Phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai với hai biến độc lập

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ TÂM PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HAI BIẾN ĐỘC LẬP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ TÂM PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HAI BIẾN ĐỘC LẬP Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Hà Tiến Ngoạn THÁI NGUYÊN – 2012 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Lớp hàm Holder ……………………………………………… 1.1.1 Liên tục Holder ……………………………………… 1.1.2 Không gian C k ,   ………………………………… 1.2 Đánh giá ánh xạ bảo giác…………………………… 1.2.1 Đánh giá tích phân Dirichlet ánh xạ bảo giác………………………………………………… 1.2.2 Đánh giá chuẩn Holder ánh xạ bảo giác……… 12 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai với hai biến độc lập 16 2.1 Đánh giá địa phương chuẩn Holder cho đạo hàm cấp nghiệm phương trình tuyến tính cấp hai……………… 16 2.2 Đánh giá tồn cục chuẩn Holder cho đạo hàm cấp nghiệm phương trình tuyến tính cấp hai………………… 20 2.3 Tính giải tốn biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai……………………………… 22 2.4 Tính giải tốn biên Dirichlet cho phương trình elliptic khơng tuyến tính cấp hai………………………… 28 2.5 Sự tương đương độ nghiêng bị chặn điều kiện ba điểm 35 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lý chọn Luận văn Phương trình đạo hàm riêng cấp hai loại elliptic có q trình phát triển lâu dài Trường hợp phương trình với hai biến độc lập có mối liên quan chặt chẽ với lý thuyết hàm chỉnh hình ánh xạ bảo giác mặt phẳng phức Mục tiêu Luận văn trình bày lý thuyết phương trình elliptic tuyến tính cấp hai với hai biến độc lập Khác với trường hợp số biến lớn ba, trường hợp hai biến, người ta khơng địi hỏi hệ số phương trình hàm trơn, mà cần hàm liên tục Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kết phương pháp lý thuyết ánh xạ bảo giác lý thuyết phương trình elliptic cấp hai tuyến tính với phương pháp lặp Mục đích Luận văn Trình bày tính chất định tính độ trơn nghiệm phương trình elliptic tuyến tính cấp hai với hai biến độc lập Nội dụng luận văn Nội dung chủ yếu Luận văn dựa vào chương tài liệu [1] Trong chương Luận văn trình bày khái niệm ánh xạ bảo giác với đánh giá tiên nghiệm lớp Holder chúng Các kết chương áp dụng chương vào đánh giá tiên nghiệm tính giải tốn Dirichlet cho phương trình tuyến tính elliptic không Đối với trường hợp elliptic không đều, toán Dirichlet xét miền lồi với kiện biên thoả 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn mãn điều kiện độ nghiêng bị chặn Luận văn điều kiện độ nghiêng bị chặn tương đương với điều kiện ba điểm Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo nhiệt tình PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, Viện tốn học Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, phịng Đào tạo, khoa Tốn – trường Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học tốn K18B ln quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập q trình làm Luận văn Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên Luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc Thái Ngun, tháng 08 năm 2012 Tác giả Trần Thị Tâm 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Lớp hàm Holder 1.1.1 Liên tục Holder Định nghĩa 1.1 Cho x0 điểm n f hàm xác định miền bị chặn D chứa x0 Nếu    , ta nói f liên tục Holder với số mũ  x0 nếu: f (1.1)  ; x0  sup f  x   f  x0  xD x  x0 x  x0  hữu hạn Ta gọi  f  ;x hệ số Holder bậc α f x0 Nếu f liên tục Holder x0 f liên tục x0 Khi (1.1) hữu hạn với   , f liên tục Lipschitz x0 Ví dụ 1.2 Hàm f B1  0 cho f  x   x ,    liên tục  Holder với số mũ  liên tục Lipschitz   1, B1  0 hình cầu đơn vị Định nghĩa 1.3 Ta nói f liên tục Holder D với số mũ  đẳng thức: 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn f (1.2)  sup  ;D x , yD x y f  x  f  y x y  ,    1, hữu hạn Ta nói f liên tục Holder địa phương với số mũ  D f liên tục Holder với số mũ  tập compact D 1.1.2 Không gian C k ,   Cho  tập mở n k số nguyên không âm C k ,   không gian hàm f  C k    mà đạo hàm riêng cấp k liên tục Holder với số số mũ   Để đơn giản ta viết:     C 0,     C     , C 0,   C   Và ta hiểu với    ký hiệu sử dụng nào, trừ có quy ước khác Cũng vậy, ta đặt:     C k ,0     C k    , C k ,0   C k     số không gian Chúng bao gồm không gian C k    , C k     với    Ta ký hiệu C C k ,    , C k ,  k ,   không gian hàm C k ,   có giá compact  Ta đặt: u   D k u 0;  supsup D  u , u   D k u  ;  sup  D  u  ; k ,0; (1.3) k , ;  k  k  0,1,2,  k Với nửa chuẩn này, ta định nghĩa chuẩn tương ứng: 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn u C    u k ;  u k ,0;   u  j ,0;    D ju  0; , j 0 j 0 k k k (1.4) u   C k ,   u k , ;  u k ;  u k , ;  u k ;   D k u  ; ,     không gian C k  , C k ,  tương ứng Đặc biệt, đôi lúc ta đưa vào     chuẩn không thứ nguyên C k  , C k ,  :  bị chặn, với d đường kính  , ta đặt, u C     u k ;   d j u  j ,0;   d j  D j u  0; , k k j 0 j 0 k (1.5) u C     u k , ;  u k ;  d k  u k , ;  u k ;  d k   D k u  ; k ,     Các không gian C k  , C k ,  với chuẩn tương ứng khơng gian Banach Ta ý rằng, tích hàm liên tục Holder liên tục Holder Thật       vậy, u  C   , v  C   , ta có uv  C      ,   , uv C    max 1, d    2  u  (1.6)   C  v   C  ; uv C    u C    v C      1.2 Đánh giá ánh xạ bảo giác Nhiều khái niệm phương pháp khác lý thuyết hàm đóng vai trị đặc biệt lý thuyết phương trình elliptic hai biến Ở chủ yếu quan tâm đến đánh giá tiên nghiệm phát sinh từ lý thuyết ánh xạ bảo giác Một ánh xạ khả vi liên tục p  p  x, y  , q  q  x, y  từ miền  8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn mặt phẳng z   x, y  tới mặt phẳng w   p, q  bảo giác hay K  bảo giác, miền  với số K  , ta có: px2  p y2  qx2  q y2  2K  px q y  p y qx  (1.7) với  x, y   Mặc dù bất đẳng thức (1.7) thỏa mãn cho p q C1    , phần kết phát triển cho p, q liên tục có đạo hàm yếu bình phương khả tích Khi K  1, (1.7) kéo theo p q số ta giả thiết K  Với K  1, ánh xạ w  z   p  z   iq  z  hàm giải tích z Khi K  bất đẳng thức (1.7) có ý nghĩa hình học điểm khơng triệt tiêu Jacobian ánh xạ mặt phẳng z mặt phẳng w bảo toàn định hướng ánh xạ đường tròn đủ nhỏ vào đường elliptic đủ nhỏ với tâm sai bị chặn đều, tỉ số trục nhỏ tới trục lớn bị chặn   K   K  1  1/2 Ta quan tâm đến lớp ánh xạ tổng quát  x, y    p, q  xác định bất đẳng thức: (1.8) px2  p y2  qx2  q y2  K  px q y  p y qx   K ' K , K ' số, với K  1, K '  Mặc dù ý nghĩa hình học khơng giống nhau, ta gọi ánh xạ tuân theo (1.8)  K , K '  bảo giác Trong phát triển tiếp theo, ta thấy ánh xạ thỏa mãn (1.7) (1.8) phát sinh từ phương trình elliptic hai biến với p  q biểu diễn đạo hàm cấp nghiệm Mục đích phần đưa đánh giá tiên nghiệm lớp Holder cho ánh xạ  K , K '  bảo giác Kết hệ bổ đề liên quan đến công thức tính tích phân Dirichlet: 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.9) D(r , z )   Br   w Dw dx dy  (z) x 2   wy dx dy Br ( z ) ánh xạ  K , K '  bảo giác w lấy đĩa Br  z  Khi để đơn giản ta viết D r  thay cho D r , z  Br thay cho Br ( z ) 1.2.1 Đánh giá tích phân Dirichlet ánh xạ bảo giác Bổ đề 1.4 Giả sử w  p  iq  K , K '  bảo giác hình trịn BR  BR ( z0 ) thỏa mãn (1.8) với K  0, K  , giả sử p  M BR Khi với r  R / , ta có (1.10) 2 r D(r )   Dw dx dy  C   ,   K  ( K  1)1/2 , R Br với C  C1 ( K )(M  K ' R2 ) Nếu K '  , kết luận với K  Chứng minh Trước tiên thiết lập đánh giá cho tích phân Dirichlet hình trịn bán kính R / Từ (1.8) ta có với hình trịn đồng tâm Br  BR , ta có: D( z)   Dw (1.11) Br dx dy  K  Br  ( p, q ) dx dy  K ' r  ( x, y ) =2K  p Cr q ds  K ' r , s với s ký hiệu độ dài cung tròn Cr  Br lấy theo phương ngược chiều kim đồng hồ Mặt khác sử dụng D'( z )   Dw ds , ta thấy: Cr 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 Do w( z )  z  z0 , điều kéo theo tính liên tục đồng bậc tập TG z0 Vì hàm TG liên tục đồng bậc  Do TG tập liên tục đồng bậc bị chặn C1, , tiền compact C1 Sự liên tục tập T C1 chứng minh cách tương tự: Giả  sử v,  G , n  1,2, , giả sử  v  n   Xét u  Tv dãy  un  Tvn , n  1,2, Ta cần un  u  Từ đánh giá Schauder có dãy phù hợp {um}  {un } hội tụ với đạo hàm cấp cấp hai tập compact  đến nghiệm u  phương trình giới hạn (2.17) thu thay v hệ số Q Ta kết luận u ( z )   ( z0 ) , với z0  (theo tính nhất) u  u  Tv Lập luận tương tự trên, ta khảng định (2.19) với um thay u , từ ta thu giới hạn u ( z )   ( z0 ) z  z0 Vì u  u ta có Tvm  Tv  cho dãy {vm} Do dãy {Tvm} chứa TG , tiền compact C1 , dãy {Tvm} có chuẩn hội tụ C1 tới Tv Lập luận tương tự dãy  tùy ý {vn } , chứng tỏ Tvn  Tv  với dãy Sự thiết lập tính liên tục T C1 quan sát ta kết luận tồn điểm cố định u  Tu G Định lý chứng minh trường hợp đặc biệt f /  bị chặn    , đặc biệt f  ta quay lại giả thiết (iii) ban đầu Nó hội tụ với giả thiết  ( x, y, u, p, q)     , đạt từ phân chia hàm a, b, c, f  Trong trường hợp (2.13), (2.14) trở thành 27Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 f    u 1  p  q  , (2.20) f sign u  v(1  p  q ) , (2.21) v  const Ta tiếp tục cắt cụt hàm f để rút gọn thành toán (2.15) trường hợp f bị chặn Cụ thể là, giả sử  n kí hiệu hàm số cho bởi: t , t N  N sign t , t  N  N (t )   định nghĩa cắt cụt f f N ( x, y, u, p, q)  f ( x, y, N (u), N ( p), N (q)) Từ (2.20) ta có f N   N (1  N ) Xét tập hợp toán, QN u  a ( x, y, y, Du )u xx  2b( x, y, u , Du )u xy (2.22)  c( x, y, u , Du )u yy  f N ( x, y, u , Du )  0, u    Từ kết (2.21) nghiệm u họ bị chặn, độc lập với N , sup u  sup   C1 (v , diam  )  M (2.23)   Từ kết trước toán (2.15) với f bị chặn tốn (2.22), f N bị chặn, suy với    ( ),    ( M ) tồn nghiệm uN  C1, ()  C 2, ()  C () Ngoài từ Định lý 2.1 ta suy đánh giá, uN 1,  C( uN   (2.24) fN (2) ), C  C ( ), f N  f N ( x, y, uN , DuN ) Từ (2.20) (2.23), điều trở thành uN 1,  C (1  uN 1 ) ,   C  C ( M ,  ,  , diam  ),    ( M ) Phép nội suy bất đẳng thức (2.9), với C  , bị chặn , độc lập với N , 28Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27  uN 1,  C  C (M ,  ,  , diam  ) (2.25) Áp dụng đánh giá trước đánh giá Schauder bên miền cho họ phương trình QnuN  tập compact, ta thu dãy un  uN  hội tụ đến nghiệm u Qu   thỏa mãn đánh giá (2.25) Điều chứng tỏ u thỏa mãn điều kiện bị chặn u   cho mục đích ta lập luận tương tự Theo kết (2.20) (2.23), un nghiệm phương trình tuyến tính, Qnv  anij Dijv  bni Di v  f n  0, i, j  1,2, i a11 n  x, y   a ( x, y, un , Dun ), , bn ( x, y ), f n ( x, y ) bị chặn độc lập với n Tại điểm z0  bất kỳ, phương trình với hàm chắn w phụ thuộc vào  ,  bán kính bên ngồi đĩa z0 Vì với   số k phù hợp độc lập với n ta thu bất đẳng thức un ( z)   ( z0 )    k w( z )  Giả sử n   Ta suy bất đẳng thức với u vị trí un , u( z )   ( z0 ) z  z0 Định lý chứng minh Nhận xét 2.4 Chứng minh định lý trước dựa đánh giá đạo hàm bên miền thu điều kiện tổng quát hệ số liệu bị chặn Với đánh giá toàn cục, biến đổi đơn giản chứng minh cho nghiệm C 2, ()   C 2,   a, b, c, f  C      Cùng với giả thiết, nghiệm 29Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 chứng minh Định lý 2.3 phải nằm C 2, () Để chứng minh khẳng định này, ta quan sát phương trình Qu  sau chèn u vào hệ số, hệ số C  ()   u  C 2,     C  u    , với   C 2, () Theo kết đánh giá tồn cục phương trình tuyến tính, nghiệm u nằm C1, () với  Do hệ số Qu nằm        Ta suy với u  C    khẳng định C   Nên u  C 2,  , hệ số Qu nằm C 2, Điều kiện (2.14) áp đặt để bảo đảm cho tính bị chặn nghiệm tốn Dirichlet cho QN u  Điều kiện cấp tăng tuyến tính (2.13) f /  nhằm để đạt cận (2.25) phép nội suy cho u 1 qua số hạng u 1,   u0 2.4 Tính giải tốn biên Dirichlet cho phương trình elliptic khơng tuyến tính cấp hai Nghiên cứu phương trình elliptic khơng đều, ta thấy không giống phần trước, khả giải tốn Dirichlet nói chung liên kết chặt chẽ với dạng hình học miền Nét đặc trưng phương trình elliptic khơng quan sát lí thuyết tuyến tính Kết phần nhấn mạnh vai trò quan trọng tính lồi miền nhằm đảm bảo khả giải tốn biên Dirichlet 30Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Bài tốn Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính tổng quát có dạng Qu  a  x, y, u, u x , u y  u xx  2b  x, y, u, u x , u y  u xy (2.26)  c  x, y, u, u x , u y  u yy  u ( x, y )   ( x, y ), ( x, y ) ,  miền bị chặn  hàm xác định  Điều kiện Dirichlet cho phương trình (2.26) viết thành phương trình đường cong biên    ,     z,  z     z  Ta nói   thỏa mãn điều kiện độ nghiêng bị chặn (với số K ) với điểm P   z0 ,   z0     có mặt phẳng u     z   a   z  z0     z0  , a   a   z0  , qua P cho:  i   p  z     z    p  z  , z ;  ii  D p  a   z   K , z0  (2.27) Điều kiện (i) có nghĩa với P , đường cong  bị chặn hình trụ   mặt phẳng u   p  z  u   p  z  trùng với P Điều kiện (ii) có nghĩa độ nghiêng mặt phẳng bị chặn đều, độc lập với P , số K Hiển nhiên điều kiện độ nghiêng bị chặn kéo theo liên tục  Ta có nhận xét sau liên quan đến điều kiện độ nghiêng bị chặn Nhận xét 2.5 1) Với miền  ,  nằm mặt phẳng (và thỏa mãn điều kiện độ nghiêng bị chặn)  hạn chế hàm tuyến tính 31Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30  Tuy nhiên  không nằm mặt phẳng thỏa mãn điều kiện độ nghiêng bị chặn,  phải lồi Từ (2.27) ta có: ≢  p  z    p  z    a   a    z  z0   0, z  , có giá đường thẳng  a   a    z  z0   z0  , kéo theo  lồi 2) Giả sử  lồi    ,  thỏa mãn điều kiện độ nghiêng bị chặn Cho Pi   zi ,  zi   , i  1,2,3 , ba điểm phân biệt  Nếu z1, z2 , z3 thẳng hàng P1, P2 , P3 thẳng hàng  , mặt khác điểm xác định mặt phẳng thẳng đứng, mâu thuẫn với (2.27) Vì  tuyến tính đoạn thẳng  3) Trên thực tế, cách tương đối điều kiện độ nghiêng bị chặn tương đương với điều kiện ba điểm sau đây: Cho  bị chặn lồi Ta nói đường cong    ,   thỏa mãn điều kiện ba điểm với số K Nếu ba điểm phân biệt  nằm mặt phẳng có độ nghiêng  K Vào cuối phần chứng minh tương đương điều kiện độ nghiêng bị chặn điều kiện ba điểm với số K Từ điều kiện ba điểm, mặt phẳng xác định ba điểm khơng thẳng hàng  có độ nghiêng  K Vì vậy,  lồi (nghĩa đoạn thẳng nối điểm  nằm hoàn toàn  ) độ nghiêng mặt phẳng  giao ba điểm không vượt K ngược lại điều mạnh từ điều kiện ba điểm, kéo theo  tập lồi ngặt 4) Không khó khăn để chứng tỏ   C ,   C độ cong  ln dương F   ,  thỏa mãn điều kiện độ nghiêng bị chặn với 32Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 hàm số phụ thuộc vào độ cong cực tiểu  cận đạo hàm bậc bậc hai  Nghiệm tốn Diricchlet cho phương trình (2.26) cần đánh giá tiên nghiệm cho gradien giới hạn bổ đề sau Bổ đề 2.6 Cho  miền lồi bị chặn , cho  hàm xác định  thỏa mãn điều kiện độ nghiêng bị chặn với số K   Giả sử u  C     C  thỏa mãn phương trình elliptic tuyến tính (2.28) Lu  auxx  2buxy  cu yy   , với u    Khi sup Du  K (2.29)  Ta nhấn mạnh L cần tốn tử elliptic khơng cần điều kiện khác hệ số Chứng minh Đầu tiên ta ý  hạn chế hàm tuyến tính  từ tính nghiệm u trùng với hàm  kết luận (2.29) giữ nguyên Từ Nhận xét 2.4(1) ta thấy  giả thiết lồi Từ (2.28) tính elliptic L ta có:  au xx2  2bu xxu xy  cu xy2  c  u xy2  u xxu yy  ,  au xy2  2bu xyu yy  cu yy  a  u xy2  u xxu yy  Theo u xxu yy  u xy2  đẳng thức cố định điểm mà D 2u  (Ta lưu ý u  u  x, y  mặt yên ngựa) Xét điểm z0   x0 , y0   với u xxu yy  u xy2  ký hiệu u0  x, y   Ax  By  C mặt phẳng tiếp tuyến  tới mặt u  u  x, y   x0 , y0  Hàm w  u  u0 nghiệm (2.28)  , tập w  phân chia đĩa nhỏ z0 vào bốn miền D1, , D4 33Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 w xen kẽ dương âm biết w  D1 , D3 w  D2 , D4 Giả sử D1'  D1 , D3'  D3 hợp thành tập  với w  cho D2'  D2 , D4'  D4 xác định cách tương tự Với miền D1' , , D4' có điểm giới hạn  với w  , mặt khác nguyên lí cực đại yếu kéo theo w  miền Điều  cắt biên đường cong    ,  bốn điểm Từ Nhận xét 2.4(3) ta suy điểm điểm khơng thẳng hàng,  có độ nghiêng khơng vượt K Mặt khác, điểm  với w  từ tập điểm thẳng hàng  , (Nhận xét 2.4 (2))  u tuyến tính đồng với u0 đoạn thẳng  bao hàm  Điều kéo theo w  miền Di , điều mâu thuẫn Vì độ nghiêng mặt phẳng tiếp tuyến tới bề mặt nghiệm vượt qua K điểm Du2  Bây xét tập S Du2  Giả thiết S   , mặt khác u  x, y  tuyến tính kết luận khơng quan trọng Nếu z0  s z0 giới hạn điểm với Du2  mặt phẳng tiếp tuyến liên tục z0 phải có độ nghiêng khơng vượt q K Khả lại z0 điểm S , trường hợp z0 chứa tập G mở D 2u  G , ta có u tiếp tuyến mặt phẳng tiếp tuyến trùng với bề mặt u  u  x, y  Vì điểm biến G mà phần  giới hạn điểm D 2u  , ta kết luận Du  K G trường hợp đặc biệt z0 Bổ đề chứng minh Chúng ta thiết lập định lý tồn sau cho phương trình (2.26) 34Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 Định lý 2.7 Giả sử  miền lồi bị chặn giả thiết phương trình, Qu  a ( x, y, u , u x , u y )u xx  2b( x, y, u , u x , u y )u xy  c( x, y, u , u x , u y )u yy  elliptic  với hệ số a, b, c  C  (  ) với   (0,1) Giả sử  hàm xác định  thỏa mãn điều kiện độ nghiêng bị chặn với số K Khi tốn Dirichlet Qu   , u    có nghiệm u  C 2, ()  C () , với sup Du  K  Chứng minh Ta chia hệ số a, b, c cho giá trị riêng lớn     x, y, u, p, q  sau ký hiệu lại phương trình Qu  Tốn tử Q có giá trị riêng cực đại 1, giá trị riêng cực tiểu  tiến tới   (2.30)  Ta xét họ phương trình Q u  Qu  u  ,   0, với điều kiện bị chặn u    Với  phương trình elliptic Định lý 2.2 khẳng định tồn nghiệm u  C 2, ()  C () cho u    Từ Bổ đề 2.5, nghiệm u thỏa mãn đánh giá gradient đều, (2.31) sup Du  K ,  độc lập với  Từ nguyên lý cực đại ta có u  sup  Như hệ  quả, miền  '   , phương trình tuyến tính (2.32) Q u  a uxx  2b uxy  c u yy  u  35Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 tập a ( x, y)  a( x, y, u , Du ), , có giá trị riêng cực tiểu  x, y   ' ,    ( x, y, y , Du ) với bị chặn số  ( ')  phụ thuộc vào  ' , giá trị riêng bị chặn với   Định lý 2.1 khẳng định tập    nghiệm (2.32) với u    , đặc biệt nghiệm u , thỏa mãn đánh giá Holder gradient (độc lập với  )  Du  , ''  C ,    (   ') , C  C (   ' , sup  , dist('',')) Do đó, hệ số a , b , c  liên tục Holder địa phương với số mũ   ' bị chặn   C   '' Do  '  '' tùy ý nên họ nghiệm u (2.32) với đạo hàm cấp đạo hàm cấp hai chúng liên tục đồng bậc tập compact  đó, theo q trình chéo hóa thơng thường, có dãy u n  họ u  hội tụ  tới nghiệm u0 Qu   n  Giới hạn gradient (2.31), bảo đảm hội tụ  u0    Định lý chứng minh Nhận xét 2.8 Điều kiện hình học  , tính lồi, cần phải áp đặt nói chung phản ví dụ cổ điển, trường hợp phương trình bề mặt cực tiểu (2.33) 1  u  u y xx  2u xu yu xy  1  u x2  u yy  , hình xuyến a  r  b, r   x  y  Nếu điều kiện bị chặn   h (= 1/2 số > 0) r  a,   r  b h đủ nhỏ, tốn biên có 36Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 nghiệm catenoid tiếng Tuy nhiên, h đủ lớn tốn khơng có nghiệm Giả thiết tính trơn tiềm ẩn điều kiện độ nghiêng bị chặn không làm yếu tổng quát cho phép giá trị  cận liên tục Phản thí dụ chứng tỏ gằng tốn Dirichlet khơng cần nghiệm cho giá trị biên liên tục chí đường cong biên đường tròn hệ số phương trình trơn tùy ý Bước thiết yếu chứng minh Định lý 2.7 rút gọn trường hợp elliptic đều, làm tồn đánh giá tiên nghiệm cận gradient toàn cục (Bổ đề 2.5) Cận gradient thiết lập điều kiện cấu trúc phù hợp toán tử Q giả thiết hình học liên quan đến miền  Trong trường hợp  lồi thay mặt phẳng điều kiện độ nghiêng bị chặn hàm số phụ siêu hàm số phụ liên quan đến Q tiếp tục với lý luận chất 2.5 Sự tương đương độ nghiêng bị chặn điều kiện ba điểm Đầu tiên giả thiết    ,  thỏa mãn điều kiện độ nghiêng bị chặn với số K ,  lồi Giả sử z1, z2 , z3 điểm không thẳng hàng  giả sử u     z   ai  z  zi     zi  , i  1,2,3 , mặt phẳng tương đương điểm pi   zi ,  zi    thỏa mãn (2.27) Giả sử u    z   az  b  a  z  zi     zi  , i  1,2,3 37Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 mặt phẳng qua P1, P2 , P3 Chứng tỏ a  K (nếu z1, z2 , z3 P1, P2 , P3 thẳng hàng, mặt phẳng u    z  với độ nghiêng  K liên tục) Theo (2.27) ta có (2.34)  z j  zi   a  z j  zi   ai  z j  zi  , i, j  1,2,3 Từ z1, z2 , z3 đỉnh tam giác không suy biến a vectơ , ta có i  1,2,3 hay a   c j  z j  zi  , c j  j Từ (2.34) ta suy ra: a  ai  c j  z j  zi   ai  a  K a , j a  ai  c j  zi  z j   ai  a  K a j Do a  K Vì điều kiện độ nghiêng bị chặn bao hàm điều kiện ba điểm số K Ngược lại, giả sử    ,   thỏa mãn điều kiện ba điểm với số K miền lồi  zCho A   z A ,  z A   điểm  cho z A không điểm đường thẳng  Tồn dãy hình tam giác với đỉnh điểm không thẳng hàng A, Bi , Ci , i=1,2, cho Bi , Ci  A i   mặt phẳng i xác định A, Bi , Ci hội tụ đến mặt phẳng giới hạn  Có thể giả thiết đoạn ABi có phương giới hạn xác định đường thẳng L qua A nằm  có hình chiếu Lz lên mặt phẳng z giá  Rõ ràng L trùng với tiếp tuyến  A Cho Q  , Q  L cho  biểu thị mặt phẳng xác định Q, L Độ nghiêng  khơng vượt q K , từ 38Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 chuỗi mặt phẳng xác định A, Q Bi có độ nghiêng giới hạn  Xét chuỗi mặt phẳng chứa L điểm Q , Q  L , cho mặt phẳng xác định hàm số tuyến tính u   Q  z  Trong mặt phẳng z cho H ký hiệu nửa mặt phẳng có bờ cạnh L chứa  Nếu  Q  z   Q '  z  với z  H đó, bất đẳng thức khơng đổi với z  H , trường hợp đặc biệt, với z  Vì có mặt phẳng A xác định    z   sup  Q  z  , Q    z   inf  Q  z  , z  H QL Q QL Mặt phẳng u     z  u     z  có độ nghiêng không vượt K nằm tương ứng  (trên  ) Do chúng thỏa mãn điều kiện độ nghiêng bị chặn số K không đổi Rõ ràng A nằm đoạn thẳng  , đường thẳng chứa đoạn thay L lý luận Vì điều kiện ba điểm kéo theo điều kiện độ nghiêng bị chặn với số K 39Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau: Đánh giá tiên nghiệm ánh xạ  K , K  -á bảo giác mặt phẳng phức, có đánh giá cho tích phân Dirichlet chuẩn Holder cho thành phần ánh xạ Áp dụng kết ánh xạ  K , K  -á bảo giác vào nghiên cứu tồn nghiệm tốn biên Dirichlet cho phương trình tuyến tính elliptic không với hai biến độc lập 40Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Tài liệu tham khảo [1] David Gilbang, Neil S Trudinger (2001), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer [2] L.Bers, M.Schechter (1964), Partial Differential Equations, New York Interscience 41Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... phương trình elliptic tuyến tính cấp hai với hai biến độc lập 16 2.1 Đánh giá địa phương chuẩn Holder cho đạo hàm cấp nghiệm phương trình tuyến tính cấp hai? ??…………… 16 2.2 Đánh giá toàn cục chuẩn... toán Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 2.1 Đánh giá địa phương chuẩn Holder cho đạo hàm cấp nghiệm phương trình tuyến tính cấp hai Những kết phần trước áp dụng để thu đánh... ánh xạ bảo giác mặt phẳng phức Mục tiêu Luận văn trình bày lý thuyết phương trình elliptic tuyến tính cấp hai với hai biến độc lập Khác với trường hợp số biến lớn ba, trường hợp hai biến, người