Rèn luyện kĩ năng đặt ẩn phụ và khả năng chuyển đổi cách phát biểu bài toán cho học sinh khi dạy học giải các bài toán có chứa tham số

Trong bài viết này tác giả trình bày về một số phương thức mà giáo viên có thể sử dụng góp phần giúp học sinh rèn luyện kĩ năng đặt ẩn phụ và khả năng chuyển đổi cách phát biểu bài toán,...

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Sci., 2015, Vol 60, No 8A, pp 53-63 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn DOI: 10.18173/2354-1075.2015-0165 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG ĐẶT ẨN PHỤ VÀ KHẢ NĂNG CHUYỂN ĐỔI CÁCH PHÁT BIỂU BÀI TOÁN CHO HỌC SINH KHI DẠY HỌC GIẢI CÁC BÀI TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ Nguyễn Hữu Hậu Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức Tóm tắt Trong viết tác giả trình bày số phương thức mà giáo viên sử dụng góp phần giúp học sinh rèn luyện kĩ đặt ẩn phụ khả chuyển đổi cách phát biểu tốn, phân tích tình điển hình có liên quan đến việc chuyển tốn sang tốn tương đương khó khăn, sai lầm học sinh xung quanh vấn đề này, đồng thời đưa gợi ý phương pháp dạy cho học sinh kĩ biến đổi tương đương phương trình có chứa tham số; kĩ ý thức phát mối quan hệ tương hỗ hai biến lượng theo định hướng hoạt động hoá người học Từ khóa: ẩn phụ; tham số, biến đổi tương đương Mở đầu Giải tốn q trình đòi hỏi tư nhạy bén tốn thật đa dạng phong phú Đứng trước toán vận dụng thuật giải biết khơng tìm hướng giải học sinh cần phải thay đổi tư Trong [3; 70] cho “thành công giải tập nhờ xác định phương hướng xác, nhờ vào biết cơng đồn phía Mà muốn tìm phương hướng đúng, phía cơng đồn phải thử nghiệm đủ mặt, phía tức phải biến đổi vấn đề” Một phương pháp hay sử dụng nhằm giải tốn có chứa tham số, đặt ẩn phụ Việc đặt ẩn phụ (khác với ẩn cho) nhằm chuyển toán dạng khác với mong muốn toán với ẩn (ẩn phụ) dễ giải toán cho, tác giả [1; 394] đưa yêu cầu sư phạm cho giáo viên định hướng cho học sinh giải tốn “có thể phát biểu tốn cách khác hay khơng? cách khác nữa?” Phát cách thức đặt ẩn phụ nghệ thuật, đòi hỏi người làm tốn phải quan sát kĩ ra, vận dụng mối liên hệ toán, huy động kiến thức, kinh nghiệm có Tuy nhiên, sau phát cách thức đặt ẩn phụ cần đặt điều kiện cho ẩn phụ, phát mối tương quan ẩn phụ ẩn ban đầu, để từ chuyển đổi yêu cầu toán ẩn ban đầu sang ẩn phụ Tìm điều kiện cho ẩn phụ, chuyển đổi cách phát biểu Ngày nhận bài: 05/07/2015 Ngày nhận đăng: 06/10/2015 Liên hệ: Nguyễn Hữu Hậu, e-mail: hauncsthanhhoa@gmail.com 53 Nguyễn Hữu Hậu tốn khâu quan trọng q trình giải tốn có tham số phương pháp đặt ẩn số phụ, định đến hay sai lời giải toán, tác giả G.Polia cho “khi chuyển từ điều kiện ban đầu sang điều kiện hẹp hơn, bị nghiệm chuyển sang điều kiện rộng nhận nghiệm thừa, thứ yếu khác hẳn với tốn ban đầu” [3; 67] Chính lẽ mà “khi làm tốn liên quan đến tư hàm, học sinh hay sai lầm việc phát hiện, thiết lập tương ứng đối tượng tham gia toán, đặc biệt bật toán hàm số, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có chứa tham số, cần đặt ẩn phụ” [6; 45] 2.1 Nội dung dung nghiên cứu Một số khó khăn sai lầm học sinh việc đặt điều kiện cho ẩn phụ, chuyển đổi cách phát biểu toán giải vấn đề phương trình có chứa tham số Phương pháp giải phương trình cách đặt ẩn phụ hay sử dụng Với tốn phương trình có chứa tham số giải việc đặt ẩn số phụ học sinh thường gặp nhiều khó khăn, đặc biệt việc đặt điều kiện cho ẩn phụ chuyển đổi cách phát biểu toán ban đầu sang toán với ẩn phụ Ở mục nêu số khó khăn sai lầm học sinh giải vấn đề * “Khi đặt ẩn phụ thường lãng quên việc đặt điều kiện ẩn phụ, cho rằng, phương trình f (x) = có nghiệm phương trình g(t) = có nghiệm, g(t) biểu thức thu từ f(x) thông qua phép đặt ẩn phụ t = ϕ(x) Nói cách khác, phương trình xuất phát có dạng f [g(x)] = HS thường đặt t = g(x) để đưa phương trình f (t) = 0, quan niệm rằng, phương trình f [g(x)] = có nghiệm phương trình f (t) = có nghiệm” [6; 51] Với tốn giải phương trình khơng chứa tham số khơng thiết phải đặt điều kiện cho ẩn phụ thật xác, việc giúp ta loại bỏ trường hợp vô nghiệm Chẳng hạn, √ ta đặt ẩn phụ: u = x + √ với điều kiện: x > x Khi theo bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, ta có: u= √ √ √ x+ √ ≥2 x √ = 2 x x √ Vậy điều kiện xác u ≥ 2, điều kiện thừa là: u > Giả sử phương trình với ẩn u có nghiệm: u = u = Rõ ràng hai nghiệm thỏa mãn điều kiện thừa u > 0, tất nhiên quay trở lại giải để tìm ẩn ban đầu giá trị u = vô nghiệm Nếu đặt điều kiện xác loại giá trị u = Tuy nhiên, tốn có chứa tham số kiên phải đặt xác điều kiện ẩn phụ, toán tiến hành ẩn phụ Do học sinh học phương trình khơng chứa tham số quen với việc khơng đặt điều kiện cho ẩn phụ có đặt khơng thật xác, nên thường dẫn đến sai lầm tìm điều kiện ẩn phụ tốn có chứa tham số 54 Rèn luyện kĩ đặt ẩn phụ khả chuyển đổi cách phát biểu tốn Với tốn có chứa tham số mà giải phương pháp đặt ẩn số phụ t = ϕ(x), việc tìm điều kiện cho ẩn phụ thực chất tìm miền giá trị hàm số t = ϕ(x)với x thuộc miền xác định toán Đặt điều kiện ẩn phụ điều kiện tiên việc giải phương trình cho Tuy nhiên, “học sinh đưa điều kiện cần t, chưa phải điều kiện cần đủ t để phương trình t = ϕ(x) có nghiệm theo ẩn x” [4], xin trích dẫn số sai lầm cụ thể việc đặt điều kiện khơng thật xác: +) Đặt u = 2sin x với x ∈ R, học sinh thấy hàm số dương, nên đặt điều kiện là: u > +) Đặt u = không (4 − x)(x + 2), học sinh đặt điều kiện u ≥ bậc hai ln dương +) Với tốn: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x thỏa mãn ≤ x ≤ 1: 2 m.92x −x − (2m + 1)62x −x + m42x −x ≤ f (x) 2x −x = Để giải toán học sinh đặt ẩn phụ: t = 2 Sẽ khơng học sinh sai lầm đặt điều kiện t > 0, t hàm số mũ Với học sinh ý thức việc x ∈ [0; 1] nên suy luận: f (0) ≤t≤ f (1) ⇔ 1≤t≤ học sinh sai lầm cho rằng: f (0) ≤ f (x) = 2x2 − x ≤ f (1)” Ngoài sai lầm đặt điều kiện ẩn phụ khơng xác giải phương trình phương pháp đặt ẩn số phụ, học sinh thường gặp sai lầm phát biểu chuyển đổi yêu cầu toán từ ẩn ban đầu sang ẩn phụ “Một sai lầm phổ biến học sinh thường mang yêu cầu toán ẩn ban đầu sang áp dụng cho ẩn phụ” [6; 53] Xét tốn: Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x4 − 2mx2 + m + 12 = (2.1) Để tiến hành giải phương trình học sinh đặt ẩn phụ: t = x2 , điều kiện: t ≥ Được: t2 − 2mt + m + 12 = (2.2) Thực tiễn dạy học rõ có nhiều học sinh chuyển đổi yêu cầu tốn: Để phương trình (2.1) có nghiệm phân biệt phương trình (2.2) phải có nghiệm phân biệt Chính việc chuyển đổi sai lầm nẩy sinh mâu thuẫn kiến thức học sinh học giải vấn đề phương trình bậc mà lại có đến nghiệm phân biệt Cũng có số học sinh ý thức tốn phát biểu: Để phương trình (2.1) có nghiệm phân biệt phương trình (2.2) phải có nghiệm phân biệt thỏa mãn t ≥ Học sinh sai lầm không ý thức tương quan nghiệm không nhận vấn đề phương trình (2.2) có nghiệm thỏa mãn u cầu là: Có nghiệm nghiệm dương, nhiên lúc phương trình (2.1) có nghiệm - tức khơng thỏa mãn u cầu tốn 55 Nguyễn Hữu Hậu Có học sinh gặp phải kiểu sai lầm nêu trên, đáp số cuối Phải tinh ý phát sai lầm khâu suy luận Chẳng hạn Bài tốn: Tìm m để phương trình (x − 2)(x + 2) + 3(x − 2) có nghiệm Sau nêu điều kiện x = x+2 = m(m + 3) x−2 x+2 ≥ Tương đương x > x ≤ −2, nhiều x−2 x+2 để đưa phương trình u2 + 3u = m2 + 3m; phương trình x−2 trở thành u2 + 3u − (m2 + 3m) = học sinh đặt u = (x − 2) Do nhận thấy ∆ = + 4(m2 + 3m) = 4m2 + 12m + = (2m + 3)2 ≥ với m, nên học sinh kết luận rằng: Với m phương trình ln có nghiệm Thực ra, lập luận chưa hoàn toàn chặt chẽ (mặc dầu đáp số đúng) Học sinh chưa rằng, với t0 phương trình (x − 2) x+2 x−2 = t0 ln có nghiệm ẩn x Cũng cần nói thêm, việc chứng minh với t0 bất kì, phương trình (x − 2) có nghiệm khơng hồn tồn đơn giản 2.2 x+2 = t0 x−2 Một số phương thức nhằm rèn luyện kĩ đặt ẩn phụ khả chuyển đổi cách phát biểu toán cho học sinh 2.2.1 Chỉ rõ cho học sinh thấy tầm quan trọng việc tìm điều kiện cho ẩn phụ * Tìm điều kiện cho ẩn phụ gì? Với học sinh nắm kiến thức khơng vững việc trả lời câu hỏi: Tìm điều kiện cho ẩn số phụ làm gì? Cũng khó khăn, nên họ khơng hiểu hoạt động thứ rao giảng giáo viên trở nên vô ích Như trình giảng dạy giáo viên cần rõ cho học sinh thấy: Tìm điều kiện cho ẩn phụ thực chất “tìm miền giá trị hàm t = ϕ(x) (biểu thức đặt ẩn phụ), với x thuộc miền xác định mà toán cho” [2; 6] Hay nói cách khác tìm điều kiện ẩn phụ tức với giá trị x, xác định miền giá trị t Để giúp học sinh hiểu việc tìm điều kiện ẩn số phụ, giáo viên đưa ví dụ đơn giản, chẳng hạn: “Tìm miền giá trị ẩn phụ: t = x2 ; t = |x|; ” * Giúp học sinh ý thức việc tìm điều kiện cho ẩn phụ Khi giải phương trình khơng chứa tham số, học sinh tự nhận thấy việc đặt điều kiện cho ẩn phụ thật không cần thiết lắm, sau giải ẩn phụ quay tìm ẩn ban đầu điều kiện bước đệm giúp loại ẩn phụ không thỏa mãn mà Học sinh thấy việc đặt điều kiện bỏ qua, đặt thừa điều kiện cho ẩn phụ, chẳng hạn: Ví dụ 1: Giải phương trình: tan4 x + cot4 x = 8(tan x + cot x)2 − Đặt ẩn phụ: u = tan2 x + cot2 x Tới học sinh đặt điều kiện cho ẩn phụ khơng Nếu đặt điều kiện học sinh đặt là: 56 Rèn luyện kĩ đặt ẩn phụ khả chuyển đổi cách phát biểu toán Điều kiện: u ≥ (Tìm thừa điều kiện cho ẩn phụ) Điều kiện: u ≥ (Tìm điều kiện cho ẩn phụ) Tiếp tục tiến hành giải, với cách đặt ẩn phụ ta thu phương trình: u2 −8u−9 = u = −1; u = Từ phải trở tìm ẩn cho x nên buộc phải giải phương trình: u = tan2 x+cot2 x Nên với u = −1 không tồn x, với u = ta có: tan2 x + cot2 x = Điều kiện: sin x = 0, cos x = (*) hay x = Khi sin4 x + cos4 x = sin2 x cos2 x tương đương cos 4x = cos α = 11 π α ± +k α π Đối chiếu điều kiện (*) ta có nghiệm phương trình là: x = ± + k Như vậy, không đặt điều kiện cho ẩn phụ u tốn giải đúng, đặt điều kiện cho ẩn phụ u ≥ dẫn tới loại trường hợp u = −1 Nếu đặt điều kiện cho ẩn phụ xác giúp loại trường hợp u = −1 mà thơi Chính tốn khơng chứa tham số làm cho học sinh “thờ ơ” với bước đặt điều kiện ẩn phụ, họ đặt khơng, đặt thừa điều kiện ẩn phụ mà không ảnh hưởng đến lời giải toán lối suy nghĩ dễ dẫn học sinh đến sai lầm tốn phương trình có chứa tham số Bởi dạng tốn phương trình có chứa tham số điều kiện kiên ảnh hưởng đến lời giải điều kiện ẩn phụ, điều kiện ẩn phụ sở cho lập luận, toán - toán ẩn phụ Khi đặt ẩn phụ tốn khơng chứa tham số sau tìm ẩn phụ phải quay lại tìm ẩn ban đầu nên việc đặt điều kiện cho ẩn phụ khơng thật quan trọng, với tốn chứa tham số sau đặt ẩn phụ yêu cầu toán chuyển sang ẩn phụ tiến hành suy luận phương trình (phương trình ẩn phụ) Do vậy, giáo viên cần giúp học sinh nhận việc đặt điều kiện ẩn phụ có ảnh hưởng lớn đến lời giải toán, tác giả [2;7] nhắc nhở “với toán mà ẩn phụ dùng với tư cách ẩn thứ hai (bài tốn khơng trở với ẩn ban đầu) tuyệt đối phải đặt điều kiện cho ẩn phụ” Để góp phần giúp học sinh ý thức tầm quan trọng việc đặt điều kiện cho ẩn phụ thơng qua Ví dụ 1, giáo viên đưa hoạt động sau: Hoạt động: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: tan4 x + cot4 x = 8(tan x + cot x)2 + m − 18 (2.3) Bằng phương pháp đặt ẩn phụ là: u = tan2 x + cot2 x Ta được: u2 − 8u + m = (2.4) Đến giáo viên đưa lời giải tương ứng với cách đặt điều kiện, yêu cầu học sinh tìm lời giải Lời giải 1: (Khơng đặt điều kiện tham số) Phương trình (2.3) có nghiệm phương trình (2.4) có nghiệm: ∆′ = 16 − m ≥ ⇔ m ≤ 16 57 Nguyễn Hữu Hậu Lời giải 2: u = tan2 x + cot2 x, điều kiện: u ≥ Để phương trình (2.3) có nghiệm phương trình (2.4) phải có nghiệm thỏa mãn u ≥ Tương đương P = u1 u2 = m ≤   S = u1 + u2 = > P = u1 u2 = m >  ′ ∆ = 16 − m ≥ Tương đương < m ≤ 16 m ≤ ⇔ m ≤ 16 Lời giải 3: u = tan2 x + cot2 x, điều kiện: u ≥ Phương trình (2.3) có nghiệm phương trình (2.4) có nghiệm thỏa mãn u ≥ Để tìm tham số m cho phương trình (2.4) có nghiệm thỏa mãn u ≥ 2, ta dùng phương pháp đồ thị: Đồ thị (C1 ) : y = u2 − 8u, đồ thị (C2 ) : y = −m Khi nghiệm phương trình (2) giao điểm đồ thị (C1 ) (C2 ) Phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn u ≥ đồ thị (C2 ) cắt đồ thị (C1 ) điểm nằm phía phải đường thẳng x = Dựa vào đồ thị ta nhận thấy với m ≥ −16 (2) ln có nghiệm thoả mãn u ≥ Vậy để phương trình cho có nghiệm thì: m ≥ −16 Sau đưa lời giải giáo viên đặt câu hỏi nhằm giúp học sinh hoạt động, chẳng hạn: Nhận xét kết lời giải? Lời giải đắn lập luận xác? Tại lại phải đặt điều kiện chặt chẽ cho ẩn phụ với tốn có chứa tham số? 2.2.2 Khắc sâu mối tương quan ẩn ban đầu ẩn phụ Để giải phương trình, bất phương trình nhiều ta sử dụng phép đặt ẩn phụ t = ϕ(x), mối quan hệ ẩn ban đầu ẩn phụ thể thông qua hàm số ϕ Giáo viên cần giúp học sinh nhận mối tương quan t x, tức trả lời câu hỏi: với giá trị t có giá trị x tương ứng? Với giá trị x thuộc miền xác định tốn, tồn giá trị t, nhiên vấn đề mà ta cần quan tâm lại vấn đề ngược lại Trước hết, giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhận với giá trị ẩn phụ t tồn giá trị x tương ứng, điều giống tốn tìm điều kiện tham số t để phương trình t = ϕ(x) có nghiệm Học sinh cần trả lời câu hỏi: Với giá trị t để phương trình t = ϕ(x) tồn x? Với giá trị t t = ϕ(x) khơng tồn x? Thực chất cần tìm câu trả lời hai câu hỏi phủ định lại đáp án đáp án cho câu hỏi lại Khi đặt ẩn phụ với giá trị t dẫn đến tồn x, chẳng hạn phép đặt ẩn phụ: t = tan x; t = cot x; t = loga x; Tuy nhiên, √ cần lưu ý học sinh điều đúng, chẳng hạn phép đặt ẩn phụ: t = x2 + Học sinh đễ dàng nhận thấy điều kiện t là: t ≥ 0, với giá trị t < khơng tồn giá trị x tương ứng Tuy nhiên, kết luận chưa đầy đủ, chưa xác định hết giá trị t để không tồn x tương ứng Cần nhắc nhở học sinh biết xem 58 Rèn luyện kĩ đặt ẩn phụ khả chuyển đổi cách phát biểu toán √ xét biểu thức dấu căn, không nên suy luận đơn giản là: t = x2 + ≥ 0, √ nên với giá trị t ≥ tồn giá trị x tương ứng Ở học sinh đánh giá: x2 +1 ≥ ⇒ x2 + ≥ Nên t ≥ 1, với giá trị t ≥ tồn giá trị x tương ứng Do vậy, ngồi việc xem xét phép tốn, cần xem xét biểu thức phép toán: f (x) = t; 2f (x) = t; |f (x)| = t; Với phép đặt ẩn phụ ta chưa khẳng định với t ≥ tồn x, điều dẫn đến sai lầm Để tìm miền xác định t cần phải xem xét đến miền xác định f (x) Tiếp đến, học sinh cần nhận thấy giá trị t dẫn tới tồn x biểu thức t = ϕ(x), ứng với giá trị t cụ thể có giá trị x Sự tương ứng t x quan trọng tốn u cầu tìm giá trị tham số để phương trình có số nghiệm xác định Với phép đặt ẩn phụ t = ϕ(x), ϕ hàm đơn điệu miền giá trị t tương ứng − √ Chẳng hạn, với phép đặt ẩn phụ: t = x + = ϕ (x) Khi miền giá trị ẩn phụ là: > với x ∈ (−1; +∞) nên [0; +∞), hàm ϕ hàm số đồng biến do: ϕ ′ (x) = √ x+1 tương ứng x t − Thật vậy, với giá trị t0 thuộc miền xác định [0; +∞) tồn giá trị x tương ứng, là: x = t20 − Tất nhiên, mối tương quan ẩn ban đầu ẩn phụ − Bên cạnh có nhiều phép đặt ẩn phụ với giá trị ẩn phụ thuộc miền giá trị cho nhiều giá trị x tương ứng Chẳng hạn, phép đặt ẩn phụ: t0 = 2x +1 ⇔ x2 + = log2 t0 ⇔ x2 = log2 t0 − +) Với t0 = tồn giá trị x tương ứng x = +) Với t0 > tồn giá trị x tương ứng là: x = ± Vậy với t0 > tồn giá trị x tương ứng log2 t0 − Giáo viên cần nhắc nhở học sinh suy xét kĩ mối tương quan ẩn phụ ẩn ban đầu Bởi mối quan hệ phức tạp phong phú, xem xét khơng kĩ dẫn đến sai lầm khơng đáng có Một học sinh ý thức đầy đủ mối tương quan ẩn ban đầu ẩn phụ giúp học sinh lập luận xác ứng phó linh hoạt yêu cầu toán thay đổi Để xác định sâu mối tương quan ẩn ban đầu ẩn phụ giảng dạy giáo viên khơng nên dừng lại u cầu tốn mà đặt yêu cầu khác nhau, nhằm giúp học sinh phản ứng tốt trước kiểu toán giúp họ hiểu chắn mối tương quan ẩn ban đầu ẩn phụ Ví dụ 2: Cho phương trình: 2(x2 − 2x) + x2 − 2x + − m = (2.5) Với giá trị m phương trình cho có nghiệm Hướng dẫn tìm lời giải: Để giải phương trình ta dùng phép đặt ẩn phụ: t = câu hỏi cho học sinh: √ x2 − 2x + Giáo viên đặt Hãy miền xác định ẩn x? x2 − 2x + ≥ ⇔ ∀x ∈ R 59 Nguyễn Hữu Hậu Với giá trị x thuộc miền xác định miền giá trị t? t = √ x2 − 2x + Có thể nói biểu thức dấu căn? x2 − 2x + = (x − 1)2 + ≥ với x ∈ R Biểu thức dấu lớn với giá trị x ∈ R Có xác định giá trị lớn biểu thức dấu hay khơng? Khơng x dần tới +∞ (x2 − 2x + 5) dần tới +∞! Hãy miền giá trị t? √ t = x2 − 2x + = (x − 1)2 + ≥ Miền giá trị t [2; +∞) √ Với giá trị t phương trình t = x2 − 2x + có nghiệm? √ Với t ≥ phương trình t = x2 − 2x + có nghiệm Với cách đặt ẩn phụ phương trình trở thành nào? 2(t2 − 5) + t − m = ⇔ 2t2 + t − m − 10 = (2.6) Để phương trình (2.5) có nghiệm (2.6) phải nào? Để phương trình (2.5) có nghiệm (2.6) phải có nghiệm thỏa mãn t ≥ Trong ví dụ ta phân tích, diễn giải cách thức nhằm giúp học sinh phát điều kiện ẩn phụ, mối tương quan ẩn phụ ẩn ban đầu Ở ta thấy, giá trị ẩn phụ dẫn tới tồn ẩn ban đầu, mà giá trị ẩn phụ thỏa mãn t ≥ dẫn đến tồn ẩn ban đầu tương ứng Tuy nhiên, tốn dừng lại giáo viên chưa hoàn thành nhiệm vụ khắc sâu mối tương quan ẩn phụ ẩn ban đầu Để giúp học sinh hiểu sâu sắc tương quan ẩn phụ ẩn ban đầu, giáo viên thay đổi yêu cầu toán, yêu cầu học sinh hoạt động suy luận để giải Giáo viên đưa hoạt động sau: Hoạt động: Hãy tiến hành suy luận với điều kiện phương trình (2.6) phương trình (2.5): a) Có nghiệm; b) Có nghiệm; d) Có nghiệm; e) Vơ nghiệm c) Có nghiệm; Thơng qua hoạt động học sinh bắt buộc phải suy xét mối tương quan ẩn phụ t ẩn ban đầu x Bây học sinh phải suy xét kĩ là: với giá trị t ≥ tồn giá trị x tương ứng Chính suy xét sau giúp học sinh có nhìn sâu sắc, đầy đủ tốn: +) Với t = tồn giá trị x tương ứng x = +) Với t > tồn giá trị x tương ứng là: x = ± +) Với t < khơng tồn giá trị x tương ứng √ t2 − Một học sinh có xét việc tiến hành suy luận để giải yêu cầu khơng khó khăn: a) Phương trình có nghiệm (2.6) có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn: t1 ≤ t2 = b) Phương trình (2.5) có nghiệm ⇔ (2.6) có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn: 60 Rèn luyện kĩ đặt ẩn phụ khả chuyển đổi cách phát biểu toán t1 < < t2 < t1 = t2 c) Phương trình (2.5) có nghiệm ⇔ (2.6) có nghiệm t1 , t2 thoả mãn: t1 = < t2 d) Phương trình (2.5) có nghiệm phân biệt ⇔ (2.6) có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn: < t1 < t2 e) Phương trình (2.5) vơ nghiệm ⇔ (2.6) có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn: t1 ⇒ t2 < phương trình (2.6) vơ nghiệm Với suy xét lập luận giáo viên có hỗ trợ mực cho học sinh chủ thể hoạt động chắn học sinh nắm bắt, hiểu rõ mối tương quan ẩn phụ ẩn ban đầu Từ hình thành kĩ giải tốn phương trình, bất phương trình có chứa tham số phương pháp đặt ẩn số phụ 2.2.3 Rèn luyện cho học sinh khả chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu tốn Ngơn ngữ tốn học ngơn ngữ khoa học đòi hỏi ngắn gọn, xác dễ hiểu Học sinh thường yếu việc diễn đạt ngơn ngữ tốn học, nên việc rèn luyện cho học sinh khả chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu toán quan trọng Khi tiến hành chuyển đổi ngơn ngữ tốn u cầu lập luận phải có đồng thời đảm bảo tính chặt chẽ, xác Giải phương trình, bất phương trình có chứa tham số phương pháp đặt ẩn số phụ việc chuyển đổi yêu cầu tốn sang u cầu ẩn phụ khơng thể tránh khỏi Để rèn luyện kĩ chuyển đổi ngôn ngữ cho học sinh, giáo viên cần tiến hành phân tích, mổ xẻ vấn đề trước đưa lập luận chuyển đổi Ví dụ 3: Cho phương trình: √ √ (3 + 2)tan x + (3 − 2)tan = m (2.7) π π Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng (− ; ) 2 √ Để giải phương trình ta dùng phương pháp đặt ẩn số phụ: t = (3 + 2)tan x , thì: t > √ √ √ Do: (3 + 2)tan x (3 − 2)tan x = Nên (3 − 2)tan x = t Phương trình trở thành: t+ = m ⇔ t2 − mt + = t (2.8) π π Yêu cầu toán phương trình (2.7) có nghiệm thuộc khoảng (− ; ) 2 Giáo viên cần có câu hỏi dẫn dắt nhằm để học sinh tự phát biểu chuyển đổi u cầu tốn π π Để phương trình (2.7) có nghiệm thuộc khoảng (− ; ) điều kiện cần trước hết 2 gì? Phương trình (2.8) chắn phải có nghiệm Phương trình (2.8) có nghiệm t0 kết luận nghiệm phương trình (2.7)? √ Nếu phương trình (2.8) có nghiệm t0 t0 = (3 + 2)tan x +) Sẽ vô nghiệm x t0 ≤ +) Sẽ có nghiệm x t0 > 61 Nguyễn Hữu Hậu Với nghiệm t0 > phương trình (2.8) có nghiệm x tương ứng? √ t0 = (3 + 2)tan x ⇔ tan x = log3+2√2 t0 = tan α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z) Vậy có vơ số nghiệm x π π Bài tốn u cầu tìm nghiệm x xác định đâu? Nghiệm x thuộc khoảng (− ; ) 2 π π Với khoảng xác định (− ; ) ứng với nghiệm t0 > phương trình (2.8) có 2 nghiệm x tương ứng? π π Với khoảng xác định (− ; ) với giá trị tan x cho nghiệm x nên: t0 = 2 √ (3 + 2)tan x ⇔ tan x = log3+2√2 t0 có tương ứng − t0 x Vậy với giá trị π π t0 > có giá trị x tương ứng thuộc khoảng (− ; ) 2 π π Để phương trình (2.7) có nghiệm thuộc (− ; ) phương trình (2.8) phải 2 nào? Phương trình (2.8) phải có nghiệm phân biệt thỏa mãn t > Phát biểu chuyển đổi yêu cầu tốn? Phương trình (2.7) có nghiệm thuộc khoảng π π (− ; ) phương trình (2.8) có nghiệm phân t1 , t2 thỏa mãn: < t1 < t2 2 Như để phát biểu yêu cầu chuyển đổi tốn u cầu quan trọng là: học sinh phải ý thức đầy đủ mối tương quan ẩn ban đầu ẩn phụ Ở Ví dụ 3, ta thấy tương tương ứng − nên chuyển đổi toán dễ dàng, tất nhiên có nhiều tốn có tương ứng phức tạp đòi hỏi khả lập luận, suy luận lơgic nhiều Cũng Ví dụ thay u cầu tốn thành: tìm m để phương trình vơ nghiệm, cách lập luận học sinh cần có thay đổi Phương trình (2.7) vô nghiệm trước hết (2.8) không tồn t có tồn t nghiệm t phải âm Lập luận chuyển đổi u cầu tốn quan trọng định đến sai lời giải nói chung nhiều việc chuyển đổi yêu cầu phức tạp có nhiều khả Giáo viên cần giáo dục cho học sinh thói quen xem xét kĩ lưỡng, cẩn thận trước đưa phát biểu chuyển đổi yêu cầu toán Kết luận Trên đề cập đến cách mà giáo viên sử dụng để góp phần rèn luyện cho học sinh kĩ đặt ẩn phụ cách phát biểu toán sang cách phát biểu khác tương đương, đặc biệt trọng vấn đề làm cho học sinh phát tương ứng hai đối tượng để phòng tránh sai lầm đánh tráo luận đề giải tốn phương trình có chứa tham số Trong phần trình bày nội dung phương thức, báo đặc biệt quan tâm hình thức dẫn dắt học sinh theo hướng tích cực hố hoạt động người học, nhằm thực hoá việc thực phương thức điều kiện thực tế trình dạy học TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Bá Kim, 2009 Phương pháp dạy học mơn Tốn Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội [2] Nguyễn Thái Hòe, 2002 Dùng ẩn phụ để giải Toán Nxb Giáo dục, Hà Nội [3] G.Polia, 1997 Giải toán nào? Nxb Giáo dục, Hà Nội 62 Rèn luyện kĩ đặt ẩn phụ khả chuyển đổi cách phát biểu toán [4] Nguyễn Văn Thuận, 2000 Rèn luyện cho học sinh khả chuyển đổi toán ban đầu thành tốn tương đương Tạp chí Nghiên cứu Giáo dục, (343), tr 20-22 [5] Nguyễn Văn Thuận, 2006 Bồi dưỡng số thành tố lực tư toán học cho học sinh THPT dạy học Đại số Giải tích Báo cáo tổng kết đề tài Nghiên cứu khoa học Công nghệ cấp Bộ, Mã số: B 2006 - 27 - 02 [6] Nguyễn Văn Thuận (chủ biên), Nguyễn Hữu Hậu, 2010 Phát sửa chữa sai lầm cho học sinh dạy học Đại số - Giải tích trường phổ thơng Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội ABSTRACT Practising skills to put hidden side and ability to convert the method to state a problem for students when teaching to solve mathematical problems containing parameter In this article, the author presents a number of methods that teachers can use to help students practise skill about putting hidden side and ability to switch the way to speech a problem including analys the typical situation relate to switch a problem to become an equivalent problem and common difficulties and mistakes made by students In addition, methods are provided to teach students skill about changing equivalent equations that contain parameters and awareness skills and detecting the relationship between two variables Keywords: Hidden side, parameter, change equivalent 63 ... + cot x)2 − Đặt ẩn phụ: u = tan2 x + cot2 x Tới học sinh đặt điều kiện cho ẩn phụ khơng Nếu đặt điều kiện học sinh đặt là: 56 Rèn luyện kĩ đặt ẩn phụ khả chuyển đổi cách phát biểu toán Điều kiện:... Một số phương thức nhằm rèn luyện kĩ đặt ẩn phụ khả chuyển đổi cách phát biểu toán cho học sinh 2.2.1 Chỉ rõ cho học sinh thấy tầm quan trọng việc tìm điều kiện cho ẩn phụ * Tìm điều kiện cho ẩn. .. việc đặt điều kiện cho ẩn phụ, chuyển đổi cách phát biểu tốn giải vấn đề phương trình có chứa tham số Phương pháp giải phương trình cách đặt ẩn phụ hay sử dụng Với tốn phương trình có chứa tham số