De tai mot so PP chung minh BĐT

A phần mở đầu I- Lý do chọn đề tài 1-Cơ sở khoa học : Nh chúng ta đã biết thông qua việc học toán học sinh có thể nắm vững đợc nội dung toán học và phơng pháp giải toán từ đó học sinh vậ

A phần mở đầu I- Lý do chọn đề tài

1-Cơ sở khoa học :

Nh chúng ta đã biết thông qua việc học toán học sinh có thể nắm vững

đợc nội dung toán học và phơng pháp giải toán từ đó học sinh vận dụng vàocác môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên Hơn nữa toán học còn

là cơ sở của mọi ngành khoa học khác chính vì thế toán học có vai trò quantrọng trong nhà trờng phổ thông ,nó đòi hỏi ngời thầy giáo mọi sự lao độngnghệ thuật sáng tạo,để tạo ra những phơng pháp dạy học giúp học sinh học vàgiải quyết các bài toán

Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chơng trình toàn học từtiểu học đến trung học Việc nắm vững các phơng pháp giải Bất đẳng thứckhông những giúp học sinh học tốt bộ môn toán mà còn có tác dụng hỗ trợ chonhiều môn học khác nh hoá học , vật lý , tin học … Đặc biệt việc phát triển tduy sáng tạo cho học sinh từ tiểu học đến trung học Nhng vấn đề đặt ra chomỗi giáo viên toán hiện nay là giúp học sinh học tốt bộ môn toán nói chung vaBất đẳng thức nói riêng

Trong quá trình dạy toán ở THCS ,qua kinh nghiệm giảng dạy và tìmtòi tài liệu bản thân tôi đã hệ thống đợc một số phơng pháp giải Bất đẳng thức

mà tôi thiết nghĩ mỗi giáo viên toán cần trang bị cho học sinh có nh vậy họcsinh mới giải đợc toán Bất đẳng thức góp phần phát triển t duy toán học ,tạo

điều kiện cho việc học toán ở THCS và học các môn học khác

phơng pháp nhất định gây cho học sinh nhiều khó khăn khi gặp , khi giải toánBất đẳng thức

Các bài toàn có liên quan tới Bất đẳng thức hầu nh có mặt ở mọi đề thi

kể cả các đề thi tốt nghiệp tới đề thi học sinh giỏi các cấp và thi vào lớp 10THPT

Đối với các giáo viên còn thiếu kinh nghiệm giảng dạy, đặc biệt là bồidỡng học sinh giỏi thì việc nắm vững phơng pháp Bất đẳng thức sẽ bổ sungkho kiến thức cho họ

Đối với học sinh khắc phục đợc những hạn chế trớc đây giúp cho họcsinh có tinh thần tự tin trong học tập bộ môn toán

II- Mục đích nghiên cứu :

Góp phần quan trọng trong việc giảng dạy toán học nói chung và Bất

đẳng thức nói riêng đặc biệt là việc bồi dỡng học sinh giỏi và học sinh thi vàolớp 10 THPH chuyên

Giúp học sinh biết phân loại và vận dụng các phơng pháp giải Bất đẳngthức một cách nhanh chóng và hiệu quả Phát huy đợc tính tích cực , chủ

động sáng tạo của học sinh trong quá trình học tập

III Ph ơng pháp nghiên cứu :

- Nghiên cứu các phơng pháp giải Bất đẳng thức

- Thông qua nội dung phơng pháp và các bài tập mẫu nhằm củng cố

lý thuyết và phát triển trí tuệ cho học sinh

- Rèn kỹ năng học sinh qua các bài tập đề nghị

IV- Phạm vi nghiên cứu và sử dụng :

số a lớn hơn số b ,ký hiệu là : a>b nếu a-b >0

số a nhỏ hơn số b ,ký hiệu là : a<b nếu a-b <0

0 ,

.

m m b m a

m m b m a

7- Nhân hai vế của hai Bất đẳng thức không âm cùng chiều

ta đợc một Bất đẳng thức cùng chiều :0 <a<b , 0<c<d ⇒

a.c<b.d8- a> b >0 ⇒ an> b n ;0>a>b ⇒an+1>b2n+1 và an<b2n

9- so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số :m>n>0; a>1 ⇒am > an ;

am < an với 0< a <110- Ngịch đảo hai vế của một Bất đẳng thức ta đợc một Bất

đẳng thức đổi chiều : a ≤ b ⇒

b a

1

1 ≥Các tính chất trên có thể chứng minh nhờ định nghĩa và các tính chất trớc

III- Một số Bất đẳng thức cân nhớ :

1- A 2k ≥0 với mọi A Dấu"=" xảy ra khi A=0 2- A ≥ 0 , ∀A Dấu "=" xảy ra khi A=0.

3- −A ≤A≤A

4- A+B ≤ A+B Dấu "=" xảy ra khi A.B≥05- A−B ≥A −B Dấu "=" xảy ra khi A.B≥0 và A ≥B

Chú ý : Ngoài các Bất đẳng thức trên còn một số các Bất đẳng thức

đúng khác mang tính tổng quát hơn nên khi giải bài tập cần chú ý

Khi chứng minh song Bất đẳng thức a≤b ta phải xét trờng hợp Dấu “=” xảy

) (

2 1 ,

2

1

2 1

Các ký năng biến đổi đồng nhất để biến đổi hiệu hai vế về các Bất đẳngthức đúng hay điều kiện đúng của đề bài :

Chứng minh tơng tự cho Bài a2+b2 ≥ab

Ta có thể chứng minh cho Bài toán tổng quát : (an)2+(bn)2 ≥ a n b n

Bài 2 – Cho ba số a,b,c thoả mãn 0,a ≤ b ≤c chứng minh rằng :

b

c c

a a

b a

c c

b b

a+ + ≥ + +Giải : Xét hiệu : 1 (a2c ab2 bc2 b2c ba2 ac2 )

abc b

c c

a a

b a

c c

b b

)]

( ) (

) [(

ac b c b a a b c b c

a

=

=abc1 [c(a-b)(a+b)-ab(a-b)-c2(a-b)]= abc1 (a-b)[c(a+b)-ab-c2]

= abc1 (a-b)(b-c)(c-a)≥0 (do 0<a ≤b ≤c )

Dấu "=" xảy ra khi a=b hoặc b=c hoặc a=c

Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh

Bài 3 : Cho a ≤ b ≤ c và x ≤ y ≤ z hãy chứng minh rằng :

2 2

2

by ax y x b

Giải : Xét hiệu :

2 2

2

by ax y x b

Vậy Bất đẳng thức thực đợc chứng minh

Chứng minh tơng tự ta đợc Bất đẳng thức ;

3 3

.

3

cz by ax z y

x

c

b

Bạn đọc có thể tổng quát bài toán

Bài 4 : Cho a, b, c, d ,e là các số thực chứng minh rằng :

a2+b2+c2+d2+e2 ≥ a(b+c+d +e)Giải :

Xết hiệu : a2+b2+c2+d2+e2- a(b+c+d +e) = a2+b2+c2+d2+e2- ab-ac-ad –ae =14 ( 4a2+4b2+4c2+4d2+4e2- 4ab-4ac-4ad –4ae)

=41 [(a2+4b2+4ab)+(a2+c2+4ac)+(a2+4d2+4ad)+(a2+4e2+4ae)] =

4

1

[(a+2b)2+(a+2c)2+(a+2d)2+(a+2e )2] ≥ 0

Do (a+2b)2 ≥ 0 và (a+2c)2 ≥ 0 và (a+2d)2 ≥ 0 và (a+2e )2 ≥0

Dấu "=" xảy ra khi b = c = d = e =

2

a

Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh

Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh :

Bài 5 Tổng quát bài 4

Cho ai i=1,2, ,n là các sổ thực chứng minh rằng :

≥ +

+

a

b c c

a b b

c a b

a c a

3

≥ + + + +

2

1 2

II-ph ơng pháp 2 : Dùng tính chất của Bất đẳng thức để biến đổi

tơng đơng :

11- Nội dung ph ơng pháp :

Khi chứng minh một Bất đẳng thức nào đó ta biến đổi Bất đẳng thứccần chứng minh tơng đơng với một Bất đẳng thức đúng hoặc một Bất đẳng thức đã đợc chứng minh hoặc điều kiện của đề bài

(*)⇔x2+2y2+2z2 -2xy -2yz-2z +1 ≥0

⇔ (x2-2xy+y2)+(y2-2yz+z2)+(z2-2z+1)

⇔ (x-y)2+(y-z)2+(z-1)2 ≥0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi x,y,z

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

Vậy Bất đẳng thức dã cho đợc chứng minh

Bài 2 : chứng minh Bất đẳng thức :

(a10+b10) (a2+b2) ≥ (a8+b8) (a4+b4)

Giải :(a10+b10) (a2+b2) ≥ (a8+b8) (a4+b4) ⇔ (a10+b10) (a2+b2) - (a8+b8) (a4+b4) ≥0

⇔ a12+ a10 b2+ a2 b10+ b12-a12 –a8 b4- a4 b8-b12 ≥0

⇔ ( a10 b2–a8 b4) +( a2 b10- a4 b8 ≥ 0

⇔a8 b2(a2-b2) –a 2b8(a2-b2) ≥0

⇔ a 2b2(a2-b2)( a2-b2)(a4+a2b2+b4) ≥ 0

⇔ a 2b2(a2-b2)2(a4+a2b2+b4) ≥ 0 đúng với mọi a, b

Dấu "=" xảy ra khi a2=b2⇔ a=b hoặc a=-b và a=0 hoặc b=0

Vậy Bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh

*-Nhận xét từ kết qủa bài toán trên ta có bài toán tơng tự :

Cho 0≤a ≤ b Chứng minh Bất đẳng thức :

Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của a,b ,c thoả mãn điều kiện của đề bài vậy c(a−c) + c(b−c) ≤ abvới a ≥ c ≥ 0 và b ≥

a ) ( + +

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Nhận xét để chứng minh Bất đẳng thức nhiều khi ta biến đổi từ một Bất

đẳng thức đúng có dạng tơng tự nh Bất đẳng thức cần chứng minh Sau

đây là một ví dụ nữa kiểu nh vậy

Bài 5 : Cho 0 < a ,b , c và abc =1 chứng minh Bất đẳng thức sau :

 (a2-b2)(a-b) ≥ 0  a3-a 2b-ab2+b3 ≥ 0  a3 +b3 ≥a 2b+ab2

 a3 +b3 +1≥a 2b+ab2+abc  a3 +b3 +1≥(a+b+c)ab

Bài 3 : Chứng minh với mọi x, y > 2 ta có :

Nếu b a ≤ 1 Thì b a ≤ b a++c c Dấu "=" xảy ra khi a=b

Nếu b a ≥ 1 Thì b a ≥ b a++c c Dấu "=" xảy ra khi a=b

c

+ < 1 ⇒

b a

c

+ <

c b a

c c

+ +

+ =

c b a

c

+ +

b a

c

+ <

c b a

c

+ +

2

Chứng minh tơng tự ta có :

c a

b

+ <

c b a

b

+ +

2

và

b c

a

+ <

c b a

a

+ +

2

Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc

b a+c+a b+c+b+c a<a+2b a+c+a+2b b+c+a+2b c+c= 2

- Ta có b a+c+a b+c+b+c a >a+a b+c+a+b b+c+a+b c+c=1 Do a,b ,c dơng Vậy 1< b a+c+a b+c+b+c a< 2 (đfcm)

Nhận xét : ở đây ta đã sử dụng tính chất :

b

a a

a

+ + +

+ + +

2 1

2 1

Nằm giữa giá trị nhỏ nhất và gí trị

Gọi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của (

b

a a

a

+ + +

+ + +

2 1

2 1

< M Do ( b1+b2+…+bn) >0 (đfcm)Bài 3 :

Cho a>0 ,b>0 chứng minh rằng :

+

b a

b a

+

b a b a

b a

b a

7 5 3

2004

6 4 2

+ + + +

+ + + +

< 20052004

Bµi 2 Cho a, b lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n ab=1 chøng minh r»ng :

2 2

1

+

2 2

1

+

b <

b a

b a

+ +

a(1-b) b (1-c) c(1-a) <0,25 3 (2) ta nhận thấy (1) mâu thuẫn với (2) vậy

điều giả sử là sai suy ra : trong các Bất đẳng thức sau : ab) > 0,25 ; b c) >0,25 ; c(1-a) > 0,25 có ít nhất một Bất đẳng thức sai

(1-Bài 2 :Chứng minh rằng không có ba số x,y,z mà có thể thoả mãn đồngthời ba Bất đẳng thức sau : x < y−z , y <x−z , z <y−x

Giải : Giả sử phản chứng cả ba Bất đẳng thức trên không có Bất đẳngthức nào sai nghĩa là cả ba Bất đẳng thức đó đều đúng khi đó ta có :: x < y−z ⇔ x2 < (y-z )2 ⇔ x2 -(y-z )2 <0 ⇔ (x-y+z)(x+y-z) < 0Tơng tự ta có (y-x+z)( y+x-z)<0 và (z-y+x)(z+y-x )<0

Nhân vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc :

[(y-x+z)( y+x-z) (x-y+z)]2 <0 vô lý

Vậy không có ba số x,y,z nào thoả mãn đồng thời ba Bất đẳng thức : x <

>

+ +

0

0 0

abc

ca bc ab

c b a

Hãy chứng minh rằng : a,b,c > 0 (*)

Giải : Giả sử (*) không đúng ⇒ có ít nhất một trong các số a,b,c phải ≤

0 Không mất tình tổng quát giả sử a ≤0 do abc >0 ⇒ bc <0

Xét trờng hợp a ≤0 b>0 c<0 ⇒ a+c<0

từ gỉa thiết ta có b >-a-c ⇒ b(a+c) < -(a+c)2 ⇒ ac + b(a+c) < ac-(a+c)2

⇔ac + b(a+c) < -(-ac+a2+c2) ⇔ ac +ba +bc < -(a-0.5c)2- 0.75c2 ≤ 0

⇔Trái giả thiết ab +bc +ca >0

Tơng tự đồi với trờng hợp A ≤ 0 b<0 ,c>0 ta cũng ⇒ điều vô lí Vậy (*) đợc chứng minh

Bài 4 :Chứng minh rằng : Tổng của một phân số dơng với nghịch đảocủa nó không nhỏ hơn 2

a2 + 2 − 2 <0 ⇔

ab

b

a ) 2 ( + < 0 Điêù này là vô lý ⇒

b

a

+b a ≥ 2Vậy Tổng của một phân số dơng với nghịch đảo của nó không nhỏ hơn

2

4-Bài Tập áp dụng :

Bài1 Cho ba số dơng nhỏ hơn 2 a,b,c : chứng minh rằng ít nhất mộttrong các Bất đẳng thức sau là sai : a(2-b)>1 ; b(2-c) >1 ; c(2-a)>1Bài 2 Cho a,b,c là ba số dơng thoả mãn abc =1 chứng minh rằng : S=(a-1 +b-1)( b-1+c-1)(c-1+a-1) ≤ 1

Bài 3 Cho a+b+2cd chứng minh rằng ít nhất một Bất đẳng thức sau

0

2 ac b

a

Chứng minh rằng trong các Bất đẳng thức sau có ít nhất một Bất đẳngthức sai

Để chứng minh một Bất đẳng thức đúng với mọi n ,bằng phơng quy nạpchứng ta thực hiện các bớc sau ;

Bớc 1 Kiểm tra xem Bất đẳng thức đúng với ≤ n0 nào đo ( thông thờng

ta chọn n0 =0 hoặc 1)

Bớc 2 Giả sử Bất đẳng thức đúng với ≤k

Bớc 3 ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với ≤k+1

Bớc 4 Kết luận Bất đẳng thức đúng với mọi

2- Kiến thức cần vân dụng :

Các tình chất của Bất đẳng thức :

Kỹ năng biến đổi đẳng thức và Bất đẳng thức

a

,

+ +

2

1 4

1 + a+ a ≥ 0Bài Làm :

a) +) Với n =1 ta có (a+b):2 ≤ (a+b):2 đúng

+) Giả sử Bất đẳng thức đúng với n=k tức là [(a+b):2]k ≤ (ak+bk):2+) Ta chừng minh Bất đẳng thức đúng với n =k+1 Tức là :

Do a+b ≥ 0 nên a, b không cùng <0 Vậy * đúng với mọi a,b thoả mãn điều kiện của đề bài +) Vậy Bất đẳng thức [(a+b):2]n ≤ (an+bn):2 với a+b ≥ 0 và N∋n

đợc chứng minh

b) + Với ≤1 Bất đẳng thức trở thành a <

2

1 4

1 + a+ ⇔ 2 a <

1 4

a a

a

,

+ +

2

1 4

1 + a+ a ≥ 0+ Ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với ≤k+1 tức là

a a

a

), 1 (

+

+ +

2

1 4

1 + a+ a ≥ 0

Đặt xn =        

dau n

a a

a

,

+ + + ⇒ xk=        

dau k

a a

a

,

+ + + xk+1=        

dau k

a a

a

), 1 (

+

+ +

1 + a+ a ≥ 0 ⇔ ( a+x k )2< (

2

1 4

1 + a+ )2

⇔a+xk <

4

1 4 2 4

2 + a+ a+ ⇔ 4xk <2=2 4a+ 1 ⇔ xk <

2

1 4

1 + a+

Đúng do giả thiết quy nạp ⇒ Bất đẳng thức đúng với n = k+1

+ Vậy         

dau n

a a

a

,

+ +

2

1 4

1 + a+ a ≥ 0Bài 2 : cho tan giác vuông a,b là độ dài ba cạnh góc vuông , c là độ dài cậnhhuyền của tam giác đó chứng minh rằng :

Giả sử Bất đẳng thức * đúng với n =k ≥ 4 tức là 3 k ≥ k3

Ta chứng minh Bất đẳng thức * đúng với n =k+1 tức là 3 k+1 ≥ (k+1)3

Thật vậy : Ta có 3k+1 = 3 3k ≥ 3 k3=k3 +3k2+ 3k +1 +k3-3k2 +k3 –3k –1 =

=(k+1)3 +k2(k-3) +k(k2-3) –1 > (k+1)3 do k ≥ 4 nên k2(k-3) +k(k2-3) >1

⇒ 3k+1> (k+1)3 ⇒ Bất đẳng thức * đúng với n = k+1

− +

≥ + +

đặc biệt là Bất đẳng thức trong tam giác

- Một số quan hệ khác trong tam giác :

Vậy Bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh

Bài 2 : cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác hãy chứng minh rằng :

a2 +b2 +c2 < 2 (ab+bc+ca)

Giải : Do a,b ,c là độ dài ba cạnh trong một tam giác nên ta có :

0<a<b+c ⇔ a2< ab + ac tơng tự ta có b2 < ba+bc và c2 < ca +cb Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc :

a2 + b2 +c2 < 2 (ab+bc+ca) (Đfcm)

Bài 3 : Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng :

a(b-c)2+ b(c-a)2 c(a-b )2 > a3 + b3 +c3

Giải : a(b-c)2+ b(c-a)2 c(a-b )2 > a3 + b3 +c3

⇔ a(b-c)2+ b(c-a)2 c(a-b )2 - a3 - b3 - c3 > 0

⇔ a[(b-c)2 - a 2] + b[(c-a)2 – b2] + c[(a-b)2 –c2] > 0

⇔ a(b-c-a)(b-c+a) + b9(c-a-c)(c-a+b) +c(a-b-c)(a-b+c) > 0

⇔ ( a+b-c)( ab-ac-a2 -bc-b2+ab+ac+bc+c2) >0

⇔(a+b-c)(c2 – a2- b2+2ab) > 0

⇔(a+b-c)(c-a+b)(c+a-b) > 0 đúng

do a,b ,c là độ dài ba cạnh trong một ram giác

Vậy a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác ta có :

a(b-c)2+ b(c-a)2 c(a-b )2 > a3 + b3 +c3

4- Bài tập áp dụng :

Bài 1 Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng :

a2(b+c)+ b2(+-a) +c2(a+b ) >2abc + a3 + b3 +c3

Bài 2 Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng :

a2(b+c)+ b2(c+a) +c2(a+b ) < 3abc + a3 + b3 +c3

bai3 Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng :

2

2 1

a

a a

vì u i > i +1

Bài 2 Chứng minh rằng ∀ n tự nhiên ta có 1.23..45..67. (8 (2n2n−)1) < 2n1+1Giải : ta có (2(n2n−)1) = 2 2

) 2 (

) 1 2 (

1 2

−

+

n n

Lần lợt thay n= 1,2,3,… rồi nhân vế với vế của các Bất đẳng thức đó ta đợc :

) 2 (

1

n h

n− < 2

Giải : ∀ n là các số nguyên dơng ta có =

) 1 2 (

1 2

1 )(

1 2 (

1

−

n ) ⇒

1 2

1

h +

2 2

1

n h

1

n h

n h

+

+

n +… + ( ) 2

1 1

z y

1

+ + +

1 1

+

+

n +… + ( ) 2

1 1

k

n+ + <1+1n-n1+1+1 +n1+1-

1

n >1 n nguyªn d¬ngBµi 2 Cho n lµ sè tù nhiªn chøng minh r»ng :

) 1 ( (

1

3 2

1 2 1

1

<

+ +

+ +

n n

.b) 1+

n n

1 2

1

3

1 2

1

2 2

2 + + + < −

Bài 3 Chứng minh 1 2

2

1 1

2 2

1

<

+ + +

n na a

a trong đó N*∋, n ak =

k

1 3

1 2

1

+ + +Bài 4 : Chứng minh với mọi số tự nhiên n>1 ta có:

4

3 1

2

1 1

1 2

1

<

+ + + +

+ +

<

n n n

n

VIII- Ph ơng pháp8

Phơng pháp sử dụng Bất đẳng thức Cauchy

1 _ Kiến thức cơ bản

Các kỹ năng biến đổi Bất đẳng thức

- Bất đẳng thức Cauchy cho hai số a, b ≥ 0 :

ab b

a+ ≥

2 Dấu "=" xảy ra khi a=b

- Bất đẳng thức cauchy cho n số không âm a1 , a2 , …, an

n

a a

a1+ 2 + + n

≥ a1.a2 a n Dấu "=" xảy ra khi a1 =a2 = …= an

2- Bài tập mẫu :

Bài 1 Cho n số dơng a1 ,, a2 , …, an và a1 , a2 … a n =1

Chứng minh rằng : (1+ a1) , (1+a2 ) … (1+a n) ≥ 2n

Giải : áp dụng Bất đẳng thức Cauchy hai số 1 và ai , i=1,2,3…,n ta đợc (1+a1) ≥2 a1 , (1+a2) ≥2 a2 ,…….,(1+an) ≥2 a n

Nhân vế với vế của các Bất đẳng thức trên ta đợc :

(1+ a1) , (1+a2 ) … (1+a n) ≥2 a1 2 a2 …….2 a n

⇔ (1+ a1) , (1+a2 ) … (1+a n) ≥2n do a1 , a2 … a n =1

Dấu "=" xảy ra khi 1= a1 ,1=a2 , … ,1=a n ⇔ a1 = a2 =… =an =1

Bài 2 Cho a,b ≥ 0 chứng minh rằng 3a3+72 b3 ≥ 18 ab2

Giải : Do a,b ≥0 ⇒ 3a3, 9b3, 8b3 ≥0

áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho ba số 3a3, 9b3, 8b3

Ta đợc 3a3+ 9b3+8b3 ≥ 33 3a 3 9b3 8b3 = 18ab2

Dấu "=" xảy ra khi 3a3= 9b3= 8b3 ⇔ a=b=0

Bài 3 :Cho a>b >0 Chứng minh rằng a + b(a1−b) ≥3

Giải Ta thấy a = b +( a-b ) do a>b ⇒ a-b >0

áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm b , a-b, b(a1−b) ta đợc :

a + b(a1−b)=b+(a-b) + b(a1−b) ≥3 3 b(a - b)b(a1-b) =3

Vậy a>b >0 ta có a + b(a1−b) ≥3 Dấu "=" xảy ra khi b=a-b=b(a1−b)