Một cách chứng minh mới cho định lý schauder

Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích LỜI CẢM ƠN Bản khóa luận tốt nghiệp bước để em làm quen với việc nghiên cứu khoa học Trước bỡ ngỡ khó khăn làm quen với công tác nghiên cứu khoa học em nhận giúp đỡ động viên thầy cô giáo bạn sinh viên khoa Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy cô giáo tổ Giải tích, thầy cô giáo khoa Toán, thầy cô giáo trường ĐHSP Hà Nội Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí, người giúp đỡ hướng dẫn tận tình để em hoàn thành Khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em hoàn thành Khóa luận Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Huyền Trang Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích LỜI CAM ĐOAN Dưới hướng dẫn Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí với cố gắng nỗ lực thân, em hoàn thành Khóa luận Trong trình nghiên cứu thực Khóa luận tốt nghiệp, em có tham khảo tài liệu số tác giả nêu mục Tài liệu tham khảo Em xin cam đoan kết Khóa luận kết nghiên cứu em, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Huyền Trang Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, THUẬT NGỮ SỬ DỤNG 1.2 KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH 1.3 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN 10 1.4 TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN 11 1.5 ĐỊNH LÝ HALN – BANACH 12 1.5.1 Không gian Banach 12 1.5.2 Định lý Haln – Banach cho không gian tuyến tính 12 1.5.3 Định lý Haln – Banach cho không gian định chuẩn 13 Chương 2: CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ SCHAUDER CỦA S.KAKUTANI 14 2.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 14 2.1.1 Hàm bị chặn toàn phần 14 2.1.2 Định lý Arzela – Ascoli 15 2.1.3 Cặp định chuẩn 16 2.2 ĐỊNH LÝ SCHAUDER 19 Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích Chương 3: MỘT CÁCH CHỨNG MINH MỚI CHO ĐỊNH LÝ SCHAUDER CỦA V.RUNDE 21 3.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 21 3.2 ĐỊNH LÝ SCHAUDER 24 KẾT LUẬN 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích LỜI NÓI ĐẦU Ra đời từ đầu kỷ XX, giải tích hàm nhanh chóng phát triển mạnh mẽ, có sức hút lớn tìm ứng dụng rộng rãi không ngành toán học lý thuyết ứng dụng mà nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác Sự phát triển giải tích hàm gắn với Nguyên lý ánh xạ mở, Nguyên lý bị chặn đều, Định lý Haln – Banach, Định lý điểm bất động Brouwer số là: Định lý Schauder Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu định lý bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học em chọn đề tài “Một cách chứng minh cho định lý Schauder” Mục đích đặt khóa luận sở nắm kiến thức không gian định chuẩn, không gian Banach, … trình bày cách chứng minh cho định lý Schauder đề xuất Volker Runde chương III Nội dung khóa luận gồm chương: Chương I: Một số kiến thức sở Nội dung chương nhắc lại số khái niệm bản, tính chất số không gian, tập hợp,… công cụ cho nội dung nghiên cứu chương sau không gian tô pô, không gian định chuẩn, không gian Banach, ánh xạ thương, toán tử tuyến tính bị chặn,… Chương II: Chứng minh định lý Schauder S.Kakutani Nội dung chương trình bày cách chứng minh định lý Schauder biết đến tác giả S.Kakutani Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích Chương III: Một cách chứng minh cho định lý Schauder V.Runde Nội dung chương trình bày cách chứng minh cho định lý Schauder tác giả Volker Runde Khóa luận hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo – tiến sĩ Tạ Ngọc Trí Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, tận tình bảo, giúp đỡ em trình hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán, thầy cô giáo trường giúp đỡ em suốt thời gian học tập trường Đại học Sư phạm Hà Nội Mặc dù em cố gắng, song khả kiến thức hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn Xuân Hòa, ngày… tháng 05 năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Huyền Trang Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ Mục đích chương trình bày số kí hiệu, kiến thức giải tích hàm để chuẩn bị cho nội dung chương sau 1.1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, THUẬT NGỮ SỬ DỤNG 1.1.1 Cho M tập mở không gian tuyến tính X Khi đó: SpanM = không gian tuyến tính nhỏ chứa M 1.1.2 Cho M tập không gian định chuẩn X thì: Số dis(u, M ) = inf u v khoảng cách từ điểm u đến tập M v M 1.1.3 Ánh xạ thương a Định nghĩa 1: Cho X tập hợp tùy ý Ta gọi tô pô X lớp tập hợp τ X thỏa mãn tiên đề: (i) ∅, X ∈ τ; (ii) Nếu G ∈ τ, ∀α ∈ ⋀ (iii) Nếu G j ∈ τ (j = 1, n ) UG ; n I Gj j Ta gọi không gian tô pô cặp X , , X tập hợp, τ tô pô X Mỗi phần tử x ∈ X gọi điểm, tập hợp G ∈ τ gọi tập hợp mở Bằng ngôn ngữ tập hợp mở, ta phát biểu lại tiên đề tô pô sau: (i’) ∅ X tập hợp mở (ii’) Hợp họ tùy ý tập hợp mở tập hợp mở (iii’) Giao hữu hạn tập hợp mở tập hợp mở Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích b Định nghĩa 2: không gian tô pô, R quan hệ tương đương Cho X , x% :x X Gọi X / R X tập hợp lớp tương đương X theo R i: X X /R x ⟼ x% ánh xạ thương 1.2 KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH 1.2.1 Định nghĩa 3: trường số thực ℝ số phức ℂ Tập hợp khác rỗng X Cho gọi không gian tuyến tính trường (I) Một ánh xạ tích X X xác định: X vào X gọi phép cộng, đặt tương ứng với cặp phần tử u, v ∈ X phần tử X gọi tổng u v , ký hiệu u v cho: u v với u, v u v =v u w=u với u, v,w v w X; X; Tồn phần tử θ ∈ X , gọi phần tử không, cho θ + u = u , với u ∈ X ; Với u ∈ X , tồn phần tử u ∈ X gọi phần tử đối u cho u u = θ (II) Một ánh xạ tích X với vô hướng X vào X gọi phép nhân phần tử cuả , đặt tương ứng với phần tử ,u ∈ X phần tử X gọi tích α với u , kí hiệu α u , cho: với u ∈ X , đơn vị 1u = u ; Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích u = u u= u+ u u v = u v với u ∈ X , α, β ∈ ; với u ∈ X , α, β ∈ ; với u , v ∈ X , α ∈ Nhận xét: Các phần tử θ u (I)c (I)d, 1u u θ = 0.u (0 ∈ ) Phần tử đối u Ta định nghĩa phép trừ cách gọi hiệu u v phần tử u v=u v Do suy tính chất sau: u v w⟺ w u v u= u u với α, β ∈ , u ∈ X ; u v = u v với α ∈ , u , v ∈ X ; Nếu α ≠ u = v⟺u Nếu α ≠ β v ⟺ v = θ v= với u , v , w ∈ X ; v; Trong định nghĩa 1: - Nếu = ℝ ta không gian tuyến tính thực - Nếu = ℂ ta không gian tuyến tính phức Từ sau ta xét hai trường hợp trên, phần tử gọi số Phần tử θ ∈ X giống số 0, ta viết thay cho θ Ví dụ 1: Cho C a, b tập hợp hàm số liên tục u : a, b ⟶ ℝ, - ∞ < a < b < ∞ Với u , v ∈ C a, b α ∈ , u v u hàm số xác định bởi: u v x =u x với ∀ x ∈ [a, b] v x u x = u x với ∀ x ∈ [a, b], α ∈ ℝ Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích Dễ dàng kiểm tra u v , u ∈ C a, b C a, b không gian tuyến tính thực với phần tử không phần tử đơn vị tương ứng ánh xạ 1.2.2 Định nghĩa 4: Cho X không gian tuyến tính Tập M gọi không gian tuyến tính X u , v ∈ M, suy ra: v ∈ M với ∀ α, β ∈ u 1.2.3 Định nghĩa 5: Cho không gian tuyến tính X Một hàm số f x xác định X lấy giá trị số (thực hay phức tùy theo X không gian thực hay phức) gọi phiếm hàm X Phiếm hàm gọi tuyến tính nếu: f x1 f x2 = f x1 x = f x2 với x1 , x2 ∈ X với x ∈ X số α f x Như vậy, phiếm hàm tuyến tính X thực chất toán tử tuyến tính từ X vào 1.3 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN 1.3.1 Định nghĩa 6: Cho không gian tuyến tính X xác định trường = ℝ ( = ℂ) Ta gọi X không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định , kí hiệu , đọc chuẩn, thỏa mãn chuẩn) có ánh xạ từ X vào điều kiện: (i) với u ∈ X ; u ⟺ u =0 (ii) (iii) u = u v u u + v u = θ với u ∈ X , α ∈ với ∀ u , v ∈ X (bất đẳng thức tam giác) 10 Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp (ii) Chuyên ngành: Giải tích p: X ⟶ ℝ phiếm hàm tuyến tính xác định X , nghĩa với u , v ∈ X α ≥ 0, ta có: p(u v) ≤ p(u ) + p v (iii) p u = p u f : L ⟶ ℝ phiếm hàm tuyến tính, cho: f u ≤ p(u ) với u ∈ L Khi f thác triển thành phiếm hàm tuyến tính F : X ⟶ ℝ có tính chất F u ≤ p u với u ∈ X 1.5.3 Định lý Haln – Banach cho không gian định chuẩn Giả sử rằng: (i) L không gian tuyến tính không gian định chuẩn X ℝ (ii) f : L ⟶ ℝ phiếm hàm tuyến tính, cho: f (u ) u với u ∈ L với α ≥ cố định Khi đó, f thác triển thành phiếm hàm tuyến tính liên tục F : X ⟶ ℝ thỏa mãn tính chất F (u ) u với u ∈ X 13 Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích Chương 2: CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ SCHAUDER CỦA S KAKUTANI Những kết tham khảo [ ] 2.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2.1.1 Hàm bị chặn toàn phần Cho hai tập hợp X = x , Y = y Cho f ( x, y ) hàm lấy giá trị thực bị chặn xác định với x ∈ X với y ∈ Y Bổ đề Ba điều kiện sau tương đương: (i) Với ε > tồn phân tích X = m X UA i i số hữu hạn tập Ai ; i = 1, m , cho: f ( x1, y) (1) (ii) với ∀ x1 , x2 ∈ Ai ; i = 1, m ; ∀ y ∈ Y f ( x2 , y) Với ε > tồn phân tích Y = n UB j Y j số hữu hạn tập B j ; j = 1, n , cho: f ( x, y1 ) (2) (iii) f ( x, y2 ) với ∀ x ∈ X ; ∀ y1 , y2 ∈ B j ; j = 1, n Với ε >0 tồn phân tích X = n m U Ai ; Y = i UB j j X Y số hữu hạn tập Ai , B j ; i = 1, m ; j = 1, n , cho: (3) f ( x1, y1 ) f ( x2 , y2 ) với ∀ x1 , x2 ∈ Ai ; ∀ y1 , y2 ∈ B j Dễ dàng để chứng minh bổ đề này, ta nói f ( x, y ) hoàn toàn bị chặn X Y 14 Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích 2.1.2 Định lý Arzela – Ascoli Định lý 1: Một họ bị chặn đều, liên tục đồng bậc F = f ( x, y) hàm lấy giá trị thực liên tục f ( x, y ) xác định không gian metric X giới hạn hoàn toàn metric: (4) d ( f1, f ) = sup f1 ( x) f ( x) x X Đặc biệt: Cho hai tập hợp X = x , Y = y f ( x, y ) hàm lấy giá trị thực chặn xác định với x ∈ X với y ∈ Y Với x1 , x2 ∈ X , ta đặt: (5) d (1) ( x1, x2 ; f ) = sup f ( x1, y) f ( x2 , y) y Y d (1) ( x1, x2 ; f ) tựa metric xác định X (nghĩa d (1) ( x1, x2 ; f ) thỏa mãn tất tiên đề metric ngoại trừ việc tiên đề tách: d (1) ( x1, x2 ; f ) > x1 x2 ) X gọi hoàn toàn bị chặn d (1) ( x1, x2 ; f ) với ε > m tồn phân tích X = U A i X số hữu hạn tập i Ai ; i = 1, m , cho: d (1) ( x1, x2 ; f ) < ε với ∀ x1 , x2 ∈ Ai ; i = 1, m Tương tự ta đặt cho y1 , y2 ∈ Y (6) d (2) ( y1, y2 ; f ) = sup f ( x, y1 ) f ( x, y ) x X Khi d (2) ( y1, y2 ; f ) tựa metric Y Tính bị chặn Y tựa metric d (2) ( y1, y2 ; f ) xác định hoàn toàn tương tự 15 Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích Định lý 2: X hoàn toàn bị chặn d (1) ( x1, x2 ; f ) Y hoàn toàn bị chặn d (2) ( y1, y2 ; f ) Chứng minh Định lý suy trực tiếp từ bổ đề thấy tính bị chặn X d (1) ( x1, x2 ; f ) tương đương với điều kiện (i) bổ đề 1; tính bị chặn Y d (2) ( y1, y2 ; f ) tương đương với điều kiện (ii) bổ đề Chú ý: Trong định lý X Y đối xứng Do phần “nếu” “chỉ nếu” định lý chủ yếu mệnh đề tương tự Hơn nữa, thật dễ dàng để thấy mệnh đề hệ định lý Arzela – Ascoli Trong thực tế, đặt f y ( x) = f ( x, y ) , F = f y ( x, y) / y Y bị chặn đều, họ liên tục đồng bậc hàm liên tục f y ( x) xác định tập X với tựa metric d (1) ( x1, x2 ; f ) ta có: (7) d ( f y1 , f y2 ) = sup f y1 ( x) x X f y2 ( x ) = sup f ( x, y1 ) f ( x, y ) x X = d (2) ( y1, y2 ; f ) 2.1.3 Cặp định chuẩn Cho X = x , Y = y không gian tuyến tính định chuẩn với x , y chuẩn Giả sử có hàm song tuyến tính lấy giá trị thực ( x, y ) xác định với ∀ x ∈ X , ∀ y ∈ Y cho: (8) x = sup ( x, y) ; y 16 Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp (9) y Chuyên ngành: Giải tích = sup ( x, y) ; x1 với x ∈ X với y ∈ Y X Y gọi cặp định chuẩn tích ( x, y ) Cho X , Y cặp định chuẩn tích ( x, y ) Cho T ; T * hai toán tử tuyến tính bị chặn xác định X , Y T T * gọi cặp liên hợp nếu: với x ∈ X , y ∈ Y Tx , y = x, T * y (10) Dễ dàng thấy rằng: (11) T = sup Tx x1 1 = sup sup (Tx , y) x1 y = sup sup ( x,T * y ) y x1 = sup T * y y = T* 2 Một ví dụ cặp định chuẩn cho không gian Banach X không gian liên hợp X * ta xác định tích x, x* giá trị phiếm hàm tuyến tính bị chặn x * điểm x Tương tự vậy, không gian liên hợp X * X không gian liên hợp thứ hai X ** X (tức không gian liên hợp X * ) tạo thành cặp định chuẩn Cũng dễ dàng thấy rằng, xét đến X không gian tuyến tính X ** Y không gian tuyến tính X ** 17 Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích có X , X * Y tạo thành cặp định chuẩn Hơn nữa, toán tử tuyến tính bị chặn T (được xác định X ) toán tử liên hợp T * (được xác định X * ) tạo thành cặp liên hợp Tương tự vậy, toán tử liên hợp T * T toán tử liên hợp thứ hai T ** T (xác định X ** ) tạo thành cặp liên hợp Từ định lý ta có ngay: Bổ đề 2: Cho X , Y cặp định chuẩn tích ( x , y ) cho A , B tương ứng hai tập bị chặn X Y Khi ba điều kiện sau tương đương: (i) A hoàn toàn bị chặn tựa metric: d (1) ( x1, x2 ; B) = sup ( x1, y) ( x2 , y) ; (12) y B (ii) B hoàn toàn bị chặn tựa metric: d (2) ( y1, y2 ; A) = sup ( x, y1 ) ( x, y2 ) (13) x A Nếu ta xét đến trường hợp đặc biệt B hình cầu đơn vị SY Y ta có: Bổ đề 3: Cho X Y cặp định chuẩn tích (x, y) cho A tập bị chặn X Khi ba điều kiện sau tương đương: (i) A hoàn toàn bị chặn metric: d (1) ( x1, x2 ) = x1 (ii) x2 ; Hình cầu đơn vị SY Y hoàn toàn bị chặn tựa metric d (2) ( y1, y2 ; A) (hay tương tự, từ dãy yn / n 1,2,3 18 Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích phần tử SY tìm dãy ynk / k 1,2,3, mà tích x, ynk hội tụ A ) (iii) Tích x, y hoàn toàn bị chặn A SY Và ta chứng minh định lý Schauder 2.2 ĐỊNH LÝ SCHAUDER Một toán tử tuyến tính bị chặn T xác định không gian tuyến tính định chuẩn X gọi hoàn toàn liên tục X ảnh T (S X ) hình cầu đơn vị S X X T hoàn toàn bị chặn metric d (1) ( x1, x2 ) = x1 x2 Định lý: Cho X , Y cặp định chuẩn cho T , T * cặp liên hợp toán tử tuyến tính bị chặn tương ứng xác định X , Y Khi T hoàn toàn liên tục X T * hoàn toàn liên tục Y Chứng minh Cho S X , SY tương ứng hình cầu đơn vị X , Y xét hàm: f ( x, y ) = Tx , y = x, T * y (14) xác định với x ∈ S X , y ∈ SY Thật từ bổ đề suy trực tiếp định lý Schauder thấy điều kiện sau tương đương: (i) T (S X ) hoàn toàn bị chặn metric: d (1) ( x1, x2 ) = x1 x2 (ii) Tích ( x, y ) hoàn toàn bị chặn T (S X ) SY (iii) Hàm f ( x, y ) hoàn toàn bị chặn S X SY (iv) Tích ( x, y ) hoàn toàn bị chặn S X T * ( SY ) 19 Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp (v) Chuyên ngành: Giải tích T * ( SY ) hoàn toàn bị chặn metric: d y1 , y2 = y1 y2 20 Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích Chương 3: MỘT CÁCH CHỨNG MINH MỚI CHO ĐỊNH LÝ SCHAUDER CỦA V.RUNDE Những kết tham khảo [ ] 3.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Mục đích phần trình bày số kiến thức giải tích hàm để chứng minh định lý Schauder, đặc biệt không sử dụng định lý Arzela – Ascoli (và loại đối số đường chéo liên quan) Và suốt trình, viết Ball(E) thay cho hình cầu đơn vị đóng không gian Banach E Cho E , F không gian Banach cho T : E ⟶ F compact Vậy T(Ball(E)) hoàn toàn giới hạn, mà với ε > cho x1 , x2 ,… xn ∈ Ball(E), với x ∈ Ball(E) có j ∈ {1, 2, …, n} cho Tx Tx j , QY : F ⟶ Cho Y : = span Tx1 , Tx2 , , Txn Khi QY T F / Y ánh xạ thương Ngược lại, giả sử T : E ⟶ F bị chặn với ε > 0, có không gian hữu hạn chiều Y F cho QY T K : = y Y : dis( y, T ( Ball ( E ))) Khi K bị chặn đó, dimY Cho: hoàn toàn bị chặn, nghĩa có y1 , y2 ,…, ym ∈ K , cho, với y ∈ K , có j ∈ {1, 2, …, m} cho y yj 21 Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích Do định nghĩa K , ta có với j = 1, m , phần tử x j ∈ Ball(E) với y j Tx j Cho x ∈ Ball(E) tùy ý Từ QY y yj 3 Cho j ∈ {1, 2, …, m} cho Sau ta có: Tx Tx j ≤ Tx y j + y j Tx j < y + y + + = ε 3 Do đó, T (Ball(E)) hoàn toàn bị chặn T compact Do ta có: Bổ đề 1: Cho E , F không gian Banach cho T : E ⟶ F bị chặn, T compact nếu, với ε > 0, có không gian hữu hạn chiều Y F cho: ; QY T QY : F ⟶ F / Y ánh xạ thương Bổ đề có sử dụng định lý Haln – Banach Bổ đề 2: Cho E , F không gian Banach , cho T : E ⟶ F bị chặn, cho ε > cho X không gian đóng E với số đổi chiều hữu hạn (finite codimension) cho T / X Khi có không gian hữu hạn X o E , cho: QTX o T ; QTX o : F ⟶ F / TX o ánh xạ thương 22 Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích Chứng minh Áp dụng định lý Haln – Banach, ta dung phép nhúng đẳng cự vào ℓ∞( ) cho phù hợp với số thiết lập ( = Ball(E*)) Do giả sử mà không làm tính tổng quát: F = ℓ ∞( ) Áp dụng định lý Haln – Banach, ta có toán tử T° : E ⟶ ℓ∞( ) cho T° / X = T / X T° T /X Cho S : = T T° , S triệt tiêu X từ X số đổi chiều hữu hạn compact Do đó, có x1 , x2 , …, xn ∈ Ball(E), cho, với x ∈ Ball(E), có j ∈ {1, 2, …, n} với S x Sxj Cho x cố định, x ∈ Ball(E), cho Sx Sxj Tx Tx j j ∈ {1, 2, …, n}, cho ý rằng: Sx Sx j T° x T° x j 3 Không gian X o = span{ x1 , x2 ,… xn } có tính chất mong muốn Hệ quả: Cho E , F không gian Banach cho T : E ⟶ F bị chặn với tính chất sau: với ε > 0, có không gian đóng X E với số đổi chiều hữu hạn cho: T /X Khi T compact Bây ta chứng minh định lý Schauder 23 Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích 3.2 ĐỊNH LÝ SCHAUDER Định lý: Cho E , F không gian Banach cho T : E ⟶ F toán tử tuyến tính bị chặn Khi mệnh đề sau tương đương: (i) T compact (ii) Cho ε > 0, có không gian hữu hạn chiều Y Y cho: ; QY T QY : F ⟶ F / Y ánh xạ thương (iii) Cho ε > có không gian đóng X E với số đổi chiều hữu hạn cho: T /X (iv) T * : F * ⟶ E * compact Chứng minh: Từ bổ đề ta chứng minh (i) ⟺ (ii) Từ bổ đề ta chứng minh (iii) ⟹ (ii) Để chứng minh (ii) ⟹ (iv): cho ε > cho Y không gian hữu hạn chiều F cho: QY T Cho X annihilator (triệt tiêu) Y F * , X có số đổi chiều hữu hạn F * * T * / X = QY T ; T* /X 24 Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích Cho ε > bất ký, hệ áp dụng cho T * thỏa mãn (iv) Để chứng minh (iv) ⟹ (iii), giả sử ε > Áp dụng bổ đề ε cho T * lập luận phần chứng minh (ii) ⟹ (iv), ta có không gian đóng X E ** với số đổi chiều hữu hạn cho T ** / X Do T / X E Từ ε > tùy ý hệ kéo theo (i) 25 Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích KẾT LUẬN Như nói phần mở đầu, mục đích khóa luận nghiên cứu, trình bày cách chứng minh cho định lý Schauder Để thực nhiệm vụ cần nắm vững kiến thức không gian tuyến tính, không gian định chuẩn, không gian Banach,… Kết Khóa luận trình bày cách có hệ thống kết quả, từ việc nghiên cứu kiến thức sở đến nội dung định lý Giải tích hàm, từ trình bày nội dung Khóa luận Trước kết thúc khóa luận này, lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô giáo trường ĐHSP Hà Nội 2, thầy cô khoa Toán, đặc biệt thầy giáo – Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí tận tình bảo, hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Mặc dù em cố gắng, song khả kiến thức hạn chế nên Khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Huyền Trang 26 Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích TÀI LIỆU THAM KHẢO [ ] Nguyễn Phụ Hy (1992), Giáo trình giải tích hàm, Đại học Sư phạm Hà Nội [ ] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Giải tích hàm, NXB Giáo dục [ ] S Kakutani (1951), A proof of Schauder’s theorem, J Math Soc Japan T(Ball(E)) ,228 – 231 [ ] V.Runde - A new and simple proof of Schauder's theorem http://arxiv.org/abs/1010.1298 27 Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán [...]... 3: MỘT CÁCH CHỨNG MINH MỚI CHO ĐỊNH LÝ SCHAUDER CỦA V.RUNDE Những kết quả dưới đây được tham khảo trong [ 4 ] 3.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Mục đích của phần này là trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích hàm để chứng minh định lý Schauder, đặc biệt chúng ta không sử dụng định lý Arzela – Ascoli (và bất kỳ loại đối số đường chéo liên quan) Và trong suốt quá trình, chúng ta viết Ball(E) thay cho. .. sao cho: T /X Khi đó T là compact Bây giờ ta đi chứng minh định lý Schauder 23 Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích 3.2 ĐỊNH LÝ SCHAUDER Định lý: Cho E , F là không gian Banach và cho T : E ⟶ F là một toán tử tuyến tính bị chặn Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) T là compact (ii) Cho mỗi ε > 0, có một không gian con hữu hạn chiều của Y của Y sao cho: ... đó QY : F ⟶ F / Y là ánh xạ thương (iii) Cho mỗi ε > 0 có một không gian con đóng X của E với số đổi chiều hữu hạn sao cho: T /X (iv) T * : F * ⟶ E * là compact Chứng minh: Từ bổ đề 1 ta chứng minh được (i) ⟺ (ii) Từ bổ đề 2 ta chứng minh được (iii) ⟹ (ii) Để chứng minh (ii) ⟹ (iv): cho ε > 0 và cho Y là một không gian con hữu hạn chiều của F sao cho: QY T Cho X là annihilator (triệt tiêu) của Y trong... đích của khóa luận này là nghiên cứu, trình bày một cách chứng minh mới cho định lý Schauder Để thực hiện nhiệm vụ đó cần nắm vững các kiến thức về không gian tuyến tính, không gian định chuẩn, không gian Banach,… Kết quả chính của Khóa luận này là trình bày một cách có hệ thống các kết quả, từ việc nghiên cứu các kiến thức cơ sở đến nội dung các định lý cơ bản của Giải tích hàm, từ đó trình bày nội... thành một cặp định chuẩn Hơn nữa, toán tử tuyến tính bị chặn T (được xác định trên X ) và toán tử liên hợp T * (được xác định trên X * ) tạo thành một cặp liên hợp Tương tự như vậy, toán tử liên hợp T * của T và toán tử liên hợp thứ hai T ** của T (xác định trên X ** ) tạo thành một cặp liên hợp Từ định lý 2 ta có ngay: Bổ đề 2: Cho X , Y là một cặp định chuẩn đối với tích trong ( x , y ) và cho A... tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích những phần tử SY có thể tìm được một dãy con ynk / k 1,2,3, mà tích trong x, ynk hội tụ đều trên A ) (iii) Tích trong x, y thì hoàn toàn bị chặn trên A và SY Và bây giờ ta đi chứng minh định lý Schauder 2.2 ĐỊNH LÝ SCHAUDER Một toán tử tuyến tính bị chặn T được xác định trên một không gian tuyến tính định chuẩn X thì được gọi là hoàn toàn liên tục trên X nếu ảnh T... metric d (1) ( x1, x2 ) = x1 x2 1 Định lý: Cho X , Y là một cặp định chuẩn và cho T , T * là một cặp liên hợp của toán tử tuyến tính bị chặn tương ứng xác định trên X , Y Khi đó T là hoàn toàn liên tục trên X nếu và chỉ nếu T * là hoàn toàn liên tục trên Y Chứng minh Cho S X , SY tương ứng là hình cầu đơn vị của X , Y và xét hàm: f ( x, y ) = Tx , y = x, T * y (14) xác định với mọi x ∈ S X , y ∈ SY ... định lý Haln – Banach Bổ đề 2: Cho E , F là không gian Banach , cho T : E ⟶ F bị chặn, cho ε > 0 và cho X là không gian con đóng của E với số đổi chiều hữu hạn (finite codimension) sao cho T / X 3 Khi đó có một không gian hữu hạn X o của E , sao cho: QTX o T ; trong đó QTX o : F ⟶ F / TX o là ánh xạ thương 22 Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích Chứng minh. .. triển thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục F : X ⟶ ℝ thỏa mãn tính chất F (u ) u với mọi u ∈ X 13 Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích Chương 2: CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ SCHAUDER CỦA S KAKUTANI Những kết quả dưới đây được tham khảo trong [ 3 ] 2.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2.1.1 Hàm bị chặn toàn phần Cho hai tập hợp X = x , Y = y Cho f ( x, y ) là một hàm lấy... Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích Cho ε > 0 bất ký, các hệ quả áp dụng cho T * thì thỏa mãn (iv) Để chứng minh (iv) ⟹ (iii), giả sử ε > 0 Áp dụng bổ đề ε cho T * và lập luận như trong phần chứng minh (ii) ⟹ (iv), ta có một không gian đóng X của E ** với số đổi chiều hữu hạn sao cho T ** / X Do đó T / X E Từ ε > 0 tùy ý thì hệ quả kéo theo (i) 25 Nguyễn ... 3: MỘT CÁCH CHỨNG MINH MỚI CHO ĐỊNH LÝ SCHAUDER CỦA V.RUNDE Những kết tham khảo [ ] 3.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Mục đích phần trình bày số kiến thức giải tích hàm để chứng minh định lý Schauder, ... bày cách chứng minh định lý Schauder biết đến tác giả S.Kakutani Nguyễn Thị Huyền Trang K33 – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích Chương III: Một cách chứng minh cho định lý Schauder. .. Brouwer số là: Định lý Schauder Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu định lý bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học em chọn đề tài Một cách chứng minh cho định lý Schauder Mục