Một cách chứng minh mới cho định lý Schauder

Khóa luận tốt nghiệp Chun ngành: Giải tích LỜI CẢM ƠN Bản khóa luận tốt nghiệp bước để em làm quen với việc nghiên cứu khoa học Trước bỡ ngỡ khó khăn làm quen với công tác nghiên cứu khoa học em nhận giúp đỡ động viên thầy cô giáo bạn sinh viên khoa Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy giáo tổ Giải tích, thầy giáo khoa Tốn, thầy giáo trường ĐHSP Hà Nội Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí, người giúp đỡ hướng dẫn tận tình để em hồn thành Khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em hồn thành Khóa luận Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Huyền Trang Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán LỜI CAM ĐOAN Dưới hướng dẫn Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí với cố gắng nỗ lực thân, em hồn thành Khóa luận Trong q trình nghiên cứu thực Khóa luận tốt nghiệp, em có tham khảo tài liệu số tác giả nêu mục Tài liệu tham khảo Em xin cam đoan kết Khóa luận kết nghiên cứu em, khơng trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Huyền Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, THUẬT NGỮ SỬ DỤNG 1.2 KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH 1.3 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN 10 1.4 TỐN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN 11 1.5 ĐỊNH LÝ HALN – BANACH 12 1.5.1 Không gian Banach 12 1.5.2 Định lý Haln – Banach cho khơng gian tuyến tính 12 1.5.3 Định lý Haln – Banach cho không gian định chuẩn 13 Chương 2: CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ SCHAUDER CỦA S.KAKUTANI .14 2.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 14 2.1.1 Hàm bị chặn toàn phần 14 2.1.2 Định lý Arzela – Ascoli .15 2.1.3 Cặp định chuẩn 16 2.2 ĐỊNH LÝ SCHAUDER 19 Chương 3: MỘT CÁCH CHỨNG MINH MỚI CHO ĐỊNH LÝ SCHAUDER CỦA V.RUNDE .21 3.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 21 3.2 ĐỊNH LÝ SCHAUDER 24 KẾT LUẬN 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 LỜI NÓI ĐẦU Ra đời từ đầu kỷ XX, giải tích hàm nhanh chóng phát triển mạnh mẽ, có sức hút lớn tìm ứng dụng rộng rãi khơng ngành tốn học lý thuyết ứng dụng mà nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác Sự phát triển giải tích hàm gắn với Nguyên lý ánh xạ mở, Nguyên lý bị chặn đều, Định lý Haln – Banach, Định lý điểm bất động Brouwer số là: Định lý Schauder Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu định lý bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học em chọn đề tài “Một cách chứng minh cho định lý Schauder” Mục đích đặt khóa luận sở nắm kiến thức không gian định chuẩn, khơng gian Banach, … trình bày cách chứng minh cho định lý Schauder đề xuất Volker Runde chương III Nội dung khóa luận gồm chương: Chương I: Một số kiến thức sở Nội dung chương nhắc lại số khái niệm bản, tính chất số không gian, tập hợp,… công cụ cho nội dung nghiên cứu chương sau không gian tô pô, không gian định chuẩn, không gian Banach, ánh xạ thương, tốn tử tuyến tính bị chặn,… Chương II: Chứng minh định lý Schauder S.Kakutani Nội dung chương trình bày cách chứng minh định lý Schauder biết đến tác giả S.Kakutani Chương III: Một cách chứng minh cho định lý Schauder V.Runde Nội dung chương trình bày cách chứng minh cho định lý Schauder tác giả Volker Runde Khóa luận hồn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo – tiến sĩ Tạ Ngọc Trí Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, tận tình bảo, giúp đỡ em q trình hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán, thầy cô giáo trường giúp đỡ em suốt thời gian học tập trường Đại học Sư phạm Hà Nội Mặc dù em cố gắng, song khả kiến thức hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn Xuân Hòa, ngày… tháng 05 năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Huyền Trang Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ Mục đích chương trình bày số kí hiệu, kiến thức giải tích hàm để chuẩn bị cho nội dung chương sau 1.1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, THUẬT NGỮ SỬ DỤNG 1.1.1 Cho M tập mở khơng gian tuyến tính X Khi đó: SpanM = khơng gian tuyến tính nhỏ chứa M 1.1.2 Cho M tập khơng gian định chuẩn X thì: Số dis(u, M ) = inf u v khoảng cách từ điểm u đến tập M v M 1.1.3 Ánh xạ thương a Định nghĩa 1: Cho X tập hợp tùy ý Ta gọi tô pô X lớp tập hợp τ X thỏa mãn tiên đề: (i) ∅, X ∈ τ; UG (ii) Nếu G ∈ τ, ∀α ∈ ⋀ (iii) Nếu Gj ; n ∈ τ (j = 1, n ) I j Gj Ta gọi khơng gian tô pô cặp , X , X tập hợp, τ tơ pô X Mỗi phần tử x ∈ X gọi điểm, tập hợp G ∈ τ gọi tập hợp mở Bằng ngôn ngữ tập hợp mở, ta phát biểu lại tiên đề tô pô sau: (i’) (ii’) ∅ X tập hợp mở Hợp họ tùy ý tập hợp mở tập hợp mở (iii’) Giao hữu hạn tập hợp mở tập hợp mở b Định nghĩa 2: Cho X , không gian tô pô, R quan hệ tương đương X Gọi X / R %: x x R X tập hợp lớp tương đương X theo i: X X /R x ⟼ x% ánh xạ thương 1.2 KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH 1.2.1 Định nghĩa 3: Cho trường số thực ℝ số phức ℂ Tập hợp khác rỗng X gọi khơng gian tuyến tính trường X xác định: (I) Một ánh xạ tích X X vào X gọi phép cộng, đặt tương ứng với cặp phần tử u, v ∈ X phần tử X gọi tổng u v , ký hiệu u v cho: u v=v u v với u,v u w=u v w với u,v, w X; X; u ∈ TồnXtại , với ; phần tử θ ∈ X , gọi phần tử không, cho θ + u = u Với u ∈ X , tồn phần tử u ∈ X gọi phần tử đối u= θ u cho u (II) Một ánh xạ tích X vào X gọi phép nhân phần tử cuả X với vô hướng , đặt tương ứng với phần tử ,u ∈ phần tử X gọi tích α với u , kí hiệu α u , cho: ; 1u = u X với u ∈ X , đơn vị u= u u= với u ∈ X , α, β ∈ ; u+ u với u ∈ X , α, β ∈ ; u với u , v ∈ X , α ∈ u v = Nhận xét: v Các phần tử θ u (I)c (I)d, Phần tử đối u 1u u θ = 0.u (0 ∈ ) Ta định nghĩa phép trừ cách gọi hiệu u v phần tử u v=u v Do suy tính chất sau: u v w⟺ w u v u= u v= u u u v Nếu α ≠ u = Nếu α ≠ β v = Trong định nghĩa 1: với u , v , w ∈ X ; với α, β ∈ , u ∈ X v ⟺ u vvới ; α ∈ , u , v ∈ X ; v ⟺ v = θ - Nếu = ℝ ta khơng gian tuyến tính thực - Nếu = ℂ ta khơng gian tuyến tính phức Từ sau ta xét hai trường hợp trên, phần tử số Phần tử θ ∈ X giống số 0, ta viết thay cho θ Ví dụ 1: Cho C a,b tập hợp hàm số liên tục u : a < b < ∞ Với u , v ∈ xác định bởi: C a,b α ∈ , u gọi a,b ⟶ ℝ, - ∞ < v u hàm số u v x =u u x x u x = v x với ∀ x ∈ [a, b] với ∀ x ∈ [a, b], α ∈ ℝ có X , X * Y tạo thành cặp định chuẩn Hơn nữa, toán tử tuyến tính bị chặn T (được xác định X ) toán tử liên hợp T * xác định (được * X ) tạo thành cặp liên hợp Tương tự vậy, toán tử liên hợp T * T toán tử liên hợp thứ hai T ** T (xác định X ** ) tạo thành cặp liên hợp Từ định lý ta có ngay: Bổ đề 2: Cho X , Y cặp định chuẩn tích ( x , y ) cho A , B tương ứng hai tập bị chặn X Y Khi ba điều kiện sau tương đương: (i) A hồn tồn bị chặn tựa metric: (12) (1) d (x , x ; B) (ii) = sup (x1, y) (x2 , y) ; y B B hoàn toàn bị chặn tựa metric: (13) (2) d (y,y; A) = sup (x, y1 ) (x, y2 ) x A Nếu ta xét đến trường hợp đặc biệt B hình cầu đơn vị SY Y ta có: Bổ đề 3: Cho X Y cặp định chuẩn tích (x, y) cho A tập bị chặn X Khi ba điều kiện sau tương đương: (i) A hồn tồn bị chặn metric: d (1) (x1, x2 ) = x1 x2 ; (ii) Hình cầu đơn vị SY Y hồn tồn bị chặn tựa 1,2,3 metric d (2) ( y , y ; A) (hay tương tự, từ dãy yn / n phần tử SY tìm dãy yn / k k 1, 2,3, mà tích x, yn hội tụ A ) k (iii) Tích x, y hồn tồn bị chặn A SY Và ta chứng minh định lý Schauder 2.2 ĐỊNH LÝ SCHAUDER Một tốn tử tuyến tính bị chặn T xác định khơng gian tuyến tính định chuẩn X gọi hồn tồn liên tục X ảnh T (SX hình cầu đơn vị SX ) X T hoàn toàn bị chặn metric d (1) (x , x ) = x x2 Định lý: Cho X , Y cặp định chuẩn cho T , T cặp liên hợp * tốn tử tuyến tính bị chặn tương ứng xác định X , Y Khi T * hoàn toàn liên tục X T hoàn toàn liên tục Y Chứng minh Cho (14) SX , SY tương ứng hình cầu đơn vị X ,Y xét hàm: f (x, y) = Tx , y = x,T * y xác định với x ∈ SX , y ∈ SY Thật từ bổ đề suy trực tiếp định lý Schauder thấy điều kiện sau tương đương: (i) T (SX hoàn toàn bị chặn metric: ) d (1) (x1, x2 ) = x1 x2 (ii) Tích (x, y) (iii) Hàm f (x, y) (iv) Tích (x, y) hồn tồn bị chặn T (SX ) SY hoàn toàn bị chặn SX SY hoàn toàn bị chặn SX T (SY ) * (v) * T (S ) hoàn toàn bị chặn metric: Y d y 1, y = y1 y2 Chương 3: MỘT CÁCH CHỨNG MINH MỚI CHO ĐỊNH LÝ SCHAUDER CỦA V.RUNDE Những kết tham khảo [ ] 3.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Mục đích phần trình bày số kiến thức giải tích hàm để chứng minh định lý Schauder, đặc biệt không sử dụng định lý Arzela – Ascoli (và loại đối số đường chéo liên quan) Và suốt trình, viết Ball(E) thay cho hình cầu đơn vị đóng khơng gian Banach E Cho E , F không gian Banach cho T : E ⟶ F compact Vậy x1 x2 ,… xn T(Ball(E)) hồn tồn giới hạn, mà với ε > , Tx j cho ∈ Ball(E), với x ∈ Ball(E) có j ∈ {1, 2, …, n} cho Tx Cho Y : = span Tx ,Tx , ,Tx Khi QY T , n F / Y ánh xạ thương QY : F ⟶ Ngược lại, giả sử T : E ⟶ F bị chặn với ε > 0, có khơng gian hữu hạn chiều Y F cho QY T K : = y Y : dis( y,T (Ball(E))) Khi K bị chặn đó, dimY hồn tồn bị chặn, nghĩa có y1 , y2 ,…, ym y yj Cho: ∈ K, cho, với y ∈ K , có j ∈ {1, 2, …, m} cho Do định nghĩa K , ta có với j = 1, m , phần tử x ∈ Ball(E) j với y j Tx j Cho x ∈ Ball(E) tùy ý Từ Cho j ∈ {1, 2, …, m} cho Q Y y j y 3 Sau ta có: T x T x j ≤ Tx y + y + y j Tx y j j 0, có không gian hữu hạn chiều Y F cho: QY T Q : F Y ; F / Y ánh xạ thương ⟶ Bổ đề có sử dụng định lý Haln – Banach Bổ đề 2: Cho E , F không gian Banach , cho T : E ⟶ F bị chặn, cho ε > cho X khơng gian đóng E với số đổi chiều hữu hạn (finite codimension) cho T / X E , cho: Khi có khơng gian hữu hạn X o QTX : F ⟶ o QTXo T ; F / TXo ánh xạ thương Chứng minh Áp dụng định lý Haln – Banach, ta dung phép nhúng đẳng cự vào * ℓ∞( ) cho phù hợp với số thiết lập ( = Ball(E )) Do giả sử mà khơng làm tính tổng quát: F = ℓ ∞( ) Áp dụng định lý Haln – Banach, ta có tốn tử T° : E ⟶ ℓ∞( ) cho T° / X = T / X T° T / X Cho S : = T T° , S triệt tiêu X từ X số đổi chiều hữu hạn compact Do đó, có x1 x2 , …, xn ∈ Ball(E), cho, với , Sx x ∈ Ball(E), có j ∈ {1, 2, …, n} với Sx j Sx Cho x cố định, x ∈ Ball(E), cho j ∈ {1, 2, …, n}, cho Sx ý rằng: j Tx T x j Sx Sx j T° x T° x j 3 Không gian Hệ quả: X o = span{ x1 x2 ,… xn } có tính chất mong muốn , Cho E , F không gian Banach cho T : E ⟶ F bị chặn với tính chất sau: với ε > 0, có khơng gian đóng X E với số đổi chiều hữu hạn cho: T /X Khi T compact Bây ta chứng minh định lý Schauder 3.2 ĐỊNH LÝ SCHAUDER Định lý: Cho E , F không gian Banach cho T : E ⟶ F tốn tử tuyến tính bị chặn Khi mệnh đề sau tương đương: (i) T compact (ii) Cho ε > 0, có khơng gian hữu hạn chiều Y Y cho: QY T QY ; F / Y ánh xạ thương : F ⟶ (iii) Cho ε > có khơng gian đóng X E với số đổi chiều hữu hạn cho: (iv) T : T/X * Chứng minh: F * * E compact ⟶ (i) ⟺ Từ bổ đề 21 ta chứng minh (iii) ⟹(ii) (ii) Để chứng minh (ii) ⟹ (iv): cho ε > cho Y không gian hữu hạn chiều F cho: QY T Cho X annihilator (triệt tiêu) Y * chiều hữu hạn F X * F , X có số đổi * QY T ; * T / = * T / X * Cho ε > bất ký, hệ áp dụng cho T thỏa mãn (iv) * Để chứng minh (iv) ⟹ (iii), giả sử ε > Áp dụng bổ đề ε cho T lập luận phần chứng minh (ii) ⟹ (iv), ta có khơng gian đóng X E* với số đổi chiều hữu hạn cho T ** /X * Do T / X E Từ ε > tùy ý hệ kéo theo (i) KẾT LUẬN Như nói phần mở đầu, mục đích khóa luận nghiên cứu, trình bày cách chứng minh cho định lý Schauder Để thực nhiệm vụ cần nắm vững kiến thức khơng gian tuyến tính, khơng gian định chuẩn, khơng gian Banach,… Kết Khóa luận trình bày cách có hệ thống kết quả, từ việc nghiên cứu kiến thức sở đến nội dung định lý Giải tích hàm, từ trình bày nội dung Khóa luận Trước kết thúc khóa luận này, lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô giáo trường ĐHSP Hà Nội 2, thầy khoa Tốn, đặc biệt thầy giáo – Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí tận tình bảo, hướng dẫn, giúp đỡ em hồn thành khóa luận Mặc dù em cố gắng, song khả kiến thức hạn chế nên Khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Huyền Trang TÀI LIỆU THAM KHẢO [ ] Nguyễn Phụ Hy (1992), Giáo trình giải tích hàm, Đại học Sư phạm Hà Nội [ ] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Giải tích hàm, NXB Giáo dục [ ] S Kakutani (1951), A proof of Schauder’s theorem, J Math Soc Japan T(Ball(E)) ,228 – 231 [ ] V.Runde - A new and simple proof of Schauder's theorem http://arxiv.org/abs/1010.1298 ... trình bày cách chứng minh định lý Schauder biết đến tác giả S.Kakutani Chương III: Một cách chứng minh cho định lý Schauder V.Runde Nội dung chương trình bày cách chứng minh cho định lý Schauder. .. 2.1.2 Định lý Arzela – Ascoli .15 2.1.3 Cặp định chuẩn 16 2.2 ĐỊNH LÝ SCHAUDER 19 Chương 3: MỘT CÁCH CHỨNG MINH MỚI CHO ĐỊNH LÝ SCHAUDER CỦA V.RUNDE .21 3.1 MỘT... 3: MỘT CÁCH CHỨNG MINH MỚI CHO ĐỊNH LÝ SCHAUDER CỦA V.RUNDE Những kết tham khảo [ ] 3.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Mục đích phần trình bày số kiến thức giải tích hàm để chứng minh định lý Schauder,