Lý thuyết galois và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN PHẠM THỊ LY LÝ THUYẾT GALOIS VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số HÀ NỘI - 2014 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN PHẠM THỊ LY LÝ THUYẾT GALOIS VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học GVC VƯƠNG THÔNG HÀ NỘI - 2014 Lời cảm ơn Trong trình nghiên cứu đề tài “Lý thuyết Galois ứng dụng” em gặp số khó khăn lần nghiên cứu khoa học nhờ hướng dẫn bảo tận tình thầy Vương Thơng, thầy cô giáo tổ môn Đại số bạn nhóm: Nguyễn Thị Thắm, Bùi Thị Mai, Nguyễn Thị Thu Hương, Nguyễn Thị Phượng Qua em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến toàn thể thầy khoa Tốn – người ln chăm lo, dìu dắt cho chúng em trưởng thành ngày hôm Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy Vương Thơng – người tận tình hướng dẫn, bảo đóng góp cho em nhiều ý kiến quý báu thời gian em thực khóa luận Phúc Yên, ngày 15 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Phạm Thị Ly Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu đề tài “Lý thuyết Galois ứng dụng” thân tự nghiên cứu, kết khơng trùng với đề tài tác giả khác Phúc Yên, ngày 15 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Phạm Thị Ly MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận NỘI DUNG CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT TRƯỜNG 1.1 Trường ghép thêm tập hợp 1.2 Một số kiểu mở rộng trường 1.2.1 Mở rộng đơn 1.2.2 Mở rộng bậc hữu hạn 1.2.3 Mở rộng đại số 1.2.4 Trường nghiệm đa thức 1.2.5 Mở rộng tách 10 1.2.6 Mở rộng chuẩn tắc - Nhóm Galois 16 CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT GALOIS 21 2.1 Mở rộng Galois 21 2.1.1 Khái niệm mở rộng Galois 21 2.1.2 Các đặc trưng mở rộng Galois 21 2.2 Mở rộng mở rộng bậc hai 25 2.2.1 Mở rộng 25 2.2.2 Mở rộng bậc hai 27 CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT GALOIS 30 3.1 Ứng dụng lý thuyết Galois vào giải phương trình đại số tổng quát thức 30 3.1.1 Nhóm giải 30 3.1.2 Nhóm Galois phương trình 34 3.1.3 Tiêu chuẩn giải thức phương trình đại số 35 quát bậc ݊ 37 3.1.4 Xét tính giải thức phương trình đại số tổng 3.2 Ứng dụng lý thuyết Galois phép dựng hình 42 3.2.1 Khái niệm dựng hình thước kẻ compa 41 3.2.2 Một số toán áp dụng 44 3.2.2.2 Bài tốn: Chia đường tròn thành ݊ phần (݊ ≤ 20) 46 3.2.2.1 Bài toán cổ 44 3.2.2.3 Một số toán dựng hình khác 52 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết Galois lý thuyết đẹp đẽ đại số, tập hợp nhiều kiến thức phương pháp lĩnh vực toán học khác nhằm giải toán cổ điển vấn đề quan trọng khác đại số đại Nguồn gốc lý thuyết Galois vấn đề giải phương trình đại số thức Vấn đề thực chất vấn đề mở rộng trường cách ghép thêm liên tiếp thức Galois chuyển vấn đề thành vấn đề lý thuyết nhóm Ý nghĩa lý thuyết Galois cho ứng với phương trình đại số nhóm hữu hạn Các tính chất nhóm xác định khả giải hay không giải thức phương trình đại số Lý thuyết Galois tương đối đơn giản có nhiều ứng dụng hay Ví dụ tìm nghiệm thức phương trình đại số Mặt khác trước lý thuyết Galois đời, người ta quan tâm đến việc giải tốn dựng Với lý thuyết Galois xét tính giải tốn dựng hình thước kẻ compa, việc chứng minh ba tốn dựng hình cổ điển trở nên đơn giản Từ việc thấy tầm quan trọng lý thuyết Galois ứng dụng nó, với niềm say mê thân giúp đỡ nhiệt tình thầy Vương Thơng em mạnh dạn thực khóa luận với đề tài “Lý thuyết Galois ứng dụng” Mục đích nghiên cứu Thực hiên khóa luận “Lý thuyết Galois ứng dụng” em hướng đến mục đích rèn luyện khả tiếp cận, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Tốn học thân Từ hình thành khả trình bày vấn đề Tốn học cách logic có hệ thống Khóa luận nhằm làm rõ số kiến thức lý thuyết Galois Tiếp đến em tìm hiểu ứng dụng lý thuyết Galois việc giải phương trình đại số thức dựng hình thước kẻ compa Thực khóa luận này, em có hội củng cố lại kiến thức đại số làm quen với cách nghiên cứu khoa học vấn đề Toán học Đối tượng nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu lý thuyết Galois, ứng dụng lý thuyết Galois việc giải phương trình đại số tổng quát thức dựng hình thước kẻ compa Phương pháp nghiên cứu Phương pháp đọc sách, tra cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp, đánh giá,… Cấu trúc khóa luận Ngồi phần Mở đầu phần Kết luận khóa luận gồm chương: Chương 1: Lý thuyết trường Chương 2: Lý thuyết Galois Chương 3: Ứng dụng lý thuyết Galois NỘI DUNG CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT TRƯỜNG Định nghĩa Giả sử ‫ ܨ‬là trường ‫ ܭ‬và ܷ tập hợp, ܷ ⊂ ‫ܭ‬ 1.1 Trường ghép thêm tập hợp Trường nhỏ chứa ‫ ܨ‬và ܷ gọi trường mở rộng ‫ ܨ‬bằng cách ghép ܷ vào ‫ܨ‬ Ký hiệu ‫ܨ‬ሺܷሻ 1, ܷ = ∅ ⇒ ‫ܨ‬ሺ∅ሻ = ‫ܨ‬ Ví dụ 2, ܷ = ‫ܨ ⇒ ܨ‬ሺ‫ܨ‬ሻ = ‫ܨ‬ Bây ta xét trường hợp đặc biệt ܷ, ta nhận loại mở rộng trường khác 1.2 Một số kiểu mở rộng trường Định nghĩa Cho ‫ ܨ‬là trường ‫ܭ‬, ܷ tập hợp, ܷ ⊂ ‫ܭ‬ ‫ܨ‬ሺܷሻ 1.2.1 Mở rộng đơn trường mở rộng ‫ ܨ‬bằng cách ghép ܷ ‫ܨ‬ Trong trường hợp ܷ = ሼܿሽ, ܿ ∈ ‫ܭ‬ Khi ‫ܨ‬ሺሼܿሽሻ = ‫ܨ‬ሺܿሻ gọi mở rộng đơn ‫ ܨ‬bằng cách ghép thêm phần tử ܿ vào ‫ܨ‬ Định nghĩa Mở rộng đơn ‫ܨ‬ሺܿሻ gọi mở rộng đơn đại số (siêu việt) ܿ phần tử đại số (siêu việt) ‫ܨ‬ 1.2.2 Mở rộng bậc hữu hạn Mở rộng bậc hữu hạn có nhiều tính chất tốt phục vụ trực tiếp cho việc Định nghĩa 1: Trường K gọi mở rộng bậc hữu hạn trường F nghiên cứu trường nghiệm đa thức lý thuyết Galois khơng gian vectơ hữu hạn chiều F Bậc mở rộng số chiều không gian vectơ ký hiệu ሾK: Fሿ Như vậy, ሾK: Fሿ = dim୊ K Ví dụ ℂ mở rộng bậc hữu han ℝ với ሾℂ: ℝሿ = ℝ mở rộng bậc vô hạn ℚ Định lý 1.1 Cho ‫ ܭ‬là mở rộng bậc hữu hạn trường ‫ܨ‬ Khi phần Hệ 1.1 Mọi mở rộng đơn đại số có bậc hữu hạn tử ‫ ܭ‬là đại số thỏa mãn đa thức bất khả quy không vượt bậc ሾ‫ܭ‬: ‫ܨ‬ሿ mở rộng Do ‫ ܭ‬là không gian vectơ ݊ – chiều ‫ ܨ‬nên hệ ݊ + vectơ Chứng minh: phụ thuộc tuyến tính Bởi hệ ݊ + vectơ 1, ‫ݑ‬ ‫ݑ‬ଶ , … , ‫ݑ‬௡ với ‫ ܭ ∈ ݑ‬là phụ thuộc tuyến tính Từ suy tồn phần tử ܽ௜ ∈ ‫ܨ‬, ݅ = 0,1, … , ݊, không đồng thời cho ሺ‫ݔݕݑ‬ሻሺ‫ݖݒݔ‬ሻ = ሺ‫ݖݒݔ‬ሻሺ‫ݔݕݑ‬ሻ ݉‫ܷ ݀݋‬ ሺ‫ݖݕݔ‬ሻ = ሺ‫ݑݕݔ‬ሻሺ‫ݔݒݖ‬ሻሺ‫ݖݒݔ‬ሻሺ‫ݔݕݑ‬ሻ = ሺ‫ݑݕݔ‬ሻሺ‫ݔݕݑ‬ሻ = ݅݀ ் ݉‫ܷ݀݋‬ Điều có nghĩa ሺ‫ݖݕݔ‬ሻ ∈ ܷ Nếu ܵ௡ nhóm giải ta có chuỗi giảm nhóm ܵ௥ = ‫ܩ‬଴ ⊃ ‫ܩ‬ଵ ⊃ ⋯ ⊃ ‫ܩ‬௠ = ሼ݁ሽ, Sao cho ‫ܩ‬௜ nhóm chuẩn tắc ‫ܩ‬௜ିଵ ‫ܩ‬௜ିଵ /‫ܩ‬௜ nhóm abel với ݅ = 1,2, … , ݉ Do ܵ௥ chứa tất chu trình cấp nên ta suy ‫ܩ‬ଵ , … , ‫ܩ‬௠ chứa tất chu trình cấp 3, dẫn đến điều vơ lý nhóm gồm phần tử đơn vị ሼ݁ሽ chứa tất chu trình cấp Từ bổ đề 3.2 ta thấy nhóm Galois phương trình có bậc ≥ khơng Bổ đề chứng minh giải Vì phương trình có bậc ≥ khơng giải thức 3.2 Ứng dụng lý thuyết Galois phép dựng hình Định nghĩa Trong mặt phẳng ℝଶ cho hai điểm ܲ଴ ሺ0; 0ሻ, ܲଵ ሺ1; 0ሻ Một 3.2.1 Khái niệm dựng hình thước kẻ compa điểm ܲ ∈ ℝଶ gọi dựng thước kẻ compa tồn dãy hữu hạn ܲ଴ , ܲଵ , … , ܲ௡ cho ܲ = ܲ௡ với ݆ ≥ điểm ܲ௝ xác định từ ܵ௝ିଵ = ൛ܲ଴ , ܲଵ , … , ܲ௝భ ൟ phép dựng sau: điểm ܵ௝ିଵ Giao hai đường thẳng phân biệt, đường thẳng qua Giao đường thẳng qua điểm ܵ௝ିଵ đường tròn có tâm điểm ܵ௝ିଵ có bán kính khoảng cách hai điểm ܵ௝ିଵ điểm ܵ௝ିଵ có bán kính khoảng cách hai điểm ܵ௝ିଵ Giao hai đường tròn phân biệt, đường tròn có tâm Định nghĩa Một đường thẳng gọi dựng qua hai điểm dựng được, đoạn thẳng gọi dựng qua hai điểm dựng được, đường tròn gọi dựng có tâm điểm dựng Một số thực ‫ ݔ‬được gọi dựng (bằng thước kẻ compa) có bán kính khoảng cách hai điểm dựng ሺ‫ ;ݔ‬0ሻ ∈ ℝଶ dựng Khi độ dài đoạn thẳng dựng số thực Một góc ߙ gọi dựng cos ߙ số thực dựng dựng Mệnh đề 3.1 Điểm ሺܽ, ܾሻ dựng ܽ, ܾ dựng Nếu ܽ, ܾ dựng được, tức điểm ሺܽ, 0ሻ, ሺܾ, 0ሻ dựng được, suy Chứng minh: ሺ0, ܾሻ dựng Điểm ሺܽ, ܾሻ dựng điểm thứ hình bình hành có điểm ሺ0,0ሻ, ሺܽ, 0ሻ, ሺ0, ܾሻ dựng Ngược lại ሺܽ, ܾሻ điểm dựng được, xét hai đường tròn tâm ሺ0,0ሻ ሺ1,0ሻ qua ሺܽ, ܾሻ Giao điểm chúng ሺܽ, ܾሻ ሺܽ, −ܾሻ, đường thẳng qua điểm cắt trục hoành ሺܽ, 0ሻ nên ሺܽ, 0ሻ dựng Điểm ሺ0, ܾሻ dựng đỉnh thứ hình bình hành có điểm ሺ0,0ሻ, ሺܽ, 0ሻ, ሺܽ, ܾሻ dựng được, suy ሺܾ, 0ሻ dựng Định lý 3.6 Tập tất số dựng trường trường ℝ Hơn nữa, c dựng ܿ > √ܿ dựng Gọi ‫ ܧ‬là tập tất số dựng được, cho ܽ, ܾ ∈ ‫ ܧ‬ta có −ܽ ∈ ‫ܧ‬, ngồi Chứng minh: ሺܽ, 0ሻ, ሺܾ, 0ሻ dựng được, điểm ܲ = ቀ ௔ା௕ ଶ , 0ቁ dựng Giao điểm trục hồnh đường tròn tâm ܲ qua ሺ0,0ሻ ሺܽ + ܾ, 0ሻ ܽ + ܾ dựng Đế chứng minh ܾܽ ∈ ‫ܧ‬, ta cần xét trường hợp ܾܽ ≠ ܾ ≠ Do ሺܾ − 1ሻ dựng nên điểm ሺ0, ܾ − 1ሻ dựng được, ሺܽ, ܾ − 1ሻ dựng Giao điểm đường thẳng qua ሺ0, ܾሻ ሺܽ, ܾ − 1ሻ với trục hoành điểm ሺܾܽ, 0ሻ Vậy ܾܽ dựng Ta chứng minh ܽିଵ ∈ ‫ܧ‬, ܽ ≠ Do ܽ ∈ ‫ ܧ‬ta có − ܽ ∈ ‫ ܧ‬hay điểm ሺ0,1 − ܽሻ dựng được, điểm ሺ1,1 − ܽሻ dựng Đường thẳng qua ሺ0,1ሻ ሺ1,1 − ܽሻ cắt trục hoành ሺܽିଵ , 0ሻ Vậy ܽିଵ ∈ ‫ܧ‬ Điều suy ‫ ܧ‬là trường Cho ܿ ∈ ‫ ܧ‬và ܿ > 0, ሺ1 − ܿሻ dựng được, điểm ܳ ቀ0, ଵ ଶ ଵି௖ ଶ ቁ dựng Đường tròn tâm ܳ qua ሺ0,1ሻ cắt trục hồnh hai điểm có tọa độ ሺ‫ݑ‬, 0ሻ ൫– ‫ݑ‬, 0൯ với ‫ > ݑ‬0 Theo định lý Pythagore, ta có ‫ݑ‬ଶ + ሺ1 − ܿሻଶ = ଵ ସ ሺ1 + ܿሻଶ , suy ‫ݑ‬ଶ = ܿ ‫ܿ√ = ݑ‬, √ܿ dựng ଵ ସ Định lý 3.7 Cho ܲ = ሺߙ, ߚሻ ∈ ℝଶ điểm dựng được, ሾℚሺߙ, ߚሻ: ℚሿ = 2௥ với ‫ ∈ ݎ‬ℕ Cho ܲ଴ , ܲଵ , … , ܲ௡ dãy hữu hạn điểm dựng Đặt ‫ܭ‬଴ = ‫ܭ‬ଵ = ℚ Chứng minh: ‫ܭ‬௝ = ‫ܭ‬௝ିଵ ൫ߙ௝ , ߚ௝ ൯, với ≤ ݆ ≤ ݊ ܲ௝ = ൫ߙ௝ , ߚ௝ ൯ Dễ dàng thấy số thực ߙ௝ , ߚ௝ nghiệm đa thức bậc bậc có hệ tử ‫ܭ‬௝ିଵ Do ൣ‫ܭ‬௝ : ‫ܭ‬௝ିଵ ൧ = 2௧ với ‫ ∈ ݐ‬ℕ Suy ሾ‫ܭ‬௡ : ℚሿ = ሾ‫ܭ‬௡ : ℚሺߙ, ߚሻሿሾℚሺߙ, ߚሻ ∶ ℚሿ = 2௠ với ݉ ∈ ℕ Do ሾℚሺߙ, ߚሻ ∶ ℚሿ = 2௥ , ‫ ∈ ݎ‬ℕ Hệ 3.2 Nghiệm đa thức ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ bất khả quy trường ‫ ܭ‬là dựng thước kẻ compa bậc trường nghiệm ‫ ܧ‬của đa thức ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ‫ ܭ‬là lũy thừa Thật vậy, nghiệm ‫ݔ‬଴ ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ dựng thước kẻ compa Chứng minh: chứa mở rộng bậc hai ‫ ܨ‬của ‫ ܭ‬và chứa mở rộng bậc hai chuẩn tắc ‫ܨ‬ത , trường nghiệm ‫ ܧ‬chứa ‫ܨ‬ത ሾ‫ܨ‬ത : ‫ܭ‬ሿ = 2௡ nên ሾ‫ܧ‬: ‫ܭ‬ሿ = 2௠ Điều ngược lại hiển nhiên 3.2.2.Một số toán áp dụng 3.2.2.1 Bài tốn cổ Cho góc ߙ, dựng góc a, Bài tốn 1: Chia ba góc ఈ ଷ Đặt ܽ = cos ߙ ‫ = ݑ‬cos ఈ ଷ ta có ‫ ݑ‬là nghiệm phương trình 4‫ ݔ‬ଷ − 3‫ܽ = ݔ‬ Đặt ‫ = ݔ‬ta đưa phương trình dạng ௭ ଶ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ ݖ‬ଷ − 3‫ ݖ‬− 2ܽ = ܽ = cos ߙ Tồn giá trị ߙ để ݂ሺ‫ݖ‬ሻ bất khả quy ℚሺܽሻ Chẳng hạn với ߙ = గ ଷ ܽ = đa thức ଵ ଶ ݂ሺ‫ݖ‬ሻ = ‫ ݖ‬ଷ − 3‫ ݖ‬− bất khả quy ℚ = ℚሺ1ሻ Giả sử ݂ሺ‫ݖ‬ሻ bất khả quy ℚሺܽሻ Gọi ‫ ݒ‬là nghiệm ݂ሺ‫ݖ‬ሻ ‫ܨ‬ ℚሺܽሻ ⊂ ℚሺܽ, ‫ݒ‬ሻ ⊂ ‫ܨ‬ trường nghiệm nó, ta có dãy mở rộng trường Từ ሾ‫ ∶ ܨ‬ℚሺܽሻሿ = ሾ‫ ∶ ܨ‬ℚሺܽ, ‫ݒ‬ሻ ሿሾℚሺܽ, ‫ݒ‬ሻ ∶ ℚሺܽሻሿ Bởi ሾℚሺܽ, ‫ݒ‬ሻ ∶ ℚሺܽሻሿ = nên ሾ‫ ∶ ܨ‬ℚሺܽሻሿ ≠ 2௠ Do cos khơng dựng được, nghĩa ఈ ଷ ఈ ଷ không dựng b, Bài tốn 2: Gấp đơi hình lập phương Hãy dựng cạnh hình lập phương tích gấp đơi thể tích hình Gọi ܽ cạnh hình lập phương cần dựng Thế ܽ nghiệm đa lập phương đơn vị thức ‫ ݔ‬ଷ − Đa thức bất khả quy ℚ Gọi ߙ nghiệm, ‫ܨ‬ ℚ ⊂ ℚሺߙሻ ⊂ ‫ܨ‬ trường nghiệm đa thức này, ta có dãy mở rộng trường Từ ሾ‫ ∶ ܨ‬ℚሿ = ሾ‫ ∶ ܨ‬ℚሺߙሻሿሾℚሺߙሻ ∶ ℚሿ Bởi ሾℚሺߙሻ ∶ ℚሿ = nên ሾ‫ ∶ ܨ‬ℚሿ ≠ 2௠ Điều chứng tỏ tốn khơng giải c, Bài tốn 3: Cầu phương đường tròn Dựng hình vng có diện tích diện tích đường tròn cho trước Giả sử đường tròn cho trước có bán kính ‫ݎ‬ Bài tốn quy việc dựng đoạn ‫ ݔ‬có độ dài thỏa mãn ‫ ݔ‬ଶ = ߨ‫ ݎ‬ଶ ⇔ ‫ ߨ√ݎ = ݔ‬vì ߨ số siêu việt nên √ߨ siêu việt ℚ Do ሾ‫ݔ‬: ℚሿ = +∞, tức khơng thể dựng ‫ ݔ‬bằng thước kẻ compa 3.2.2.2 Bài toán: Chia đường tròn thành n phần (࢔ ≤ ૛૙) Vậy tốn cầu phương đường tròn khơng giải Bổ đề 3.3 Nếu ݊ = ‫݌‬ ‫ݍ‬, ሺ‫݌‬, ‫ݍ‬ሻ = đường tròn chia thành ݊ phần Để giải toán trước hết ta chứng minh bổ đề sau: chia thành ‫݌‬ ‫ ݍ‬phần ሺ⟹ሻ Giả sử chia đường tròn thành ݊ phần nhau, tức dựng Chứng minh: cung ଶగோ ௡ Khi ta viết cung , ଶగோ ଶగோ ௣ ௤ ଵ ௣ = ‫ ݍ‬và = ‫݌‬ ଵ ௡ ଵ ௤ ଵ ௡ dựng ሺ⟸ሻ Giả sử đường tròn chia thành ‫݌‬, ‫ ݍ‬phần Do ‫ ݌‬và ‫ݍ‬ nguyên tố nên tồn số nguyên ‫ݑ‬, ‫ ݒ‬sao cho ‫ ݌ݑ‬+ ‫ = ݍݒ‬1 1 =‫ ݑ‬+‫ݒ‬ ݊ ‫ݍ‬ ‫݌‬ Từ chia hai vế đẳng thức ta Điều chứng tỏ cung ଶగோ ௡ dựng bán kính ܴ = Để chia đường tròn thành ݊ phần ta cần Trở lại tốn, khơng làm tính tổng qt ta giả sử đường tròn có dựng cos ଶగ ௡ thay cho góc ଶగ ௡ Gọi ߞ nguyên thủy bậc ݊ đơn vị ta có 2ߨ 2ߨ + ݅ sin ݊ ݊ 2ߨ 2ߨ = cos − ݅ sin ݊ ݊ ߞ = cos Từ Bởi cos ଶగ ௡ cos ଶగ ௡ ߞ ିଵ = ሺߞ + ߞ ିଵ ሻ ∈ ℚሺߞ + ߞ ିଵ ሻ = ℚ଴ ଵ ଶ dựng Mặt khác ta có ሾℚ଴ ∶ ℚሿ = 2௥ ሾℚሺߞሻ ∶ ℚሺߞ + ߞ ିଵ ሻሿ = ߞ ߞ ିଵ nghiệm đa thức ℚሺߞ + ߞ ିଵ ሻ: Do ‫ ݔ‬ଶ − ሺߞ + ߞ ିଵ ሻ‫ ݔ‬+ ሾℚሺߞሻ ∶ ℚሿ = 2ሾℚሺߞሻ ∶ ℚ଴ ሿ ሾℚሺߞሻ ∶ ℚሿ = 2௠ Do nhận định vừa nêu ta thấy đẳng thức điều kiện cần đủ để dựng cos ଶగ ௡ Định lý 3.8 Đường tròn chia thành ݊ phần thước kẻ compa ݊ có dạng ݊ = 2௞ ‫ݍ‬ଵ … ‫ݍ‬௦ ݇ số tự nhiên, ‫ݍ‬௜ số nguyên tố lẻ dạng 2ଶ + (số nguyên tố Phecma) Theo bổ đề ta cần xét trường hợp ݊ = ‫ ݍ‬௞ Chứng minh: Xét trường chia đường tròn ܴ௡ = ℚሺߞሻ, ߞ ௡ = 1, ta có ሾℚሺߞሻ ∶ ℚሿ = ߮ሺ݊ሻ = ‫ ݍ‬௞ିଵ ሺ‫ ݍ‬− 1ሻ ೝ ‫ ݍ‬௞ିଵ ሺ‫ ݍ‬− 1ሻ = 2௠ Mặt khác theo nhận định toán giải Nếu ‫ ≠ ݍ‬2 đẳng thức xảy ݇ = ‫ = ݍ‬2௠ + Nếu ݉ = ܾܽ, ܾ lẻ ‫ = ݍ‬ሺ2௔ ሻ௕ + = ሺ2௔ + 1ሻ ‫ܯ‬, ‫>ܯ‬1 Điều trái với giả thiết ‫ ݍ‬nguyên tố Vậy ݉ = 2௥ ‫ = ݍ‬2ଶ + ೝ Sau vài phép dựng hình cụ thể a, Dựng đa giác cạnh Bài tốn có nghĩa chia đường tròn thành năm phần Để làm điều ta cần dựng đoạn thẳng có độ dài cos Gọi ߞ nguyên thủy bậc đơn vị ta có ߞ = cos 2ߨ 2ߨ + ݅ sin , 5 cos ଶగ ହ thay cho góc ଶగ ହ ݅ ଶ = −1 2ߨ = ሺߞ + ߞ ିଵ ሻ Ta cần tìm mở rộng bậc hai chứa cos ଶగ ହ Xét dãy mở rộng trường ℚ ⊂ ℚሺߞ + ߞ ିଵ ሻ ⊂ ℚሺߞሻ = ܴହ Đa thức xác định ߞ ℚ ‫ܨ‬ହ ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ ݔ‬ସ + ‫ ݔ‬ଷ + ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݔ‬+ Từ ሾℚሺߞሻ ∶ ℚሿ = ሾℚሺߞ + ߞ ିଵ ሻ ∶ ℚሿ = Như ߞ + ߞ ିଵ có đa thức xác định bậc hai, ta tìm đa thức Bởi ߞ thỏa mãn phương trình ‫ܨ‬ହ ሺ‫ݔ‬ሻ = ߞ ିଵ = ߞ ସ nên ሺߞ + ߞ ିଵ ሻଶ = ߞ ଶ + + ߞ ଷ = ሺ−1 − ߞ − ߞ ସ ሻ + ߞ + ߞ ିଵ = − ሺߞ + ߞ ିଵ ሻ Từ suy ߞ + ߞ ିଵ nghiệm phương trình ‫ݔ‬ଶ + ‫ ݔ‬− = Bởi ta có biểu thức cần tìm cos 2ߨ −1 + √5 = ߞ + ߞ ିଵ = Biểu thức cho phép ta dựng cos ଶగ ହ sau: Trước hết dựng đường tròn (O, R=1) tiếp thực phép dựng: Dựng ‫= ܥܤ‬ √ହ ଶ = ට 1ଶ + ቀ ቁ ଶ ଵ ଶ Dựng đường tròn (C, BC) Khi ܱ‫= ܭ‬ ܱ‫ = ܫ‬cos ଶగ ହ Chia đôi ܱ‫ ܭ‬ta ିଵା√ହ ଶ Cung AM cung cần dựng b, Dựng đa giác 15 cạnh Bài toán có nghĩa chia đường tròn thành 15 phần Ta 1 = − 15 có 15=3.5 Khi = 2.3 – Đẳng thức cho phép ta dựng cung ଶగ ହ ଶగ ଷ c, Dựng đa giác 17 cạnh Bài tốn có nghĩa chia đường tròn thành 17 phần Ta phải dựng cos bậc hai chứa cos ଶగ ଵ଻ ଶగ ଵ଻ = ሺߞ + ߞ ିଵ ሻ với ߞ = ݁ భళ Ta cần tìm mở rộng ଵ మഏ೔ ଶ Xét dãy mở rộng trường ℚ ⊂ ℚሺߞ + ߞ ିଵ ሻ ⊂ ℚሺߞሻ = ܴଵ଻ Ta có ሾℚሺߞሻ ∶ ℚሺߞ + ߞ ିଵ ሻሿ = nên ߞ nghiệm phương trình ‫ ݔ‬ଶ − ሺߞ + ߞ ିଵ ሻ‫ ݔ‬+ = Bây ta xét mở rộng trường trung gian ℚ ℚሺߞ + ߞ ିଵ ሻ Nhóm Galois ܴଵ଻ ℚ nhóm xyclic cấp 16: ‫〉ߪ〈 = ܩ‬ଵ଺ ⋍ ሺℤଵ଻ ሻ∗ = 〈3ത〉ଵ଺ Trong ‫ ܩ‬có dãy giải ‫ܩ ⊃ ܩ‬ଵ = 〈ߪ ଶ 〉଼ ⊃ ‫ܩ‬ଶ = 〈ߪ ସ 〉ସ ⊃ ‫ܩ‬ଷ = 〈ߪ ଼ 〉ଶ ⊃ ‫ܧ‬ ℚ ⊂ ‫ܭ‬ଵ = ℚሺߙሻ ⊂ ‫ܭ‬ଶ = ℚሺߚሻ ⊂ ‫ܭ‬ଷ = ℚሺߛሻ ⊂ ܴଵ଻ Dãy trường tương ứng Để tìm phần tử nguyên thủy ߙ, ߚ, ߛ ta xét bảng sau: ݅ 3௜ ݉‫݀݋‬ሺ17ሻ ߞ௜ = ߞ ଷ ೔ 10 11 12 13 14 15 16 10 13 15 11 16 14 12 ߞଵ ߞ ଷ ߞ ଽ ߞଵ଴ ߞଵଷ ߞ ହ ߞଵହ ߞଵଵ ߞଵ଺ ߞଵସ ߞ ଼ ߞ ଻ ߞ ସ ߞଵଶ ߞ ଶ ߞ ଺ ߙ଴ = ߞଵ + ߞ ଽ + ߞଵଷ + ߞଵହ + ߞଵ଺ + ߞ ଼ + ߞ ସ + ߞ ଶ Các chu trình Gaoxơ tám hạng tử là: ߙଵ = ߞ ଷ + ߞଵ଴ + ߞ ହ + ߞଵଵ + ߞଵସ + ߞ ଻ + ߞଵଶ + ߞ ଺ Bởi ߙ଴ + ߙଵ = −1 ߙ଴ ߙଵ = −4 nên ߙ଴ ߙଵ nghiệm đa thức Suy ߙ଴ = − + ଵ ଶ √ଵ଻ ; ଶ ‫ ݔ‬ଶ + ‫ ݔ‬− ∈ ℚሾ‫ݔ‬ሿ ߙଵ = − − ଵ ଶ √ଵ଻ ଶ ߚ଴ = ߞଵ + ߞଵଷ + ߞଵ଺ + ߞ ସ Các chu trình Gaoxơ bốn hạng tử là: ߚଵ = ߞ ଷ + ߞ ହ + ߞଵସ + ߞଵଶ Ta có ൜ ߚ଴ + ߚଶ = ߙ଴ ߚ଴ ߚଶ = −1 ߚଶ = ߞ ଽ + ߞଵହ + ߞ ଼ + ߞ ଶ ߚଷ = ߞଵ଴ + ߞଵଵ + ߞ ଻ + ߞ ଺ ߚଵ + ߚଷ = ߙଵ ߚଵ ߚଷ = −1 ൜ Suy ߚ଴ , ߚଶ (tương ứng ߚଵ , ߚଷ ) nghiệm đa thức ‫ ݔ‬ଶ − ߙ଴ ‫ ݔ‬− ∈ ‫ܭ‬ଵ ሾ‫ݔ‬ሿ (tương ứng ‫ ݔ‬ଶ − ߙ଴ ‫ ݔ‬− ∈ ‫ܭ‬ଵ ሾ‫ݔ‬ሿ) Vậy ߚ଴,ଶ = ߚଵ,ଷ = ߙ଴ ± ටߙ଴ଶ + 2 ߙଵ ± ටߙ ଶ + 2 ଵ Các chu trình Gaoxơ hai hạng tử là: ߛ଴ = ߞ + ߞଵ଺ = ߞ + ߞ ିଵ = cos ߛଵ = ߞଵଷ + ߞ ସ 2ߨ 17 Và ߛ଴ + ߛଵ = ߚ଴ ߛ଴ − ߛଵ = ߚଵ nên ߛ଴ ߛଵ nghiệm đa thức ‫ ݔ‬ଶ − ߚ଴ ‫ ݔ‬+ ߚଵ ∈ ‫ܭ‬ଶ ሾ‫ݔ‬ሿ ߛ଴,ଵ = Từ ta suy cách dựng cos ଶగ ଵ଻ ߚ଴ ± ටߚ ଶ − 4ߚଵ 2 ଴ sau: - Dựng đường tròn ሺܱ, ܱ‫ = ܤ‬1ሻ - Dựng ‫ = ܥܤ‬ට1ଶ + ቀ ቁ ସ ଵ ଶ - Dựng đường tròn ሺ‫ܥ‬, ‫ܥܤ‬ሻ Khi ܱ‫= ܦ‬ ఈబ ଶ , ܱ‫= ܧ‬ ఈభ ଶ - Dựng đường tròn ሺ‫ܦ‬, ‫ܤܦ‬ሻ ta ܱ‫ߚ = ܨ‬଴ - Dựng đường tròn ሺ‫ܧ‬, ‫ܤܧ‬ሻ ta ܱ‫ߚ = ܩ‬ଵ Vì ඥߚ଴ଶ − 4ߚଵ = ටቀ బቁ − ൫ඥߚଵ ൯ nên ta dựng sau: ଶ ଶ ଵ ఉ ଶ ଶ - Dựng đường tròn đường kính AG ta ܱ‫ = ܬ‬ඥߚଵ - Dựng đường tròn ቀ‫ܬ‬, Từ dựng cos ቁ ta ܱ‫ = ܭ‬ଶ ඥߚ଴ଶ − 4ߚଵ ଶ ைி ଵ 2ߨ ߚ଴ = ߞ + ߞ ିଵ = ߛ଴ = + ටߚ଴ଶ − 4ߚଵ 17 2 Từ ta dựng đươc cung ܵܲ = ଶగ ଵ଻ hình vẽ A 3.2.2.3 Một số tốn dựng hình khác R, đường cao xuất phát từ đỉnh N ℎ (ứng với cạnh bên MP) Ví dụ 1: Dựng tam giác MNP cân M biết bán kính đường tròn ngoại tiếp Điểm ‫ ܯ‬có thể lấy tùy ý đường tròn có bán kính ܴ Điều kiện cần đủ để xác định ܰ, ܲ xác định độ dài đoạn ‫ܰܯ‬ Đặt ‫ܾ = ܲܯ = ܰܯ‬, ܰܲ = ܽ, ܵ diện tích ∆‫ܲܰܯ‬, ta có: ܵ = ܾ ℎ Từ (1) (2) suy ܽ = ଶோ௛ ௕ = ଵ ଶ ௔௕మ ସோ (1) (2) ܵ = ܽඥ4ܾ ଶ − ܽଶ Mặt khác theo cơng thức Hê-rơng ta có: 2ܴℎ ଶ 2ܴℎ ଶ ඨ = 4ܾ − ൬ ൰ ܾ ܾ = Do ta có: Đặt ܾ ଶ = ‫ ݔ‬ta ܴℎ 4ܴଶ ℎଶ ඨ4ܾ ଶ − 2ܾ ܾଶ ܴℎ 4ܴଶ ℎଶ ଶ ඨ ܾℎ = 4ܾ − 2ܾ ܾଶ ⇔ ܾ ଺ − 4ܴଶ ܾ ସ + 4ܴସ ℎଶ = ‫ ݔ‬ଷ − 4ܴଶ ‫ ݔ‬+ 4ܴ ସ ℎଶ = dựng ‫ ݔ‬bằng thước kẻ compa Có nghĩa ܾ khơng thể dựng Phương trình khơng giải thức bậc 2, khơng thể thước kẻ compa Vậy dựng tam giác cân biết bán kính đường tròn ngoại tiếp đường cao ứng với cạnh bên KẾT LUẬN Trong khóa luận “Lý thuyết Galois ứng dụng” em học tập, nghiên cứu trình bày vấn đề sau: Trình bày số kiến thức lý thuyết trường lý thuyết Galois Nêu lên ứng dụng lý thuyết Galois vào giải phương trình thức việc dựng hình thước kẻ compa Cụ thể ứng dụng giải phương trình thức đưa tiêu chuẩn giải phương trình đại số tổng quát bậc ݊ Về ứng dụng việc dựng thức phương trình đại số, từ áp dụng xét tính giải thức hình thước kẻ compa, đa chứng minh định lý điều kiện đủ cho việc chia đường tròn thành n phần Áp dụng để giải tốn dựng hình cổ điển khơng thể chia góc thành phần thước kẻ compa, dựng hình vng có diện tích với hình tròn, Đặc biệt nêu phương pháp chia đường tròn thành 5,15,17 phần thước kẻ compa Trong khn khổ khóa luận hạn chế thời gian trình độ nên vài vấn đề chưa trình bày kĩ Mặc dù thật cố gắng không tránh khỏi thiếu xót, mong lượng thứ, bảo thầy bạn để khóa luận hoàn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Minh Chương, Lê Đình Thi, Nguyễn Cơng Quỳ (1963), “Hình sơ cấp”, NXB Giáo dục [2] Ngơ Thúc Lanh (1987), “Đại số số học, tập 3”, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Tiến Quang (2002), “Cơ sở lý thuyết trường lý thuyết Galoa”, NXB ĐHQG Hà Nội [4] Ngô Việt Trung (2005), “Lý thuyết Galois”, NXB ĐHQG Hà Nội ... gồm chương: Chương 1: Lý thuyết trường Chương 2: Lý thuyết Galois Chương 3: Ứng dụng lý thuyết Galois NỘI DUNG CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT TRƯỜNG Định nghĩa Giả sử ‫ ܨ‬là trường ‫ ܭ và ܷ tập hợp, ܷ ⊂ ‫ܭ‬... 27 CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT GALOIS 30 3.1 Ứng dụng lý thuyết Galois vào giải phương trình đại số tổng quát thức 30 3.1.1 Nhóm giải 30 3.1.2 Nhóm Galois phương... việc thấy tầm quan trọng lý thuyết Galois ứng dụng nó, với niềm say mê thân giúp đỡ nhiệt tình thầy Vương Thông em mạnh dạn thực khóa luận với đề tài Lý thuyết Galois ứng dụng Mục đích nghiên