một số cách chứng minh bđt

Chuyên đề: MỘT SỐ KỸ THUẬT CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Biên soạn: HUỲNH CHÍ HÀO Kỹ thuật 1: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI.. + Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc.. + Sử dụng kỹ thu

Chuyên đề: MỘT SỐ KỸ THUẬT CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Biên soạn: HUỲNH CHÍ HÀO

Kỹ thuật 1: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI

Kết hợp thủ thuật : Tách, ghép và phân nhóm

Bài 1:

Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a+ + = b c 3

Chứng minh rằng:

(1)

Hướng dẫn:

+ Dự đoán dấu "=" xảy ra

+ Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc

+ Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm

Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức

Bài giải:

Sử dụng giả thiết a+ + = để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế b c 3

(1)

+ +

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

3

3

a

4

8

⎟

⎜

Chứng minh tương tự ta cũng được:

3

3

3

3

⎜

Cộng vế với vế các bđt trên và biến đổi ta được bđt:

+ +

Đẳng thức xảy ra ⇔ = = = a b c 1

Bài tập tương tự:

Bài 1:

Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc= 1

Chứng minh rằng:

Bài 2:

Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=abc

Chứng minh rằng:

+ +

Bài 3:

Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc= 1

Chứng minh rằng:

Bài toán có liên quan:

Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc= 1

Chứng minh rằng:

Bài 4:

Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a+ + = b c 1

Chứng minh rằng:

+

Bài 2:

Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a+ + = b c 3

Chứng minh rằng:

Hướng dẫn:

+ Dự đoán dấu "=" xảy ra

+ Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc

+ Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm

Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức

Bài giải:

Sử dụng giả thiết a+ + = để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế b c 3

(1)

+ +

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

( a3 ) ( ) 3 ( a3 ) ( )( )

9

⎟

⎜

Chứng minh tương tự ta cũng được:

3

3

9

9

⎜

⎜

Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt:

1

+ +

Đẳng thức xảy ra ⇔ = = = a b c 1

Bài 3:

Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a2 +b2 +c2 = 1

Chứng minh rằng:

Bài giải:

Sử dụng giả thiết a2+b2 +c2 = để đưa bđt về bđt đồng bậc 2 ở hai vế 1

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

2

9

2

c

c

Chứng minh tương tự ta cũng được:

2

2

9 9

Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt:

⎜

3

⇔ = = =

Bài tập tương tự

Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a2 +b2 +c2 = 1

Chứng minh rằng:

Bài 4:

Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca= 1

Chứng minh rằng:

(1) 2

Hướng dẫn:

+ Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc

+ Sử dụng kỹ thuật đánh giá biểu thức đại diện

Bài giải:

Sử dụng giả thiết ab+bc+ca = để đưa bđt về bđt đồng bậc 0 ở hai vế 1

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

⎜

Chứng minh tương tự ta cũng được:

2

2

⎜

+

⎜

+ Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt:

⎜

3

⇔ = = =

Bài 5:

Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn a+ + = b c 2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

S

Bài giải:

Ta lần lượt có:

S

b

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪⎩

+

+

+

+

1

+

3

= = = Vậy Max S= 1

Bài tập tương tự

Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn a+ + = b c 2

Chứng minh rằng:

Kỹ thuật 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỒNG BẬC DẠNG CỘNG MẪU SỐ. Dạng 1:

1) ∀x, y> ta luôn có: 0

⎜ + ⎜⎜ + ⎟⎟⎟≥

Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y

2) ∀x, y, y> ta luôn có: 0

⎜

Đẳng thức xảy ra ⇔ x = = y z

Dạng 2:

1) ∀x, y> ta luôn có: 0

+ Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y

2) ∀x, y, z> ta luôn có: 0

+ + Đẳng thức xảy ra ⇔ x = = y z

Bài 1: Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng:

+ +

Bài giải

Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được:

⎜

Tương tự ta cũng được:

⎜

⎜

Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt

⎜

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ = = > a b c 0

Bài 2:

Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng:

+ +

Bài giải

Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được:

⎜

Tương tự ta cũng được:

⎜

⎜

Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt

⎜

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ = = > a b c 0

Bài 3:

1

Bài giải:

Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được:

( ) ( )

( ) ( )

+

+

Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt

⎜

4

⇔ = =

Bài 4:

Cho a,b là các số dương thỏa mãn a+ < Chứng minh rằng: b 1

Nhận xét : (1 a− )+ −(1 b) (+ a+b)= 2

Áp dụng bất đẳng thức dạng 2 ta được:

3

⇔ = =

Bài toán có liên quan:

Cho a,b là các số dương thỏa mãn a+ < Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức b 1

2

=

Bài 5:

Cho a, b, C là các số dương thỏa mãn a+ + = Chứng minh rằng: b c 1

Nhận xét : (1+a)+(1+b)+(1+c)= 4

Áp dụng bất đẳng thức dạng 2 ta được:

3

⇔ = =

Bài toán có liên quan:

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a+ + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức b c 1

4

=

Kỹ thuật 3: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG DÃY BẤT ĐẲNG THỨC BẬC BA

Dãy bất đẳng thức đồng bậc bậc ba:

3

3

Dấu bằng xảy ra ⇔ = a b

Bài 1:

Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:

2

Bài giải:

Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có 34 b( 3+c3)≥ +b c

Do đó:

Chứng minh tương tự ta cũng được:

3

3

≤ + +

≤ + +

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt

2

+ +

+ +

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ = = > a b c 0

Bài 2:

Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:

Bài giải

Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có a3 +b3 ≥ab a( +b)

Do đó:

Chứng minh tương tự ta cũng được:

≤

≤

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt

⎜

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ = = > a b c 0

Bài toán có liên quan:

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc= 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S

Kết quả: Max S= 1

Bài 4:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc= Chứng minh rằng: 1

2

Bài giải:

Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có

≥

Suy ra:

( )

3

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ = = = a b c 1

Bài toán có liên quan:

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz= Chứng minh rằng: 1

2

Kỹ thuật 4: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRỢ

Bài 1:

Cho các số dương a, b,c thỏa mãn điều kiện abc= 1

Chứng minh rằng:

3 3

Bài giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 1+a3+b3 ≥3 1.a b3 3 3 =3ab (Tạm gọi là bđt phụ trợ)

Suy ra:

Chứng minh tương tự ta cũng được:

≥

≥ Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt

3

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ = = = a b c 1

Bài 2:

Cho ba số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức:

32 a 2 32 b 2 32 c 2 12 12 12

Bài giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: a3 +b2 ≥2 a b3 2 =2ab b

+ Chứng minh tương tự ta cũng được:

3 2

≤ +

≤ + Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ = = > a b c 0

Bài 3:

Cho ba số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức:

1

Bài giải:

Áp dụng bất đẳng thức : b2 +c2 ≥2bc

Ta có :

Chứng minh tương tự ta cũng được:

≥

≥

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt

1

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ = = > a b c 0

Bài 4:

4 + + = Chứng minh bất đẳng thức:

3a+3b+3b+3c + 3c+3a ≤3

Bài giải:

Chứng minh tương tự ta cũng được:

3

3

3

3

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt

3

Dấu đẳng thức xảy ra a b c 1

4

⇔ = = =

Bài 5:

Cho ba số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức:

+ +

Bài giải:

+

+ Chứng minh tương tự ta cũng được:

+

≥ +

+

≥ + Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ = = > a b c 0

Bài toán có liên quan:

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+ + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức b c 3

S ab bc ca

2

=

Bài 6:

Cho ba số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức:

1

Bài giải:

+ + − −

Vận dụng bđt trên ta sẽ được:

2

1

a

+

+

⎟

Chứng minh tương tự ta cũng được:

( )

3

≥

≥

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt:

1

Ngày soạn 30/04/2009

-Hết -