Một số cách chứng minh bổ đề Farkas

LỜI CẢM ƠN Trước trình bày khóa luận, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn tận tình bảo, giúp đỡ tơi suốt q trình hồn thiện khóa luận Trong trình học tập, đặc biệt suốt q trình làm khóa luận tơi nhận động viên bảo, tạo điều kiện thầy cô tham gia giảng dạy, công tác trường Đại học Sư phạm Hà Nội Qua đây, xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo tổ Giải tích, khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Hà Nội Cuối cùng, xin cảm ơn giúp đỡ, quan tâm, động viên gia đình, bạn bè suốt thời gian vừa qua Một lần xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Huyền LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên nghành Toán với đề tài “Một số cách chứng minh bổ đề Farkas’’ hoàn thành nhận thức thân, khơng trùng với khóa luận có trước Trong q trình nghiên cứu thực khóa luận, kế thừa thành tựu nhà khoa học với lòng trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Huyền MỤC LỤC MỞ ĐẦU .1 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vector định chuẩn 1.1.1 Khái niệm không gian vector .4 1.1.2 Vector độc lập tuyến tính, vector phụ thuộc tuyến tính 1.1.3 Khái niệm không gian định chuẩn .5 1.1.4 hội tụ không gian định chuẩn 1.2 Tốn tử tuyến tính .8 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Điều kiện liên tục .8 1.2.3 Toán tử nghịch đảo .9 1.3 Phiếm hàm tuyến tính .10 1.3.1 Định nghĩa 10 1.3.2 Phiếm hàm song tuyến tính 10 1.4 Không gian hillbert 11 1.4.1 Tích vô hướng 11 1.4.2 Bất đẳng thức Schwarz .11 1.4.3 Định nghĩa khơng gian Hilbert ví dụ 12 1.4.4 Tính trực giao, hình chiếu 13 1.4.5 Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính không gian Hillbert .15 1.5 Tập lồi 15 1.5.1 Định nghĩa tính chất 15 1.5.2 Bao lồi bao lồi đóng 17 1.5.3 Các định lý tách 17 1.6 Hệ phương trình tuyến tính 19 Chương 2: Một số cách chứng minh bổ đề Farkas .23 2.1 Bổ đề Farkas 23 2.2 Một số cách chứng minh bổ đề Farkas 24 2.2.1 Cách chứng minh thứ .25 2.2.2 Cách chứng minh thứ hai 29 2.2.3 Cách chứng minh thứ ba 31 2.2.4 Cách chứng minh thứ tư 32 Chương 3: Ứng dụng bổ đề Farkas 35 KẾT LUẬN .37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 MỞ ĐẦU Như biết, bổ đề Farkas sử dụng rộng rãi Toán học Bổ đề công bố lần năm 1898 Hungary, biết đến rộng rãi Đức năm 1902 Trong thập niên vừa qua, bổ đề Farkas mở rộng phát triển với nhiều biến thể nhiều phương pháp chứng minh khác Hiện nay, có số sách chuyên đề viết bổ đề Farkas ứng dụng Tốn học thực tiễn đời sống có số sinh viên nghiên cứu hồn thành khóa luận tốt nghiệp đại học với đề tài liên quan đến bổ đề Farkas Với mục đích tìm hiểu sâu bổ đề Farkas, biến thể bổ đề Farkas, phương pháp khác để chứng minh bổ đề Farkas ứng dụng bổ đề Farkas thực tế Cũng để tích lũy kinh nghiệm cho thân phục vụ cho công tác học tập, giảng dạy sau này, đồng thời giới thiệu cho bạn sinh viên có nhìn tổng quan sâu sắc bổ đề Farkas ứng dụng bổ đề Farkas Vì lý với góp ý động viên tận tình giúp đỡ thầy cơ, đặc biệt thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn, với đam mê thân mạnh dạn nghiên cứu đề tài " Một số cách chứng minh bổ đề Farkas" Dựa kết có tài liệu tham khảo có liên quan tới bổ đề Farkas, khóa luận này, tơi nghiên cứu bổ đề Farkas, phương pháp khác để chứng minh bổ đề Farkas ứng dụng bổ đề Farkas kinh tế Khóa luận gồm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương hệ thống lại khái niệm tính chất liên quan đến khơng gian định chuẩn, khơng gian Hillbert, tập lồi, hệ phương trình tuyến tính để chuẩn bị cho việc trình bày giới thiệu bổ đề Farkas số cách chứng minh bổ đề Farkas Chương Một số cách chứng minh bổ đề Farkas Chương nghiên cứu bổ đề Farkas, biến thể bổ đề Farkas phương pháp khác để chứng minh bổ đề Farkas Chứng minh gốc Farkas trình bày nhiều số tài liệu chuyên nghành nên khóa luận tơi đưa bốn cách chứng minh khác bổ đề Farkas: 1) Chứng minh C G Broyden công bố năm 1988 Chứng minh trình bày dựa tính chất ma trận trực giao 2) Chứng minh A Dax công bố năm 1997 Chứng minh Dax xem chứng minh gián tiếp tính chất đóng tập lồi C :Ax : x  0 3) Chứng minh V Chandru, C Lassez, J L Lassez công bố năm 2004 Trong chứng minh này, tác giả sử dụng phương pháp Fourier – Motzkin để loại trừ biến bất đẳng thức Phương pháp xem trường hợp đặc biệt định lý loại trừ lượng hóa Tarsky 4) Chứng minh D Bartl cơng bố năm 2008 Tác giả trình bày chứng minh thông qua chứng minh toán tổng quát bổ đề Farkas Chương Ứng dụng bổ đề Farkas Chương nghiên cứu ứng dụng bổ đề Farkas việc giải tốn kinh tế Mặc dù khóa luận hồn thành với cố gắng thân, song thời gian có hạn vấn đề thân tơi, nên q trình viết q trình in ấn khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi kính mong thầy, giáo bạn đóng góp ý kiến giúp tơi hồn thành khóa luận Tơi xin chân thành cảm ơn thầy, giáo khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn tận tình hướng dẫn tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành khóa luận Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vector định chuẩn 1.1.1 Khái niệm không gian vector Định nghĩa 1.1 Một tập X (mà phần tử đối tượng bất kỳ) gọi không gian vector (hay không gian tuyến tính) nếu: a) Ứng với cặp phần tử x, y X ta có, theo quy tắc đó, phần tử X , gọi tổng x với y ký hiệu x  y ; ứng với phần tử x X số thực  ta có, theo quy tắc đó, phần tử X gọi tích x với  , ký hiệu  x b) Các quy tắc nói thỏa mãn tám điều kiện (tiên đề) sau đây: 1) x  y  y  x ,  x, y X , (tính giao hốn phép cộng); 2) (x  y)  z  x  ( y  z) ,  x, y , z  X (tính kết hợp phép cộng); 3) Tồn phần tử cho x   x ,  x  X (phần tử gọi phần tử không); 4) Ứng với phần tử x thuộc X ta có phần tử x thuộc X cho x  (x)  (phần tử x gọi phần tử đối x ); 5) x  x , x  X ; 6)  (  x ) = (  ) x , x  X , ( ,  số bất kỳ); 7) ( +  ) x =  x +  x , x  X ; 8)  ( x  y ) =  x +  y , x, y  X Các phần tử không gian vector thường gọi vector 1.1.2 or độc lập tuyến tính, vector phụ thuộc tuyến tính Một tổ hợp tuyến tính vector dạng 1x1   x2    k xk Các vector x1, x2 , , xk x1, x2 , , xk thuộc X tổng có gọi độc lập tuyến tính tổ hợp tuyến tính vector mà khơng phải có hệ số khơng, nghĩa  x   x    x  1 2 k k 1  2       k  Các vector x1, x2 , , xk thiết phải kéo theo gọi phụ thuộc tuyến tính, chúng khơng độc lập tuyến tính tức tồn số  1, , ,k có số khác , cho 1x1   x2       k xk Chẳng hạn, hai vector x x tuyến tính x  (x)  Nếu vector x1, x2 , , xk phụ thuộc có rõ ràng chúng phụ thuộc tuyến tính 1.1.3 Khái niệm không gian định chuẩn Định nghĩa 1.2 Ta gọi không gian định chuẩn (hay khơng gian tuyến tính định chuẩn) khơng gian tuyến tính X □ với ánh xạ từ X vào tập số thực □ , ký hiệu  đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau đây: 1) x 0; x =0  x  , x X; 2)  x   x , x  X ,  □ , (tính nhất); Nhận xét 2.6 Trong [7], việc chứng minh tồn hình chiếu b C thực thuật toán lặp đơn giản Khi đó, tính chất đóng tập C suy trực tiếp từ việc tồn hình chiếu điểm b □ n C Do đó, chứng minh Dax xem chứng minh gián tiếp tính chất đóng tập C □ 2.2.3 Cách chứng minh thứ ba Chứng minh (xem [6]) công bố năm 2004, sử dụng phương pháp Fourier – Motzkin để loại trừ biến bất đẳng thức Phương pháp xem trường hợp đặc biệt định lý loại trừ lượng hóa Tarski Tuy nhiên, trường hợp hệ bất phương trình tuyến tính với phép lượng hóa tồn tại, số lượng phép toán phương pháp tăng lên nhanh Chứng minh bổ đề Farkas Ký hiệu a , a , , am a1, a2 , , an hàng cột ma trận A  (aij )mn Khi đó, 2) viết dạng a1, z  0, a2 , z  0, , an , z đó, vector b ký hiệu  0, an1, z     an1 Ví dụ, giả sử ta muốn bỏ biến z1 khỏi hệ Ký hiệu I   {i : aii  0}, I   {i : aii  0}, I  {i : a1i  0} Hệ bất phương trình xây dựng sử dụng quy tắc, với cặp   (k,l)  I  I , ta nhân bất đẳng thức ak , z  al , z  với a1l  a1k  Thêm hai bất đẳng thức ta thu hệ không chứa biến z1 Tất bất đẳng thức nhận theo cách thêm vào I Nếu I  (hoặc I  ) rỗng, ta cần xóa bất đẳng thức   với số I (hoặc I ) Bất đẳng thức với số I0 tạo nên hệ bất đẳng thức tuyến tính Bz  d , z  (z , , z ) Thủ tục loại trừ biến z n hoàn thành Nếu ta có z  (z2 , , zn ) nghiệm hệ phương trình Bz  d   n lI  l n lj l max a l1 ( a b) j2 z kj k kI  k  a l ( 1 a –b) j2 z  (z1, z)  (z1, z2 , , zn nghiệm 2) ) Giả sử 2) AT z  0, b, z    vô nghiệm Áp dụng phương pháp Fourier – Motzkin để loại trừ biến z1, z2 , , zn ta nhận hệ bất đẳng thức khơng có biến (vơ lý) Thủ tục chuyển 2) thành hệ không quán R q  AT    R  T   b phần tử ma trận  R q q    với 0 khơng âm, có nghĩa RAT  qbt  , qi  Suy ra, tồn x0 thỏa mãn Ax  b  □ 2.2.4 Cách chứng minh thứ tư Chứng minh đề xuất Bartl (xem [4]), công bố năm 2008 Tác giả trình bày chứng minh thơng qua chứng minh toán tổng quát bổ đề Farkas Chứng minh bổ đề Farkas Với n  1, 1), 2) có dạng sau: 1’) Tồn x  R thỏa mãn ax  b  a,b □  ; m 2’) Tồn z □ m thỏa mãn a, z  b, z  ; toán hiển nhiên Giả sử toán với số tự nhiên n Xét vector m chiều a1, a2 , , an , an1 , ta phải chứng minh 1) tồn số thực không x , , , x , x âm x n n1 n n1 2) tồn z thuộc b  x a   x a  x a m □ thỏa mãn thỏa mãn a 1, z  0, , an , z n n1  0, an1, z  0, b, z 0 Từ giả thiết quy nạp, ta có hai trường hợp: (i) Hoặc (ii) Tồn số thực không âm x1, x2 , , xn Tồn z thuộc □ m thỏa mãn a1, z thỏa mãn  0, , an , z b  x1   xnan a1  0, b, z 0 Từ (i) chọn xn1  , ta nhận 1) Từ (ii) xét hai khả sau: (ii– 1) an1, z  ta nhận 2) (ii– 2) Ta cần xét trường hợp, tồn z  z thuộc □ m a,z  0, , an , z phải thỏa mãn:  0, b, z  an1, z  Ta xét hai hệ a1, z  0, , an , z  0, an1, z  0, b, z  0; (2.1) a1, z  0, , an , z  0, a n1 , z  0, b, z  (2.2) Ta thấy nghiệm (2.2) nghiệm (2.1) Hơn nữa, ta có z nghiệm (2.1) z  z nghiệm (2.2) Do đó, (2.1) có nghiệm (trong trường hợp 2) đúng) (2.2) có nghiệm Bây giờ, xét vector i  n1 a , z   i b, z i a , z i n1 c  a   a , i  1, 2, , n i n1 b  b  a  Dễ thấy (2.2) có nghiệm n1 a , z c1, z  0, ,cn , z  0,an1, z  0,b, z  (2.3) có nghiệm Vì thế, ta cần quan tâm đến hệ (2.2) Sử dụng giả thuyết quy nạp lần ta có hai trường hợp: (j) Tồn số thực không âm y , y , , yn Hoặc (jj) Tồn u thuộc □ thỏa mãn b  y c n   ync thỏa mãn c1,u  0, ,cn ,u  0,b ,u  m Trong trường hợp (jj) có vector z  u   z đó,  b,u  an1, z nghiệm (2.3) kéo theo 2) Nếu tồn số thực không âm y , y , , y (trường hợp (jj)) n n thỏa mãn b  y1c   ync n b  b  a n1  y1c1   ync  y a1  1 y1a n1   yna n   y an1 , n y1 , y2 , , yn , yn1    1 y1   n yn  Điều có nghĩa 1) □ Chương Ứng dụng bổ đề Farkas Chúng ta giả thiết thị trường có m tài sản khác giao dịch có n tình xảy vào cuối thời kỳ Ký hiệu p1, p2 , , pm giá đưa thời điểm ban đầu thời kỳ Cho A  (aij )mn ma trận tiền trả aij (i  1, n, j  1, m) giá tài sản thứ i cuối thời kỳ thị trường tình j Một danh mục đầu tư tài sản vector x  ( y1, y2 , , yn ) dương, nhà đầu tư nhận yi mua a ji yi yi (i  1, n, j  1, m) đơn vị tài sản thứ i trường hợp tình j xảy Tuy nhiên, giả định việc bán ngắn hạn cho phép, có nghĩa bán lượng tài sản thứ i thời điểm ban đầu mua lại thời điểm cuối giai đoạn, yi (i  1, n) âm Trường hợp này, nhà đầu tư phải trả a ji yi (i  1, n, j  1, m) Tại thời điểm cuối giai đoạn, nhà đầu tư với danh mục đầu tư với y y( y1, y2 , , yn ) nhận T zA y n z j   a ji yi kết từ i1 y  ( y1, y2 , , yn danh mục đầu tư ) tình j Chi phí việc mua danh mục đầu tư x xác định  p, y Trong định giá tài sản, vấn đề xác định giá pi Trong lý thuyết chênh lệch giá cả, điều kiện tiêu chuẩn khơng có chênh lệch: khơng có danh mục đầu tư với chi phí âm mà khơng trở lại tình Ngun tắc xây dựng sau: AT y   p, y  khơng có giá trị y thỏa mãn T A y   p, y  Nó có nghĩa , có giá cắt giảm phù hợp với nguyên tắc không chênh lệch giá Ở đây, có câu hỏi để miêu tả giá Câu trả lời nằm biến thể sau bổ đề Farkas Định lý 2.5 Chỉ có giá trị không âm vector m sả n pi   a ji q j q □ n thỏa mãn giá tài  điều kiện không chênh lệch j1 Nếu tình trạng khơng chênh lệch xảy hệ Ay  ,  p, y  nghiệm Từ bổ đề Farkas thấy tồn vector q thuộc □ thỏa mãn p  Aq Sau cho p  p q   qi i n q thu cân  qi i giá Hơn nữa, vector q* hiểu vector phân bố xác suất Do đó, có phân bố xác suất mà lợi nhuận kì vọng tài sản với giá Các xác suất gọi xác suất rủi ro trung tính Do đó, bổ đề Farkas phát biểu sau “sự tồn xác suất rủi ro trung tính hệ tình trạng khơng chênh lệch giá” KẾT LUẬN Khóa luận hồn thành chủ yếu dựa theo [10] số tài liệu khác Khóa luận trình bày số kiến thức bổ đề Farkas số cách chứng minh Cụ thể, khóa luận đã: 1) Hệ thống lại khái niệm tính chất liên quan đến khơng gian định chuẩn, không gian Hillbert, tập lồi, hệ phương trình tuyến tính 2) Phát biểu bổ đề Farkas 3) Trình bày bốn cách chứng minh bổ đề Farkas theo [10] 4) Trình bày việc sử dụng bổ đề Farkas việc giải toán kinh tế theo [10] Do thời gian có hạn vấn đề thân tơi nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi kính mong q thầy, bạn đóng góp ý kiến để khóa luận tơi hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO [A] Tài liệu tiếng Việt [1] PGS TS Đỗ Văn Lưu – PGS TS Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nxb Khoa học Kĩ thuật [2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm (Giải tích đại), Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Phan Hồng Trường (2011), Đại số tuyến tính, Lưu hành nội trường Đại học Sư Phạm Hà Nội2 [B] Tài liệu tiếng Anh [4] D Bartl, A short algebraic proof of Farkas’ lemma, SIAM J Optim 19, (2008), 234 – 239 [5] C G Broyden, A simple algebraic proof of Farkas’ lemma and related theorems, Optim Method and Software, 8, – (1988), 185 – 199 [6] V Chandru, C Lassez, J L Lassez, Qualitative theorem proving in linear constraints, in book: Verification: Theory and Practice, Lecture notes in computer science, Springer, Berlin/Heidel – berg, 2004, pp 395 – 406 [7] A Dax, An elementary proof of Farkas’ lemma, SIAM Rev 39, (1997), 503 – 507 [8] Yu G Evtushenko, A I Golikov, New perspective on the theorem of alternative, in book: High Performance Algorithms and Software for Nonlinear Optimization, Kluwer Academic Publishers, 2002, pp 223 – 237 [9] M M Marjanović, An iterative method for solving polynomial equations, Topology and its applications, Budva 1972, 170 – 172 [10] Milojica Jaćimović, Farkas’ lemma of alternative, The teaching of Mathematics, 2011, Vol XIV, 2, pp 77 – 86 [11] C Roos, T Terlaky, Note on a paper of Broyden, Operations Research Letters, 25, (1999), 183 – 186 ... thiệu bổ đề Farkas số cách chứng minh bổ đề Farkas Chương Một số cách chứng minh bổ đề Farkas Chương nghiên cứu bổ đề Farkas, biến thể bổ đề Farkas phương pháp khác để chứng minh bổ đề Farkas Chứng. .. Chương 2: Một số cách chứng minh bổ đề Farkas .23 2.1 Bổ đề Farkas 23 2.2 Một số cách chứng minh bổ đề Farkas 24 2.2.1 Cách chứng minh thứ .25 2.2.2 Cách chứng minh thứ... chứng minh bổ đề Farkas" Dựa kết có tài liệu tham khảo có liên quan tới bổ đề Farkas, khóa luận này, tơi nghiên cứu bổ đề Farkas, phương pháp khác để chứng minh bổ đề Farkas ứng dụng bổ đề Farkas