đại số tuyến tính lê xuân đại tài liệu thực hành laboratory matlab sinhvienzone com

om Si nh Vi en Zo ne C TÀI LIỆU THỰC HÀNH LABORATORY SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn Mục lục Đại số tuyến tính 2.1 Các phép tốn ma trận, phép biến đổi sơ cấp 2.1.1 Các phép toán ma trận 2.1.2 Các phép biến đổi sơ cấp 33 33 33 37 Zo en Vi nh Si SinhVienZone.com C Find om 3 6 10 14 17 17 18 19 19 19 20 21 22 23 24 24 29 ne Matlab 1.1 Giới thiệu Matlab 1.2 Phép toán, biến, vector, ma trận 1.2.1 Biến 1.2.2 Phép toán 1.2.3 Vector 1.2.4 Ma trận 1.3 Biểu thức Logic 1.3.1 Các toán tử logic 1.3.2 Vec-tơ biểu thức logic 1.3.3 Các hàm logic: All, Any 1.4 Lệnh điều kiện vòng lặp 1.4.1 Lệnh IF 1.4.2 Lệnh FOR 1.4.3 Lệnh WHILE 1.4.4 Lệnh SWITCH CASE 1.4.5 Script Hàm 1.5 Vẽ đồ thị 1.5.1 Vẽ đồ thị 2-D 1.5.2 Vẽ đồ thị 3-D https://fb.com/sinhvienzonevn MỤC LỤC ne C om 2.2 Ma trận nghịch đảo, Phương trình ma trận Hệ phương trình tuyến tính 2.2.1 Ma trận nghịch đảo 2.3 Bài tập 2.3.1 Ma trận giả nghịch đảo 2.4 Bài tập 2.4.1 Giải phương trình ma trận 2.5 Bài tập 2.5.1 Hệ phương trình tuyến tính 2.5.2 Đưa dạng ma trận 2.5.3 Sử dụng tính tốn symbolic 2.6 Bài tập 2.7 Định thức, giải hệ phương trình tuyến tính định thức 2.7.1 Định thức 2.7.2 Giải hệ phương trình tuyến tính định thức 2.8 Bài tập 2.9 Đa thức đặc trưng, trị riêng vectơ riêng 2.10 Bài tập Si nh Vi en Zo Giải tích hàm biến 3.1 Các phép tốn tập hợp 3.1.1 Định nghĩa tập hợp cách khai báo tập hợp Matlab 3.1.2 Các phép toán tập hợp 3.1.3 BÀI TẬP 3.2 symbolic math 3.3 Các toán dãy số chuỗi số 3.3.1 Khái niệm dãy số, chuỗi số cách khai báo matlab 3.3.2 Một số hàm xử lí dãy số chuỗi số Matlab 3.3.3 Bài tập 3.4 Các toán vi phân hàm biến 3.4.1 Vi phân hàm biến 3.5 Các tốn giới hạn hàm số tính liên tục hàm số 3.5.1 Giới hạn hàm số 3.5.2 Sự liên tục hàm số 3.6 Các tốn tích phân hàm biến 3.6.1 Tích phân bất định SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 39 39 41 41 43 44 44 45 45 47 48 49 49 50 50 51 52 53 53 53 53 56 57 58 58 59 60 61 61 61 61 62 65 65 MỤC LỤC 3.6.2 3.6.3 3.6.4 Tích phân xác định Tích phân số Các hàm Matlab dùng cho toán vi phân hàm biến Bài tập Si nh Vi en Zo ne C om 3.6.5 SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 65 66 68 68 CHƯƠNG Giới thiệu Matlab ne 1.1 C om Matlab en Zo Matlab ngơn ngữ lập trình cấp cao sử dụng rộng rãi môi trường học thuật công nghệ Matlab xem lựa chọn ưu tiên có khả hỗ trợ tối ưu cho việc nghiên cứu dạy học mơn tốn học, kỹ thuật khoa học Matlab viết tắt từ MATrix LABoratory mục đích ban đầu Matlab xây dựng nên công cụ hỗ trợ việc tính tốn ma trận cách dễ dàng nh Vi Một nhiều lý khiến người sử dụng thích dùng Matlab chế độ tương tác (interactive mode) Ở chế độ này, sau gõ câu lệnh thực thi, kết in cửa sổ dòng lệnh (command window) Si Tuy nhiên, người dùng cần thực thi câu lệnh khơng cần in kết cửa sổ dòng lệnh, ta thêm dấu chấm phẩy (;) sau câu lệnh SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn Zo ne C om 1.1 Giới thiệu Matlab en Hơn nữa, bên trái hình, người dùng thấy tab Current directory, Workspace Command history Trong đó, nh Vi • Current directory: thể thư mục làm việc Khi muốn hực thi tập tin m đó, người dùng phải chắn tập tin m phải nhìn thấy tab Si • Workspace: chứa danh sách biến khai báo sử dụng chương trình Ở tab này, người dùng đọc tên biến, giá trị, kích thước biến, • Command history: chứa danh sách câu lệnh thực thi cửa sổ dòng lệnh (command window) Người dùng nhấp đơi vào lệnh để chương trình thực lại lệnh Hoặc người dùng dùng phím mũi tên lên (↑), xuống (↓) cửa sổ dòng lệnh để tìm lại lệnh mà chương trình thực thi SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 1.1 Giới thiệu Matlab Bên cạnh đó, Matlab trì chế độ kịch (script mode) hỗ trợ cho người dùng lập trình hàm hay chương trình từ đơn giản đến phức tạp Các câu lệnh lưu tập tin có m (ví dụ: example.m) thực thi lần chương trình khởi chạy Để tạo tập tin m, người dùng vào File chọn New → M-File hay nhấn vào biểu tượng nằm MATLAB Toolbar Si nh Vi en Zo ne C om Trong Matlab, muốn viết dòng thích, ta đặt dấu phần trăm (%) đầu dòng Tiện lợi hơn, ta sử dụng phím tắt Ctrl+R để biến dòng chọn trở thành thích Ctrl+T để loại bỏ ký hiệu thích trước dòng thích SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 1.2 Phép toán, biến, vector, ma trận Để thực thi tập tin m, ta nhấn vào biểu tượng nằm Editor Toolbar sử dụng phím tắt F5 Tương tự ngơn ngữ lập trình khác, chế độ kịch bản, Matlab hỗ trợ cơng cụ debug giúp người dùng kiểm tra chương trình bước nhằm phát lỗi sai q trình viết 1.2.1 Phép tốn, biến, vector, ma trận Biến om 1.2 ne en Zo >> num = 98 num = 98 >> pi = 3.1415926535897931 pi = 3.1416 >> msg = ’Good morning’ msg = Good morning C Trong ngơn ngữ lập trình Matlab, biến (variable) khai báo khởi tạo thông qua câu lệnh gán nh Vi Tên biến bao gồm ký tự chữ, số ký hiệu gạch (_) Tên biến phải bắt đầu ký tự chữ có độ dài tùy thích Tuy nhiên, Matlab ghi nhớ 31 ký tự Đồng thời, Matlab phân biệt chữ in chữ thường đặt tên biến tên chương trình Si Các kiểu tên biến hợp lệ: arg1, no_name, vars, Vars Khi tên biến đặt không hợp lệ, Matlab xuất thông báo: >> 4rum = ’Forum’ ??? 4rum = ’Forum’ | Error: Unexpected MATLAB expression SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 1.2 Phép toán, biến, vector, ma trận Nếu tên biến chưa khởi tạo mà xuất chạy dòng lệnh đó, Matlab xuất thông báo: ??? Undefined function or variable om Chú ý: Trong ngơn ngữ lập trình Matlab, biến khởi tạo xem mảng Nếu biến có giá trị đơn mảng có kích thước 1x1 Nếu biến ma trận vector kích thước mảng kích thước ma trận vector Đây điểm khác biệt Matlab so với ngơn ngữ lập trình khác Để lấy kích thước biến, ta sử dụng hàm size() Zo ne C >> size(num) ans = 1 >> size(msg) ans = 12 1.2.2 en Ngôn ngữ lập trình Matlab xem chuỗi ký tự mảng chiều chứa ký tự Do đó, kích thước biến msg dòng, 12 cột Phép tốn Vi Matlab cung cấp phép toán số học sau Si nh Phép toán Cộng Trừ Nhân Chia phải Chia trái Lũy thừa SinhVienZone.com Dạng đại số a+b a−b a∗b a/b b/a ab Matlab a+b a-b a*b a/b a\b aˆb https://fb.com/sinhvienzonevn 1.2 Phép toán, biến, vector, ma trận >> 1+2; 5-3; 2*4; ˆ 2*(10-4); >> 9/3 ans = >> 9\3 ans = 0.3333 C ne Zo en Si nh Vi >> round(1.6) ans = >> floor(10.8) ans = 10 >> mod(10,8) ans = >> gcd(45,30) ans = 15 >> lcm(45,30) ans = 90 >> sqrt(9) ans = om Hơn nữa, Matlab hỗ trợ số hàm số học đơn giản hàm làm tròn round (), làm tròn lên ceil (), làm tròn xuống floor (), lấy phần dư mod (), tìm ước chung lớn gcd (), tìm bội chung nhỏ lcm(), hàm lấy sqrt() Ngoài có phép tốn so sánh (==), khác (∼=), lớn (>), nhỏ (=), nhỏ (> sym x; >> syms y z t; >> f=inline(sin(x*y*z)) Si Inline function: f(x,y,z) = sin(x.*y.*z) Một số hàm biến/hằng toán học Matlab Tên hàm cos(x) sin(x) SinhVienZone.com Ghi Tên hàm exp(x) log(x) Ghi hàm e mũ logarit tự nhiên https://fb.com/sinhvienzonevn 3.3 Các toán dãy số chuỗi số om C ne Zo logarit số 10 trị tuyệt đối bậc hai phần thực phần ảo số phức liên hợp làm tròn làm tròn 1(dương)/0/-1(âm) phần dư y/x phần dư y/x giá trị biểu thức giá trị hàm giá trị hàm đa thức giá trị hàm đa thức giá trị hàm đa thức xếp theo thứ tự tăng giá trị hàm đa thức π ∞ Không-là-một-số (không xác định) danh sách đối số Vi Các toán dãy số chuỗi số Khái niệm dãy số, chuỗi số cách khai báo matlab Si 3.3.1 log10(x) abs(x) sqrt(x) real(x) imag(x) conj round fix sign(x) mod(y,x) rem(y,x) eval(f) feval(f,a) polyval polyval poly sort poly pi Inf, inf nargout varargout nh 3.3 cos (x) sin−1 (x) −π/2 ≤ tan−1 ≤ π/2 −π ≤ tan−1 ≤ π (ex + e−x )/2 (ex − e−x )/2 (ex − e−x )/(ex + e−x ) cosh−1 (x) sinh−1 (x) tanh−1 (x) giá trị lớn số giá trị bé số tổng tổng tích chuẩn vector ma trận nghiệm đa thức sqrt(−1) vòng lặp while/for số đối số vào danh sách đối số vào −1 en tan(x) acos(x) asin(x) atan(x) atan2(x) cosh(x) sinh(x) tanh(x) acosh(x) asinh(x) atanh(x) max sum sum prod norm roots i,j break nargin varargin 59 Dãy số chuỗi số Dãy số xem danh sách số có thứ tự x1 , x2 , x3 , , xn , Trong a1 giá trị đầu tiên, a2 giá trị thứ Tổng quát an giá trị thứ n Đối với dãy vô hạn, giá trị sau xn tồn xn+1 Người ta kí hiệu sau {xn } {xn }∞ n=1 Ví dụ : Ta có dãy số {xn } = n1 Trong x1 = 1, x2 = 12 , xk = k1 , xk+1 = , k+1 SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 3.3 Các toán dãy số chuỗi số 60 Một số hàm xử lí dãy số chuỗi số Matlab C 3.3.2 om Chuỗi số định nghĩa thơng qua dãy số, phần tử thứ n sn = ni=1 xi 1 Ví dụ : Chuỗi ∞ n=1 n xem dãy số có s1 = n=1 n = 1, s2 = k 1 1 1 n=1 n = + , , sk = n=1 n = + + + k , sk+1 = sk + k+1 Cách khai báo dãy số chuỗi số Matlab Để khai báo chuỗi matlab ta làm sau : ví dụ trường hợp chuỗi xn = n1 ta làm sau : syms n; xn = 1/n ; Tương tự chuỗi số, chuỗi sn khai báo sau : syms k n; sn = symsum(1/k, 1, n) ; k chuỗi hàm ∞ k=1 x ta khai báo sau : syms x, k, n; sn=symsum(xˆk, k, 1, n) Si nh Vi en Zo ne Hàm tính giới hạn (limit) Hàm limit Matlab dùng để tính giới hạn dãy số theo nhiều cách sau : limit(xn,n,a) dùng để tính giới hạn dãy xn n dần giá trị a limit(xn,n,a,right) ; limit(xn,n,a,left) dùng tính giới hạn bsên x tiến a từ phía Ví dụ : Cho dãy xn = 1/n Giới hạn xn n → ∞ tính Matlab limit(xn, n, inf) = 0, n → 5, limit(xn, n, 5) = 1/5 Hàm tính tổng theo biến (symsum) Như phần ví dụ chuỗi, hàm symsum dùng để tính tổng theo biến Cú pháp hàm symsum Matlab sau : symsum(S,v,a,b), S biểu thức phụ thuộc vào v (S = 1v ), S hàm số phụ thuộc vào v (S = xv , x biến) v số ta muốn tính tổng theo S theo v từ a đến b Biểu diễn dãy (plot) Dãy số hay chuỗi số gồm vơ hạn phần tử, nhiên để minh hoạ máy, ta chọn đến phần tử thứ N dãy hay chuỗi để minh hoạ Ví dụ : Cho N = 1000, ta làm sau : for i = : N X(i) = 1/i; end; plot(X); SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 3.3 Các toán dãy số chuỗi số 3.3.3 61 Bài tập Dùng đồ thị mô tả dãy/chuỗi số sau để xem chúng hội tụ hay phân kỳ (cho trước n đủ lớn) Nếu chúng hội tụ, ước lượng giá trị hội tụ √ a an = (−1)n n+1 b an = + { −2 }n c an = sin(n) d an = nn! e.an = n π n Si nh Vi en Zo ne C om (3n + 5n )1/n f 1.2.3 (2n−1) g 1.2.3 (2n−1) (2n)n n! Tính 20 tổng riêng chuỗi sau Vẽ hệ trục dãy số hạng tử chuỗi dãy giá trị tổng riêng chuỗi Xét xem chúng hội tụ hay phân kỳ Nếu hội tụ tính giá trị hội tụ Nếu phân kỳ giải thích ∞ 2n2 −1 ∞ ∞ 12 n−1 e ∞ a ∞ n=1 n2 +1 c n=1 tan(n) d n=1 (0.6) n=1 151.5 − n=1 (−5)n b ∞ 1 2n f ∞ n=2 n(n−1) g n=1 3n+1 (n+1)1.5 Xét xem chuỗi sau hội tụ hay phân kỳ định nghĩa dùng vòng lặp while tăng n với epsilon đủ nhỏ cho trước Nếu chúng hội tụ, tính giá trị hội tụ ∞ (−6)n−1 πn d a.3 + + 34 + 98 + b 18 − 14 + 21 − + c ∞ n=1 5n−1 n=0 3n+1 (3n +2n ) n−1 − 0.3n f ∞ e ∞ n=1 0.8 n=1 6n Tìm giá trị n vừa đủ để chuỗi hội tụ (dùng vòng lặp while để tăng n) (−1)n+1 a ∞ (sai số nhỏ 0.001) n=1 n4 ∞ (−2)n b n=1 n! (sai số nhỏ 0.01) (−1)n n c ∞ (sai số nhỏ 0.002) n=1 4n Ước lượng giá trị tổng chuỗi đến chữ số thập phân (theo tư tưởng trên) (−1)n n (−1)n (−1)n+1 b ∞ c ∞ a ∞ n=1 n=1 3n n! n=1 n5 8n Tìm giới dãy số sau : √ hạn nπ ∞ n ∞ a an = { n − 3}n=3 b an = { n+1 }∞ n=1 c an = {cos }n=0 Liệt kê phần tử dãy số sau : n+1 c a1 = 3, an+1 = 2an − Liệt kê phần a an = − (0.2)n b an = 3n−1 tử dãy số sau cho có tồn giới hạn hay khơng Nếu dãy số sau tồn giới hạn giới hạn an = n2n + Nếu 1000 đôla đầu tư với lợi nhuận 0.6% Sau n năm vốn đầu tư lên đến 1000(1.6)n a Liệt kê phần tử dãy số b Dãy số có hội tụ hay khơng? Giải thích SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 3.4 Các toán vi phân hàm biến 62 10 Chỉ giá trị r để dãy nr n hội tụ 3.4 3.4.1 Các toán vi phân hàm biến Vi phân hàm biến Giới hạn hàm số C 3.5.1 Các toán giới hạn hàm số tính liên tục hàm số ne 3.5 om Cho hàm số thực f (x) khoảng mở (a,b) x ∈ (a, b) Ta f khả vi (x) x lim→0 f (x+h)−f tồn số thực Khi ta ký hiệu h giới hạn f (x) gọi đạo hàm f x Zo Trong matlab ta dùng lệnh limit để tính giới hạn hàm số Cụ thể: LIMIT(f,x,a): Tính giới hạn hàm số f x tiến a LIMIT(f,x,a,’right’) LIMIT(f,x,a,’left’): Tính giới hạn trái giới hạn phải hàm số x tiến a en sin(x) , tìm giới hạn f x −→ x Trong matlab ta làm sau: Vi Ví dụ 3.5.1 Cho f (x) = Si ans = nh >> syms x >> limit(sin(x)/x,x,0) Ngoài matlab tính giới hạn trái giới hạn phải hàm số Ví dụ 3.5.2 Cho f (x) = , tìm giới hạn f x −→ 0+ x −→ 0− x Trong matlab ta làm sau: SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 3.5 Các tốn giới hạn hàm số tính liên tục hàm số 63 >> syms x >> limit(1/x,x,0,’right’) ans = inf >> limit(1/x,x,0,’left’) ans = om -inf C Ngồi áp dụng hàm LIMIT để tính đạo hàm hàm số định nghĩa đạo hàm Định nghĩa 3.5.3 Đạo hàm hàm số f a, ký hiệu f (a) Zo giới hạn tồn ne f (x + h) − f (x) h→0 h f (a) = lim Ví dụ 3.5.4 Cho hàm số f (x) = arctan(x), tìm f (a) với a ∈ R ? ans = Sự liên tục hàm số Si 3.5.2 nh 1/(1+a^2) Vi en >> syms a >> limit((atan(a+h)-atan(a))/h,h,0) Định nghĩa 3.5.5 Hàm số f liên tục a lim f (x) = f (a) x→a Như để hàm số liên tục điểm hàm số phải thỏa ba điều kiện sau: SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 3.5 Các toán giới hạn hàm số tính liên tục hàm số 64 f (a) xác định với a phần tử tập xác định, limx→a f (x) tồn tại, limx→a f (x) = f (a) Dựa vào định nghĩa hàm số liên tục điểm, sử dụng câu lệnh matlab sau: Tính giới hạn hàm số f x → a lệnh LIMIT Tính giá trị hàm số a lệnh SUBS om Ví dụ 3.5.6 Cho ne >> syms x >> limit((x^3-2*x^2-x+2)/(x-2),x,2) C   x3 − 2x2 − x + x=2 f (x) = x−2  x=2 Zo ans = en Vi Vì limx→2 f (x) = = = f (2) nên f không liên tục x = Ngược lại, f liên tục tất điểm x = Cụ thể, xét liên tục f x = 0: Si ans = nh >> syms x >> limit((x^3-2*x^2-x+2)/(x-2),x,0) -1 Bài tốn 3.5.7 Tìm hiểu lệnh SUBS trường hợp có nhiều biến Áp dụng lệnh LIMIT để tính giới hạn hàm số trường hợp hàm nhiều biến SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 3.5 Các toán giới hạn hàm số tính liên tục hàm số 65 Bài tập 3.5.8 Khảo sát tính liên tục hàm số a Vẽ đồ thị hàm số f (x) = ln |x − 2| a=2 f (x) = x=1 a=1 x−1 x=1 f (x) = ex x < a = x2 x ≥ x=3 a=3 x=3 Zo a=0 C a=1 ne   x2 − x x=1 −1 f (x) = x  x=1   cos(x) x < f (x) = x=1  1−x x >   2x2 − 3x − f (x) =  x−3 om y = ln (tan2 x) Vi en Bài tập 3.5.9 Vẽ đồ thị hàm số xác định điểm bất liên tục hàm số 1 y = + e1/x f (x) = Si nh Bài tập 3.5.10 Sử dụng matlab chứng minh hàm số liên tục R? f (x) = x2 x < √ x x≥1 sin(x) x < π/4 cos(x) x ≥ π/4 Bài tập 3.5.11 Xác định f (0) có tồn hay khơng? SinhVienZone.com f (x) = x sin x=0 x x=0 https://fb.com/sinhvienzonevn 3.6 Các tốn tích phân hàm biến x2 sin f (x) = f (x) = arctan f (x) = x=0 x x=0 a2 − x2 a2 + x2 1 arctan ln x x Các tốn tích phân hàm biến om 3.6 66 Trong matlab, để tính tích phân hàm biến dùng lệnh INT Tích phân bất định C 3.6.1 INT(f,x): Tính tích phân bất định hàm f theo biến x en ans = Zo >> syms x >> int(x^3*atan(x),x) ne Ví dụ 3.6.1 Tính tích phân bất định hàm số f (x) = x3 arctan(x)? Vi 1/4*x^4*atan(x)-1/12*x^3+1/4*x-1/4*atan(x) Tích phân xác định Si 3.6.2 nh Chúng ta rút gọn kết tính hình thức hàm SIMPLE SIMPLIFY INT(f,x,a,b): Tính tích phân xác định hàm f theo biến x với cận lấy tích phân từ a đến b Ví dụ 3.6.2 Tính tích phân xác định π/4 x3 arctan(x)dx I = f (x) = SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 3.6 Các tốn tích phân hàm biến 67 >> syms x >> I=int(x^3*atan(x),x,0,pi/4) I = 1/1024*pi^4*atan(1/4*pi)-1/768*pi^3+1/16*pi-1/4*atan(1/4*pi) Kết cho thấy matlab hiểu pi biến hình thức Do để biểu diễn kết dạng số thực ta dùng lệnh EVAL sau: om >> I=eval(I) I = ne 3.6.3 C 0.0529 Tích phân số Vi en Zo Trong thực tế, nhiều tích phân khơng thể tính ngun hàm Trong trường hợp đó, sử dụng tích phân số để tính tích phân xác định Matlab cung cấp cho hàm tính tích phân số: QUAD Hàm QUAD dùng để tính tích phân số phương pháp cầu phương Sinh viên tìm hiểu phương pháp tích phân cầu phương giáo trình Giải tích số Si nh Ví dụ 3.6.3 Tính tích phân xác định sau phương pháp tích phân cầu phương gần x e arctan(x2 ) I = f (x) = dx cos(x) >> F = inline(’exp(x).*atan(x.^2)./cos(x)’); >> Q=quad(F,0,1) Q = 0.9230 SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 3.6 Các tốn tích phân hàm biến 68 Bài tập 3.6.4 Viết hàm đoạn chương trình tính xấp xỉ tích phân xác định phương pháp điểm sau: n b a f (x)dx ≈ f (¯ xi )∆x, i=1 b−a , x¯i = (xi−1 + xi ) Áp dụng tính tích phân xác n định khoảng (a, b) xác đến tám chữ số thập phân So sánh kết phương pháp với kết lệnh QUAD ∆x = ex dx + e2x 10 √ x + 1dx π/2 cos x2 dx 5 x2 e−x dx om C ne tan4 xdx Zo 1 Bài tập 3.6.5 Hàm tích phân sine x en Si(x) = sint dx t Vẽ đồ thị Si nh Vi có vai trò quan trọng kỹ thuật điện Hàm số có tiệm cận ngang hay khơng? Tìm điểm mà hàm đạt cực đại địa phương Si Tìm tọa độ điểm uốn phía bên phải gốc tọa độ Bài tập 3.6.6 Sử dụng đồ thị ước lượng giao điểm hàm số với trục hoành Ox tính xấp xỉ diện tích nằm bên đường cong bên trục Ox hàm số bên SinhVienZone.com y = x + x2 − x4 https://fb.com/sinhvienzonevn 3.6 Các tốn tích phân hàm biến 69 y = 2x + 3x4 − 2x6 Bài tập 3.6.7 Cho vật thể có biên giới hạn trục Oy, đường thẳng √ y = 1, đường cong y = x Tính diện tích vật thể? Bài tập 3.6.8 Cho đường cong có phương trình y = x2 (x + 3) Đồ thị đường cong có phần tạo hình hình vòng cung Hãy vẽ đồ thị tính diện tích hình tạo hình vòng cung 3.6.4 Các hàm Matlab dùng cho toán vi phân hàm biến Si nh Vi en Zo ne C om Đạo hàm cấp k theo biến (diff) Hàm diff dùng để tìm đạo hàm cấp k hàm số f (x, y) theo biến x theo cú pháp diff(f, x, k) hay theo biến y theo cú pháp diff(f, y, k) Nhưng hàm số phụ thuộc vào biến x ta có diff(f, k) Ví dụ : Tìm đạo hàm cấp hàm số f (x) = x2 − cos(x), ta làm sau : syms x;f = x2 − cos(x); diff(f) = 2*x - sin(x) Tìm đạo hàm cấp hàm số f (x, y) = x2 − sin(x) − x ∗ y theo biến y, ta làm sau : syms x y;f = x2 − sin(x) − x ∗ y ; diff(f, y, 3) = 0; Khai triển Taylor Khai triển Taylor dùng để xấp xỉ hàm số có đạo hàm cấp thành đa thức bậc n lân cận điểm cho trước, với sai số cho phép Hàm Taylor Matlab taylor có cú pháp sau : taylor(f(x)) khai triển Taylor hàm f(x) đến bậc 5, vùng lân cận taylor(f(x),n) khai triển Taylor hàm f(x) đến bậc n-1, vùng lân cận taylor(f(x),a) khai triển Taylor hàm f(x) đến bậc 5, vùng lân cận a taylor(f(x),a,n) khai triển Taylor hàm f(x) đến bậc n-1, vùng lân cận a 3.6.5 a a Bài tập Tìm đạo hàm cấp sau : √ hàm số √ f (x) = x6 b f (x) = x c f (x) = x x Tìm đạo hàm cấp cấp √ hàm số sau : f (x) = x − 3x − 16x b f (x) = x + x c f (x) = sin(x)x + x4 Phương trình chuyển động chất điểm có dạng s = t3 − 3t Trong SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 3.6 Các tốn tích phân hàm biến 70 Si nh Vi en Zo ne C om s có đơn vị mét t có đơn vị giây Tìm a Vận tốc gia tốc chuyển động b Gia tốc chuyển động sau giây c Gia tốc chuyển động vận tốc Một chất điểm chuyển động có dạng phương trình s = 2t3 − 7t2 + 4t + Trong s có đơn vị mét t có đơn vị giây Tìm a Vận tốc gia tốc chuyển động b Gia tốc chuyển động sau giây c Vẽ đồ thị chuyển động, với vận tốc gia tốc Tìm đường cong y = 2x3 +3x2 −12x+1 điểm mà tiếp tuyến với đường cong điểm song song với trục hồnh Phương trình y + y − 2y = x2 gọi phương trình vi phân chứa hàm số chưa biết y(x), đạo hàm cấp cấp Tìm hệ số A, B C để hàm số y = Ax2 + Bx + C nghiệm phương trình vi phân Với giá trị x đồ thị hàm số f (x) = x3 + 3x2 + x + có tiếp tuyến song song với trục hồnh So sánh đạo hàm hàm số f (x) = ex g(x) = xe Hàm số tăng nhanh x lớn? Tìm đạo hàm cấp cấp hàm số f (x) = 2x − 5x3/4 nhận xét 10 Tìm vị trí đường cong f (x) = + 2ex − 3x cho tiếp tuyến song song với đường thẳng 3x − y = Vẽ đồ thị hai đường hàm số hàm ezplot Matlab x2 Tìm f (1) 11 Cho hàm số f (x) = x+1 12 Một nhà máy sản xuất bó sợi với chiều rộng cố định Cố lượng sợi q (đơn vị yards) bán hàm giá bán p (đơn vị đơla), biểu diễn dạng q = f (p) Tổng thu nhập với giá bán cố định p R(p)= pf(p) a Có ý nghĩa nói f (20) = 20000 f (20) = −350 b Dùng câu a, tính R (20) 13 Khai triển Taylor hàm số f (x) lân cận (bậc 5) a f (x) = ex b f (x) = sin(x) c f (x) = cos(x) d.f (x) = ln(x) Sau so sánh giá trị xấp xỉ giá trị điểm 0.4 0.1 14 Khai triển Taylor hàm số f(x) lân cận đến cấp x a xex b cosh(x) c ln(1 + x) d 4+x SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn ... trận thực ngẫu nhiên khoảng [0,1]: rand (số dòng, số cột) rand(n) (ma trận vng cấp n) • Ma trận tồn số một: ones (số dòng, số cột) • Ma trận vng cấp n: ones(n) SinhVienZone. com https://fb .com/ sinhvienzonevn... (↓) cửa sổ dòng lệnh để tìm lại lệnh mà chương trình thực thi SinhVienZone. com https://fb .com/ sinhvienzonevn 1.1 Giới thiệu Matlab Bên cạnh đó, Matlab trì chế độ kịch (script mode) hỗ trợ cho người... toán Cộng Trừ Nhân Chia phải Chia trái Lũy thừa SinhVienZone. com Dạng đại số a+b a−b a∗b a/b b/a ab Matlab a+b a-b a*b a/b a aˆb https://fb .com/ sinhvienzonevn 1.2 Phép toán, biến, vector, ma