SKKN Ứng dụng của định lí Viét trong Đại số và Số học.

SKKN Ứng dụng của định lí Viét trong Đại số và Số học.SKKN Ứng dụng của định lí Viét trong Đại số và Số học.SKKN Ứng dụng của định lí Viét trong Đại số và Số học.SKKN Ứng dụng của định lí Viét trong Đại số và Số học.SKKN Ứng dụng của định lí Viét trong Đại số và Số học.SKKN Ứng dụng của định lí Viét trong Đại số và Số học.SKKN Ứng dụng của định lí Viét trong Đại số và Số học.SKKN Ứng dụng của định lí Viét trong Đại số và Số học.SKKN Ứng dụng của định lí Viét trong Đại số và Số học.SKKN Ứng dụng của định lí Viét trong Đại số và Số học.SKKN Ứng dụng của định lí Viét trong Đại số và Số học.SKKN Ứng dụng của định lí Viét trong Đại số và Số học.SKKN Ứng dụng của định lí Viét trong Đại số và Số học.SKKN Ứng dụng của định lí Viét trong Đại số và Số học.SKKN Ứng dụng của định lí Viét trong Đại số và Số học.SKKN Ứng dụng của định lí Viét trong Đại số và Số học.SKKN Ứng dụng của định lí Viét trong Đại số và Số học.SKKN Ứng dụng của định lí Viét trong Đại số và Số học.

M U S xut hin ca trng s phc C ó khộp li quỏ trỡnh nghiờn cu phng trỡnh i s Ngi ta ó chng minh c tt c cỏc phng trỡnh dng a thc bc n cú n nghim trờn C, iu ny cng cú ngha l tt c cỏc a thc bc n u phõn tớch c thnh tớch ca n nhõn t bc nht S i ca nh lớ c bn ca i s ny ó tr li c mt phn cõu hi: vi nhng giỏ tr no ca n thỡ phng trỡnh i s dng a thc bc n cú th gii c bng cn thc Vn ny ó c cỏc nh Toỏn hc Gauss v Abel gii quyt mt cỏch trn thụng qua lớ thuyt trng v lớ thuyt Galois, ú ngi ta ó chng minh c tt c cỏc phng trỡnh a thc bc ln hn u khụng gii c bng cn thc Nh vy nhng phng trỡnh a thc bc ln hn u khụng cú quy trỡnh chung gii, nhiờn nh cú nh lớ v s phõn ró, ngi ta cú th biu din c mi liờn h gia cỏc nghim ca mt phng trỡnh a thc bt kỡ Mt nhng nh Toỏn hc thnh cụng nht quỏ trỡnh biu din mi liờn h gia cỏc nghim ca phng trỡnh a thc l Viột Viột ó nờu c cỏc mi liờn h mang tớnh i xng gia cỏc nghim ca phng trỡnh Mc dự cỏc cõu hi ln v phng trỡnh i s dng a thc ó c tr li, nhiờn phm vi Toỏn hc ph thụng thỡ cỏc bi toỏn v a thc v nghim ca a thc luụn cú tớnh thi s Cỏc bi toỏn v a thc v nghim ca a thc luụn chim mt v trớ xng ỏng cỏc bi thi hc sinh gii cỏc cp v gõy nhiu khú khn cho hc sinh Trong ti ny chỳng tụi quan tõm n : ng dng ca nh lớ Viột i s v S hc õy chỳng tụi khụng cú ý nh xõy dng li cỏc bi toỏn tỡm iu kin phng trỡnh a thc bc n cú nghim tho mt tớnh cht no ú Ni dung ca ti gm cú hai phn Phn th nht l cho mt phng trỡnh a thc bc n cú nghim tho mt tớnh cht no ú, chỳng tụi xõy dng cỏc bt ng thc v cỏc h s ca phng trỡnh Phn th hai chỳng tụi ng dng nh lớ Viột vo S hc, kt qu thu c l chỳng tụi xõy dng c mt lp cỏc bi toỏn phng trỡnh nghim nguyờn dng bc hai, v cỏc bi toỏn v lớ thuyt chia trờn hp cỏc s nguyờn ti c hon thnh ti trng THPT chuyờn Phan Bi Chõu Trong quỏ trỡnh thc hin ti chỳng tụi nhn c nhiu s ch bo ca cỏc thy cụ giỏo i trc v b cc, ni dung Nhõn õy cho phộp tụi by t li cm n chõn thnh n cỏc thy cụ giỏo, bn bố ng nghip, c bit l cỏc thy cụ t Toỏn- Tin trng THPT chuyờn Phan Bi chõu Cui cựng, nhiu nguyờn nhõn, ti hon thnh khụng trỏnh c nhng sai sút Chỳng tụi mong nhn c s gúp ý chõn thnh ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc c gi ngy cng hon thin hn quỏ trỡnh nghiờn cu khoa hc v vit cỏc ti I L DO CHN TI Trong quỏ trỡnh dy hc bc ph thụng, vic bi dng kin thc v phỏt trin t cho hc sinh l hai nhim v trng tõm ca ngi giỏo viờn.Vỡ lớ thi lng chng trỡnh v ỏp ng mt cỏch i tr v kin thc cho hc sinh nờn chng trỡnh sỏch giỏo khoa ph thụng ch mi ỏp ng c mt phn kin thc Chớnh iu ny ó lm hn ch s phỏt trin t ca nhng em hc sinh khỏ v gii Vỡ vy quỏ trỡnh ging dy chỳng tụi luụn quan tõm n hai l ỏp ng kin thc i tr v phỏt trin t cho hc sinh khỏ gii Thụng thng cỏc em hc sinh ch mi cú kh nng gii quyt trc tip cỏc bi toỏn m khụng cú kh nng nhỡn nhn bi toỏn ú t nhng gúc khỏc nhau, t ú dn n mt hin tng thng thy nghiờn cu khoa hc l: ch thy cõy, khụng thy rng Hc sinh ch cú kh nng gii quyt cỏc mt cỏch ri rc m khụng cú kh nng xõu chui chỳng li vi thnh mt mng kin thc ln Chớnh vỡ th vic rốn luyn v phỏt trin cỏc t tng t hoỏ v tng quỏt hoỏ l ht sc cn thit i vi hc sinh ph thụng Vic lm ny giỳp cỏc em tớch lu c nhiu kin thc phong phỳ, kh nng nhỡn nhn v phỏt hin nhanh, gii quyt cú tớnh lụgic v h thng cao Cú nhiu hng khỏc rốn luyn v phỏt trin t cho hc sinh Trong ti ny chỳng tụi trung phỏt trin t cho hc sinh thụng qua vic ỏp dng nh lớ Viột chng trỡnh i s lp 10 Trong chng trỡnh i s lp 10, nh lớ Viột ch c phỏt biu cho phng trỡnh bc hai Tuy nhiờn ỏp ng c yờu cu ca cụng tỏc bi dng hc sinh gii, chỳng tụi gii thiu nh lớ Viột dng tng quỏt v nhỳng vo cỏc lnh vc khỏc ca Toỏn hc Xut phỏt t cỏch nhỡn theo chiu ngc: Nu phng trỡnh bc hai ax bx c cú nghim thc thỡ b 4ac chỳng tụi ó xõy dng c mt lp cỏc bi toỏn bt ng thc v h s ca cỏc phng trỡnh dng a thc Thụng thng thỡ nh lớ Viột c phỏt biu cho nghim phc Tuy nhiờn ti ny chỳng tụi hn ch nghim ca phng trỡnh bc hai trờn hp cỏc s nguyờn v t ú cú cỏc bi toỏn v phng trỡnh nghim nguyờn T nhng ý tng trờn v tm quan trng ca vic phỏt trin cỏc t tng t hoỏ v tng quỏt hoỏ cho hc sinh, chỳng tụi quyt nh chn ti: ng dng ca nh lớ Viột i s v S hc II NI DUNG 1.S dng nh lớ Viột xõy dng cỏc bi toỏn bt ng thc, cc tr gia cỏc h s ca phng trỡnh dng a thc a) Xõy dng cỏc bi toỏn bt ng thc, cc tr cho cỏc h s ca phng trỡnh bc hai Chỳng ta bit rng nu phng trỡnh bc hai: ax bx c cú b 4ac thỡ phng trỡnh cú nghim thc Tuy nhiờn chỳng ta cng cú th nhỡn theo chiu ngc li: nu phng trỡnh bc hai ax bx c cú nghim thc thỡ b 4ac T cỏch nhỡn nhn ny chỳng ta cú th rng buc thờm cỏc iu kin cho cỏc nghim ca phng trỡnh bc hai t ú xõy dng nờn cỏc bi toỏn bt ng thc, cc tr v cỏc h s ca phng trỡnh Chng hn chỳng ta bt u vi bi toỏn sau: Vớ d Cho phng trỡnh x bx c cú hai nghim thc dng x1 , x2 tho x1 x2 Chng minh rng: a) c b) b c 2c b c c) b(c 1) 5c Chng minh x x a) Ta cú c x1 x2 b) Thay b x1 x2 , c x1 x2 ta cú bt ng thc cn chng minh tr thnh: x1 x2 x1 x2 x12 x22 x1 x2 x1 x2 x12 x22 Ta cú: 1 x1 x2 x12 x22 1 1 1 1 x12 x22 x1 x2 x1 x1 x2 x2 x1 x2 3 4 x1 x2 2 c) Thay b x1 x2 , c x1 x2 ta cú bt ng thc cn chng minh tr thnh: ( x1 x2 )( x1 x2 1) x1 x2 1 x1 x2 x1 x2 Ta c ú: 1 1 1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 11 x1 x2 õy l iu cn chng minh Bõy gi Vớ d chỳng ta cho phng trỡnh bc hai dng tng quỏt ax bx c v thay b bi c b v thay c bi chỳng ta cú Vớ d nh sau: a a Vớ d Cho phng trỡnh bc hai ax bx c cú hai nghim thc dng x1 , x tho x1 x2 Chng minh rng: a) c a b) b 2c c2 b c a3 a2 a a b c c c) aa a Li gii ca Vớ d hon ton tng t Vớ d Vớ d Cho phng trỡnh x bx c cú hai nghim thc dng x1 , x2 tho x1 x2 a) Chng minh rng: b 2c b) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P 2bc b 3b Li gii a) Thay b x1 x2 , c x1 x2 ta cú bt ng thc cn chng minh tr thnh: x1 x2 x1 x2 x12 x22 2 Ta cú: x12 x22 a) Theo gi thit ta cú: b 1, c b2 nờn P Vy PMAX x1 x2 2 b3 3b 2 b 1, c Vớ d Cho phng trỡnh x bx c cú hai nghim thc dng x1 , x2 tho x1 x2 a) Chng minh rng: b b) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P 3b 4c b b Li gii a) Ta cú: b ( x1 x2 ) x1 x2 b) Do phng trỡnh ó cho cú hai nghim dng x1 , x2 tho x1 x2 nờn b 4c , v b suy ra: P t f (b) 2b b b 2b b b Ta cú f ' (b) b b , vi mi b nờn f (b) f (2) Vy Pmin b 2, c Vớ d Cho phng trỡnh bc hai ax x c cú hai nghim thc dng x1 , x2 tho x1 x2 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P(a, c) a2 c a 2c a Li gii T gi thit ca bi toỏn suy ra: a 1, c 4a Trc ht chỳng ta xem P(a, c) nh mt hm ca bin c , ta cú: P ( a, c ) ' a 2c a a a 2c a c a 2 a (1 a) a c a 0, a Vy P(a, c) l hm nghch bin i vi bin c nờn: a P(a, c) P a, 4a a 4a t f (a) 4a a 4a Ta cú: f ' (a) 16a 4a 16a 2a a 4a 0, a Vy f (a) l hm ng bin trờn 1; ú: P(a, c) 1 4 Du ng thc xy khi: a 1, c Qua cỏc vớ d trờn, chỳng ta nhn thy rng vic xõy dng cỏc bt ng thc xung quanh cỏc h s ca phng trỡnh bc hai ó to s hng thỳ, say mờ hc ca hc sinh Hc sinh cú th t a cỏc rng buc cho cỏc nghim ca phng trỡnh bc hai v t ú t xõy dng lờn cỏc bt ng thc mi b Xõy dng cỏc bt ng thc v h s ca phng trỡnh bc ba Chỳng ta ó bit rng phng trỡnh bc ba bao gi cng cú ớt nht mt nghim thc Sau nghiờn cu xong ng dng ca o hm, chỳng ta cú iu kin cn v phng trỡnh bc ba f ( x) ax3 bx cx d : - Cú ỳng mt nghim thc l: phng trỡnh f ' ( x) vụ nghim thc hoc cú nghim kộp thc hoc phng trỡnh f ' ( x) cú hai nghim thc phõn bit x1 , x2 tho f ( x1 ) f ( x2 ) - Cú ỳng hai nghim thc phõn bit l phng trỡnh f ' ( x) cú hai nghim thc phõn bit x1 , x2 tho f ( x1 ) f ( x2 ) - Cú ỳng ba nghim thc phõn bit l phng trỡnh f ' ( x) cú hai nghim thc phõn bit x1 , x2 tho f ( x1 ) f ( x2 ) Tuy nhiờn vic a mt h thc liờn h gia cỏc h s a, b, c, d cho phng trỡnh bc ba cú mt, hai, hay ba nghim theo kiu tng minh nh phng trỡnh bc hai l ht sc phc v khụng cn thit Trong mc ny chỳng ta s gn cho cỏc nghim ca phng trỡnh bc ba tho mt tớnh cht no ú v xõy dng cỏc bt ng thc liờn h gia cỏc h s a, b, c, d di dng h qu Trc ht chỳng ta cú cỏc ng thc quan trng sau: t S x1 x2 x3 , P x1 x2 x3 , Q x1 x2 x2 x3 x1 x3 Th thỡ: x12 x22 x32 S 2Q x13 x23 x33 S (S 3Q) 3P x14 x24 x34 (S 2Q) 2(Q 2SP) Theo nh lớ Viột o thỡ phng trỡnh X SX QX P nhn cỏc s thc x1 , x2 , x3 lm nghim Bõy gi chỳng ta gn cho x1 , x2 , x3 cỏc iu kin v t ú xõy dng cỏc bt ng thc v mi quan h gia S , P, Q Chỳng ta bt u vi Vớ d sau: Vớ d Cho phng trỡnh x sx qx r cú ba nghim thc khụng õm Chng minh rng: a) p 3q b) p 27 r c) pq 9r d) q pr e) p pq 9r f) p p q 4q pr Chng minh Gi x1 , x2 , x3 l cỏc nghim khụng õm ca phng trỡnh ó cho a) Bt ng thc cn chng minh cõu a tr thnh: x1 x2 x3 3x1 x2 x2 x3 x1 x3 x1 x2 x2 x3 x3 x1 õy l iu phi chng minh b) c) Kt qu ca cõu b, c cú c nh ỏp dng bt ng thc Cụsi cho ba s khụng õm d) Bt ng thc cn chng minh cõu d tr thnh: x1 x2 x2 x3 x1 x3 3x1 x2 x3 x1 x2 x3 Nu ba nghim x1 , x2 , x3 cú mt nghim no ú bng khụng thỡ ta cú iu cn chng minh Xột trng hp c ba s x1 , x2 , x3 u khỏc khụng Khi ú bt ng thc 1 1 cn chng minh tng ng x x x x x x x x x 3 2 2 1 1 1 x1 x2 x2 x3 x3 x1 õy l iu cn phi chng minh chng minh cỏc bt ng thc cỏc cõu e, f chỳng ta cn cú bt ng thc Schur nh sau: Nu x, y, z l cỏc s thc dng v t l s thc dng thỡ: x t ( x y)( x z ) y t ( y z )( y x) z t ( z x)( z y) Tht vy, vai trũ ca cỏc bin bt ng thc l bỡnh ng nờn cú th gi s x y z Khi ú vit li cỏc bt ng thc bng cỏch nhúm nhõn t chung ta c: x y x t ( x z) y t ( y z) z t ( x z)( y z) õy l bt ng thc ỳng e) Bt ng thc cn chng minh tng ng: x1 ( x1 x2 ) x2 ( x2 x1 )( x2 x3 ) x3 ( x3 x1 )( x3 x2 ) õy chớnh l bt ng thc Schur vi t f) Bt ng thc cn chng minh tng ng: x12 ( x1 x2 ) x22 ( x2 x1 )( x2 x3 ) x32 ( x3 x1 )( x3 x2 ) õy chớnh l bt ng thc Schur vi t Vớ d Xột cỏc s thc a, b cho phng trỡnh ax3 x bx cú ba nghim thc dng Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P 5a 3ab a (b a) Li gii Gi x1 , x2 , x3 l ba nghim thc dng ca phng trỡnh ó cho Theo nh lớ Viột ta cú: b x1 x2 x3 x1 x2 x3 , x1 x2 x2 x3 x1 x3 a a Do x1 x2 x3 3x1 x2 x2 x3 x1 x3 nờn 3b 0b a 3a a p dng bt ng thc x1 x2 x3 33 x1 x2 x3 a Xột hm s P(a, b) theo bin b 0; 3a 3 Ta cú P ' (b) 2a vi mi b 0; nờn P(a, b) l hm nghch bin theo bin b , 2 a (b a ) 3a suy ra: 3(5a 1) P ( a, b) P a , 3a a(1 3a ) Xột f (a) 3(5a 1) a(1 3a ) Ta cú: f ' (a) 15a 14a 1 0, a 0; 2 a (3a 1) 3 3 Suy hm s f (a) nghch bin trờn 0; Vy ta cú: P ( a, b) f ( a ) f 12 3 Du ng thc xy a 3 ,b Vớ d Xột a, b, c l cỏc s thc cho phng trỡnh x ax bx c cú ba nghim thc Chng minh rng 12ab 27c 6a 10a 2b2 Li gii Bt ng thc cn chng minh tng ng vi 6a(a 2b) 27c 10a 2b2 (1) Gi x1 , x2 , x3 l ba nghim thc ca phng trỡnh ó cho Theo nh lớ Viột ta cú: x1 x2 x3 a ; x1 x2 x2 x3 x1 x3 b; x1 x2 x3 c Bt ng thc (1) tr thnh: 6( x1 x2 x3 )( x12 x22 x32 ) 27 x1 x2 x3 10 x12 x22 x32 - Nu x12 x22 x32 thỡ chỳng ta cú iu cn chng minh - Xột trng hp x12 x22 x32 Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s x1 x2 x3 , v x12 x22 x32 10 Khi ú bt ng thc cn chng minh tr thnh: 2( x1 x2 x3 ) x1 x2 x3 10 Ta cú: 2( x1 x2 x3 ) x1 x2 x3 2( x1 x2 ) x3 (2 x1 x2 )2 ( x1 x2 ) x32 (2 x1 x2 ) (9 x1 x2 )(8 x1 x2 x12 x22 ) x1 x2 2 x1 x2 7100 Vi cỏch gi x1 , x2 , x3 suy ra: x32 3; 2x1 x2 x12 x22 x32 Do ú 2( x1 x2 x3 ) x1 x2 x3 100 2( x1 x2 x3 ) x1 x2 x3 10 Du ng thc xy chng hn ti x1 1; x2 x3 , hay l a 3, b 0, c Vớ d Cho x, y, z l cỏc s thc khụng õm tho xy yz zx xyz Chng minh rng x y z ( xy yz zx) Khụng mt tng quỏt, gi s z x, y, z x 0, y x y xy z xy v xy x y xy Khi ú bt ng thc cn chng minh tr thnh: ( x y 2) xy ( x 1)( y 1) - Nu ( x 1)( y 1) thỡ ta cú iu cn chng minh - Xột trng hp ( x 1)( y 1) Khi ú ta cú: ( x y 2) ( x 1) ( y 1) 4( x 1)( y 1) xy( x 1)( y 1) ( x y 2) xy ( x 1)( y 1) Bõy gi s dng kt qu ca Vớ d 4, chỳng ta cú vớ d sau: Vớ d 5.Cho bn s thc khụng õm a, b, c, d tho iu kin 2(ab ac ad bc bd cd ) abc abd bcd 16 Chng minh rng a b c d ab ac ad bc bd cd 11 Chng minh t p a b c d , q ab ac ad bc bd cd , r abc abd acd bcd , s abcd Theo nh lớ Viột o thỡ a, b, c, d l bn nghim ca a thc F ( x) x px3 qx rx s Khụng mt tng quỏt, cú th gi s a b c d Theo nh lớ Rolle, vi F (a) F (b) F (c) F (d ) thỡ tn ti ba nghim thc x1 , x2 , x3 ca a thc F ' ( x) x px2 2qx r , ú a x1 b x2 c x3 d Theo nh lớ Viột ta cú: x1 x2 x3 3p q r , x1 x2 x2 x3 x1 x3 , x1 x2 x3 4 T gi thit ca bi toỏn ta cú: 2q r 16 x1 x2 x2 x3 x1 x3 x1 x2 x3 Theo Vớ d suy x1 x2 x3 x1 x2 x2 x3 x1 x3 3p q p 2q õy l iu cn chng minh Du ng thc xy a b c d Qua cỏc vớ d trờn chỳng ta nhn thy rng cú th rng buc rt nhiu iu kin cho cỏc nghim ca phng trỡnh bc ba t ú xõy dng lờn cỏc bt ng thc v quan h gia cỏc h s ca phng trỡnh ng dng ca nh lớ Viột cỏc bi toỏn s hc Khi phỏt biu nh lớ ca mỡnh, Viột phỏt biu cho phng trỡnh dng a thc cú nghim phc Tuy nhiờn nu chỳng ta nhỳng nh lớ ny vo cỏc bi toỏn phng trỡnh nghim nguyờn, chỳng ta s cú c nhng kt qu ht sc thỳ v Chng hn chỳng ta bt u vi Vớ d sau: Vớ d Cho a, b l cỏc s nguyờn dng phõn bit tho a b chia ht cho ab Chng minh rng a2 b2 ab Li gii 12 T kt lun ca bi toỏn chỳng ta ngh n vic xột phng trỡnh bc hai a b kab Bi toỏn c gii quyt chỳng ta chng minh c k Vi gi thit ca bi toỏn ta cú k l s nguyờn dng.Trong tt c cỏc nghim (a, b) tho bi toỏn, gi (a0 , b0 ) l nghim cho: a0 b0 nh nht v a0 b0 Xột phng trỡnh bc hai a kb0 a b02 cú hai nghim a0 , a1 tho món: a0 a1 kb0 a0 a1 b0 Do ú (a1 , b0 ) cng l mt nghim ca phng trỡnh ó cho iu ny dn n a1 a0 (a0 1)(a1 1) b02 b02 kb0 b02 kb0 k Mt khỏc t k a b 2ab suy k hoc k ab ab - Vi k thỡ phng trỡnh a 3b0 a b02 cú bit thc 5b02 12 mod khụng l s chớnh phng nờn phng trỡnh khụng cú nghim nguyờn - Vi k thỡ phng trỡnh cú nghim nguyờn dng b0 1, a0 Vy nu a, b l cỏc s nguyờn dng phõn bit tho a b chia ht cho a2 b2 ab thỡ ab T kt qu ca bi toỏn trờn chỳng ta cú hai hng tng quỏt bi toỏn nh sau: - Hng 1: Cho P(a, b, ) , Q(a, b, ) l cỏc biu thc bõc hai i vi mt n no ú tho P(a, b, ) chia ht cho Q(a, b, ) Tỡm cỏc giỏ tr ca P (a, b, ) hoc tỡm mi Q (a, b, ) liờn h gia a,b, - Hng 2: Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s nguyờn k phng trỡnh P(a, b, ) k Q(a, b, ) cú nghim nguyờn Trc ht chỳng ta s xõy dng mt s bi toỏn theo Hng 13 Vớ d (IMO 2007) Cho a, b l cỏc s nguyờn dng tho (4a 1) chia ht cho 4ab Chng minh a b Li gii ca bi toỏn ny ỏp ỏn khỏ phc tp, ú ngi ta ó gii quyt theo hng hp Tuy nhiờn nu phõn tớch k gi thit ca bi toỏn, chỳng ta hon ton cú th gii theo hng ca phng trỡnh bc hai nh sau Ta cú: (4a 1) (4a 4ab 4ab 1) 16a (a b) 2(4a 4ab)(4ab 1) (4ab 1) Vỡ hai s 16a v 4ab nguyờn t cựng nờn (4a 1) chia ht cho 4ab tng ng vi (a b) chia ht cho 4ab t (a b) k (4ab 1) Theo gi thit thỡ k l mt s t nhiờn v bi toỏn c gii quyt chỳng ta chng minh c k Gi s k Do vai trũ ca a, b l bỡnh ng nờn tt c cỏc giỏ tr ca a, b tho bi toỏn, gi a0 ,b0 l cp nghim cho a0 b0 nh nht v a0 b0 Xột phng trỡnh bc hai a 2b0 (1 2k )a b02 k Phng trỡnh ny cú hai nghim a0 , a1 tho món: a0 a1 2(1 2k )b0 a0 a1 b0 k iu ny kộo theo a1 , b0 cng l mt nghim tho bi toỏn Theo cỏch gi ca nghim a0 ,b0 suy ra: a1 a0 b0 (a0 1)(a1 1) b02 2b0 (1 2k ) k iu ny khụng xy b0 , k l cỏc s nguyờn dng Vy gi s ca chỳng ta l sai v ú k hay chớnh l a b Qua li gii ca bi toỏn trờn chỳng ta nhn thy bn cht ca bi toỏn l: Nu a, b l cỏc s nguyờn dng tho (a b) chia ht cho 4ab thỡ a b T ú chỳng ta cú bi toỏn tng quỏt hn nh sau: 14 Vớ d Cho p, q l cỏc s nguyờn dng tho q p Chng minh rng nu a, b l cỏc s nguyờn dng cho (a b) chia ht cho pab q thỡ a b Li gii t (a b) k ( pab q) Theo gi thit thỡ k l mt s t nhiờn v bi toỏn c gii quyt chỳng ta chng minh c k Gi s k Do vai trũ ca a, b l bỡnh ng nờn tt c cỏc giỏ tr ca a, b tho bi toỏn, gi a0 ,b0 l cp nghim cho a0 b0 nh nht v a0 b0 Xột phng trỡnh bc hai a b0 (2 pk)a b02 kq Phng trỡnh ny cú hai nghim a0 a1 b0 (2 pk ) a0 , a1 tho món: a0 a1 b0 kq iu ny kộo theo a1 , b0 cng l mt nghim tho bi toỏn Theo cỏch gi ca nghim a0 ,b0 suy ra: a1 a0 b0 (a0 1)(a1 1) b02 b0 (2 pk ) kq iu ny khụng xy b0 , k l cỏc s nguyờn dng Vy gi s ca chỳng ta l sai v ú k hay chớnh l a b Vớ d Chng minh rng nu a, b l cỏc s nguyờn dng tho a b chia ht cho ab thỡ a2 b2 l s chớnh phng ab Li gii t k a2 b2 ab Do vai trũ ca a, b l bỡnh ng nờn tt c cỏc giỏ tr ca a, b tho bi toỏn, gi a0 ,b0 l cp nghim cho a0 b0 nh nht v a0 b0 Bõy gi chỳng ta xột cỏc trng hp sau: 15 2a02 a0 k l s chớnh phng a0 a0 - Trng hp 1: a0 b0 k - Trng hp 2: a0 b0 Khi ú phng trỡnh a kb0 a b02 k cú hai nghim a0 , a1 tho món: a0 a1 kb0 a0 a1 b0 k (1) (2) Nu a1 thỡ a1 , b0 cng l mt nghim tho bi toỏn, v ú a1 a0 b0 a0 a1 b02 l mõu thun vi (2) Nu a1 thỡ t (1) v (2) suy kb0 a0 k b02 k b02 kb0 b02 k l mõu thun a1 vi k ,b0 l cỏc s nguyờn dng Vy a1 v ú k b02 l s chớnh phng T li gii ca Vớ d chỳng ta cú th m rng nh sau: Vớ d Cho p, q l cỏc s nguyờn dng tho q p v q l s chớnh phng Chng minh rng nu a, b l cỏc s nguyờn dng tho a b chia ht cho pab q thỡ a2 b2 l s chớnh phng pab q Li gii t k a2 b2 pab q Do vai trũ ca a, b l bỡnh ng nờn tt c cỏc giỏ tr ca a, b tho bi toỏn, gi a0 ,b0 l cp nghim cho a0 b0 nh nht v a0 b0 Bõy gi chỳng ta xột cỏc trng hp sau: - 2a02 Trng hp 1: a0 b0 k l iu khụng xy pa0 q - Trng hp 2: a0 b0 Khi ú phng trỡnh a kpb0 a b02 kq cú hai nghim a0 , a1 tho món: 16 a0 a1 kpb0 (1) a0 a1 b0 kq (2) Nu a1 thỡ a1 , b0 cng l mt nghim tho bi toỏn, v ú a1 a0 b0 a0 a1 b02 l mõu thun vi (2) Nu a1 thỡ t (1) v (2) suy kpb0 a0 kq b02 kq b02 kpb0 b02 kq kp l mõu a1 thun vi k , p, b0 l cỏc s nguyờn dng Vy a1 v ú kq b02 k l s chớnh phng vỡ theo gi thit thỡ q l s chớnh phng Vớ d Cho a, b, c l cỏc s nguyờn dng tho a b abc c Chng minh rng a b abc l s chớnh phng Chng minh t a b abc k k c Trong tt c cỏc cp (a, b) tho a b abc k gi (a0 , b0 ) l cp cho a0 b0 v a0 b0 nh nht Khi ú phng trỡnh a cb0 a b02 k cú hai nghim a0 , a1 tho món: a0 a1 cb0 a0 a1 b0 k Nu a1 thỡ (1) (2) a1 ,b0 cng l mt cp nghim tho bi toỏn a1 a0 a1a0 b02 l mõu thun vi (2) Nu a1 cb0 a0 k b02 k b02 cb0 b02 k c vụ lớ vỡ b0 a1 Vy a1 k b02 l s chớnh phng Bõy gi chỳng ta xõy dng mt s bi toỏn theo Hng Vớ d Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng k phng trỡnh x xy y k ( xy 1) cú nghim nguyờn dng x, y 17 Li gii Gi s tn ti s nguyờn dng k phng trỡnh x xy y k ( xy 1) cú nghim nguyờn dng x, y Khụng mt tng quỏt, gi s x0 , y0 l nghim cho x0 y0 v x0 y0 nh nht Khi ú phng trỡnh x (1 k ) y0 x y02 k cú hai nghim x0 , x1 tho món: x0 x1 (k 1) y0 x0 x1 y0 k (1) (2) iu ny dn n x1 , y0 cng l mt nghim tho x1 x0 Nu x0 y0 y02 k x0 y0 2, k k Nu x0 y0 thỡ ly (2) tr (1) v theo v ta cú: ( x0 1)( x1 1) y02 k y0 (k 1) y02 k y0 (k 1) y0 k k k - Vi y0 k , x2; - Vi y0 hoc y0 thỡ phng trỡnh vụ nghim Vy phng trỡnh cú nghim nguyờn dng thỡ k hoc k Vớ d Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng k phng trỡnh x y k xy cú nghim nguyờn dng x, y Li gii Gi s tn ti s nguyờn dng k phng trỡnh x y k xy cú nghim nguyờn dng x, y Khụng mt tng quỏt, gi s x0 , y0 l nghim cho x0 y0 v x0 y0 nh nht Khi ú phng trỡnh x 2(1 2k ) y0 x y02 k cú hai nghim x0 , x1 tho món: x0 x1 2(2k 1) y0 x0 x1 y0 k 18 (1) (2) Trng hp 1: x0 y0 k x02 nờn khụng tho x02 Trng hp 2: x0 y0 Chỳng ta xột cỏc kh nng sau: - Nu x1 thỡ t (1) v (2) ta cú: 2(2k 1) y0 x0 k y02 k y02 4ky0 y02 y0 k l iu khụng xy x1 - Nu x1 thỡ ( x1 , y0 ) cng l mt nghim ca phng trỡnh Theo cỏch gi ca nghim x0 , y0 suy x1 x0 x1 x0 y02 l mõu thun vi (2) - Nu x1 k y02 l s chớnh phng Th li vi k a , vi a l s nguyờn dng thỡ phng trỡnh cú cỏc nghim nguyờn dng x, y l 4a 2a, a Vy tt c cỏc giỏ tr ca k tho l: k a , vi a l s nguyờn dng Vớ d Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng n cho phng trỡnh x y u v n xyuv cú nghim nguyờn dng x, y, u, v Li gii Khụng mt tng quỏt, gi s phng trỡnh cú cỏc nghim nguyờn dng x0 , y0 , u0 , v0 tho món: x0 y0 u0 v0 nh nht v x0 y0 u0 v0 Khi ú ta cú: x0 y0 u0 v0 n x0 y0u0 v0 x02 y0 u0 v0 n y0u0 v0 x0 y0 u0 v0 (1) T (1) ta cú cỏc khng nh sau: i) y0 u0 v0 x0 ii) Tam thc bc hai f ( x) x y0 u0 v0 n y0u0 v0 x y0 u0 v0 cú mt nghim l x0 Theo nh lớ Viột thỡ tam thc f (x) cũn cú mt nghim nguyờn dng x1 y0 u0 v0 x0 x1 , y0 , u0 , v0 cng l mt nghim ca phng trỡnh ban u T nh ngha ca nghim x0 , y0 , u0 , v0 x1 x0 y0 u0 v0 19 Theo nh lớ v so sỏnh cỏc nghim ca phng trỡnh bc hai vi mt s ta cú: f ( y0 ) y02 y0 u0 v0 n y0u0 v0 y0 y0 u0 v0 16 y02 n y02u0 v0 n y02u0 v0 16 y02 n 16 n1; 2; 3; Vi n thỡ phng trỡnh cú nghim x y u v Vi n thỡ phng trỡnh cú nghim x y u v Vi n thỡ phng trỡnh cú nghim x y 1; u v Vi n thỡ phng trỡnh cú nghim x y u v Vy cỏc giỏ tr ca n l 1, 2, 3, Qua cỏc bi toỏn trờn chỳng ta rỳt c mt kinh nghim rng: cú nhng bi toỏn cú hỡnh thc s hc nhng bn cht ca nú chớnh l i s Vic gii v bin lun cỏc phng trỡnh nghim nguyờn cú cha n s bc hai c quy v vic phõn tớch, so sỏnh cỏc nghim da vo nh lớ Viột Vic lm ny cú ý ngha thu hp giỏ tr ca cỏc n s v t ú th vi cỏc giỏ tr thu c ca n s a kt qu III số kinh nghiệm rút Đối với giáo viên - Việc khai thác tính chất đơn giản sách giáo khoa để từ xây dựng lên lớp toán có tác dụng lớn học sinh, đặc biệt học sinh yêu Toán Kinh nghiệm cho thấy học sinh hứng thú tìm hiểu vấn đề đơn giản từ sách giáo khoa để từ xây dựng lên mảng kiến thức lớn nhiều so với việc giải toán khó - Rèn luyện thao tác t- t-ơng tự hoá tổng quát hoá giúp cho học sinh có khả nhìn nhận vấn đề cách bao quát, có tính hệ thống, giải vấn đề nhanh hơn, có tính lôgic cao - Trong trình giảng dạy, ng-ời thầy cần nâng cao tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh Cần h-ớng cho học sinh cách thức sáng tạo vấn đề từ kiến thức phổ thông, tập d-ợt cho học sinh khả nghiên cứu khoa học Thực 20 tế cho thấy học sinh th-ờng hứng khởi tự khám phá vấn đề nhiều so với việc đ-ợc thầy giải cho toán Đối với học sinh - Học sinh cần phải tránh cách học thụ động, máy móc, thiếu tính sáng tạo Trong trình đổi giáo dục đổi ph-ơng pháp dạy học nội dung trọng tâm Đối với ph-ơng pháp dạy học mới, học sinh đóng vai trò trung tâm tiết học, học sinh chủ thể trình nhận thức, ng-ời tự khám phá chiếm lĩnh lấy tri thức cho - Đứng tr-ớc toán, việc tìm lời giải, học sinh cần phải đặt toán mối quan hệ với kiến thức học để từ khám phá điều ẩn chứa toán Sau giải xong toán, học sinh cần phải nhúng toán vào lĩnh vực Toán học khác để tìm toán t-ơng tự lĩnh vực Chẳng hạn " nhúng" định lí Viét Đại số vào Số học để thu đ-ợc toán ph-ơng trình nghiệm nguyên - Học sinh cần nhìn nhận vấn đề lí thuyết theo nhiều khía cạnh khác Chẳng hạn nh- cách nhìn nhận điều kiện có nghiệm ph-ơng trình bậc hai mục II.1 IV kết luận - Nhằm đáp ứng tốt cho việc bồi d-ỡng học sinh giỏi tr-ờng chuyên, nêu số h-ớng nhìn nhận định lí Viét bên cạnh cách nhìn truyền thống định lí Việc làm giúp học sinh có thêm định h-ớng giải toán Đại số Số học - Đề tài giải đ-ợc vấn đề sau: +) Về ph-ơng pháp: Việc xây dựng toán bất đẳng hệ số ph-ơng trình dạng đa thức nh- xây dựng toán giải biện luận ph-ơng trình nghiệm nguyên có chứa ẩn bậc hai góp phần rèn luyện thao tác t- t-ơng tự hoá tổng quát hoá cho học sinh, tạo cho học sinh niềm say mê nghiên cứu khám phá +) Về kiến thức: đề tài giải đ-ợc hai nội dung chính: 21 Xây dựng toán bất đẳng, cực trị hệ số ph-ơng trình bậc hai, bậc ba nhờ định lí Viét Xây dựng toán giải biện luận ph-ơng trình nghiệm nguyên có chứa ẩn bậc hai sở "nhúng" định lí Viét vào Số học - H-ớng phát triển đề tài: Đề tài mở rộng cho ph-ơng trình dạng đa thức bậc cao TàI liệu tham khảo [1] Phan Huy Khải, 10.000 toán bất đẳng thức, NXB Hà nội [2] Phan Huy Khải, Toán nâng cao Đại số 10, NXB Giáo dục [3] Đại số Nâng cao 10, NXB Giáo dục [4] Tạp chí Toán học tuổi trẻ, 2000- 2009 [5] Tr-ờng THPT chuyên Lê Hồng Phong, Tuyển tập 10 năm đề thi Olypic Toán 10, 11, NXB Giáo dục [6] Gpolia, Sáng tạo Toán học, NXB Giáo dục [7] Nguyễn Văn Nho, Số học nâng cao, NXB Giáo dục [8] IMO shortlist 2002- 2007 22 ... đáp ứng tốt cho việc bồi d-ỡng học sinh giỏi tr-ờng chuyên, nêu số h-ớng nhìn nhận định lí Viét bên cạnh cách nhìn truyền thống định lí Việc làm giúp học sinh có thêm định h-ớng giải toán Đại số. .. bất đẳng, cực trị hệ số ph-ơng trình bậc hai, bậc ba nhờ định lí Viét Xây dựng toán giải biện luận ph-ơng trình nghiệm nguyên có chứa ẩn bậc hai sở "nhúng" định lí Viét vào Số học - H-ớng phát... toán t-ơng tự lĩnh vực Chẳng hạn " nhúng" định lí Viét Đại số vào Số học để thu đ-ợc toán ph-ơng trình nghiệm nguyên - Học sinh cần nhìn nhận vấn đề lí thuyết theo nhiều khía cạnh khác Chẳng