Luận Văn Phép đồng dạng với các bài toán dựng hình

Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với tốn dựng hình LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận em giúp đỡ nhiệt tình thầy cô, bạn sinh viên khoa Qua em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ q báu thầy tổ hình học, thầy khoa tốn, thầy trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội bạn sinh viên, đặc biệt em bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Đinh Văn Thủy – Người tận tình hướng dẫn em q trình hồn thành khóa luận Mặc dù có cố gắng song thời gian hạn chế khả thân cịn nhiều hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận quan tâm, góp ý, bảo thầy, giáo bạn để khóa luận em hoàn thiện Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Phạm Thị Mận Phạm Thị Mận – k34A - Tốn -1- Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với tốn dựng hình LỜI CAM ĐOAN Luận văn kết thân em qua trình học tập, bậc đại học Bên cạnh em quan tâm, tạo điều kiện thầy, giáo khoa Tốn, đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy Đinh Văn Thủy Vì vậy, em xin khẳng định kết đề tài : “ Phép đồng dạng với tốn dựng hình ”, khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Phạm Thị Mận Phạm Thị Mận – k34A - Tốn -2- Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình MỤC LỤC Nội dung………………………………………………………… Trang Lời cảm ơn……………………………………………………………… Lời cam đoan…………………………………………………………… Mục lục………………………………………………………………… A – Lời nói đầu………………………………………………………… B – Nội dung…………………………………………………………… Chương I: Cơ sở lý thuyết…………………………………………… 1.1 Các kiến thức liên quan……………………………………… 1.2 Phép biến hình đồng dạng…………………………………… 1.3 Phép đồng dạng tốn dựng hình……………………… 14 Chương II : Ứng dụng………………………………………………… 16 2.1 Các ví dụ……………………………………………………… 16 2.1.1 Ví dụ 1…………………………………………………… 16 2.1.2 Ví dụ ………………………………………………… 18 2.1.3 Ví dụ 3…………………………………………………… 20 2.1.4 Ví dụ 4…………………………………………………… 22 2.1.5 Ví dụ 5…………………………………………………… 25 2.2 Bài tập luyện tập……………………………………………… 28 2.2.1 Đề bài…………………………………………………… 28 2.2.2 Hướng dẫn giải………………………………………… 29 Kết luận………………………………………………………………… 46 Tài liệu tham khảo……………………………………………………… Phạm Thị Mận – k34A - Tốn -3- 47 Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình A – LỜI NĨI ĐẦU Có thể nói rằng, chương trình tốn phổ thơng bậc đại học, phép biến hình chiếm vị trí quan trọng Phép biến hình cơng cụ đơn giản, đầy hiệu lực việc giải tốn hình học sơ cấp tốn dựng hình, tốn quỹ tích, tốn chứng minh,… Trong phép biến hình khơng thể khơng nói tới phép biến hình đồng dạng, chiếm mảng lớn tồn phép biến hình Đặc biệt giải tốn dựng hình, nhiều tốn sử dụng phương pháp thơng thường nhiều gặp khó khăn, phức tạp, ta chọn phép biến hình đồng dạng vào giải tốn trở lên đơn giản, dễ dàng Áp dụng phép đồng dạng vào giải tốn dựng hình xem biện pháp tối ưu Xuất phát từ lí trên, qua trình học tập, nghiên cứu, kết hợp với lịng u thích mơn hình học mà em chọn đề tài : “ Phép đồng dạng với tốn dựng hình ” với mong muốn tìm hiểu sâu nội dung này, bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Nội dung khóa luận gồm chương : Phạm Thị Mận – k34A - Tốn -4- Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình Chương : Cơ sở lý thuyết Chương gồm mục nhằm trang bị kiến thức lý thuyết phép đồng dạng; toán dựng hình phương pháp áp dụng phép đồng dạng vào giải tốn dựng hình Các kiến thức liên quan : Bài nói mặt phẳng định hướng; góc định hướng hai tia, hai đường thẳng; đường trịn Aplonius 1.1 Phép biến hình đồng dạng : Bài nói định nghĩa, tính chất, phân loại, định lí quan trọng phép đồng dạng 1.2 Phép đồng dạng tốn dựng hình : Đề xuất tốn dựng hình phương pháp giải nhờ phép đồng dạng Chương : Ứng dụng : Gồm hai mục : 2.1 Các ví dụ : Nêu tốn có hướng dẫn giải chi tiết 2.2 Bài tập luyện tập : Nêu loạt tập có gợi ý phần sau Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí tốn học tài liệu có liên quan đến nội dung đề tài Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Phạm Thị Mận Phạm Thị Mận – k34A - Tốn -5- Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với tốn dựng hình B – NỘI DUNG CHƯƠNG I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Các kiến thức liên quan 1.1.1 Mặt phẳng định hướng Định nghĩa : Trong mặt phẳng xét điểm O tùy ý Xung quanh O có hai chiều quay,nếu ta chọn chiều chiều quay kim đồng hồ chiều âm chiều ngược lại chiều dương, ta nói mặt phẳng định hướng 1.1.2 Góc định hướng hai tia a) Định nghĩa Trong mặt phẳng định hướng cho hai tia chung gốc Ox, Oy Góc định hướng tia đầu Ox, tia cuối Oy, kí hiệu Ox, Oy  góc thu quay tia đầu Ox xung quanh O tới tia cuối Oy + x - O y Phạm Thị Mận – k34A - Tốn -6- Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với tốn dựng hình b) Nhận xét Gọi  giá trị đầu góc định hướng, nghĩa giá trị góc định hướng ta quay góc hình học bé Khi :  Ox; Oy     k 2  k  Z  c) Hệ thức Chales Cho tia OA1, OA2, , OAn mặt phẳng định hướng, ta có hệ thức Chales sau : OA ; OA   OA ; OA    OA 2 n 1    ; OAn  OA1 ; OAn  k 2 (k  Z ) 1.1.3 Góc định hướng hai đường thẳng a) Trong mặt phẳng định hướng cho hai đường thẳng a b TH1 : a  b  0 Khi góc định hướng hai đường thẳng đầu a đường thẳng cuối b, kí hiệu a, b  góc thu quay đường thẳng đầu a tới trùng với đường thẳng cuối b a O b a / /b TH2 :  a  b ta quy ước Phạm Thị Mận – k34A - Toán  a; b   k -7- k  Z  Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với tốn dựng hình b) Nhận xét Gọi  giá trị đầu thu ta quay a theo góc hình học bé quanh giao điểm hai đường thẳng a b tới trùng b a; b    c) Hệ thức Chales Trong mặt phẳng định hướng cho đường thẳng a1,a2,…,an Khi ta có hệ thức Chales sau :  a ; a    a ; a     a 2 n 1    ; an  a1; an  k k  Z  d) Đường tròn Aplonius Cho hai điểm A B cố định, quỹ tích điểm M mà MA  k (khơng MB đổi) đường trịn Aplonius 1.2 Phép biến hình đồng dạng 1.2.1 Phép biến hình Định nghĩa : Phép biến hình mặt phẳng song ánh từ mặt phẳng vào 1.1.2 Phép biến hình đồng dạng a) Định nghĩa Phép biến hình E2 biến điểm M thành điểm M’ cho với cặp điểm M, N cặp ảnh tương ứng M’, N’ M 'N '  k (trong k > MN cho trước) gọi phép đồng dạng tỉ số k b) Tính chất +) Phép đồng dạng phép afin +) Phép đồng dạng bảo tồn độ lớn góc phẳng +) Phép đồng dạng biến đường thẳng thành đường thẳng Phạm Thị Mận – k34A - Tốn -8- Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với tốn dựng hình +) Phép đồng dạng biến tam giác thành tam giác đồng dạng với +) Phép đồng dạng biến đường trịn thành đường tròn c) Sự xác định phép đồng dạng mặt phẳng Định lí Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC A'B'C' đồng dạng với theo tỉ số k, nghĩa A' B '  kAB, B 'C '  kBC , C ' A'  kCA có phép đồng dạng f biến A thành A', B thành B', C thành C' Chứng minh Xét phép vị tự VAk tâm A tỉ số k biến ABC thành AB1C1 mà AB1 = k AB, B1C1 = k.BC, C1A = k CA Bởi vậy, AB1C1  A ' B ' C ' Gọi g phép dời hình biến A, B1,C1 thành A ' , B ' , C ' Như tích g0VAk phép đồng dạng biến A thành A', B thành B', C thành C' C1 B1 B C B A A B' C C' Giả sử có hai phép đồng dạng f h biến ABC thành A ' B ' C ' phép h 1 f đồng dạng biến ABC thành tức h-1 f phép đồng e hay h-1 f = e Vậy h = f Phạm Thị Mận – k34A - Toán -9- Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với tốn dựng hình d) Phân loại Phép đồng dạng Zk mặt phẳng gọi phép đồng dạng thuận hay nghịch phép afin loại hay phép afin loại ( tức hai tam giác xác định chiều hay ngược chiều ) e) Chú ý +) Phép vị tự VOk phép đồng dạng thuận tỉ số k +) Tất phép dời hình phép đồng dạng Z1 tỉ số k = +) Phép đảo ngược phép đồng dạng Zk phép đồng dạng Z1 k (k  0) +) Tích hai phép đồng dạng Z k Z k phép đồng dạng Zk với tỉ số k = k1.k2 f) Sự đồng dạng hình +) Định nghĩa : Nếu hình H ' ảnh hình H qua phép đồng dạng Zk hình H ' hình đồng dạng với hình H với tỉ số đồng dạng k +) Nhận xét 1: Nếu hai đa giác A1A2…An B1B2…Bn có góc đỉnh A1, A2,…,An góc tương AA A1 A2 A2 A3    n  k B1 B2 B2 B3 Bn B1 ứng đỉnh B1,B2,…,Bn đồng thời (k gọi tỉ số đồng dạng hai đa giác) chúng đồng dạng với +) Nhận xét 2: Trong hình đồng dạng, đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, góc tương ứng Phạm Thị Mận – k34A - Toán - 10 - Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với tốn dựng hình Bài 3: Phân tích : Giả sử dựng hình thoi ABCD thỏa mãn điều kiện đầu Khi :    AB, AC    AC  AB.cos     Suy phép đồng dạng    Z  Z  A, , cos  : B  C 2   O1    O1'   O'1 O2 C D O A Phạm Thị Mận – k34A - Tốn /2 - 33 - O1 Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với tốn dựng hình Vì B   O1   C   O1'  Mà C   O2  (giả thiết ) nên C   O1'    O2      B  Z 1  C  ( Z 1  Z  A,  ,1 cos  ) 2  Cách dựng :   +) Dựng  O1'  ảnh (O1) qua phép đồng dạng Z  Z  A, , cos   2 +) Dựng C giao điểm  O1'  (O2) +) Dựng B ảnh C qua phép đồng dạng ngược Z    Z 1  Z  A,  ,1 cos  2  +) Nối AC +) Dựng D ảnh B qua phép đối xứng trục SAC +) Nối AB, AD, DB, CD ta hình thoi ABCD cần dựng Chứng minh: Theo cách dựng dễ thấy B   O1  , C   O2    Do Z 1  Z  A,  ,1 cos  : C  B  2      AC , AB    AB, AC     AB   AC  AB.cos  AC  cos        1  2 Lại có SAC : B  D nên từ (1) suy BAD   Gọi O = AC  BD  OB  OD AO  AB.cos Từ (2) (3) suy : AO  AC Phạm Thị Mận – k34A - Toán - 34 -  (3) Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với tốn dựng hình Tứ giác ABCD có giao điểm hai đường chéo trung điểm đường, đường chéo lại vng góc với nên hình thoi Vậy hình thoi ABCD vừa dựng thỏa mãn điều kiện đề Biện luận : Số nghiệm hình số giao điểm hai đường tròn  O1'  (O2) Bài 4: Phân tích : CB  2.CA Giả sử ABC tam giác cần tìm Ta có :    CA, CB      Vậy B ảnh A qua phép đồng dạng Z  Z  C , 2,    a' A A' a -π/4 C b B' Phạm Thị Mận – k34A - Toán B - 35 - 4 Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với tốn dựng hình Cách dựng :  +) Gọi a' ảnh a qua phép đồng dạng Z  Z  C , 2,   4  +) B = a ' b  +) Dựng A ảnh B qua phép đồng dạng nghịch Z 1  Z  C ,   ,  4 Ta có tam giác ABC cần dựng Biện luận : Vì lí đối xứng qua đường thẳng CI vng góc với a b nên ta có tam giác CAB đối xứng qua CI thỏa mãn điều kiện toán Suy tốn có nghiệm hình Bài : Phân tích : Giả sử đường trịn (B) tiếp xúc với hai cạnh góc xOy đường trịn tâm (C) dựng Gọi A tiếp điểm đường trịn (B) (C) Khi A tâm vị tự (B) (C) O' y' x B O A C y x' Phạm Thị Mận – k34A - Tốn - 36 - Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với tốn dựng hình Qua phép vị tự V tâm A biến (B) thành (C) cạnh Ox, Oy biến thành tiếp tuyến O'x' O'y' (C) Do phép vị tự bảo tồn phương đường thẳng nên O'x' // Ox, O'y' // Oy Ngoài V(O) = (O') nên OO' qua A hay A giao điểm đường thẳng OO' với (C) Lại có : x ' O ' y '  xOy (phép vị tự bảo tồn độ lớn góc ) Cách dựng : +) Ta tiến hành dựng tiếp tuyến O'x', O'y' (C) theo thứ tự song song Ox, Oy cho x ' O ' y '  xOy +) Dựng giao điểm A OO' với (C), xét phép vị tự tâm A biến O'x', O'y' thứ tự thành Ox, Oy +) Dựng ảnh (C) qua phép vị tự gọi ảnh (B) Ta có (B) đường trịn cần dựng Chứng minh : Dễ có (B) tiếp xúc với Ox, Oy, ngồi A tâm vị tự biến (C) thành (B) mà A lại thuộc (C) nên A thuộc vào (B) (B), (C) tiếp xúc A Biện luận : Bài tốn có nghiệm hình Bài : Phân tích : Giả sử tam giác MNP nội tiếp tam giác ABC ( M, N, P thứ tự nằm cạnh BC, CA, AB ) cho cạnh MN, NP, PM thứ tự song song với cạnh B'C', C'A', A'B' tam giác A'B'C' cho trước Phạm Thị Mận – k34A - Toán - 37 - Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với tốn dựng hình x A A' C' P N N' y P' B' C M' M B Cách dựng : +) Dựng tam giác MNP sau : • Dựng đoạn M'N' // B'C' (M', N' thuộc BC, CA ) • Dựng tia M'x,N'y thứ tự song song A'B', C'A' • M'x  N'y P'  +) Dựng ảnh tam giác M'N'P' qua phép vị tự V  V  C ,  CP   CP '  tam giác MNP Tam giác MNP tam giác cần dựng Bài : Giả sử dựng tam giác cân ABC đỉnh A có A = t tổng độ dài đáy với đường cao thuộc đáy a Phạm Thị Mận – k34A - Tốn - 38 - Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với tốn dựng hình A A C' B' H' B C B C H x y Ta tiến hành dựng sau : +) Dựng xAy = t +) Dựng tam giác cân AB'C' cho B'C' thứ tự Ox, Oy +) Hạ AH' vng góc với B'C', giả sử độ dài B'C' AH' cộng lại b a b A Ta xét phép vị tự V  V , lúc B'C' tương ứng biến thành BC Tam giác ABC tam giác cần dựng Bài : Sử dụng phép đồng dạng Z1 = Z(B, -60o, 2) : A  C a  a' Suy dựng C = a'  c o  A  QB60  BC   a Suy tam giác ABC cần dựng Phạm Thị Mận – k34A - Toán - 39 - Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với tốn dựng hình a'' a' A' A 60 o 60 a o b B c C C' Bài toán ln có hai nghiệm hình có hai phép đồng dạng Z1 = Z(B, -60o, 2) Z2 = Z(A, 60o, 2) biến a tương ứng thành a', a'' Bài : Giả sử B C hai điểm tìm thỏa mãn điều kiện tốn Tam giác AO1O2 tam giác ABC đồng dạng, ta có k  AO1 AB  AO2 AC Thực phép đồng dạng Z =Z  A,  , k  (trong α góc quay tâm A biến tia AO1 thành tia AO2) biến B thành C Khi đường trịn (O1) biến thành (O') chứa C Điểm C điểm chung hai đường tròn (O') (O2) Phạm Thị Mận – k34A - Toán - 40 - Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với tốn dựng hình C B O2 O1 A Bài tốn có nghiệm đường trịn (O') (O2) có điểm chung Nếu đường trịn trùng , tốn có vơ số nghiệm Bài 10 : Giả sử dựng tam giác ABC có đường cao ha¸hb, hc tương ứng với cạnh a, b, c Suy : 1 : hb : hc  : : a b c A B' H2 H3 A'' hc hb C' A' B'' Phạm Thị Mận – k34A - Toán C'' - 41 - B H1 C Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với tốn dựng hình Hay a : b : c = 1 : :  a ': b ': c ' hb hc Điều chứng tỏ tam giác ABC cần dựng đồng dạng với tam giác có cạnh a', b', c' mà a', b', c' chiều cao tam giác có cạnh ha¸hb, hc Từ ta có cách dựng : +) Dựng A'B'C' có cạnh ha¸hb, hc suy xác định độ dài đường cao tam giác đặt a', b', c' +) Dựng tam giác A''B''C'' có cạnh a', b', c' suy xác định ' ' ' độ dài đường cao tam giác tương ứng , hb , hc +) Dựng tam giác ABC đồng dạng thuận với tam giác A''B''C'' theo tỉ số đồng dạng h a' Nếu ha¸hb, hc độ dài cạnh tam giác tốn có nghiệm hình Trường hợp ngược lại tốn vơ nghiệm Bài 11 : d Thực phép đồng dạng : Z  Z  A, BAD,  : B  D  a C C' Suy :  ABC đồng dạng với ADC '       BC , AB    AD, DC    DC ', AD    AD, DC   BC , AB  DC ', AD d a Hay ABC  ADC   DC ', DC  : DC '  BC  d Vậy tam giác CDC' dựng Phạm Thị Mận – k34A - Toán - 42 - b a Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với tốn dựng hình C'  A D  C B Lại có : AC ' d d    A  A  CC ',    D, d  AC a a  Aplonius ứng với đoạn CC' theo tỉ số (trong d  A  CC ',  đường tròn a  d ) a Suy dựng tứ giác ABCD Bài 12 : Phân tích : Giả sử ABC có A   , B   , C   dựng điểm X cho AM : XN : XP = m : n : p với M, N, P chân đường vng góc hạ từ X xuống cạnh BC, CA, AB Khi : PXN     ; NXM     ; DXM     Trong mặt phẳng chọn điểm O Dựng tia OM', ON', OP' cho Phạm Thị Mận – k34A - Tốn - 43 - Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với tốn dựng hình C A' P' B' y N P x O X A M N' M' B C' M ' OP '     , PON '     , N ' OM '     Trên tia đặt OM' = m, ON' = n, OP' = p Qua M', N', P' dựng đường thẳng vng góc với OM, ON, OP chúng cắt A', B', C' Ta thấy tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC (g.g.g) tam giác OA'B' đồng dạng với tam giác XAB ( suy từ cặp tam giác đồng dạng ON'P' đồng dạng với tam giác XNP; tam giác OM'P' đồng dạng với tam giác XMP ) Cách dựng : +) Dựng A ' B ' C ' với điểm O Trong tam giác ABC : • Qua A dựng đường thẳng Ax cho BAX  B ' A ' O • Qua B dựng đường thẳng By cho ABX  A ' B ' O Giao Ax By điểm X cần tìm Phạm Thị Mận – k34A - Toán - 44 - Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với tốn dựng hình Bài 13 : Giả sử dựng PXY có điểm X, Y nằm đường chứa cạnh AC, BC thỏa mãn điều kiện toán A K P L B Y X M C Đặt k  LM ,   LK , LM LK   Z =Z (P, α, k ) : Y  X BC  d Suy : X  d  AC Suy Y  Z 1 Y  Từ ta suy cách dựng Phạm Thị Mận – k34A - Toán - 45 - Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với tốn dựng hình KẾT LUẬN Với cương vị sinh viên, qua việc nghiên cứu đề tài : “ Phép đồng dạng với toán dựng hình ” em thấy phép biến hình nói chung phép đồng dạng nói riêng cơng cụ hữu hiệu để giải tốn hình học sơ cấp Cụ thể phép đồng dạng áp dụng vào giải tốn dựng hình giúp giải tốn dựng hình cách đơn giản, dễ dàng Việc nghiên cứu phép đồng dạng cho ta hiểu biết cụ thể phép biến hình rộng tồn mơn hình học Thấy ứng dụng phép đồng dạng vào tốn dựng hình Do hạn chế mặt thời gian lực mà vấn đề hình học khơng gian chưa đề cập đến Hi vọng vấn đề để bạn sinh viên u thích mơn hình học tiếp tục quan tâm sau Với bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Em mong góp ý thầy cô giáo bạn để khóa luận hồn thiện Cuối cùng, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Đinh Văn Thủy bảo, hướng dẫn tận tình tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thiện đề tài Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Phạm Thị Mận Phạm Thị Mận – k34A - Tốn - 46 - Khóa luận tốt nghiệp Phép đồng dạng với toán dựng hình Tài liệu tham khảo Bùi văn Bình (1993) – Bài tập hình học sơ cấp – ĐHSP Hà Nội 2 Bùi văn Bình – Nguyễn Văn Vạn (1993) – Giáo trình hình học sơ cấp tập 1, tập – ĐHSP Hà Nội Hàn Liên Hải – Phan Huy Khải – Đào Ngọc Nam – Lê Tất Tơn - Đặng Quang Viễn (1996) – Tốn bồi dưỡng học sinh lớp 10 – NXB Hà Nội Nguyễn Mộng Hy (2004) - Các phép biến hình mặt phẳng tập NXB Giáo Dục Đỗ Thanh Sơn (2004) - Phép biến hình mặt phẳng - NXB Giáo Dục Phạm Thị Mận – k34A - Toán - 47 - ... Tất phép dời hình phép đồng dạng Z1 tỉ số k = +) Phép đảo ngược phép đồng dạng Zk phép đồng dạng Z1 k (k  0) +) Tích hai phép đồng dạng Z k Z k phép đồng dạng Zk với tỉ số k = k1.k2 f) Sự đồng. .. d ) 1.3 Phép đồng dạng toán dựng hình 1.3.1 Bài tốn dựng hình Bài tốn dựng hình tốn tìm tồn hình (H) thỏa mãn tính chất Nghiệm tốn dựng hình hình thỏa mãn điều kiện tốn Bài tốn dựng hình thông... tốt nghiệp Phép đồng dạng với tốn dựng hình KẾT LUẬN Với cương vị sinh viên, qua việc nghiên cứu đề tài : “ Phép đồng dạng với tốn dựng hình ” em thấy phép biến hình nói chung phép đồng dạng nói