Các hàm trong lý thuyết số và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẶNG THỊ MỸ LINH CÁC HÀM TRONG LÝ THUYẾT SỐ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2012 Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Gia Định Phản biện 1: TS. Nguyễn Ngọc Châu Phản biện 2: PGS.TS. Trần Đạo Dõng Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 01 tháng 12 năm 2012. * Có thể tìm hiểu luận văn tại: − Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng − Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng 1 MỞ ĐẦU 1. Lịch sử, tính thời sự của vấn đề và sự liên quan đến các lĩnh vực khác Khoảng 4 thập niên gần đây, sự phát triển của Tin học đã làm thay đổi nhiều ngành truyền thống của lý thuyết số (ở đây chúng ta thường dùng thuật ngữ "số học"). Ngày nay, nhiều thành tựu mới nhất của số học có ứng dụng trực tiếp vào các vấn đề của đời sống, như thông tin, mật mã, kỹ thuật máy tính . và việc sử dụng rộng rãi máy tính trong nghiên cứu số học đã tạo nên một phương hướng mới của số học, đó là: số học và thuật toán. Số học ngày nay đã trở thành một khoa học thực nghiệm. Trong lý thuyết số, các hàm số học đóng một vai trò rất quan trọng, có nhiều ứng dụng của chúng trong nhiều ngành của toán học và khoa học máy tính. Một trong những kiến thức nâng cao mà học sinh cần hiểu biết thấu đáo để có thể áp dụng giải những bài toán số học là về các hàm số học. Ngoài ra, các hàm số học như hàm π, hàm li và hàm ζ Riemann cũng có một vai trò hết sức quan trọng trong các bài toán liên quan đến số nguyên tố. Hàm π xác định bởi π(x) là số các số nguyên tố không vượt quá số thực x. Năm 1793, Gauss đưa ra dự đoán: lim x→+∞ π(x) x log x = 1, được gọi là Định lý số nguyên tố (Prime Number Theorem). Các nhà toán học Gauss, Legrendre, Chebyshev, Riemann đã cố gắng chứng minh định lý này nhưng không thành công. Chứng minh đầu tiên của định lý này vào năm 1896 bởi Hadamard và Vallée-Poussin. Đây là kết quả quan trọng nhất trong lý thuyết số cho đến thời điểm này. Năm 1980, Selberg và Erd¨os đưa ra một chứng minh sơ cấp khác. Năm 1980, D.J. Newman đưa ra một chứng minh đơn giản hơn và trong chứng minh của mình, Newman sử dụng cơ sở giải tích phức. Nhờ vào Định lý số nguyên tố, trong thực tế, người ta thường xấp xỉ π(x) bởi hàm x log x . Gần đây, người ta sử dụng hàm li: li(x) =  x 2 dt log t 2 để nhận được xấp xỉ tốt hơn cho hàm π(x). Đối với hàm ζ, vào năm 1737, Euler đưa ra định nghĩa : ζ(s) = +∞  n=1 1 n s với mọi số thực s > 1. Năm 1859, Riemann xét hàm ζ với giá trị phức để chứng minh Định lý số nguyên tố (nhưng bất thành!). Từ đó hàm ζ có một vai trò khá lớn trong số học và nhận được một số tính chất quan trọng trong số học. Xuất phát từ những vấn đề trên, chúng tôi quyết định chọn đề tài "Các hàm trong lý thuyết số và ứng dụng" với hy vọng sẽ tìm hiểu sâu về lý thuyết và ứng dụng của các hàm trong số học nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này. Chúng tôi hy vọng đây là một tài liệu tham khảo tốt cho những người bắt đầu tìm hiểu về các hàm quan trọng trong lý thuyết số và ứng dụng của chúng trong các bài toán của số học và hy vọng các ví dụ minh họa và các bài toán ứng dụng góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này. 2. Mục đích nghiên cứu Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu các hàm quan trọng trong lý thuyết số thể hiện qua phần lý thuyết và phần ứng dụng để giải một số lớp bài toán hay và khó trong số học. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các hàm: hàm M¨obius, hàm Euler, hàm Mangoldt, hàm Liouville, τ-hàm, σ-hàm suy rộng, hàm Legendre, π-hàm, li-hàm, ζ-hàm Riemann. Phạm vi nghiên cứu của đề tài là lý thuyết và ứng dụng các hàm trong lý thuyết số. 4. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, phân tích, giải thích, đánh giá, tổng hợp và tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kết quả đang nghiên cứu. 3 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến Các hàm trong lý thuyết số và ứng dụng nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu về các hàm quan trọng trong lý thuyết số và ứng dụng của chúng trong các bài toán của số học. Chứng minh chi tiết và làm rõ một số mệnh đề, cũng như xây dựng một hệ thống các bài toán cùng lời giải với các mức độ khó dễ khác nhau nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề được đề cập. 6. Cấu trúc của luận văn Chương 1 - Các hàm số học, nghiên cứu về các hàm số học thường sử dụng trong lý thuyết số, như hàm Mobius, hàm Euler, hàm Mangoldt, hàm Liouville, τ-hàm, σ-hàm suy rộng, hàm Legrendre và các khái niệm dẫn xuất cùng các tính chất liên quan. Chương 2 - Các hàm π, li và ζ Riemann, khảo sát các hàm số thực có vai trò quan trọng trong số học là π-hàm, li-hàm, ζ-hàm Riemann và trình bày các tính chất cơ bản của các hàm này, như là Định lý số nguyên tố và các hằng đẳng thức đối với ζ-hàm Riemann. Chương 3 - Các bài toán liên quan đến các hàm trong lý thuyết số, ứng dụng để giải các bài toán liên quan đến các hàm trong Chương 1 và Chương 2. CHƯƠNG 1 CÁC HÀM SỐ HỌC Các khái niệm và kết quả trong chương này có thể tìm thấy trong các tài liệu [1], [2] và [3]. 1.1 Hàm số học và tích chập Dirichlet Định nghĩa 1.1. Ánh xạ f : N ∗ → C được gọi là một hàm số học. Như vậy, hàm số học cũng là một dãy số phức {c n } ∞ n=1 với c n = f(n). Tuy nhiên, do người ta muốn khai thác các tính chất hàm nhiều hơn tính chất dãy 4 nên ta gọi f là một hàm số học hay một hàm lý thuyết số. Ví dụ 1.1. Các hàm sau đây là các hàm số học 0(n) = 0 ∀n ∈ N ∗ , u(n) = 1 ∀n ∈ N ∗ , N(n) = n ∀n ∈ N ∗ , N α (n) = n α ∀n ∈ N ∗ , e(n) =  1 n  =    1 nếu n = 1 0 nếu n > 1 , ω(n) =  p|n 1 = số các ước nguyên tố của n. Chú ý 1.1. . Định nghĩa 1.2. Cho f, g là hai hàm số học. Khi đó, ta định nghĩa các phép toán đại số trên hai hàm số học f, g với mọi n ∈ N ∗ như sau: - Phép cộng: (f + g)(n) = f(n) + g(n). - Phép nhân: (f.g)(n) = f(n).g(n). - Phép chia:  f g  (n) = f(n) g(n) với g(n) = 0. - Phép nhân vô hướng: (λf)(n) = λf(n) với λ ∈ C. Định nghĩa 1.3. Cho f, g là hai hàm số học. Tích chập Dirichlet (hay phép nhân Dirichlet) của f và g, kí hiệu f ∗ g, là một hàm số học xác định như sau: (f ∗ g)(n) =  dk=n f(d)g(k) =  d|n f(d)g  n d  . Ví dụ 1.2. (N ∗ u)(6) = N(1)u(6) + N(2)u(3) + N(3)u(2) + N(6)u(1). Mệnh đề 1.1. Cho f, g, h là các hàm số học. Tích chập Dirichlet của các hàm số học có các tính chất sau: a) Tính kết hợp: (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h). b) Tính giao hoán: f ∗ g = g ∗ f. c) Tính phân phối đối với phép cộng: f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h. d) Tính giản ước được: f = g ⇔ f ∗ h = g ∗ h với h = 0. e) Tính tương thích phép nhân vô hướng: λ(f ∗ g) = (λf) ∗ g = f ∗ (λg). f) Tính có đơn vị: f ∗ e = e ∗ f = f. Với các tính chất trên, ta thấy tập tất cả các hàm số học với các phép toán cộng, nhân và phép tích chập Dirichlet tạo thành một đại số trên C. Hơn nữa, đó là đại số kết hợp, giao hoán và có đơn vị. 5 Định lý 1.1. Nếu f là một hàm số học với f(1) = 0 thì tồn tại duy nhất hàm số học f −1 , gọi là nghịch đảo Dirichlet của f, sao cho f ∗ f −1 = f −1 ∗ f = e. Ngoài ra, f −1 được cho bởi công thức đệ quy f −1 (1) = 1 f(1) , f −1 (n) = −1 f(1)  d|n d<n f  n d  f −1 (d), với n > 1. Định nghĩa 1.4. Một hàm số học f được gọi là hàm cộng tính nếu f(mn) = f(m) + f(n) với mọi m, n ∈ N ∗ và (m, n) = 1. Định nghĩa 1.5. Một hàm số học f được gọi là hàm cộng tính hoàn toàn nếu f(mn) = f(m) + f(n) với mọi m, n ∈ N ∗ . Ví dụ 1.3. Hàm ω(n) là hàm cộng tính. Ví dụ 1.4. Các hàm f(n) = log(n), v p (a) là hàm cộng tính hoàn toàn. Định nghĩa 1.6. Một hàm số học f được gọi là hàm nhân tính nếu f(1) = 1 và f(m.n) = f(m).f(n) với mọi m, n ∈ N ∗ và (m, n) = 1. Định nghĩa 1.7. Một hàm số học f được gọi là hàm nhân tính hoàn toàn nếu f(1) = 1 và f(m.n) = f(m).f(n) với mọi m, n ∈ N ∗ . Ví dụ 1.5. Hàm f b (n) = (n, b) với b ∈ N ∗ , là hàm nhân tính. Ví dụ 1.6. Các hàm sau đây là hàm nhân tính hoàn toàn: e(n), u(n), N α (n). Định lý 1.2. Cho hàm f với f(1) = 1. Khi đó, hàm f là hàm nhân tính khi và chỉ khi f(p α 1 1 p α 2 2 . . . p α k k ) = f(p α 1 1 )f(p α 2 2 ) . . . f(p α k k ) với mọi số nguyên tố p i và mọi số nguyên α i ≥ 1. Định lý 1.3. Cho hàm f với f(1) = 1. Khi đó, f là hàm nhân tính hoàn toàn khi và chỉ khi f là hàm nhân tính thỏa f(p α ) = f α (p) với mọi số nguyên tố p và mọi số nguyên a ≥ 1. Mệnh đề 1.2. Hàm nhân tính có các tính chất sau a) Nếu f, g là hàm nhân tính thì f.g và f g là hàm nhân tính (với g = 0). Nếu f, g là hàm nhân tính hoàn toàn thì f.g và f g là hàm nhân tính hoàn toàn. b) Nếu f, g là hàm nhân tính thì f ∗ g là hàm nhân tính. c) Nếu g, f ∗ g là hàm nhân tính thì f là hàm nhân tính. 6 1.2 Hàm M¨obius Định nghĩa 1.8. Hàm M¨obius µ(n) với n ∈ N ∗ , được định nghĩa như sau: µ(n) =            1 khi n = 1, (−1) k khi n = p 1 p 2 .p k với p 1 , p 2 , ., p k là k số nguyên tố phân biệt, 0 trong trường hợp khác. Ví dụ 1.7. Mệnh đề 1.3. Hàm M¨obius là một hàm nhân tính. Chú ý 1.2. Hàm M¨obius là hàm nhân tính nhưng không là hàm nhân tính hoàn toàn. Mệnh đề 1.4. Với mọi n ≥ 1, ta có:  d|n µ(d) = e(n) =    1 nếu n = 1 0 nếu n > 1 . Chú ý 1.3. µ ∗ u = e. Định lý 1.4 (Công thức ngược M¨obius). Cho f, g là hai hàm số học. Khi đó g(n) =  d|n f(d) khi và chỉ khi f(n) =  d|n g(d)µ  n d  . Định lý 1.5. Hàm f là hàm nhân tính hoàn toàn khi và chỉ khi f là hàm nhân tính có f −1 (n) = µ(n)f(n). Định lý 1.6 (Công thức tổng - tích). Nếu f là hàm nhân tính thì  d|n µ(d)f(d) =  p|n (1 − f(p)), với p là số nguyên tố. 1.3 Hàm Euler Định nghĩa 1.9. Hàm Euler ϕ(n) là hàm xác định với mọi n ∈ N ∗ , được định nghĩa là số các số nguyên dương không vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n. Tức là ϕ(n) = #{i ∈ N ∗ /i ≤ n và (i, n) = 1}. Ở đây, ký hiệu #A là số phần tử của tập hợp A. 7 Chú ý 1.4. ϕ(n) = n  m=1  1 UCLN(n, m)  . Ví dụ 1.8. Định lý 1.7. Với n ≥ 1, ta có công thức tổng  d|n ϕ(d) = n. Định lý 1.8. Với n ≥ 1, ta có thể biểu diễn hàm Euler dưới dạng tổng như sau ϕ(n) =  d|n µ(d) n d = n  d|n µ(d) d . Định lý 1.9. Với n ≥ 1, hàm Euler có thể được biểu diễn dưới dạng tích như sau ϕ(n) = n  p|n  1 − 1 p  , với p là số nguyên tố. Mệnh đề 1.5. Cho số nguyên tố p và một số nguyên α ≥ 1. Khi đó ϕ(p α ) = p α − p α−1 . Mệnh đề 1.6. Với d = (m, n) thì ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n)  d ϕ(d)  . Từ đó suy ra hàm ϕ(n) không phải là hàm nhân tính hoàn toàn. Mệnh đề 1.7. Hàm Euler ϕ(n) là hàm nhân tính. Mệnh đề 1.8. Nếu a|b thì ϕ(a)|ϕ(b). Mệnh đề 1.9. ϕ(n) là chẵn với n ≥ 3. Ngoài ra, nếu n có r nhân tử nguyên tố lẻ phân biệt thì 2 r |ϕ(n). Định lý 1.10 (Euler). Nếu n là một số nguyên dương và a là số nguyên tố cùng nhau với n thì a ϕ(n) ≡ 1 (mod n) 1.4 Hàm Mangoldt Λ(n) Tiếp theo ta có hàm số học Mangoldt Λ đóng một vai trò trung tâm trong việc phân bố các số nguyên tố. Định nghĩa 1.10. Với mỗi số nguyên n ≥ 1, ta định nghĩa Λ(n) =    log p nếu n = p m với số nguyên tố p và m ≥ 1 nào đó, 0 trong các trường hợp khác. Vì Λ(1) = 0, hàm Mangoldt không phải là hàm nhân tính. 8 Ví dụ 1.9. Định lý 1.11. Nếu n ≥ 1 ta có log n =  d|n Λ(d). Định lý 1.12. Nếu n ≥ 1 ta có Λ(n) =  d|n µ(d) log n d = −  d|n µ(d) log d. 1.5 Hàm Liouville λ(n) Một ví dụ quan trọng về hàm nhân tính hoàn toàn là hàm Liouville λ được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.11. Hàm Liouville là một hàm số học được định nghĩa như sau λ(n) =    1 nếu n = 1, (−1) a 1 +a 2 + .+a k nếu n = p a 1 1 p a 2 2 . . . p a k k . Định nghĩa này chứng tỏ ngay rằng λ là hàm nhân tính hoàn toàn. Định lý dưới đây mô tả tổng ước của hàm λ. Định lý 1.13. Với mỗi n ≥ 1, ta có  d|n λ(d) =    1 nếu n là một bình phương, 0 trong trường hợp khác. Ngoài ra, λ −1 (n) = |µ(n)| với mọi n. 1.6 τ-hàm Định nghĩa 1.12. Hàm τ(n) được định nghĩa là số các ước dương của một số nguyên dương n, kể cả 1 và n. Tức là τ(n) =  d|n d≥1 1. Ví dụ 1.10. Mệnh đề 1.10. Với n ∈ N ∗ , ta có công thức τ(n) = (u ∗ u)(n). Mệnh đề 1.11. Hàm τ(n) là hàm nhân tính. Định lý 1.14. Giả sử số nguyên dương n được phân tích ra thừa số nguyên tố như sau n = p a 1 1 p a 2 2 .p a k k . Khi đó τ (n) = k  i=1 (a i + 1). Ví dụ 1.11. τ(126) = τ(2.3 2 .7) = (1 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 12. . đến các hàm trong lý thuyết số, ứng dụng để giải các bài toán liên quan đến các hàm trong Chương 1 và Chương 2. CHƯƠNG 1 CÁC HÀM SỐ HỌC Các khái niệm và. về các hàm số học thường sử dụng trong lý thuyết số, như hàm Mobius, hàm Euler, hàm Mangoldt, hàm Liouville, τ -hàm, σ -hàm suy rộng, hàm Legrendre và các