problems are almost presented the set of Maxwell equations and their behaviors These are partial differential equations written as differential and integral, described distributions of electromagnetic fields in the space and variation in time In order to analyze this problem, in this paper, a partial element equivalent circuit is applied to compute distributions of electromagnetic fields and induction currents in turn windings, where occuring some difficuilties as applying directly by a finite element method or a finite differential method, because of the big degree of freedoms, leading to a big size of matric and spending a lot of time for computation The obtained results will be compared with the simulation results of commercial software Keywords: Electromagnetics, Induction current, finite element method, partial element equivalent circuit Viện Điện, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội * Email: tung.leduc1@hust.edu.vn Ngày nhận bài: 18/02/2020 Ngày nhận sửa sau phản biện: 26/3/2020 Ngày chấp nhận đăng: 24/4/2020 Website: https://tapchikhcn.haui.edu.vn KÝ HIỆU FEM Phương pháp phần tử hữu hạn PEEC Phương pháp mạch điện thay tương đương MOM Phương pháp mômen BEM Phương pháp phần tử biên ĐẶT VẤN ĐỀ Như biết, thiết bị điện có cơng suất lớn (trạm biến áp phân phối, trạm thu, trạm phát…) tồn phổ biến khu đô thị, khu dân cư, khu công nghiệp Các thiết bị điện thường hoạt động điện áp lớn, dòng điện cao sinh điện từ trường, gây nhiễu loạn, ảnh hưởng đến thiết bị điều khiển, thiết bị điện tử…, chí ảnh hưởng trực tiếp đến đến sức khỏe người Do đó, việc tính tốn xác mô tranh điện từ trường, để từ đề xuất giải pháp giảm, ngăn ngừa chúng câu trả lời cần thiết có nhiều ý nghĩa thực tiễn Để phân tích, tính tốn mô tượng điện từ, nhà nghiên cứu, thiết kế sử dụng phương pháp giải tích phương pháp số khác [1 - 3] Với thiết bị điện có cấu trúc hình học đơn giản, người ta xác định đáp án giải tích xác Tuy nhiên, thực tế chứng minh với cấu trúc thiết bị điện phức tạp, phương pháp giải tích khơng thể thực mà phải giải tìm nghiệm gần phương pháp số Các phương pháp số ứng dụng phổ biến mơ tính tốn trường điện từ: Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), phương pháp sai phân hữu hạn (FDM), phương pháp phần tử biên (BEM) phương pháp tích phân số (IEM)… Trong đó, phương pháp FEM phương pháp thông dụng [1, 4] Ưu điểm phương pháp tính tổng qt, có khả mơ thiết bị có cấu trúc khác từ nhiều vật liệu (dẫn điện, cách điện, vật liệu từ,…) Vol 56 - No (Apr 2020) ● Journal of SCIENCE & TECHNOLOGY 33 KHOA HỌC CÔNG NGHỆ P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 dạng tốn tuyến tính lẫn phi tuyến Tuy nhiên, nhược điểm phương pháp FEM khó khăn việc tính tốn với loại thiết bị có cấu trúc dạng vỏ mỏng đặc biệt cấu trúc dạng dây Mơ hình hóa dây dẫn: từ trường thay đổi nhiều vùng lân cận bên dây dẫn, việc mô trường điện từ gần vật dẫn có xét đến hiệu ứng bề mặt (skin effect) hiệu ứng gần (proximity effect) tạo phương trình phần tử hữu hạn với số bậc tự lớn, dẫn tới cấu trúc ma trận tính tốn lớn Nếu áp dựng phương pháp FEM để giải, yêu cầu máy tính có hình lớn chi phí tốn chí khơng thể thực Để khắc phục khó khăn này, nhóm tác giả áp dụng phương pháp tích phân số, kể đến phương pháp PEEC để nghiên cứu điện từ trường thiết bị có cấu trúc dạng dây [2, 3] Ưu điểm phương pháp nằm chỗ khơng phải chia lưới vùng khơng khí bao quanh (như phương pháp FEM) đối tượng tính tốn giảm thời gian khối lượng tính tốn Mạch điện thu tiếp tục tính tốn… từ tượng điện từ thiết bị điện nghiên cứu hệ thống có tính đến ảnh hưởng thiết bị điện khác MƠ HÌNH HỐ TRƯỜNG ĐIỆN TỪ 2.1 Phương pháp tích phân số Như phân tích phần 1, phương pháp tích phân số khơng tổng quát phương pháp FEM Tuy nhiên, phương pháp thích hợp mơ thiết bị điện có dạng phức tạp có nhiều khơng khí bao quanh Một phương pháp tích phân số ưa thích nhà nghiên cứu là: phương pháp PEEC Phương pháp PEEC phát triển Ruehli [5], phương pháp số thích hợp cho tốn trường điện từ có xét đến ảnh hưởng tương thích điện từ (EMC) nhiễu điện từ EMI… Phương pháp cho phép mô tượng điện từ bao gồm thành phần điện trở, điện cảm, hỗ cảm, điện dung (RLMC) mà giá trị phần tử RLMC tính tích phân [3] Xét mơ hình tốn học xạ điện trường E xét thể tích dây dẫn Nb đặt gần nguồn điện từ khơng khí, áp dụng phương pháp PEEC, ta có: ( , )= ( , ) + ( , ) + ∇Φ( , ), ( ) = ( ) = ∫ , (2) đó: r khoảng cách điểm lấy tích phân điểm P (điểm xét sợi dẫn j), Ij cường độ dòng điện vật dẫn j, Sj diện tích mặt cắt sợi dẫn j Vj thể tích sợi dẫn Điện tạo dòng điện Ij qua phần sợi dẫn k tính: Φ = ∙ ∫ = (3) ∫ ∫ Hệ số hỗ cảm sợi dây dẫn xác định bởi: = = ∫ ∫ (4) Hệ số hỗ cảm phụ thuộc vào kích thước vị trí hai sợi dẫn k j, tính giải tích Điện áp dây dẫn k xác định: = đó, ∙ + ∑ , tần số góc, (5) nội trở sợi dẫn k 2.2 Sự hỗ cảm hai sợi dây đồng trục Xét hai cuộn dây đồng trục L1 L2 (hình 1) mang điện đặt gần khơng khí Cơng thức (4) cho thấy hỗ cảm không bị ảnh hưởng vật liệu mà phụ thuộc vào dòng điện tính chất hình học hệ thống Ở tần số thấp, độ hỗ cảm thay đổi mặt cắt ngang Áp dụng công thức Neumann [6], độ hỗ cảm hai dây dẫn L1 L2 xác định: = ∬ , (6) đó, r khoảng cách dL1 dL2 độ từ thẩm cuộn dây (1) đó: cường độ điện trường, J mật độ dòng điện vật dẫn, A véc tơ từ thế, Φ véc tơ điện vô hướng độ dẫn điện vật dẫn Một dây dẫn có diện tích mặt cắt ngang khơng đổi dọc theo chiều dài coi bó sợi song song, sợi dẫn có diện tích mặt cắt ngang mang dòng điện Mật độ dòng J giả định không đổi dọc theo chiều dài sợi dẫn thay đổi từ sợi dẫn sang sợi dẫn khác Phương trình véc tơ từ dòng sợi dẫn j gây xác định: 34 Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ ● Tập 56 - Số (4/2020) Hình Hai cuộn dây đồng trục L1 L2 với mặt cắt hình chữ nhật Theo hệ tọa độ trụ, cuộn dây quấn chặt chẽ cách điện vòng dây tương đối mỏng Dòng điện cuộn dây xem phân bố toàn mặt cắt với mật độ dòng điện JI JII Khi đó, độ hỗ cảm cuộn dây đồng trục có mặt cắt hình chữ nhật có số vòng N1 N2 xác định: Website: https://tapchikhcn.haui.edu.vn SCIENCE - TECHNOLOGY P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 ∫ ∫ = = ∫ ( ( ∫ ∫ )( )( − ) + + )( (7a) ) −2 ℎ = cos (7b) Để đảm bảo tính xác độ tin cậy cơng thức tính độ hỗ cảm (7a-b) thu từ phương pháp tích phân, sử dụng phương pháp Filament để chia cuộn dây thành nhiều sợi tròn đồng trục để tính độ hỗ cảm hai cuộn dây tròn có tiết diện hình chữ nhật, là: = với 1− =( ) ( )− ( ) , = , − = , ,ℎ = ( , )= + ( − ) , +( = − , … ,0, … , , ) , = − , … ,0, … , BÀI TOÁN ÁP DỤNG Xét hệ thống gồm kháng điện pha sử dụng để hạn chế dòng điện điện ngắn mạch phía thứ cấp trạm biến áp phân phối (hình 3) (8) Trong đó: E K tích phân đường elip loại loại hai xác định: =∫ =∫ / (1 − ) / , ) / ( / (9a-b) Hình Mơ hình chia lưới cuộn dây Do kích thước cuộn dây hữu hạn, nên chia cuộn thành lưới gồm nhiều sợi dây hình Mặt cắt ngang cuộn chia thành (2N + 1) × (2K + 1) (2n + 1) × (2m + 1) ô Mỗi ô mặt cắt chứa sợi dòng điện sợi dây Theo công thức (7a-b), hỗ cảm cặp sợi dây công thức xác định: = ∑ ∑ ( ∑ )( ∑ )( Hình Mơ hình cuộn kháng pha vòng ngắn mạch Các thông số cuộn kháng cho sau: cuộn có dòng điện ia = 1000 sin (A), cuộn có ib = 1000 sin ( + 120 ) (A), cuộn có ic = 1000 sin ( − 120 ) (A), đường kính ngồi e = 1,6m, đường kính i = 0,74 m, độ dày e0 = 0,5m, khoảng cách cuộn ent = 1,4m Thông số vòng ngắn mạch (vòng chắn từ) có thơng số: rs = 9,25mm (bán kính mặt cắt), điện trở suất = 3,03 10 Ω Từ mơ hình cuộn kháng, sơ đồ mạch điện thay tương đương xác định theo hình rs = () 1− ( , , ,) ) rb (ℎ) = + ()= + ( , , ,) ( , ℎ, , ) − ( ( , ℎ, , )) ( ) ( , ℎ, , ) = ( ) ( ) ( ) () () ( , ) = − , … ,0, … , , Website: https://tapchikhcn.haui.edu.vn U Mboucle/plaque , Boucle , ℎ, với ℎ = − , … ,0, … , , , với Mboucle/bobine , (10) đó: ( ) R Section ( , , ,) )( Lpropre Hình Mạch điện thay tương đương Nội trở vòng dây ngắn mạch xác định: = (11) Vol 56 - No (Apr 2020) ● Journal of SCIENCE & TECHNOLOGY 35 KHOA HỌC CÔNG NGHỆ P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 Độ tự cảm vòng dây: = ⋅ [ ( ) − 2] + (12) Hỗ cảm điện kháng với vòng dây chắn từ [3]: ò / ộ =( )( ) ∑ ∑ ( , ), (13) đó: (, )= ()= () ⋅ (, ) 2− , (, )=( + ( )= + , ℎ = − (, ) ( ) , −2 ⋅ ( ) , () ( )) = ( ) , Để giải hệ phương trình (14), trước tiên, tốn kiểm tra phương pháp phần tử hữu hạn mơ hình 2D (hình 5a) để làm tham chiếu so sánh kết Sự phân bố từ trường dòng điện chạy cuộn kháng tạo biểu diễn hình 5b Độ xác kết phụ thuộc vào số lượng phần tử chia lưới mô hình hay gọi số bậc tự do, số lượng phần tử lớn độ xác cao, đòi hòi thời gian tính tốn lớn Hình mơ tả phân bố từ trường mặt cắt vòng dây chắn từ, giá trị dòng điện cảm ứng vòng dây chắn từ 718,06 + j1890,66 (A) Mơ hình tốn của cuộn kháng thiết lập với hệ phương trình sau: = + = ( + + ) (14) ỗ ả ò ắ ỗ ả = ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ a) b) Hình Mơ hình cuộn dây 2D (a), phân bố từ trường phương pháp FEM 2D (b) 36 Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ ● Tập 56 - Số (4/2020) Hình Sự phân bố từ trường mặt cắt vòng dây chắn từ Tiếp theo, tốn giải phương pháp tích phân số PEEC, nhóm tác giả sử dụng ngơn ngữ Matlab để tính tốn mơ kết Giá trị dòng điện cảm ứng vòng chắn từ đạt phương pháp PEEC (hình 7) 719,21 + j1889,32 (A) Hình Kết áp dụng tính toán phương pháp PEEC Website: https://tapchikhcn.haui.edu.vn SCIENCE - TECHNOLOGY P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 Bảng Kết so sánh dòng điện cảm ứng vòng chắn phương pháp khác Dòng điện cảm ứng vòng chắn Ivòng dây Phương Sai số Thời gian Thời gian Phương pháp FEM pháp PEEC tính tốn tính tốn (PEEC) 2D (FEM 2D) 718,06 + j1890,66 719,21 + j1889,32 0,04% 2s 0,2s Dựa vào bảng 1, nhận thấy rằng, kết đạt từ phương pháp PEEC kiểm chứng với kết đạt từ phương pháp FEM với mơ hình 2D Giá trị sai số hai phương pháp nhỏ 1% Điều chứng tỏ, giá trị đạt từ phương pháp PEEC đáng tin cậy Để khảo sát thêm, hình thể từ trường dọc trục cắt qua mặt phẳng có vòng ngắn mạch trường hợp (có/khơng có vòng ngắn mạch) phương pháp FEM với mơ hình 2D Có thể nhận thấy rằng, từ trường tập trung mặt phẳng có chứa vòng ngắn mạch giảm nhanh khoảng cách tăng lên Ở khoảng cách 1m xa khỏi mặt phẳng có vòng mạch, từ trường giảm cỡ 1mT LỜI CẢM ƠN Nghiên cứu tài trợ Bộ Giáo dục Đào tạo đề tài mã số B2018-BKA-11-CtrVL TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] B Stoev, G Todorov, P Rizov, G Pagiatakis, and L Dritsas, 2017 Finite element analysis of rotating electrical machines - An educational approach IEEE Glob Eng Educ Conf EDUCON, no April, pp 262–269 [2] T Le-Duc, O Chadebec, J-M Guichon, G Meunier and Y Lembeye, 2013 Coupling between Partial Element Equivalent Circuit Method and Magnetic Moment Method The International Journal for Computation and Mathematics in Electrical and Electronic Engineering (COMPEL), Vol 32, No 1, pp 383-395 [3] T Le-Duc, G Meunier, O Chadebec, J-M Guichon and L Krähenbühl, 2013 A Simple Integral Formulation for the Modeling of Thin Conductive Shells The European Physical Journal Applied Physics (EPJ-AP), Vol.62, Iss.2 [4] V S - and G S., 2011 Calculation of Electromagnetic Fields in Electrical Machines using Finite Elements Method Int J Eng Ind., vol 2, no 1, pp 21–29 [5] C Hoer and C Love, 1965 Exact inductance equations for rectangular conductors with applications to more complicated geometries J Res Natl Bur Stand Sect C Eng Instrum., vol 69C, no 2, p 127 [6] M V K C Salon, Sheppard, 1999 Numerical Methods in Electromagnetism [7] A E Ruehli, 1974 Equivalent Circuit Models for Three-Dimensional Multiconductor Systems IEEE Trans Microw Theory Tech., vol 22, no 3, pp 216–221 [8] G Zhong and C K Koh, 2002 Exact closed form formula for partial mutual inductances of on-chip interconnects Proc - IEEE Int Conf Comput Des VLSI Comput Process., pp 428–433 AUTHORS INFORMATION Pham Hong Hai, Le Duc Tung, Dang Quoc Vuong, Pham Van Binh School of Electrical Engineering, Hanoi Unviversity of Science and Technology Hình Sự phân bố từ trường dọc trục cắt qua mặt phẳng có vòng chắn từ KẾT LUẬN Phương pháp tích phân số PEEC với “source code Matlab” nhóm tác giả áp dụng thành cơng việc tính tốn, mơ từ trường dòng điện cảm ứng vòng chắn (bảng 1) Phương pháp ưu điểm giảm thời gian khối lượng tính tốn Kết đạt từ phương pháp cho nhà nghiên cứu nhận biết phạm vi ảnh hưởng trường điện từ thiết bị xung quanh đặc biệt thể người tham gia quản lý vận hành Các kết so sánh với kết đạt từ phần mềm thương mại dựa phương pháp phần tử hữu hạn Đây sở để minh chứng cho hướng đắn nghiên cứu tạo tiền đề cho nghiên cứu tổng quát Website: https://tapchikhcn.haui.edu.vn Vol 56 - No (Apr 2020) ● Journal of SCIENCE & TECHNOLOGY 37 ... TRƯỜNG ĐIỆN TỪ 2.1 Phương pháp tích phân số Như phân tích phần 1, phương pháp tích phân số khơng tổng quát phương pháp FEM Tuy nhiên, phương pháp thích hợp mơ thiết bị điện có dạng phức tạp có. .. khó khăn này, nhóm tác giả áp dụng phương pháp tích phân số, kể đến phương pháp PEEC để nghiên cứu điện từ trường thiết bị có cấu trúc dạng dây [2, 3] Ưu điểm phương pháp nằm chỗ khơng phải chia... khí bao quanh Một phương pháp tích phân số ưa thích nhà nghiên cứu là: phương pháp PEEC Phương pháp PEEC phát triển Ruehli [5], phương pháp số thích hợp cho tốn trường điện từ có xét đến ảnh hưởng