Lý thuyết galois và ứng dụng

Tiêu chuẩn giải được bằng căn thức của phương trình đại số.. Xét tính giải được bằng căn thức của các phương trình đại số tổng quát bậc.. Nguồn gốc của lý thuyết Galois là vấn đề giải cá

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Lời cảm ơn

Trong quá trình nghiên cứu đề tài “Lý thuyết Galois và ứng dụng” em đã

gặp một số khó khăn vì đây là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nhưng nhờsự

hướng dẫn chỉ bảo tận tình của thầy Vương Thông, các thầy cô giáo trong tổ

bộ môn Đại số và các bạn trong nhóm: Nguyễn Thị Thắm, Bùi Thị Mai, Nguyễn Thị Thu Hương, Nguyễn Thị Phượng

Qua đây em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến toàn thể các thầy cô trong khoa Toán – những người luôn chăm lo, dìu dắt cho chúng em trưởng thành như ngày hôm nay

Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy Vương Thông – người đã tận tình

hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp cho em nhiều ý kiến quý báu trong thời gian

em thực hiện khóa luận này

Phúc Yên, ngày 15 tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Phạm Thị Ly

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan kết quả nghiên cứu đề tài “Lý thuyết Galois và ứng

dụng” là do bản thân tự nghiên cứu, kết quả không trùng với bất kì đề tài nào

của các tác giả khác

Phúc Yên, ngày 15 tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Phạm Thị Ly

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Cấu trúc khóa luận 2

NỘI DUNG CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT TRƯỜNG 3

1.1 Trường ghép thêm một tập hợp 3

1.2 Một số kiểu mở rộng trường 4

1.2.1 Mở rộng đơn 4

1.2.2 Mở rộng bậc hữu hạn 4

1.2.3 Mở rộng đại số 7

1.2.4 Trường nghiệm của một đa thức 8

1.2.5 Mở rộng tách được 10

1.2.6 Mở rộng chuẩn tắc - Nhóm Galois 16

CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT GALOIS 21

2.1 Mở rộng Galois 21

2.1.1 Khái niệm mở rộng Galois 21

2.1.2 Các đặc trưng của mở rộng Galois 21

2.2 Mở rộng căn và mở rộng căn bậc hai 25

2.2.1 Mở rộng căn 25

2.2.2 Mở rộng căn bậc hai 27

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT GALOIS 30

3.1 Ứng dụng lý thuyết Galois vào giải phương trình đại số tổng quát bằng

căn thức 30

3.1.1 Nhóm giải được 30

3.1.2 Nhóm Galois của phương trình 34

3.1.3 Tiêu chuẩn giải được bằng căn thức của phương trình đại số 35

3.1.4 Xét tính giải được bằng căn thức của các phương trình đại số tổng quát bậc
37

3.2 Ứng dụng lý thuyết Galois trong phép dựng hình 42

3.2.1 Khái niệm dựng hình bằng thước kẻ và compa 41

3.2.2 Một số bài toán áp dụng 44

3.2.2.1 Bài toán cổ 44

3.2.2.2 Bài toán: Chia đường tròn thành
phần bằng nhau (
≤ 20) 46

3.2.2.3 Một số bài toán dựng hình khác 52

KẾT LUẬN 54

TÀI LIỆU THAM KHẢO 55

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết Galois là một trong những lý thuyết đẹp đẽ nhất của đại số,

nó tập hợp nhiều kiến thức và phương pháp của các lĩnh vực toán học khác nhau nhằm giải quyết bài toán cổ điển và những vấn đề quan trọng khác của

đại số hiện đại

Nguồn gốc của lý thuyết Galois là vấn đề giải các phương trình đại số bằng căn thức Vấn đề này thực chất là vấn đề mở rộng trường bằng cách ghép thêm liên tiếp những căn thức Galois đã chuyển vấn đề này thành một vấn đề của lý thuyết nhóm Ý nghĩa cơ bản của lý thuyết Galois là cho ứng với mỗi phương trình đại số một nhóm hữu hạn Các tính chất của nhóm này xác định khả năng giải được hay không giải được bằng căn thức các phương trình đại số

Lý thuyết Galois tương đối đơn giản và có nhiều ứng dụng hay Ví dụ như tìm nghiệm căn thức của phương trình đại số Mặt khác trước khi lý thuyết Galois ra đời, người ta chỉ quan tâm đến việc giải một bài toán dựng hình như thế nào Với lý thuyết Galois có thể xét tính giải được của bài toán dựng hình bằng thước kẻ và compa, và việc chứng minh ba bài toán dựng hình cổ điển trở nên đơn giản

Từ việc thấy được tầm quan trọng của lý thuyết Galois và các ứng dụng của nó, cùng với niềm say mê của bản thân và sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy

Vương Thông em mạnh dạn thực hiện bài khóa luận với đề tài “Lý thuyết

Galois và ứng dụng”

2 Mục đích nghiên cứu

Thực hiên khóa luận “Lý thuyết Galois và ứng dụng” em hướng đến mục đích là rèn luyện khả năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một vấn đề Toán học còn mới đối với bản thân Từ đó hình thành khả năng trình bày vấn

đề Toán học một cách logic và có hệ thống Khóa luận nhằm làm rõ một số

kiến thức về lý thuyết Galois Tiếp đến em tìm hiểu về ứng dụng của lý thuyết Galois trong việc giải phương trình đại số bằng căn thức và dựng hình bằng thước kẻ và compa Thực hiện khóa luận này, em có cơ hội củng cố lại những kiến thức về đại số và làm quen với cách nghiên cứu khoa học một vấn đề của Toán học

3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài tập trung nghiên cứu lý thuyết Galois, ứng dụng của lý thuyết

Galois trong việc giải phương trình đại số tổng quát bằng căn thức và dựng hình bằng thước kẻ và compa

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp đọc sách, tra cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp, đánh giá,…

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần Mở đầu và phần Kết luận khóa luận gồm 3 chương:

Chương 1: Lý thuyết trường

Chương 2: Lý thuyết Galois

Chương 3: Ứng dụng lý thuyết Galois

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT TRƯỜNG

1.1 Trường ghép thêm một tập hợp

Định nghĩa 1 Giả sử  là trường con của  và  là một tập hợp,  ⊂ 

Trường nhỏ nhất chứa  và  gọi là trường mở rộng của  bằng cách ghép 

Định nghĩa 1: Trường K được gọi là mở rộng bậc hữu hạn của trường F nếu

nó là không gian vectơ hữu hạn chiều trên F Bậc của mở rộng là số chiều của

không gian vectơ này và được ký hiệu bởi K: F Như vậy,

Ví dụ ℂ là mở rộng bậc hữu han của ℝ với ℂ: ℝ = 2

ℝ là mở rộng bậc vô hạn trên ℚ

Hệ quả 1.1 Mọi mở rộng đơn đại số đều có bậc hữu hạn

Định lý 1.1 Cho  là mở rộng bậc hữu hạn trên trường  Khi đó mỗi phần

tử của  là đại số và thỏa mãn một đa thức bất khả quy không vượt quá bậc

:  của mở rộng

Chứng minh:

phụ thuộc tuyến tính Bởi vậy hệ
+ 1 vectơ

1, " "$, … , "&

Định lý 1.2 Cho dãy các mở rộng trường 2 ⊃  ⊃  Khi đó 2 là mở rộng

bậc hữu hạn trên  khi và chỉ khi 2 là mở rộng bậc hữu hạn trên  và  là

>?+, ?$, … , ?@A là cơ sở của  trên 

= (C+

@ EC+

F

= (C+

<(

Hơn nữa nếu

@ EC+

= (C+

@ EC+

F

= (C+

Với ∑ '@EC+ (E ?E, ) = 1, 7JJJJJJ

Lại do >?+, ?$, … , ?@A là cơ sở của  trên  nên '(E = 0, ∀) = 1, 7JJJJJJ ,∀L = 1,;JJJJJ

Vậy hệ >?E<(A là cơ sở của 2 trên 

⇒ 2:  = 7; = 2:  : 

* Mở rộng hữu hạn sinh

Định nghĩa 2 Giả sử  là trường con của K và "+, "$, … , "& là các phần tử nào đó thuộc  chứa  và chứa tập "+, "$, … , "& được gọi là mở rộng hữu

hạn sinh của  sinh bởi "+, "$, … , "& và ký hiệu bởi F "+, "$, … , "&

Mệnh đề 1.1 Các điều sau tương đương:

 "+, "$, … , "(M+

Chứng minh:

với một cơ sở "+, "$, … , "& và  =  "+, "$, … , "& ( ) =

1.2.3 Mở rộng đại số

Định nghĩa 1 Trường mở rộng K trên F được gọi là mở rộng đại số nếu mọi

phần tử của nó đều là đại số trên F

Ví dụ Mọi mở rộng bậc hữu hạn đều là mở rộng đại số

Trường gồm các số thực là mở rộng đại số của ℚ nhưng không phải

Q. nên R là phần tử đại số trên Q

Xét phần tử bất kỳ " ∈  Do  là đại số trên Q nên " thỏa mãn phương trình

Xét mở rộng

sinh bởi  và các phần tử '*, '+, … , '& Theo giả thiết các '( đều là phần tử

Mặt khác, * * (hệ quả 1.1) nên theo định lý 1.3, *

 Vậy  là mở rộng đại số trên 

1.2.4 Trường nghiệm của một đa thức

Định nghĩa 1 Trường  mở rộng của trường  được gọi là trường nghiệm

(hay còn gọi là trường phân rã) của đa thức

tử đều có bậc 1 thì trường nghiệm của

Tồn tại nhân tử bất khả quy

thể gọi

Do đó theo giả thiết quy nạp

thấy Q cũng là trường nghiệm

Ta thấy

& < 7

Do đó theo giả thiết quy nạp có thể kéo dài ^∗ thành đẳng cấu từ Q ⟶ Q′

Định lý 1.5 Trường nghiệm của đa thức

duy nhất (sai khác đẳng cấu)

Chứng minh:

Nhận xét: Cho & (

(C+ là bất khả quy trên . có một nghiệm ",

cho đẳng cấu ^ ∶  ⟶ ′ sao cho '( ⟼ '′( với

tức là nó không có nghiệm bội

Định nghĩa 2 Cho đa thức *+ '+ + ⋯ + '&.& Ta gọi đa thức -h

Mâu thuẫn với

Hệ quả 1.2 Đa thức bất khả quy

1, Nếu đa thức *+ '+ + ⋯ + '&.&,

Do trường  có đặc số 0 nên
'&

Định nghĩa 3 Cho mở rộng  ⊃  gọi là tách được trên  nếu mỗi phần tử

trong  đều thỏa mãn một đa thức tách được nào đó

Định lý 1.7 Cho dãy mở rộng trường

và

vậy các u( đôi một khác nhau Xét các phương trình

nghiệm thuộc  Do  có đặc số 0 nên nó là trường vô hạn, bởi vậy tồn tại

do đó u là nghiệm chung của hai đa thức trên Hơn nữa chúng không có

nghiệm chung nào khác, bởi vì với mọi uq ≠ u thì

 R+, R$, … , R& +, R$, … , R&M+ &

& &

bởi phép quy nạp

Định lý 1.9 Giả sử  ⊃  là một mở rộng bậc hữu hạn Điều kiện cần và đủ

để tồn tại phần tử nguyên thủy

trung gian giữa  và 

trường trung gian Q giữa  và 

 ⊂ Q ⊂ 

Hệ quả 1.4 Nếu  là trường có đặc số 0 thì mọi mở rộng  bậc hữu hạn trên

 đều là mở rộng đơn và do đó có hữu hạn trường trung gian

Chứng minh:

phần tử đại số

 =  "+, "$, … , "&

Do  có đặc số 0 nên theo định lý 1.8 tồn tại trong  phần tử nguyên thủy

trung gian

1.2.6 Mở rộng chuẩn tắc - Nhóm Galois

* Mở rộng chuẩn tắc

Định nghĩa 1 Mở rộng đại số  của trường  được gọi là chuẩn tắc trên 

nếu mọi đa thức bất khả quy trên  có một nghiệm trong  thì có tất cả các

nghiệm trong , ta nói đa thức này phân rã hoàn toàn trong 

Định nghĩa 2 Hai phần tử đại số R, u trên  gọi là liên hợp nếu chúng có

cùng đa thức tối tiểu trên 

Định lý 1.10 Cho  là mở rộng bậc hữu hạn của  Khi đó  là mở rộng

chuẩn tắc của  khi và chỉ khi nó là trường nghiệm của một đa thức nào đó

nghiệm Do  là mở rộng chuẩn tắc của ,  chứa một nghiệm của đa thức

Nếu  = $ ta có điều phải chứng minh Nếu  ≠ $ ta có dãy mở rộng thực sự  ⊃ $ ⊃ + ⊃ 

Quá trình lặp lại tương tự, do :  < ∞ nên đến bước nào đó ta sẽ có

Hệ quả 1.5 Mọi mở rộng có bậc hữu hạn, chuẩn tắc và tách được đều là

trường nghiệm của một đa thức tách được

Chứng minh:

Giả sử  là một mở rộng có bậc hữu hạn, chuẩn tắc trên trường  Khi đó

theo định lý 1.10,

 là mở rộng tách được thì các đa thức nói tới trong phần đầu của định lý 1.10 đều là các đa thức tách được Bởi vậy

* Nhóm Galois

Định nghĩa 3 Cho đẳng cấu ^ ∶  ⟶ ,  ⊃ , ^ b = )6: Ta gọi ^ là một

- tự đẳng cấu

Tập hợp tất cả các - tự đẳng cấu của  là một nhóm các nhóm con của

nhóm các tự đẳng cấu của trường  và gọi là nhóm các - tự đẳng cấu của 

Bổ đề 1.3 Cho  là một mở rộng đại số trên , ^ là một  - tự đẳng cấu của

Định nghĩa 4 Cho  là mở rộng chuẩn tắc của trường  Tập hợp mọi tự

nhóm Galois của

Đặc biệt nếu

nhóm Galois của đa thức

ℚ Đa thức này có hai nghiệm là √2 và −√2, do đó  = ℚ\√2] là trường

nghiệm của đa thức $− 2 trên ℚ Vậy  là chuẩn tắc trên ℚ

Ta chứng minh quy nạp theo 7

Bởi vậy theo giả thiết quy nạp mỗi đẳng cấu ^∗ sẽ được kéo dài thành

kéo dài ^ tới ^J

Định lý 1.11 Nếu

CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT GALOIS

2.1 Mở rộng Galois

2.1.1 Khái niệm mở rộng Galois

Định nghĩa 1: Mở rộng bậc hữu hạn  của trường  gọi là mở rộng Galois

nếu nó là chuẩn tắc và tách được

2.1.2 Các đặc trưng của mở rộng Galois

Định nghĩa 1: (Trường bất động của nhóm các  – tự đẳng cấu)

Giả sử  là mở rộng của trường  và giả sử 2 là nhóm các tự đẳng cấu

của trường  còn € là một nhóm con của 2 Khi đó tập hợp

lập thành một trường con của , gọi là trường con bất động của trường 

dưới nhóm €

Mệnh đề 2.1 Giả sử  là mở rộng bậc hữu hạn trên trường  và € là nhóm

con hữu hạn cấp
của nhóm các  – tự đẳng cấu của trường  Khi đó

với  là trường con bất động của  dưới nhóm €

Định lý 2.1 Trong trường nghiệm

trường bất động dưới nhóm Galois 2 đúng bằng , ‚ = 

Định lý 2.2 Cho  là mở rộng bậc hữu hạn trên  với nhóm các  - tự đẳng

cấu của nhóm các  - tự đẳng cấu 2 đúng bằng )

: 

Chứng minh:

một đa thức tách được trên

Như vậy

Giả sử

chứng minh trên

Định lý 2.3 Trường  là mở rộng Galois trên trường  khi và chỉ khi  là

trường nghiệm của một đa thức tách được trên 

Chứng minh:

của một đa thức tách được thì cấp của nhóm Galois

của mở rộng :  Khi đó theo định lý 2.2  là mở rộng Galois trên 

Nhận xét: Định lý 2.3 cho ta một dấu hiệu tiện lợi để nhận biết một mở rộng

Galois Nó cho thấy hầu hết những mở rộng trường mà ta thường gặp đều là những mở rộng Galois

Hệ quả 2.1 Nếu trường  là mở rộng của trường  có đặc số 0 thì các điều

sau tương đương:

Chứng minh:

tách được Do đó ta có

Định lý 2.4 (Về các phần tử liên hợp)

 khi và chỉ khi tồn tại  - đẳng cấu biến một phần tử thành phần tử khác

2.2 Mở rộng căn và mở rộng căn bậc hai

2.2.1 Mở rộng căn

Định nghĩa 1 Mở rộng  của trường cơ sở  được gọi là mở rộng căn nếu

tồn tại dãy mở rộng

sao cho ( = (M+ t( (& = '( ∈ (M+

Lưu ý trong dãy (1) mỗi trường con ( có thể không là mở rộng chuẩn tắc của trường con (M+, cũng như trường  có thể không là mở rộng chuẩn

tắc trên 

Bổ đề 2.1 Giả sử  là trường tùy ý Q là mở rộng chuẩn tắc trên  và  là

mở rộng chuẩn tắc của Q Khi đó  là mở rộng chuẩn tắc trên  nếu và chỉ

Định lý 2.5 Mọi mở rộng căn  của trường cơ sở  được chứa trong mở

rộng J đồng thời là mở rộng căn và chuẩn tắc trên  Khi đó ta nói rằng J là

mở rộng căn chuẩn tắc trên 

Chứng minh:

Ta chứng minh định lý bằng quy nạp theo độ dài s của dãy mở rộng (1)

dễ thấy J là trường nghiệm của đa thức =− ', do đó J là chuẩn tắc trên 

Xét đa thức tối tiểu

trong đó † là căn nguyên thủy bậc
của đơn vị Do + = t nên  ⊂ J Hơn

nữa trên trường QJ trường J có dãy căn

trong đó

Theo giả thiết quy nạp QJ là mở rộng căn của  nên có dãy căn bắt đầu từ

 và kết thúc ở QJ Tiếp nối dãy này với dãy (2) ta được dãy căn của J bắt

Bây giờ ta chứng tỏ J là mở rộng chuẩn tắc trên  Xét đa thức

&

&− "+ &− "&

nên các phần tử +, $, … , P là nghiệm của đa thức

của đa thức này nhận được từ phép nhân mỗi nghiệm +, $, … , P với các lũy thừa của

Đối với mở rộng chuẩn tắc xáy ra cả mệnh đề ngược lại

Mệnh đề 2.3 Giả sử  là mở rộng chuẩn tắc trên  có bậc :  = 2& Khi

Chứng minh:

Theo giả thiết

có cấp 2& Ta thừa nhận rằng mọi nhóm có cấp là lũy thừa của một số nguyên

tố đều giải được Như vậy nhóm Galois 2 là giải được với dãy giải được

rộng căn bậc hai trên 

Mệnh đề 2.4 Mọi mở rộng căn bậc hai  trên  được chứa trong một mở

rộng căn bậc hai chuẩn tắc J

Chứng minh:

Giả sử  là mở rộng căn bậc hai trên  Khi đó theo mệnh đề 2.2

Bây giờ ta chứng minh mệnh đề bằng quy nạp theo

thức $− ' ∈ . nên  chuẩn tắc trên 

 =  "+, "$, … , "&