De tai mot so PP chung minh BĐT

A phần mở đầu I- Lý do chọn đề tài 1-Cơ sở khoa học : Nh chúng ta đã biết thông qua việc học toán học sinh có thể nắm vững đợc nội dung toán học và phơng pháp giải toán từ đó học sinh vận dụng vào các môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên . Hơn nữa toán học còn là cơ sở của mọi ngành khoa học khác chính vì thế toán học có vai trò quan trọng trong nhà trờng phổ thông ,nó đòi hỏi ngời thầy giáo mọi sự lao động nghệ thuật sáng tạo,để tạo ra những phơng pháp dạy học giúp học sinh học và giải quyết các bài toán . Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chơng trình toàn học từ tiểu học đến trung học .Việc nắm vững các phơng pháp giải Bất đẳng thức không những giúp học sinh học tốt bộ môn toán mà còn có tác dụng hỗ trợ cho nhiều môn học khác nh hoá học , vật lý , tin học Đặc biệt việc phát triển t duy sáng tạo cho học sinh từ tiểu học đến trung học . Nhng vấn đề đặt ra cho mỗi giáo viên toán hiện nay là giúp học sinh học tốt bộ môn toán nói chung va Bất đẳng thức nói riêng . Trong quá trình dạy toán ở THCS ,qua kinh nghiệm giảng dạy và tìm tòi tài liệu bản thân tôi đã hệ thống đợc một số phơng pháp giải Bất đẳng thức mà tôi thiết nghĩ mỗi giáo viên toán cần trang bị cho học sinh có nh vậy học sinh mới giải đợc toán Bất đẳng thức góp phần phát triển t duy toán học ,tạo điều kiện cho việc học toán ở THCS và học các môn học khác . 2- Cơ sở thực tiễn : Bất đẳng thức là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó . Nhiều học sinh không biết giải Bất đẳng thức thì phải bắt đầu từ đâu và ph- ơng pháp giải toán Bất đẳng thức nh thế nào .Thực tế cho thấy toán Bất đẳng thức có nhiều trong chơng trình THCS ,nhng không đợc hệ thống thành những 1 phơng pháp nhất định gây cho học sinh nhiều khó khăn khi gặp , khi giải toán Bất đẳng thức . Các bài toàn có liên quan tới Bất đẳng thức hầu nh có mặt ở mọi đề thi kể cả các đề thi tốt nghiệp tới đề thi học sinh giỏi các cấp và thi vào lớp 10 THPT . Đối với các giáo viên còn thiếu kinh nghiệm giảng dạy, đặc biệt là bồi dỡng học sinh giỏi thì việc nắm vững phơng pháp Bất đẳng thức sẽ bổ sung kho kiến thức cho họ . Đối với học sinh khắc phục đợc những hạn chế trớc đây giúp cho học sinh có tinh thần tự tin trong học tập bộ môn toán . II- Mục đích nghiên cứu : Góp phần quan trọng trong việc giảng dạy toán học nói chung và Bất đẳng thức nói riêng .đặc biệt là việc bồi dỡng học sinh giỏi và học sinh thi vào lớp 10 THPH chuyên . Giúp học sinh biết phân loại và vận dụng các phơng pháp giải Bất đẳng thức một cách nhanh chóng và hiệu quả . Phát huy đợc tính tích cực , chủ động sáng tạo của học sinh trong quá trình học tập . III. Ph ơng pháp nghiên cứu : - Nghiên cứu các phơng pháp giải Bất đẳng thức . - Thông qua nội dung phơng pháp và các bài tập mẫu nhằm củng cố lý thuyết và phát triển trí tuệ cho học sinh . - Rèn kỹ năng học sinh qua các bài tập đề nghị . IV- Phạm vi nghiên cứu và sử dụng : - Các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức ở THCS . - Bồi dỡng cho giáo viên và học sinh THCS . B-Những kiến thức cơ bản về Bất đẳng thức I- Định nghĩa : Cho hai số : a, b ta nói 2 số a lớn hơn số b ,ký hiệu là : a>b nếu a-b >0 số a nhỏ hơn số b ,ký hiệu là : a<b nếu a-b <0 II- Tính chất : 1- a > b b < a 2- a < b , b < c a < c (tính chất bắc cầu ) 3- a < b a + c < b + c ( tính chất đơn điệu ) 4- a < b , c < d a + c < b +d ( Cộng hai vế của một Bất đẳng thức cùng chiều ta đợc một Bất đẳng thức cùng chiều với chúng ) 5- a < b , c > d a - c < b d ( trừ hai Bất đẳng thức ngựoc chiều ta đợc một Bất đẳng thức có chiều là chiều của Bất đẳng thức bị trừ ) 6- Nhân hai vế của một Bất đẳng thức a < b với cùng một số m a<b <> >< 0, 0, mmbma mmbma 7- Nhân hai vế của hai Bất đẳng thức không âm cùng chiều ta đợc một Bất đẳng thức cùng chiều :0 <a<b , 0<c<d a.c<b.d 8- a> b >0 a n > b n ;0>a>b a n+1 >b 2n+1 và a n <b 2n 9- so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số :m>n>0; a>1 a m > a n ; a m < a n với 0< a <1 10- Ngịch đảo hai vế của một Bất đẳng thức ta đợc một Bất đẳng thức đổi chiều : a b ba 11 Các tính chất trên có thể chứng minh nhờ định nghĩa và các tính chất trớc . III- Một số Bất đẳng thức cân nhớ : 3 1- A 2k 0 với mọi A Dấu"=" xảy ra khi A=0 2- AA ,0 Dấu "=" xảy ra khi A=0. 3- AAA 4- BABA ++ Dấu "=" xảy ra khi A.B 0 5- BABA Dấu "=" xảy ra khi A.B 0 và BA Chú ý : Ngoài các Bất đẳng thức trên còn một số các Bất đẳng thức đúng khác mang tính tổng quát hơn nên khi giải bài tập cần chú ý . Khi chứng minh song Bất đẳng thức a b ta phải xét trờng hợp Dấu = xảy ra khi nào . c- các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức I Ph ơng pháp 1 : phơng pháp dùng định nghĩa: 1-Nội dung ph ơng pháp ; Để chứng minh Bất đẳng thức A >B ta chứng minh Bất đẳng thức A- B >0 2- Kiến thức cần vận dụng -Các hằng đẳng thức đáng nhớ đặc biệt là : (A+B) 2 =A+2AB+B 2 -Tổng quát : jiAjAiAiAi n ji n i n i <+= === ;.2)( 2.,1, 2 1 2 1 Các ký năng biến đổi đồng nhất để biến đổi hiệu hai vế về các Bất đẳng thức đúng hay điều kiện đúng của đề bài : 3-Bài tập áp dụngj Bài 1- chứng minh Bất đẳng thức a 2 +b 2 abGiải : Xét hiệu : a 2 +b 2 - ab = (a 2 + 4 1 b 2 - 2 1 .2 ab)+ 4 3 b 2 =( a- 2 1 b) 2 + 4 3 b 2 0 đúng với mọi a,b vì ( a- 2 1 b) 2 0 ; 4 3 b 2 0 Dấu "=" xảy ra khi (a- 2 1 b) 2 = 4 3 b 2 =0 suy ra a=b=0 Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh . 4 Chứng minh tơng tự cho Bài a 2 +b 2 ab Ta có thể chứng minh cho Bài toán tổng quát : (a n ) 2 +(b n ) 2 nn ba . Bài 2 Cho ba số a,b,c thoả mãn 0,a b c chứng minh rằng : b c c a a b a c c b b a ++++ Giải : Xét hiệu : )( 1 222222 acbacbbcabca abcb c c a a b a c c b b a ++=++ )]()()[( 1 222222 acbcbaabcbca abc ++= = abc 1 [c(a-b)(a+b)-ab(a-b)-c 2 (a-b)]= abc 1 (a-b)[c(a+b)-ab-c 2 ] = abc 1 (a-b)(b-c)(c-a) 0 (do 0<a b c ) Dấu "=" xảy ra khi a=b hoặc b=c hoặc a=c Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh . Bài 3 : Cho a b c và x y z hãy chứng minh rằng : 22 . 2 byaxyxba + ++ Giải : Xét hiệu : 22 . 2 byaxyxba + ++ = 4 1 (ax+ay+by+bx-2ax-2by) = 4 1 [(ay-ax)+(bx-by)]= 4 1 (x-y)(b-a) 0 ( do x y và a b ) Dấu "=" xảy ra khi x=y hoặc a=b Vậy Bất đẳng thức thực đợc chứng minh Chứng minh tơng tự ta đợc Bất đẳng thức ; 33 . 3 czbyaxzyxcba ++ ++++ Bạn đọc có thể tổng quát bài toán . Bài 4 : Cho a, b, c, d ,e là các số thực chứng minh rằng : 5 a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2 a(b+c+d +e) Giải : Xết hiệu : a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2 - a(b+c+d +e) = a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +e 2 - ab-ac-ad ae = 4 1 ( 4a 2 +4b 2 +4c 2 +4d 2 +4e 2 - 4ab-4ac-4ad 4ae) = 4 1 [(a 2 +4b 2 +4ab)+(a 2 +c 2 +4ac)+(a 2 +4d 2 +4ad)+(a 2 +4e 2 +4ae)] = 4 1 [(a+2b) 2 +(a+2c) 2 +(a+2d) 2 +(a+2e ) 2 ] 0 Do (a+2b) 2 0 và (a+2c) 2 0 và (a+2d) 2 0 và (a+2e ) 2 0 Dấu "=" xảy ra khi b = c = d = e = 2 a Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh . Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh : Bài 5 Tổng quát bài 4 Cho a i i=1,2, ,n là các sổ thực .chứng minh rằng : Chứng minh tơng tự bài 4 4- Bài tập áp dụng : Hãy chứng minh các Bất đẳng thức sau : 1/ 4.x 2 +y 2 4xy 2/ x 2 +y 2 +1 xy +x+y 3/ (x+y) (x 3 +y 3 ) (x 7 +y 7 ) 4(x 11 +y 11 ) 4/ x 1996 +y 1996 +z 1996 ):( x 1995 +y 1995 +z 1995 ) (x+y+z):3 5/ (a 3 +b 3 +c 3 ) (a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 ) : a,b,c >0 6/Cho các số dơng a,b,c chứng minh rằng ; a/ cbaabc cba 111 )( 3 888 ++ ++ b/ abc a bc c ab b ca b ac a cb c ba 6 333333 +++++ 6 == n i i n i i aa n a 2 1 1 2 1 2 II-ph ơng pháp 2 : Dùng tính chất của Bất đẳng thức để biến đổi tơng đơng : 11- Nội dung ph ơng pháp : Khi chứng minh một Bất đẳng thức nào đó ta biến đổi Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với một Bất đẳng thức đúng hoặc một Bất đẳng thức đã đợc chứng minh hoặc điều kiện của đề bài . 12- Kiến thức cơ bản : Các tính chất của Bất đẳng thức . Các Bất đẳng thức thờng dùng . Kỹ năng biến đổi tơng đơng một Bất đẳng thức . Các HĐ thức 3- Bài tập mẫu Bài 1 Chứng minh rằng : x 2 +2y 2 +2z 2 2xy +2yz+2z-1 (*) Giải (*) x 2 +2y 2 +2z 2 -2xy -2yz-2z +1 0 (x 2 -2xy+y 2 )+(y 2 -2yz+z 2 )+(z 2 -2z+1) (x-y) 2 +(y-z) 2 +(z-1) 2 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi x,y,z Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1 Vậy Bất đẳng thức dã cho đợc chứng minh . Bài 2 : chứng minh Bất đẳng thức : (a 10 +b 10 ) (a 2 +b 2 ) (a 8 +b 8 ) (a 4 +b 4 ) Giải : (a 10 +b 10 ) (a 2 +b 2 ) (a 8 +b 8 ) (a 4 +b 4 ) (a 10 +b 10 ) (a 2 +b 2 ) - (a 8 +b 8 ) (a 4 +b 4 ) 0 a 12 + a 10 b 2 + a 2 b 10 + b 12 -a 12 a 8 b 4 - a 4 b 8 -b 12 0 7 ( a 10 b 2 a 8 b 4 ) +( a 2 b 10 - a 4 b 8 0 a 8 b 2 (a 2 -b 2 ) a 2 b 8 (a 2 -b 2 ) 0 a 2 b 2 (a 2 -b 2 )( a 2 -b 2 )(a 4 +a 2 b 2 +b 4 ) 0 a 2 b 2 (a 2 -b 2 ) 2 (a 4 +a 2 b 2 +b 4 ) 0 đúng với mọi a, b Dấu "=" xảy ra khi a 2 =b2 a=b hoặc a=-b và a=0 hoặc b=0 Vậy Bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh . *-Nhận xét từ kết qủa bài toán trên ta có bài toán tơng tự : Cho 0 a b Chứng minh Bất đẳng thức : (a 5 +b 5 ) (a+b) (a 2 +b 2 ) (a 4 +b 4 ) Bài 3 : Chứng minh các Bất đẳng thức (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) - 9 a) Cho a c 0 và b c chứng minh )( cac + )( cbc ab Giải : a) Nhận xét : ta thấy 3+4=1+6 nên ta nhân (x-1)( x-6) và (x-3)(x-4 ) (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) - 9 (x-1)( x-6) (x-3)(x-4 )+9 0 (x 2 -7x +6)(x 2 -7x+12)+9 0 (x 2 -7x +6)(x 2 -7x+6+6)+9 0 (x 2 -7x +6) 2 +6(x 2 -7x+6) +9 0 (x 2 -7x +9) 2 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của x (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) - 9 Dấu "=" xảy ra khi x 2 -7x +9 =0 x= 2 137 b ) )( cac + )( cbc ab ( )( cac + )( cbc ) 2 ( ab ) 2 c(a-c)+c(b-c) +2 )( cac )( cbc ab c 2 +2c )( ca )( cb +(a-c)(b-c) 0 ( c- )( ca )( cb ) 2 0 8 Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của a,b ,c thoả mãn điều kiện của đề bài vậy )( cac + )( cbc ab với a c 0 và b c Bài 4 Chứng minh Bất đẳng thức : ab 3 + cb 3 + ac 3 4 ( ba + 1 + bc + 1 + ca + 1 ) 2 . biết a,b,c >0 Giải : Ta có ab 1 + cb 1 + ac 1 = abc cba )( ++ . Do a,b,c >0 và (a+b)(b+c)(c+a) 8abc ab 1 + cb 1 + ac 1 ))()(( ).(8 accbba cba +++ ++ Hay ab 1 + cb 1 + ac 1 ))()(( )(4)(4)(4 accbba accbba +++ +++++ 2( ab 1 + cb 1 + ac 1 ) ))(( 8 cbca ++ + ))(( 8 caba ++ + ))(( 8 cbba ++ (1) Trong (1) Dấu "=" xảy ra khi a=b=c Mặt khác ta có (a+b) 2 4ab ab 1 2 )( 4 ba + tơng tự ta có cb 1 2 )( 4 bc + và ac 1 2 )( 4 ca + suy ra ab 1 + cb 1 + ac 1 2 )( 4 ba + + 2 )( 4 bc + + 2 )( 4 ca + (2) Trong ( 2) Dấu "=" xảy ra khi a=b=c Từ (1) và (2) Ta có ab 3 + cb 3 + ac 3 4 ( ba + 1 + bc + 1 + ca + 1 ) 2 Dấu "=" xảy ra khi a=b=c Nhận xét để chứng minh Bất đẳng thức nhiều khi ta biến đổi từ một Bất đẳng thức đúng có dạng tơng tự nh Bất đẳng thức cần chứng minh . Sau đây là một ví dụ nữa kiểu nh vậy . 9 Bài 5 : Cho 0 < a ,b , c và abc =1 chứng minh Bất đẳng thức sau : 1 1 33 ++ ba + 1 1 33 ++ bc + 1 1 33 ++ ca 1 Giải : Do 0 a b c (a-b) 2 (a+b) 0 Dấu "=" xảy ra khi a=b (a-b)(a+b)(a-b) 0 (a 2 -b 2 )(a-b) 0 a 3 -a 2 b-ab 2 +b 3 0 a 3 +b 3 a 2 b+ab 2 a 3 +b 3 +1 a 2 b+ab 2 +abc a 3 +b 3 +1 (a+b+c)ab 1 1 33 ++ ba )( 1 cbaab ++ = )( cba c ++ (do abc= 1 c ab = 1 ) suy ra 1 1 33 ++ ba )( cba c ++ Tơng tự ta có 1 1 33 ++ bc )( cba a ++ Dấu "=" xảy ra khi b=c và 1 1 33 ++ ca )( cba b ++ Dấu "=" xảy ra khi a=c Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc : 1 1 33 ++ ba + 1 1 33 ++ bc + 1 1 33 ++ ca 1 Dấu "=" xảy ra khi a=b=c =1 4-Bài tập áp dụng : Bài 1: Cho 0 x,y,z 1 chứng minh : A) 0 x+y+z xy-yz-zx 1 B) x 2 +y 2 +z 2 1+x 2 y +y 2 z +z 2 x C) 1 + yz x + 1 + xz y + 1 + yx z 2 Bài 2 Cho a, b ,c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2 . Chứng minh rằng : a 2 +b 2 +c 2 +2abc < 2 Bài 3 : Chứng minh với mọi x, y > 2 ta có : 10 [...]... a,b,c >0 và p=(a+b+c):2 Chứng minh rằng : p < p a + p c + p b 3 p b-Cho n số bất kỳ a1 ,a2, , an , Chứng minh rằng : (a1 + a2 + + an)2 n(a21 + a22 + + a2n) c- Cho a,b,c Khác 0 chứng minh rằng : a 2 b2 c2 a b c + + + + b2 c2 a2 b c a d- Cho a,b,c là dộ dài ba cạnh trong một tam giác hãy chứng minh rằng : a(2b+2c-a)-1 +b(2a+2c-b)-1 + c(2a+2b-c)-1 1 e- Cho ax- by m Chứng minh rằng ax2+by2 m2: (a+b)... là các số nguyên dơng trong các số không vợt quá 4- 3 3 n 3 3 3 m , m n có ít nhất một số 3 Bài tập áp dụng : Bài 1 : a) Chứng minh rằng với n 3 ta có 2n >2n +1 b) Chứng minh 1.2.3.n < 2-n (n+1 )n c) n 1 , Chứng minh : d) 1+ 1 1 1 + + + 2 n +1 2 2 3 n Bài 2 : Chứng minh các Bất đẳng thức sau : a) 2n+2 >2n+5 n 1 , N n b) [(n+1)!]n 2!.4!.(2n)! n , N* n c) (2n)! < 22n(n!)2 n , N* n VI-Phơng... một tam giác chứng minh rằng (a+b+c)2 9bc Biết a b c Giải : Ta có a+b+c 2b+c do a b Ta đi chứng minh (2b+c)2 9bc (1) (1) 4b2 + 4 bc + c2 9bc 4b2 - 5 bc + c2 0 4b2 4bc bc+ c2 0 4b(b-c) c(b-c) 0 ( b-c)(4b-c) 0 (2) ta thấy b c b-c 0 và 4b-c a+b-c +2b 0 (2) đúng Vậy Bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh Bài 2 : cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác hãy chứng minh rằng : a2 +b2... 1 1 100 n nguyên dơng Bài 2 Cho n là số tự nhiên chứng minh rằng : a) 23 1 1 1 + + + 1 .b) 1 1 1 1 + 2 + + 2 < 2 2 2 3 n n 1+ 1 1 1 1 1 1 Bài 3 Chứng minh a 21 + 2a 2 2 + + na 2 < 2 trong đó N* , n ak = + + + 2 n 3 Bài 4 : Chứng minh với mọi số tự nhiên n>1 ta có: 1... Cho a,b,c >0 và a+b+c =1 Chứng minh (1+a-1)(1+b-1)(1+c-1) 64 Bài 2: Cho a,b,e,c,d >0 và a+b+c +d+ e=1 Chứng minh (-1+a-1)(-1+b-1)(-1+c-1)(-1+d-1)(-1+e-1) 1024 Bài 3 : Ch a,b,c Là độ dài ba cạnh của tam giác a b b c c a 1 + + Chứng minh rằng : a + b b + c c + a 8 Bài 4: Cho hình thang ABCD có AB//CD có diện tích là S Gọi E là giao điểm của hai đờng chéo Chứng minh rằng SABE 0,25 SIX-Phơng pháp... pháp quy nạp ; 1 Nội dung phơng pháp ; Có rất nhiều các Bất đẳng thức mà bằng các cách chứng minh thông thờng thì không thể chứng minh đợc Thờng các Bất đẳng thức đó có dạng dãy số hoặc những Bất đẳng thức tổng quát Thông thờng để chứng minh các Bất đẳng thức kiểu nh vậy ta dùng phơng pháp quy nạp Để chứng minh một Bất đẳng thức đúng với mọi n ,bằng phơng quy nạp chứng ta thực hiện các bớc sau ; Bớc... bậc hai f(x) =ax2 +bx +c (a khác 0 ) tồn tai số t sao cho a.f(t) < 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 < t < x2 -Nếu tồn tại t,k sao ch f(t)f(k) < 0 thì f(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong hai số t,k có môt số nằm trong và một số nằm ngoài hai nghiệm 2- Bài tập mẫu : a- Dạng thứ nhất : Để chứng minh ax2 + bx+ c 0 ta đi chứng minh a >0 và 0 Bài 1 :a Chứng minh rằng : x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 4xy3... thứ hai : Để chứng minh b2-4ac = 0 ta chứng minh a.f(x) 0 Trong đó f(x) =ax2 +bx +c (a khác 0 ) Bài 2 :Cho 1 ,= x 0,5 ;và 5 2 0 Giải : Đặt f(x) = x2 +3xy +1 ta có = 9y2 - 4 = (3y-2)(3y+2) 0 chứng minh rằng : 6/ Tìm giá trị nhỏ nhất của c ( a ... (ak+bk):2 +) Ta chừng minh Bất đẳng thức đúng với n =k+1 Tức là : 16 [(a+b):2]K+1 (ak+1+bk+1):2 Thật vậy: xét [(a+b):2]K+1=[(a+b):2]K[(a+b):2] [(ak+bk):2][ (a+b):2] Ta chứng minh (ak+bk) (a+b) 2(ak+1+bk+1) ak+1+bk+1+ak b+abk 2(ak+1+bk+1) ak+1+bk+1-ak bb - abk 0 (a-b)( ak - bk) 0 * Nếu a,b 0 thì * đúng Nếu a 0 b a-b 0 mà a+b 0 (gt) a -b a ak b k ak - bk 0 b * đúng Chứng minh tơng tự cho . thức đợc chứng minh . Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh : Bài 5 Tổng quát bài 4 Cho a i i=1,2, ,n là các sổ thực .chứng minh rằng : Chứng minh tơng tự bài. =0 suy ra a=b=0 Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh . 4 Chứng minh tơng tự cho Bài a 2 +b 2 ab Ta có thể chứng minh cho Bài toán tổng quát : (a n ) 2 +(b