2 NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC TUYẾN
2.5Tính trơn nghiệm suy rộng của phương trình Eliptic tuyến tính
Eliptic tuyến tính cấp hai.
Ta có định lý sau về độ trơn ủa nghiệm suy rộng ở bên trong miền.
Định lí 2.8. Cho hàm u∈W21(Ω) là nghiệm suy rộng của bài toán Lu=f trong
Ω, trong đó L là elliptic ngặt trong Ω, các hệ số aij, bi, i, j = 1, . . . , n là điều kiện liên tục Lípchitz đều trong Ω, các hệ số ci, d, i = 1, . . . , n về cơ bản là bị chặn trong Ω và hàm f trong L2(Ω). Khi đó, miền con Ω0 ⊂⊂Ω ta có u∈W22(Ω0) và
kukW2 2(Ω0) ≤C(kukW1 2(Ω)+kfkL2(Ω)), (2.102) với C =C(n, λ, K, d0), trong đó K = max n kaij, bikC0 1(Ω),kci, dkL∞(Ω) o , và d0 =dist(Ω0, ∂Ω)
Khi đó các hệ số và vế phải của phương trình (2.102) có độ trơn được tăng lên thì tính trơn của nghiệm suy rộng cũng tăng lên.
Định lí 2.9. Cho hàm u∈W21(Ω) là nghiệm suy rộng của bài toán Lu=f trong
Ω, trong đó Ω là L là elliptic ngặt trong Ω, các hệ số aij, bi ∈ Ck,1(Ω), các hệ số ci, d ∈ Ck−1,1(Ω) và hàm f ∈ W2k(Ω), k ≥ 1. Khi đó, miền con Ω0 ⊂⊂ Ω ta có
u∈W2k+2(Ω0) và kukWk+2 2 (Ω0) ≤C(kukW1 2(Ω)+kfkWk 2(Ω)) (2.103) với C =C(n, λ, K, d0, k), trong đó K = max{kaij, bikCk,1(Ω),kci, dkCk−1,1(Ω)}
Hệ quả 2.1. Cho hàm u ∈W21(Ω) là nghiệm suy rộng của elliptic ngặt của bài toán Lu = f trong Ω, và giả sử hàm aij, bi, ci, d, f trong C∞(Ω). Khi đó, hàm
KẾT LUẬN Luận văn này đã trình bày các vấn đề sau đây:
- Phát biểu các định lý Riez, định lý Lax-Milgram, và định lý Fredholm. Nêu định nghĩa không gian Lp(Ω), đạo hàm riêng suy rộng, và không gian Wpl(Ω). Phát biểu định lý nhúng và vết của hàm số trên mặt cong (n−1) chiều.
- Chứng minh các bất đẳng thức cơ bản thứ nhất, bất đẳng thức cơ bản thứ hai, phát biểu định lý sự tồm tại nghiệm suy rộng của phương trình elliptic và tính giải được của bài toán biên Dirichlet trong không gian W21(Ω);W22(Ω).
Tài liệu tham khảo
[1] O.A.Ladyzhenskaya (1985),The Boundary Value Problems of Mathematical Physics, Applied Mathematical Sciences 49, Springer – Verlag, New York, Berlin, Heidelberg Tokyo.
[2] David Gilbarg.Neil, S. trudinger (2001), Elliptic Pastial Differen Equations of Second Order, Springer - Verlag, Berlin, Heidelberg, New York.