đại số tuyến tính lê xuân đại 6 khong gian euclide sinhvienzone com

C o e on Bài giảng điện tử nZ TS Lê Xuân Đại hV ie Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn in m KHÔNG GIAN EUCLIDE TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TP HCM — 2013 https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 / 55 C o e Định nghĩa không gian Euclide, độ dài véc-tơ, khoảng cách véc-tơ, góc véc-tơ Sự trực giao, hệ trực giao, hệ trực chuẩn, sở trực giao, q trình trực giao hóa Gram-Schmidt, bù trực giao, hình chiếu vng góc, khoảng cách từ véc-tơ đến không gian hV ie nZ on in m Nội dung TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 / 55 C o Định nghĩa nZ on e Cho R−kgv E Khi E gọi không gian Euclide (thực) < ·, · >: E × E → R (x, y ) −→< x, y > − gọi tích vơ hướng véctơ Tích vơ hướng < x, y > thỏa mãn tiên đề < x, y >=< y , x >, ∀x, y ∈ E < x + y , z >=< x, z > + < y , z >, ∀x, y , z ∈ E < αx, y >= α < x, y >, ∀x, y ∈ E , ∀α ∈ R x = < x, x > = ⇔ x = < x, x >> 0, https://fb.com/sinhvienzonevn ie hV in m Không gian Euclide TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 / 55 C o Ví dụ nZ on e Ví dụ R−kgv Rn khơng gian Euclide cho tích vơ hướng < ·, · >: Rn × Rn → R n ie (x, y ) −→< x, y >= xi yi i=1 hV với x = (x1, x2, , xn ), y = (y1, y2, , yn ) in m Không gian Euclide TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 / 55 C o Ví dụ nZ on e Ví dụ Khơng gian véctơ C[a,b] hàm số liên tục đoạn [a, b] khơng gian Euclide cho tích vơ hướng < ·, · >: C[a,b] × C[a,b] → R ie b hV (f , g ) −→< f , g >= in m Không gian Euclide TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) f (x)g (x)dx a https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 / 55 C o Ví dụ Chứng minh f (x)g (x)dx = a on < f , g >= b e b < g , f >, ∀f , g ∈ C[a,b] g (x)f (x)dx = a nZ b < f + g , h >= (f (x) + g (x))h(x)dx = ie a b b a hV f (x)h(x)dx + g (x)h(x)dx = a < f , h > + < g , h >, ∀f , g , h ∈ C[a,b] in m Không gian Euclide TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 / 55 C o Ví dụ b e < αf , g >= (αf (x))g (x)dx = a α on b f (x)g (x)dx = α < f , g >, a nZ ∀f , g ∈ C[a,b], ∀α ∈ R b hV ie < f , f >= (f (x))2dx > 0, f (x) = a b < f , f >= (f (x))2dx = ⇔ f (x) ≡ in m Không gian Euclide TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) a https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 / 55 C o Ví dụ on e Ví dụ Trong R2 cho quy tắc ∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2 nZ < x, y >= x1y1 + x1y2 + x2y1 + mx2y2 ie Tìm m để < x, y > tích vơ hướng hV < x, y >= x1y1 + x1y2 + x2y1 + mx2y2 = y1x1 + y1x2 + y2x1 + my2x2 =< y , x >, ∀x, y ∈ R2 in m Không gian Euclide TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 / 55 C o Ví dụ hV ie nZ on e < x + y , z >= (x1 + y1)z1 + (x1 + y1)z2 + (x2 + y2)z1 + m(x2 + y2)z2 = (x1z1 + x1z2 + x2z1 + mx2z2) + (y1z1 + y1z2 + y2z1 + my2z2) = < x, z > + < y , z >, ∀x, y , z ∈ R2 < αx, y >= (αx1)y1 + (αx1)y2 + (αx2)y1 + m(αx2)y2 = α(x1y1 + x1y2 + x2y1 + mx2y2) = α < x, y >, ∀x, y ∈ R2, ∀α ∈ R < x, x >= x12 + x1x2 + x2x1 + mx22 = (x1 + x2)2 + (m − 1)x22 > 0, (x = 0) ⇒ m > < x, x >= ⇔ (x1 + x2)2 + (m − 1)x22 = ⇔ x1 = x2 = https://fb.com/sinhvienzonevn hay x = m = Vậy m > in m Không gian Euclide TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 / 55 C o Ví dụ on e Ví dụ Trong khơng gian P2(x) cho tích vơ hướng nZ < p, q >= p(x)q(x)dx, hV ie ∀p(x) = a1x + b1x + c1, q(x) = a2x + b2x + c2 Tính tích vơ hướng p(x) = x − 4x + 5, q(x) = x + in m Không gian Euclide TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 10 / 55 C o Sự trực giao hóa Gram-Schmidt hV ie nZ on e Do y1 ⊥ y2 nên < y1, y2 >=< y1, λ21y1 + x2 >= λ21 < y1, y1 > < x2 , y1 > + < x2, y1 >= ⇒ λ21 = − < y1 , y1 > Tương tự, y3 ⊥ y1, y2 nên < y3, y1 >=< λ31y1 + λ32y2 + x3, y1 > = λ31 < y1, y1 > +λ32 < y2, y1 > + < x3, y1 > = λ31 < y1, y1 > + < x3, y1 >= < x3, y1 > ⇒ λ31 = − < y1, y1 > in m Sự trực giao TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 42 / 55 C o Sự trực giao hóa Gram-Schmidt hV ie nZ on e < y3, y2 >=< λ31y1 + λ32y2 + x3, y2 > = λ31 < y1, y2 > +λ32 < y2, y2 > + < x3, y2 > = λ32 < y2, y2 > + < x3, y2 >= < x3, y2 > ⇒ λ32 = − < y2, y2 > Quá trình tiếp diễn, ta thu < xn , y1 > < xn , y2 > λn1 = − , λn2 = − , , < y1, y1 > < y2, y2 > < xn , yn−1 > λnn−1 = − < yn−1, yn−1 > in m Sự trực giao TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 43 / 55 C o Sự trực giao hóa Gram-Schmidt hV ie nZ on e Theo cách xây dựng trên, y1 = x1 ⇒ y1 = x1 = Tương tự, y2 THTT x1, x2 với hệ số x2 ⇒ y2 = Vì y2 = x2 biểu diễn tuyến tính qua x1 ⇒ {x1, x2} PTTT ⇒ x1, x2, , xn PTTT (mâu thuẫn) Tương tự, yk THTT x1, x2, , xk với hệ số xk ⇒ yk = Vì yk = x1, x2, , xk PTTT ⇒ x1, x2, , xn PTTT (mâu thuẫn) Từ suy yk = 0, k = 1, 2, , n in m Sự trực giao TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 44 / 55 C o Ví dụ Ví dụ on e Áp dụng q trình trực giao hóa Gram-Schmidt để xây dựng hệ trực giao từ hệ véctơ (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1) hV ie nZ Hệ véctơ (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1) ĐLTT Áp dụng tích vơ hướng tắc, theo cơng thức trực giao hóa, ta có y1 = x1 = (1, 1, 1), < x2 , y1 > y2 = − y1 + x2 = − (1, 1, 1) + (0, 1, 1) < y1 , y1 > 1 = − , , 3 https://fb.com/sinhvienzonevn in m Sự trực giao TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 45 / 55 C o Ví dụ < x3 , y1 > < x3, y2 y1 − < y1 , y1 > < y2, y2 1 − , , = − (1, 1, 1) − 3 3 1 = 0, − , 2 1 Vậy hệ (1, 1, 1), − , , , 3 trực giao > y2 + x3 > hV ie nZ on e y3 = − in m Sự trực giao TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) + (0, 0, 1) 1 0, − , 2 hệ https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 46 / 55 C o Ví dụ e Ví dụ Trong khơng gian P2(x) với tích vơ hướng < u, v >= on u(x).v (x)dx Trực giao hóa hệ −1 nZ véctơ M = {1, x, x 2} hV ie Hệ véctơ M ĐLTT Theo công thức trực giao hóa, ta có v1 = u1 = 1 xdx < u2, v1 > v1 + u2 = − −1 v2 = − + x = x < v1, v1 > 1.dx in m Sự trực giao TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) −1 https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 47 / 55 C o Ví dụ e < u3, v1 > < u3, v2 > v1 − v2 + u3 < v1, v1 > < v2 , v2 > 1 2 −1 x dx −1 x xdx − x +x = x − =− −1 1.dx −1 x dx Vậy hệ M = {1, x, x − } hệ trực giao hV ie nZ on v3 = − in m Sự trực giao TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 48 / 55 C o Ví dụ on e Hệ Trong không gian Euclide tồn sở trực giao Từ suy tồn sở trực chuẩn hV ie nZ Giả sử không gian Euclide n chiều có sở x1, x2, , xn Theo q trình trực giao hóa Gram-Schmidt, ta thu sở trực giao Để có sở trực chuẩn, ta lấy y1 y2 yn e1 = , e2 = , , en = ||y1|| ||y2|| ||yn || in m Sự trực giao TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 49 / 55 C o Bù trực giao on e Định lý Cho không gian Euclide E , dim(E ) = n, n ∈ N∗ F không gian véctơ E Khi Với ∀x ∈ E , x ⊥ F ⇔ x trực giao với sở F Tập F ⊥ gồm véctơ E trực giao với F không gian véctơ E Tập F ⊥ gọi bù trực giao F dim(F ) + dim(F ⊥) = n nZ hV ie in m Sự trực giao TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 50 / 55 Ví dụ C o Sự trực giao on e Ví dụ Trong không gian R3 cho không gian W = {(x1, x2, x3) : x1 + x2 + x3 = 0} Tìm sở số chiều W ⊥ in hV ie nZ Bước Cơ sở W (−1, 1, 0), (−1, 0, 1) Bước x = (x1, x2, x3) ∈ W ⊥ nên x ⊥ (−1, 1, 0) x ⊥ (−1, 0, 1) Do ta có −x1 + x2 = ⇒ x1 = x3, x2 = x3 ⇒ −x1 + x3 = (x1, x2, x3) = x3(1, 1, 1) Vậy dim(W ⊥) = sở (1, 1, 1) m https://fb.com/sinhvienzonevn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 51 / 55 e C o Hình chiếu vng góc, khoảng cách Hình chiếu vng góc, khoảng cách hV ie nZ on Trong khơng gian Euclide E cho không gian F véctơ v tùy ý Véctơ v biểu diễn dạng v = f + g , f ∈ F , g ∈ F ⊥ Véctơ f gọi hình chiếu vng góc v xuống F Kí hiệu f = prF v Khoảng cách từ v đến không gian F d (v , F ) = ||g || = ||v − prF v || in m Sự trực giao TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 52 / 55 Ví dụ C o Sự trực giao nZ on e Ví dụ Trong R3 với tích vơ hướng tắc, cho khơng gian F =< (1, 1, 1), (0, 1, 1) > véctơ x = (1, 1, 2) Tìm hình chiếu vng góc prF x x xuống F khoảng cách từ x đến F in hV ie Bước Cơ sở F f1 = (1, 1, 1), f2 = (0, 1, 1) Bước x = f + g = λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) + g , g ∈ F ⊥ Bước < x, f1 > =< λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) + g , (1, 1, 1) > =m λ 1(3) + λ 2.2https://fb.com/sinhvienzonevn =< (1, 1, 2), (1, 1, 1) >= TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 53 / 55 C o Ví dụ ie nZ on e < x, f2 > =< λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) + g , (0, 1, 1) > = λ1(2) + λ2.2 =< (1, 1, 2), (0, 1, 1) >=   λ1 = 3λ1 + 2λ2 = ⇒ ⇔ 2λ1 + 2λ2 =  λ2 = hV Vậy hình chiếu vng góc prF x x xuống F 3 f = 1.(1, 1, 1) + (0, 1, 1) = 1, , 2 in m Sự trực giao TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 54 / 55 e C o Ví dụ hV ie nZ on Khoảng cách từ x đến F d (x, F ) = ||g || = 3 ||x − prF x|| = ||(1, 1, 2) − 1, , || = 2 1 1 || = 0.0 + + = || 0, − , 2 4 in m Sự trực giao TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 55 / 55 on e C o Ví dụ hV ie nZ THANK YOU FOR ATTENTION in m Sự trực giao TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 56 / 55 ... Không gian Euclide TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 / 55 C o Ví dụ nZ on e Ví dụ Khơng gian véctơ C[a,b] hàm số liên tục đoạn [a, b] khơng gian. .. m Không gian Euclide TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) cos θ = < f,g > ||f ||.||g || https://fb .com/ sinhvienzonevn KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 25 / 55 C o Ví dụ e 0 11 ie nZ = TS Lê Xuân Đại (BK... Không gian Euclide TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 11 / 55 C o Độ dài véctơ (chuẩn véctơ) nZ on e Định nghĩa Cho x ∈ E , E khơng gian Euclide,