Hướng dẫn học sinh rèn luyện kĩ năng tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11

1 MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong mơn tốn trường phổ thơng phần hình học khơng gian giữ vai trị, vị trí quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ giải tốn hình học khơng gian, cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư sáng tạo cho học sinh Trong chương trình giáo dục phổ thơng nói chung kỳ thi thức trường THPT Bộ Giáo Dục mơn Tốn tơi thấy phần Hình học khơng gian hay có đề thi, vấn đề đáng quan tâm ý Trong thực tế trình giảng dạy trường THPT, nhận thấy học sinh lớp 11 e ngại học mơn hình học khơng gian em nghĩ trừu tượng, thiếu tính thực tế Chính mà có nhiều học sinh học yếu mơn học này, đa số em học sinh gần không làm tốt thi Hình học khơng gian Đây điều đáng tiếc phần giúp em có thêm lượng điểm thi mơn tốn Và điều tất yếu khơng ảnh hưởng đến kết đậu trượt học sinh mà ảnh hưởng tới tương lai em gia đình em Trong chương trình tốn THPT, mà cụ thể Hình học khơng gian lớp 11, em học sinh tiếp cận với hình học không gian biết mối quan hệ không gian Tuy nhiên thực tế tốn khơng gian phong phú đa dạng đặc biệt đề thi Trung học phổ thông Quốc gia, em gặp lớp tốn thể tích, góc, khoảng cách mà có số em biết phương pháp tính góc, khoảng cách thể tích; toán khoảng cách Tại lại vậy? - Lý là: Trong SGK Hình học lớp 11 nâng cao hành “Khoảng cách” trình bày phần cuối chương III hạn hẹp có hai tiết lý thuyết tập Nên trình giảng dạy, giáo viên đưa đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh Nhưng thực tế, để tính loại khoảng cách khơng gian địi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư mức độ cao phải có lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thục + Từ thực tế nên nên lựa chọn vấn đề mong muốn phần giúp học sinh có kiến thức tự tin giải tốt vấn đề khoảng cách khơng gian góp phần nâng cao chất lượng giáo dục 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Giúp học sinh nắm vững có kỹ tốt giải toán khoảng cách khơng gian để vận dụng thi mơn tốn kỳ thi THPT Quốc Gia - Nhằm nâng cao nghiệp vụ chun mơn rút kinh nghiệm q trình giảng dạy - Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh số phương pháp tổng quát, số kỹ phát vấn đề Hy vọng với đề tài nhỏ giúp bạn đồng nghiệp em học sinh có nhìn tồn diện phương pháp giải lớp tốn khoảng cách khơng gian 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU : - Khoảng cách không gian - Học sinh hai lớp 11C, 11Đ - Một số toán khoảng cách tài liệu tham khảo đề thi Đại học - Cao đẳng - TCCN đề thi THPT Quốc Gia Bộ Giáo Dục - Từ lý chọn đề tài, từ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 11 ôn thi THPT Quốc Gia trường THPT, với kinh nghiệm thời gian giảng dạy Tôi tổng hợp, khai thác hệ thống hoá lại kiến thức thành chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh rèn luyện kỹ tính khoảng cách hình học khơng gian lớp 11’’ 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Phương pháp: - Nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học - Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm Cách thực hiện: - Tham khảo tài liệu - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên môn - Liên hệ thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua trình giảng dạy - Thông qua việc giảng dạy trực tiếp lớp khối 11 - Tham gia đầy đủ buổi sinh hoạt tổ, nhóm chun mơn NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CỞ SỞ LÍ LUẬN - Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thơng đặc biệt mơn tốn học cần thiết thiếu đời sống người Mơn Tốn mơn học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng, đa phần em ngại học môn - Muốn học tốt môn toán em phải nắm vững kiến thức mơn tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu mơn tốn học cách có hệ thống chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải - Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng tìm phương pháp giải gặp tốn khoảng cách chương trình hình học khơng gian lớp 11 Trong giới hạn SKKN đề cập đến số giải pháp cụ thể sau: Giải pháp 1: * Hướng dẫn học sinh nắm định nghĩa khoảng cách Giải pháp 2: * Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Giải pháp 3: * Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ đường thẳng, mặt phẳng đến mặt phẳng song song Giải pháp 4: * Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách hai đường thẳng chéo 2.2 THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Học sinh nói chung học sinh trường THPT Hà Trung bên cạnh số học sinh có nhận thức tốt cịn khơng học sinh nhận thức chậm, chưa hệ thống kiến thức có cảm giác “sợ” hình học khơng gian - Trong sách giáo khoa Hình học 11 nêu định nghĩa loại khoảng cách không gian, vài ví dụ minh họa thời gian Tuy nhiên gặp tốn khoảng cách có nhiều tốn địi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ để đưa toán khoảng cách dạng phức tạp dạng đơn giản - Khi giảng dạy phần khoảng cách không gian hình học lớp 11cho học sinh tơi nhận thấy: + Khi gặp tốn: “Tính khoảng cách từ điểm đến mặt thẳng” học sinh thường lúng túng xác định hình chiếu điểm mặt phẳng cần tính khoảng cách + Khi gặp tốn: “Tính khoảng cách từ đường thẳng, mặt phẳng đến mặt thẳng song song” học sinh thường lúng túng sử dụng điểm đường thẳng mặt phẳng để tính khoảng cách tới mặt phẳng cịn lại + Khi gặp tốn: “Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau” học sinh khơng xác định đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo có sử dụng tính chất lại loay hoay dựng đường vng góc chung dẫn đến thời gian cịn tính tốn sai Lúc vai trị người giáo viên quan trọng, phải hướng dẫn rõ cho học sinh phương pháp giải dạng toán, nên giải cho hợp lý loại toán để toán đúng, tránh tình rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm Trên sở hình thành cho học sinh kỹ tốt giải toán khoảng cách 2.3 CÁC GIẢI PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Qua nghiên cứu trao đổi đúc rút kinh nghiệm từ thực tế ý kiến đồng nghiệp mạnh dạn đưa hướng giải vấn đề học sinh với giải pháp cụ thể giúp học sinh giải toán khoảng cách không gian 2.3.1 Giải pháp 1: * Hướng dẫn học sinh nắm định nghĩa khoảng cách - Định nghĩa 1: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu M mặt phẳng (P) Kí hiệu: d ( M ; ( P)) - Định nghĩa 2: Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng (P) Kí hiệu: d ( a ; ( P)) - Định nghĩa 3: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng d (( P ); (Q)) Nếu (P)//(Q) khoảng hai mặt phẳng (P) (Q) kí hiệu: - Định nghĩa 4: Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng Nếu a,b hai đường thẳng chéo khoảng hai đường thẳng a b d ( a ; b) kí hiệu: Nhận xét: + Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng lại + Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng Sau học sinh nắm vững định nghĩa tính chất khoảng cách, giáo viên hướng dẫn học sinh tính loại khoảng cách thường gặp không gian thông qua việc phân loại cách giải cụ thể sau: 2.3.2 Giải pháp 2: * Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) Để tính khoảng cách từ điểm đến mặt mặt phẳng ta có cách sau: Cách 1: + Tìm mp(Q) chứa M vng góc với mp(P) theo giao tuyến ∆ + Từ M hạ MH vng góc với ∆ ( H) + MH = d(M,(P)) Cách 2: + Kẻ ∆//(P) Ta có: d(M,(P))= d(∆,(P)) + Chọn N Lúc đó, d M, P d( ,(P))=d N, P Cách 3: d M, P MI + Nếu MN ( P ) I + Tính d N , P + d M, P Ta có: MI NI dN,P NI MI NI d N, P Chú ý: + Điểm N ta phải chọn cho tìm khoảng cách từ N đến mặt phẳng (P) dễ tìm khoảng cách từ M đến mp(P) + Ta dùng cơng thức thể tích để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cách làm đề cập đến lớp 12 Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có cạnh a, mặt bên tạo với đáy d ( A,( SBC)) góc α Tính theo a α Phân tích: Đây tốn quen thuộc nhiên gặp học sinh trung bình thường lúng túng khơng xác định góc mặt bên mặt đáy, thêm vào việc xác định hình chiếu H điểm A mặt phẳng (SBC) làm cho học sinh khó định hình điểm H nằm đâu Vì để giải tốn học sinh cần trả lời câu hỏi: Góc mặt bên mặt đáy góc nào? Mặt phẳng chứa A vng góc với (SBC)? Từ xác định hình chiếu A mặt phẳng (SBC) S Lời giải: + Gọi I trung điểm BC SI BC BC (SAI) + Ta có: + SIA AI BC H Kẻ AH SI (H SI) mà SI (SAI ) (SBC) C nên AH (SBC) Do đó, d (A,(SBC )) AH + Mặt khác, xét tam giác vng AHI có: a3 AH AI.sin sin Vậy d ( A,(SBC )) AH A I B a sin Nhận xét: Khi học sinh giải thành thạo toán em giải tất tốn hình chóp tam giác tứ diện có tính chất tương tự để tính khoảng cách từ đỉnh đáy tới mặt bên Sau giáo viên tiếp tục mở rộng cho hình chóp tứ giác Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, SA=2a, SA (ABCD) , a) Tính d (A,(SBC)) d ( A,(SBD)) b) Tính [3] Phân tích: Đây dạng hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy Để tính khoảng cách theo yêu cầu giáo viên cần đặt câu hỏi gợi mở để học sinh phát mặt phẳng (SAB) chứa A vng góc với (SBC) câu a; mặt S phẳng (SAC) chứa A vng góc với (SBD) câu b Lời giải: a) Kẻ AH SB (H SB) (1) Ta có: SA (ABCD ) AB SA BC (*) H BC (gt) (**) K D A O B C Từ (*) (**) suy ra: Từ (1) (2) ta có: BC (SAB) BC AH (2) AH (SBC) hay d ( A,(SBC )) AH + Mặt khác, xét tam giác vng SAB có: 1 AH 2a AH AB SA 4a2 d ( A,( SBC)) 2a Vậy b) Gọi O AC BD SB (K Kẻ AK SO) (1) Ta có: SA (ABCD ) Từ (*) (**) suy ra: BD SA BD (*) AC (SAC) BC AK (2) BD (gt) (**) Từ (1) (2) ta có: AK (SBD) hay d (A,(SBD )) AK + Mặt khác, xét tam giác vng SAO có: d (A,(SBD)) Vậy Nhận xét: AK 1 AO SA AK 4a2 2a a Bài toán u cầu tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) khoảng khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) với ý: d (D ,(SBC )) d ( A,(SBC)) ; d (C ,(SBD )) d (A,(SBD)) Từ giúp học sinh nhận thấy cách hỏi khác tốn để gặp em khơng thấy lạ Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB (SAB ) (ABCD) AB AD Tính đều, Gọi I, F trung điểm d (I ,(SFC)) [3] Phân tích: Đây dạng hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy Để tính khoảng cách theo yêu cầu giáo viên cần đặt vấn đề để học sinh học sinh tìm ra: S Hình chiếu đỉnh S mặt đáy điểm nào? CF DI có mối quan hệ nào? Từ học sinh phát mặt phẳng chứa I vng góc với (SFC) Lời giải: Gọi K FC ID B I A F C H K D + Kẻ IH SK (H K) (1) (SAB) (ABCD) (SAB) (ABCD) AB SI (SAB) SI (ABCD) SI AB + Ta có: SI FC (*) + Mặt khác, Xét hai tam giác vng AID DFC có: AI=DF, AD=DC Suy ra: AID DFC AID DFC , ADI DCF mà AID ADI 90 + Từ (*) (**) ta có: IH (SFC) IK 1 IH SI d ( I ,( SFC)) 3a 10 Vậy FC ID (**) (2) hay d (I ,(SFC )) IH a 5, DK 2 3a hay FC (SID ) IH FC Từ (1) (2) suy ra: SI a , ID Ta có: DFC ADI 90 1 DC DF a2 32 IH IK a2 DK a 5 3a AB a, AD a Ví dụ 4: Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, ABCD hình chữ nhật, Hình chiếu vng góc A’ (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Tính d ( B ',( A ' BD)) [1] Lời giải: + Gọi O giao điểm AC BD Vì B’C//A’D nên B’C//(A’BD) Do đó, B' C' d ( B ',( A ' BD )) d ( B ' C ,( A ' BD)) d (C ,( A ' BD)) + Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ A' D' CH BD, (H BD) (1) Mặt khác, A ' O ( ABCD ) A ' O CH (2) B Từ (1) (2) suy ra: CH (A ' BD ) d (B ',(A ' BD )) CH C O A H D d ( A,( SBC)) b) Tính [3] Lời giải: Gọi M trung điểm CD, E giao điểm hai đường thẳng AD BC a) Trong mặt phẳng (SBD) kẻ BM AD DH SB, (H SB) (1) CD BC + Vì Tam giác BCD vuông B hay Mặt khác, (**) BD (*) SD ( ABCD ) SD BC Từ (*) (**) ta có: BC (SBD ) BC DH (2) Từ (1) (2) suy ra: DH (SBC) hay d (D ,(SBC )) DH DH SD + Xét tam giác vuông SBD có: d ( D,( SBC)) a Vậy d ( A,( SBC )) AE AB b) Ta có: d ( D ,( SBC )) DE C D d ( A,( SBC )) d ( d ,( SBC)) a 3 BD 2 a2 DH 2a 3 d ( A,( SBC)) a 3 Vậy Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA=3a, BC=4a, ( SBC ) ( ABC ), SB a 3, SBC 30 Tính d (B ,(SAC)) [1] Lời giải: + Trong mặt phẳng (SBC) kẻ MN AC (N AC) MH SM BC (M BC) ; mặt phẳng (ABC) kẻ ; mặt phẳng (SMN) kẻ S SN (N SN) Suy ra, MH (SAC ) d (M ,(SAC )) MH + Ta có: SM SB sin30 a , BM SB cos300 3a CM a , H M B N MN AB.CM 3a AC5 A C 10 MH MH Xét tam giác vng SMN có: d ( B ,( SAC )) + Mặt khác, ta có: d ( M ,( SAC )) 1 28 2 SM MN 9a2 d ( M ,( SAC)) a 28 3a 28 BC d ( B ,( SAC )) 4.d ( M ,( SAC)) M C 6a d(B,(SAC)) 6a Vậy Nhận xét: Trong ví dụ 6, ví dụ ta sử dụng cách để tính khoảng cách Việc tìm hình chiếu phức tạp tính tốn khó khăn hơn, dễ mắc phải sai lầm tính toán 2.3.3 Giải pháp 3: * Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ đường thẳng, mặt phẳng đến mặt phẳng song song Phương pháp: - Dùng định nghĩa khoảng cách từ đường thẳng, mặt phẳng đến mặt phẳng song song - Tính khoảng cách dựa vào khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ví dụ 8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên a Tính d ( AD ,( SBC)) [2] d ( AD ,( SBC)) Phân tích: Đây dạng hình chóp AD//(SBC) nên khoảng cách từ điểm thuộc AD đến mặt phẳng (SBC) Vấn đề đặt sử dụng điểm AD để khoảng cách tính đơn giản nhất? Khi giáo viên cần lưu ý cho học sinh thấy dạng sử dụng tới đường cao hình chóp từ học sinh phát điểm cần sử dụng trung điểm AD Lời giải: + Gọi O giao điểm AC BD I, J trung điểm AD BC AD / / SBC d ( AD, ( SBC )) d ( I , ( SBC)) + Vì + Trong mp(SIJ) kẻ IH SJ ,(H SJ ) (1) 11 S Theo giả thiết ta có: SO (ABCD) SO BC BC (SIJ ) IJ / /AB IJ BC H IH BC (2) Từ (1), (2) suy ra: A IH ( SBC) hay d ( AD , ( SBC )) d ( I ,( SBC )) IH + Xét tam giác SIJ có: S SIJ IH.SJ SO.IJ IH Với: IJ=a, SO.IJ SJ AO C ,SJSB2 BJ2 2 a 21 d ( AD , ( SBC)) 21 a Vậy SO SA J O SO IJ SJ 2 IH I D B a a Nhận xét: Giáo viên nên nêu Suy ra: vấn đề để học sinh phát d ( AD , ( SBC )) d ( I ,( SBC)) 2.d (O ,( SBC )) 2.OH Khi tốn gọn gàng nhiều Ví dụ 9: Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có tất cạnh a góc BAD BAA' DAA' 60 Tính khoảng cách hai mặt đáy (ABCD) (A’B’C’D’) [4] Lời giải: Gọi H hình chiếu A’ mặt phẳng (ABCD) Vì (ABCD)//(A’B’C’D’) B' d ( ABCD ), ( A’ B’C’ D’) d A’, ( ABCD ) A ' H Th A' eo ta có: Tam giác ABD cân A góc ABD B D a BAD 60 C' D' Chứng minh tương tự A’B=A’D=a Do A’A=A’B=A’D tam giác ABD suy H trọng tâm tam giác ABD AH AO 2.a 3 B a Ta có: Trong tam giác A’AH vng H ta có: C O 60 A H D 12 a a 32 a A'HA'A2 AH2 = a Vây khoảng cách hai mặt đáy (ABCD) (A’B’C’D’) Nhận xét: Qua ví dụ 8, ví dụ ta nhận thấy để tính khoảng cách từ đường thẳng, mặt phẳng đến mặt phẳng song song ta tính khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng mặt phẳng đến mặt phẳng Việc lựa chọn điểm phụ thuộc vào kiện toán cho khoảng cách tính thuận lợi 2.3.4 Giải pháp 4: * Hướng dẫn học sinh cách tính khoảng cách hai đường thẳng chéo d d’ Cách 1: + Xác định đường thẳng vng góc chung d d’ + Tính độ dài đoạn vng góc chung Cách 2: +Tìm mp(P) chứa d’ song song với d d ( d , d ') d ( d ,( P )) d ( A,( P)) + Khi với A điểm thuộc d Chú ý: mp(P) có sẵn phải dựng (Cách dựng: qua điểm B d' dựng đường thẳng ∆ song song với d, lúc mp(P)≡(d’,∆)) Ví dụ 10: Cho tứ diện ABCD có AB=a, tất cạnh cịn lại 3a Tính d ( AB , CD) Lời giải: A + Gọi I, J trung điểm CD AB + Vì ACD ACD tam giác nên: ACD J CD AI ,CD BI CD (AIB ) CD IJ (1) Mặt khác, ACD nên tam giác AIB cân I Do đó, IJ D AB (2) B + Từ (1), (2) suy ra: IJ đường vuông góc chung AB CD IJAI + Ta có: AJ 3a a 2 C a 26 I 13 d ( AB , CD) a 26 Vậy Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M, N trung điểm AB AD, H giao điểm CN DM, SH ( ABCD ), SH a Tính d ( DM , SC) [1] Lời giải: S HK SC(1), (K SC) + Trong mp(SCH) kẻ SH (ABCD) + Mặt khác DM ( ABCD) K SH DM (*) D Xét hai tam giác vng AMD DNC có AM=DN, AD=DCAMD DNC C N AMD DNC H Từ ta có ADM DCN DNC ADM 90 DM CN (**) Từ (*), (**) suy ra: A và: AMD ADM 90 0 NHD 90 DM M B hay (SCH ) DM HK (2) Từ (1), (2) suy ra: HK đoạn vng góc chung DM SC HC + Ta có: HCD DCN CD CN Xét tam giác vng SHC ta có: HK 2 2a a2 C D HC 2 DN HS 2 3a HK a 15 d ( DM , SC ) HK a 15 Vậy Nhận xét: Trong ví dụ 10, ví dụ 11 để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ta xác dịnh đoạn vng góc chung hai đường thẳng Ở ví dụ 10 đay hai cạnh đối diện tứ diện có tính chất đặc biệt nên thường nghĩ tới đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh Cịn ví dụ 11 hai đường thẳng chéo vng góc với nên việc dựng đoạn vng góc chung đơn giản 14 Ví dụ 12: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác cạnh a, AA' a d ( AB , CB ') [2] A Tính Phân tích: Ở ví dụ việc dựng đoạn vng I góc chung phức tạp Nhưng ý : AB / /(CA ' B ') d ( AB , CB ') d ( AB , (CA ' B ')) Nên ta giải toán sau: Lời giải: + Gọi I, J trung điểm AB A’B’ AB / /( CA ' B ') d ( AB , CB ') d ( AB , (CA ' B ')) A' Ta có: A ' B ' (IJ ) B H Ta C' J có: d ( I , (CA ' B ')) + Trong mp(CIJ) kẻ C IH CJ (1), (H CJ) B' A ' B ' (vì ∆ABC (vì ABC A’B’C’ hình lăng trụ đứng) IC tam giác đều) nên A ' B ' (CIJ ) IH A ' B ' (2) Từ (1), (2) suy ra: IH (CA'B') hay d ( AB , CB ') IH + Xét tam giác vuông CIJ có: IH d ( AB , CB ') IH Vậy IC IJ 32 a a 30 a 10 IH 3a a 30 10 10 Nhận xét: Trong ví dụ 12 ta sử dụng cách để tính khoảng cách Việc tính theo cách phức tạp khó khăn Điều cịn thể ví dụ 13 đến ví dụ 15 Ví dụ 13: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên a Tính d ( AD , SB) [2] S Lời giải: SBCd ( AD, SB ) d ( AB , ( SBC)) + Vì + Gọi O giao điểm AC BD I, J trung điểm AD BC AD// + H A Trong mp(SIJ) kẻ IH SJ ,(H SJ ) (1) I D B J O C 15 SO (ABCD) SO BC BC (SIJ ) IH BC (2) IJ / / AB IJ BC Theo giả thiết ta có: Từ (1), (2) suy ra: IH ( SBC) hay d ( AD , SB ) IH + Xét tam giác SIJ có: SO SA AO a Vậy d ( AD , SB ) IH SO.IJ Với: IJ=a, IH SJ SO.IJ IH 2 SJ a 2 IH SO.IJ a 21 ,SJSB BJ Suy ra: SJ a 21 S SIJ Ví dụ 14 : Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác d ( SA, BD) SAD tam giác đều, (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy Tính [2] Phân tích: Ở ví dụ việc dựng đoạn vng góc chung phức tạp Hơn hình vẽ chưa có sẵn mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng lại hai đường thẳng cần tính khoảng cách Nhưng ý ta dựng mặt phẳng dựa vào hình chiếu S trênmặt phẳng (ABCD) S Lời giải: + Qua A kẻ đường thẳng d song song với BD Gọi O giao điểm AC BD; I, M H trung điểm AD OD; N giao điểm D C d IM + Ta có: d ( SA, BD ) d (( SA, d ), BD ) d ( M ,( SA, d)) + Trong mp(SMN) kẻ MH SN (1), (H SN) M N I A O B Theo giả thiết: SI AD SI ( ABCD ) SI d (*) (SAD) (ABCD) d / /BD d MN (**) BD AO Mặt khác ta có: Từ (*), (**) suy ra: Từ (1), (2) suy ra: AO / /MN d (SMN ) d MH (2) MH (SA, d) 16 S + Xét tam giác SMN có: SI a ,MN AO a 2 SMN MH SN SI MN MH 2 SI IN a 10 , SN SI MN SN với MH SI.MN SN Do đó, a 15 d ( SA, BD) a 15 Vậy Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N, góc d ( AB , SN ) [1] hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính S Giải: + Gọi I trung điểm BC Do MN//BC nên N trung điểm AC Do đó, IN// H AB hay d ( AB , SN ) d ( AB , ( SNI )) AJ IN ,(J IN ) (*) J + Trong mp(ABC) kẻ A Trong mp(SAJ) kẻ AH SJ ,(H SJ ) (1) N + Theo giải thiết ta có: C (SAB) (ABC) M SA ( ABC ) SA IN (**) I (SAC) (ABC) Từ (*), (**) ta có: (2) IN (SAJ ) IN AH (2) B Từ (1), ta có: AH (SIN ) d ( AB , SN ) AH 0 + Ta có: (( SBC ),( ABC )) SBA 60SA AB tan 60 a ; AJ BI a + Xét tam giác vng SAJ có: AH SA d ( AB , SN ) AH Vậy AJ 13 12a a 156 AH a 12 13 13 Lời bình: Qua ví dụ tính khoảng cách nói chung khoảng cách hai đường thẳng chéo khơng gian nói riêng thấy dạng toán hay, việc tính tốn khơng đơn giản Để giải tốn khơng địi hỏi học sinh có kỹ tính tốn mà cịn phải biết tư duy, biết cách nhìn 17 hình khơng gian biết quy lạ quen Khi vai trị người giáo viên quan trọng việc định hướng giải toán cho ngắn gọn dễ hiểu Đáp ứng với hình thức thi trắc nghiệm khách quan áp dụng d ( AM , B ' C) d ( MN , AC) 2.3.5 Một số tâp: a Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD, SA=a, cạnh cịn lại minh: SA SC Tính d ( S ,( ABCD)) Chứng Bài tập 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác vuông B, AB=a, AA’=2a Gọi M trung điểm A’C’, I giao điểm AM A’C Tính d(A,(IBC)) Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABC, SA ABC d(A,(SBC)) 3a , SA 1200 Tính ( ABC ), AB a , Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, BA=BC=a, AD=2a, SA ( ABCD) SA a , ABC BAD 900 Gọi H hình chiếu A SB d ( H ,( SCD)) Chứng minh tam giác SCD vng tính Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, BCD 600 đường cao SO=a Tính d ( AD , SB) Bài tập 6: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng cân AA ' a B, BA=BC=a, Gọi M trung điểm BC Tính Bài tập : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, E điểm đối xứng với D qua trung điểm SA Gọi M, N trung điểm MN BD AE BC Chứng minh rằng: Tính Bài tập 8: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a, SA^(ABCD) SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng: a) SC BD b) AC SD Bài tập 9: Cho hình chóp S.ABCD, có SA ^ (ABCD) SA = a , đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AD = 2a a) Tính khoảng cách từ A B đến mặt phẳng (SCD) b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) 18 c) Tính diện tích thiết diện hình chóp S.ABCD với mặt phảng (P) song song a3 với mp(SAD) cách (SAD) khoảng 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - Sáng kiến kinh nghiệm giúp cho đồng nghiệp thực tốt nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư logic kỹ phân tích để đến hướng giải thích hợp gặp tốn khoảng cách từ phức tạp đưa dạng đơn giản, giải cách dễ dàng - Đề tài sử dụng để giảng dạy bồi dưỡng cho em học sinh khối 11 khối 12 hệ THPT làm tài liệu tham khảo cho thầy giảng dạy mơn Tốn Các thầy học sinh sử dụng tốn đề tài làm toán gốc để đặt giải tập cụ thể - Đề tài kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 11, ôn tập cho em học sinh lớp 12 ôn thi Đại học THPT Quốc Gia, học sinh đồng tình đạt kết cao, nâng cao khả giải tốn khoảng cách khơng gian Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học từ trung bình hay trung bình trở lên có kỹ giải tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt - Đợt đầu học theo SGK tiên hanh kiêm tra ca hai lơp vơi nơi dung có kêt qua thu đươc sau: Lơp Si sô Điểm Gioi Điểm Kha Điểm TB Điểm yếu Sô Hs % Sô Hs % Sô Hs % Sô Hs % 11C 42 2,4 7,1 15 35,7 23 54,8 11D 39 2,6 10,3 14 35,9 20 51,2 Sau môt thơi gian day theo chuyên đề tiêp tuc tiên hanh kiêm tra ca hai lơp vơi nôi dung có kêt qua thu đươc sau: Điểm Gioi Điểm Kha Điểm TB Điểm yếu Lơp Si sô Sô Hs % Sô Hs % Sô Hs % Sô Hs % 11C 42 16,7 12 28,6 17 40,5 14,2 11Đ 39 20,5 13 33,3 13 33,3 12,8 Nhận xét: * Tỉ lệ học sinh đạt loại khá, giỏi tăng nhiều so với kết kiểm tra trước 19 * Tỉ lệ học sinh đạt loại trung bình giảm nhiều so với kết kiểm tra trước đặc biệt tỉ lệ học sinh chưa đạt yêu cầu giảm rõ rệt - Với kết lớp có lực học trung bình hay trung bình khá, kể lớp có lực học trung bình làm cho đa số học sinh cảm thấy học giỏi hơn, có hứng thú học tập cao trước Điều làm cho bậc phụ huynh yên lòng kết học tập em mình, từ thúc đẩy phong trào học tập nhà trường địa phương khu vực KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: - Trên giải pháp mà đúc rút trình giảng dạy trường THPT - Như thấy phương pháp nêu có hiệu cao Theo tơi dạy phần khoảng cách hình học khơng gian lớp 11 giáo viên cần rõ dạng toán cách giải tương ứng để học sinh nắm tốt - Trong chương trình giáo dục phổ thơng nói chung kỳ thi thức trường THPT Bộ Giáo Dục môn Tốn tơi thấy phần kiến thức liên quan đến khoảng cách hay có đề thi (có thể trực tiếphoặc gián tiếp), vấn đề đáng quan tâm ý cho đa số em học sinh giáo viên việc ôn luyện thi THPT Quốc Gia Tôi thấy vấn đề có nhiều khả để nghiên cứu mở rộng hơn, sâu lĩnh vực nghiên cứu khoa học + Mặc dù cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắn cịn có nhiều thiếu sót hạn chế Tôi mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý cho để sáng kiến kinh nghiệm ngày hoàn thiện ứng dụng thực tế tốt 3.2 Kiến nghị: - Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu sách tham khảo đổi phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ - Nhà trường cần tổ chức bổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập giáo viên hàng năm để làm sở nghiên cứu phát triển chuyên đề 20 - Các sáng kiến kinh nghiệm xếp loại cấp Tỉnh cần phổ biến rộng rãi cần áp dụng nhiều giảng dạy cho đồng nghiệp học tập - Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập Thanh Hóa, ngày 10 tháng năm 2017 XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG Tôi xin cam đoan SKKN mình, khơng chép nội dung người khác NGUYỄN MẠNH HÙNG 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đề thi Đại học- Cao đẳng đề thi THPT Quốc gia Bộ giáo dục đào tạo năm 2010, 2011, 2013, 2014 Phân loại phương pháp giải tốn hình học khơng gian - Trần Văn Thương, Phạm Đình, Lê Văn Đỗ, Cao Quang Đức - Nhà xuất đại học quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh năm 2001 Tài liệu tổng ơn tập hình học khơng gian - Nguyễn Anh Trường - Nhà xuất đại học quốc gia hà nội năm 2013 Hình học Nâng cao11- Đồn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương (Chủ biên), Phạm Khắc Ban, Tạ Mân - Nhà xuất giáo dục Việt Nam năm 2015 22 ... dẫn học sinh tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Giải pháp 3: * Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ đường thẳng, mặt phẳng đến mặt phẳng song song Giải pháp 4: * Hướng dẫn học sinh tính khoảng. .. khoảng cách chương trình hình học khơng gian lớp 11 Trong giới hạn SKKN đề cập đến số giải pháp cụ thể sau: Giải pháp 1: * Hướng dẫn học sinh nắm định nghĩa khoảng cách Giải pháp 2: * Hướng dẫn. .. “sợ” hình học khơng gian - Trong sách giáo khoa Hình học 11 nêu định nghĩa loại khoảng cách không gian, vài ví dụ minh họa thời gian Tuy nhiên gặp tốn khoảng cách có nhiều tốn địi hỏi học sinh