Mơc lơc Lêi cam ®oan Lời cảm ơn Môc lôc Mở đầu Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss v tích phân ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều 1.1 Biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian 1.2 Độ đo véc tơ v tích phân hm nhận giá trị độ đo véc tơ 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên v tích phân ngẫu nh định độ đo véc tơ ngẫu nhiên 1.4 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss 1.5 Tích phân ngẫu nhiên Wiener độ đo vÐ Gauss ®èi xøng 1.6 Martingale nhận giá trị không gian Bana Tích phân ngẫu nhiên Ito vô hạn chiều v công thức Ito 2.1 Tích phân ngẫu nhiên tử độ đo véc tơ 2.2 Biến phân bình phơn đối xứng 2.3 Quá trình Ito v công th Toán tử ngẫu nhiên không gian Banach 3.1 Kh¸i niƯm cđa to¸n tư ng chÊt tỉng qu¸t 3.2 Các điều kiện để 3.3 Nguyên lý bị chặn đề nhiên bị chặn 3.4 Thác triển toán tử ng Về nghiên cứu KÕt luËn Tμi liƯu tham kh¶o Phô lôc Më đầu Trong ba kỷ qua, với công lao ®ãng gãp cđa nhiỊu thÕ hƯ c¸c nhμ to¸n häc, giải tích toán học đà trở thnh lĩnh vực toán học lớn với chuyên ngnh nh: phép tính vi tích phân, phơng trình vi phân, phơng trình đạo hm riêng, lý thuyết toán tử tuyến tính, Nã cung cÊp cho nhiÒu ngμnh khoa häc vμ kỹ thuật công cụ đắc lực để xử lý v tính toán mô hình tất định Tuy nhiên, sống giới chịu nhiều tác động nhân tố ngẫu nhiên Phần lớn hệ động lực, trình tự nhiên l hệ động lực ngẫu nhiên v trình ngẫu nhiên Thnh thử để phản ánh thực tế đắn hơn, ngoi việc nghiên cứu mô hình tất định, việc nghiên cứu mô hình ngẫu nhiên lμ mét tÊt u vμ cÇn thiÕt Trong vμi chơc năm gần đây, mặt nhu cầu phát triển nội toán học, mặt khác nhằm cung cấp ngôn ngữ, công cụ cho phép mô tả, phân tích, dự báo v điều khiển mô hình ngẫu nhiên, giải tích ngẫu nhiên (giải tích môi trờng ngẫu nhiên) đà đời với lý thuyết độ đo ngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên, phơng trình vi phân ngẫu nhiên, toán tử ngẫu nhiên, điểm bất động ngẫu nhiên, hệ động lực ngẫu nhiên Trong hớng nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên, việc nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên vô hạn chiều đợc nhiều tác giả quan tâm phát triển nội giải tích ngẫu nhiên nh− sù xt hiƯn cđa nhiỊu bμi to¸n thùc tiễn đòi hỏi cách tiếp cận vô hạn chiều Cần ý để nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên không gian vô hạn chiều, ngời ta cần phải có phơng pháp v dụng cụ khác so với việc nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên hữu hạn chiều Bởi lẽ phơng pháp v dụng cụ xác suất không gian hữu hạn chiều mở rộng sang không gian vô hạn chiều không hiệu lực (xem [21, 22, 43] v th mục đó) Về mặt lịch sử, tích phân ngẫu nhiên lý thuyết xác suất l tích phân hm tất ®Þnh ®èi víi chun ®éng Brown Wiener ®−a [44] vo năm 1923 Tích phân ny đợc gọi l tích phân Wiener Tích phân Wiener nhìn nhận nh l tích phân hm tất định thực ®èi víi ®é ®o ngÉu nhiªn Wiener - mét ®é đo ngẫu nhiên giá trị thực sinh chuyển động Brown T tởng độ đo ngẫu nhiên giá trị thực lần xuất công trình Bochner [6] Tích phân ngẫu nhiên hm tất định độ đo ngẫu nhiên giá trị thực đợc nghiªn cøu bëi Urbanik vμ Woyczynski [42] Sù më réng cho trờng hợp vô hạn chiều đợc thực Hoffman-Jorgensen [16], Okazaki [25], Rosinski [27] Mét h−íng më réng khác tích phân Wiener đợc Đ.H.Thắng đề cập [36, 41]: Đó l xét tích phân hm tất định thực độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss v độ đo véc tơ ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều Chơng luận án có tiêu đề "Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss v tích phân ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều" Chơng ny trình by cách tóm lợc để lm quen với định nghĩa, kết độ đo véc tơ ngẫu nhiên, độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss đối xứng với giá trị không gian Banach vô hạn chiều v tích phân hm tất định thực chúng, tập trung vo tính chất độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss đối xứng Các kết ny đợc sử dụng đến chơng Nhu cầu toán học nh thực tiễn đòi hỏi phải thực trình lấy tích phân không cho hm tất định m cho hm ngẫu nhiên Năm 1942 nh toán học Ito [18] đà xây dựng trình tích phân cho hm ngẫu nhiên phù hợp chuyển động Brown Tích phân ny đợc gọi l tích phân ngẫu nhiên Ito Tích phân Ito v công thức Ito đóng vai trò đặc biệt quan trọng giải tích ngẫu nhiên tơng tự nh tích phân Riemann v công thức Newton-Leibniz giải tích cổ điển Giải tích cổ điển nghiên cứu vi tích phân không gian hữu hạn chiều, giải tích ngẫu nhiên nghiên cứu phép tính vi tích phân ngẫu nhiên Sự khác giải tích cổ điển v giải tích ngẫu nhiên thực chất nằm khác công thức đạo hm hm số hợp, môi trờng ngẫu nhiên công thức ny mang tên Ito Vi tích phân ngẫu nhiên Ito ngy cng đóng vai trò quan trọng, mô tả ngy cng v sát nhiều mô hình thực tế v có nhiều ứng dụng thiết thực Một ứng dụng đáng ý gần kể đến ®ã lμ nã trë thμnh c«ng quan träng nghiên cứu toán ti (xem [15, 31] v th mục đó), ví dụ nh việc định nghĩa v nghiên cứu mô hình Black-Scholes, Merton, Hull and White, Cã nhiỊu h−íng nghiªn cøu më réng tÝch phân Ito Một số tác giả muốn xây dựng loại tích phân ngẫu nhiên m không cần giả thiết phù hợp, nh tích phân Ogawa, tích phân Stratonovich, tích phân Skorokhod (xem [3, 24, 29] vμ c¸c th− mơc ë đó) Một hớng mở rộng khác l xây dựng tích phân hm ngẫu nhiên trình ngẫu nhiên tổng quát Chẳng hạn lý thuyết tích phân ngẫu nhiên hm ngẫu nhiên khả đoán semimartingale đà đợc nhiều tác giả Mỹ v Pháp quan tâm (xem [5, 20] v th mục đó); lý thuyết tích phân ngẫu nhiên trình Brown phân thứ đợc số tác giả quan tâm dụng toán ti (xem [31]) Chơng có tiêu đề "Tích phân ngẫu nhiên Ito vô hạn chiều v công thức Ito" Chơng ny dnh cho việc xây dựng tích phân Ito hm ngẫu nhiên giá trị toán tử độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss, xây dựng trình ngẫu nhiên vô hạn chiều Xt, kiểu Ito tổng quát v thiết lập công thức Ito tơng ứng Giả sử X, Y l không gian Banach Cho trớc Z l độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X -giá trị với độ đo covariance Q (đợc định nghĩa Đ.H.Thắng [41]) Chúng định nghĩa trình ngẫu nhiên Xt Y -giá trị có dạng Xt = X0 + t a(s, ω) ds + t b(s, ω) vμ gọi l trình Ito Y -giá trị độ đo ngẫu nhiên Z Để định nghĩa đợc trình ny đà phải xây dựng khái niệm tích phân ngẫu nhiên hm ngẫu nhiên L(X, Y )-giá trị độ đo Z Kết quan trọng chơng ny l việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều (Định lý 2.3.2) Để chuẩn bị cho việc thiết lập công thức ny, luận án đà sử dụng công cụ tích tensor để lm rõ tác động toán tử song tuyến tính lên toán tử hạch v nghiên cứu biến phân ton phơng độ đo Z Công thức biến phân ton phơng ny viết cách hình thức có dạng dZ ⊗ dZ = dQ Trong tr−êng hỵp Z lμ độ đo Wiener X -giá trị v không gian X, Y l hữu hạn chiều ta thu đợc công thức Ito hữu hạn chiều (Hệ 2.3.4) Chú ý công thức ny l ngời ta xét trờng hợp công thức Ito hữu hạn chiều với trình Wiener nhiều chiều với thnh phần độc lập (tức l với độ đo ngẫu nhiên Wiener với độ đo covariance Q dạng dQ = R dt, R l ma trận đơn vị) Trong giải tích cổ điển (không ngẫu nhiên) ta đà biết tích phân l loại toán tử tuyến tính đặc biệt v quan trọng Lý thuyết toán tử tuyến tính (tất định) đà đợc phát triển thnh lý thuyết đồ sộ giải tích hm v đà đợc áp dụng hiệu để nghiên cứu lý thuyết phơng trình vi phân v phơng trình đạo hm riêng Tơng tự nh vậy, tích phân ngẫu nhiên l loại toán tử ngẫu nhiên đặc biệt v quan trọng Một toán tử ngẫu nhiên A từ X vo Y l phép tơng ứng x X biến ngẫu nhiên Ax nhận giá trị Y Phép tơng ứng ny thoả mÃn ®iỊu kiƯn tun tÝnh vμ liªn tơc theo mét nghÜa xác suất no Nh khái niệm toán tử ngÉu nhiªn lμ mét sù më réng "ngÉu nhiªn" (hay ngẫu nhiên hoá) cách tự nhiên khái niệm toán tử tuyến tính tất định Toán tử ngẫu nhiên không gian Hilbert đợc nghiên cứu hệ thống Skorokhod [30] v đợc phát triển Đ.H.Thắng [33, 34, 35, 37, 39] Theo hiểu biết lý thuyết toán tử ngẫu nhiên giai đoạn đầu phát triển v nhiều vấn đề bỏ ngá NÕu nh− lý thut to¸n tư tun tÝnh (tÊt định) đà trở thnh lâu đồ sộ, honh tráng giải tích, có nhiều ứng dụng toán học nh thực tiễn có sở ®Ĩ hy väng vμ tin t−ëng r»ng t−¬ng lai lý thuyết toán tử ngẫu nhiên có hình hi, vị trí xứng đáng v tầm quan trọng lớn lao giải tích ngẫu nhiên Chơng có tiêu đề "Toán tử ngẫu nhiên không gian Banach" Trong chơng ny dnh quan tâm cho lớp toán tử ngẫu nhiên bị chặn Đó lμ mét líp cđa líp c¸c to¸n tư ngÉu nhiên bị chặn nhng lại l mở rộng gần gũi toán tử tuyến tính tất định Chúng đà thiết lập điều kiện để toán tử ngẫu nhiên l bị chặn Một kết thú vị chơng ny l nguyên lý bị chặn (Định lý BanachSteinhaus) cho họ toán tử tuyến tính tất định cho họ toán tử ngẫu nhiên (bị chặn theo xác suất) nhng đà không cho họ toán tử ngẫu nhiên bị chặn (bị chặn h.c.c.) (xem ví dụ 3.3.3 luận án) Nếu nhìn tích phân Wiener nh toán tử ngẫu nhiên tích ph©n Ito, tÝch ph©n Ogawa, tÝch ph©n Stratonovich vμ tÝch phân Skorokhod xem nh l cố gắng để thác triển miền xác định tích phân Wiener từ tập hm tất định bình phơng khả tích lên lớp no hm ngẫu nhiên có quỹ đạo bình phơng khả tích Chúng đa kiểu thác triển v chứng minh đợc toán tử ngẫu nhiên bị chặn từ X sang Y (vμ chØ cã nã) míi cã thĨ th¸c triĨn miền xác định lên ton biến ngẫu nhiên nhận giá trị X đồng thời bảo ton tính chất tuyến tính v liên tục (Định lý 3.4.5) Một hệ thú vị định lý ny l: thác triển miền xác định tích phân Wiener từ tập hm tất định bình phơng khả tích lên tất hm ngẫu nhiên có quỹ đạo bình phơng khả tích Lớp toán tử ngẫu nhiên bị chặn l lớp đặc biệt lớp toán tử ngẫu nhiên, đợc nghiên cứu Chơng hệ thống Một vấn đề đợc đặt cách tự nhiên l nghiên cứu loại toán tử ngẫu nhiên tổng quát Trong trình nghiên cứu hon thnh luận án, ngoi kết đà công bố, tìm số kết thú vị khác toán tử ngẫu nhiên tổng quát (không thiết bị chặn) Nhng kết nói chung rời r¹c, ch−a thμnh mét hƯ thèng hoμn chØnh vμ m¹ch lạc nên trình by buổi seminar nhỏ Phần phụ lục nhỏ cuối luận án có tiêu đề "Về nghiên cứu tiếp theo" Trong phần ny, nêu số vấn đề m cha giải hon chỉnh v kèm theo số kết đà đạt đợc Chúng dnh vấn đề cho nghiên cứu sau luận án Các kết chủ yếu luận án đà đợc báo cáo hội nghị: Hội nghị Khoa học trờng Đông Xác suất-Thống kê, Vinh (2003), Hội nghị nghiên cứu Khoa học Trờng Đại học Khoa học Tự nhiên (2004), Hội nghị Ton quốc Xác suất Thống kê Ba Vì (2005) V đà đợc công bố tạp chí Proceedings of the International Conference Abstract and Applied Anal-ysis World Scientific (2004), Kyushu J.Math (2004), Vietnam J Math 38:2(2005) 10 Chơng Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss v tích phân ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều Việc nghiên cứu tích phân ngẫu nhiên Ito cho hm ngẫu nhiên nhận giá trị toán tử độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss nhận giá trị không gian Banach m đề cập đến ch−¬ng cã thĨ xem nh− lμ sù më rộng vô hạn chiều cho tích phân Ito, cần hỗ trợ từ nhiều kết trừu tợng không gian Banach Mặt khác ®©y cịng lμ viƯc më réng viƯc lÊy tÝch ph©n hm tất định độ đo ngẫu nhiên Gauss (tích phân Wiener vô hạn chiều) đợc xét [41, Đ.H.Thắng] cho lấy tích phân cho hm ngẫu nhiên ®èi víi ®é ®o ngÉu nhiªn Gauss Nh− lμ mét chuẩn bị, chơng ny nhằm mục đích tóm tắt sơ lợc kiến thức v kết liên quan m chúng đợc sử dụng sau ny, nh l: độ đo véc tơ, tích phân độ đo véc tơ, độ đo véc tơ ngẫu nhiên v tích phân ngẫu nhiên hm tất định độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss Đặc biệt trình by kỹ độ đo ngẫu nhiên Gauss v tích phân Wiener vô hạn chiều (tích phân hm tất định độ đo ngẫu nhiên Gauss) Các kiến thức toán tử hạch, tích tensor không gian Banach, hình học không gian Banach, độ đo véc tơ Gauss không gian Banach đợc giới thiệu 11 phần phụ lục sau luận án 1.1 Biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Các kiến thức phần ny ngời đọc tìm đọc kỹ [43] Giả sử T l không gian khác rỗng Họ tập T đợc gọi l trờng (hay đại số) tập T chứa tập rỗng, đóng phép lấy hợp v giao hữu hạn v đóng phép lấy phần bù đợc gọi l -trờng (hay -đại sè) c¸c tËp cđa T nÕu nã lμ mét trờng v đóng phép lấy hợp v giao đếm đợc v phép lấy phần bù Trong trờng hợp ny cặp (T , ) đợc gọi l không gian ®o ®−ỵc Cho (T , Σ) vμ (X, B) lμ không gian đo đợc Một ánh xạ : T X đợc gọi l (, B)-đo đợc hay đơn giản l đo đợc nghịch ảnh (B) với B B Nếu X l không gian tôpô -trờng nhỏ chứa tất tập mở X đợc gọi l -trờng Borel v đợc ký hiệu l B(X ) Các tập B B(X ) đợc gọi l tập Borel Nếu ánh xạ : T X l (, B(X ))-đo đợc ta gọi l l đo đợc Borel hay đơn giản l đo đợc Cho (T , ) l không gian đo đợc, X lμ mét kh«ng gian metric Mét hμm ξ : T X đợc gọi l đơn giản (tơng ứng bậc thang) (T ) l hữu hạn (tơng ứng ®Õm ®−ỵc) vμ ξ (x) ∈ Σ víi mäi x X Rõ rng hm đơn giản v hm bậc thang đo đợc : T X đợc gọi l đo đợc mạnh l giới hạn điểm dÃy hm đơn giản v ®−ỵc gäi lμ ®o ®−ỵc u nÕu ∗ ∗ víi mäi x ∈ X th× x (ξ) : T → R l hm đo đợc mạnh Mệnh đề sau cho ta mối liên hệ đo đợc, đo đợc mạnh, đo đợc yếu Mệnh đề 1.1.1 Với ánh xạ : T X , phát biểu sau tơng đơng 12 Danh mục công trình đà công bố tác giả liên quan đến luận án Đ.H.Thắng and Ngun ThÞnh (2004), "On the extension of random operators", Proceedings of the International Conference on Abstract and Applied Analysis, World Scientific, pp.547-562 Ngun ThÞnh (2004), "The infinite-dimensional Ito Processes the general Ito formula", Tuyển tập công trình Khoa học trờng Đông Xác suất-Thống kê, Vinh, pp.152-170 Đ.H.Thắng and Nguyễn Thịnh (2004), "Random bounded operators and their extension", Kyushu J.Math., 58, pp.257-276 Đ.H.Thắng and Ngun ThÞnh (2005), "Infinite-dimensional Ito Pro-cesses with respect to Gaussian Random measures and the Ito formula", Vietnam J Math, 38(2), pp.223-240 Đ.H.Thắng, Nguyễn Thịnh (2005), "Biểu diễn phổ toán tử ngẫu nhiên", Tuyển tập báo cáo ton văn hội nghị ton quốc lần thứ Xác suất-Thống kê 95 Ti liệu tham khảo [1] Nguyễn Duy Tiến (2000), Giải tích ngẫu nhiên- Các mô hình x¸c st vμ øng dơng, [2] Ventxel (1975), Gi¸o trình lý thuyết Quá trình ngẫu nhiên, N.V.Phú, N.D.Tiến dịch tiÕng Nga sang tiÕng ViƯt, Nhμ xt b¶n Mir, Nga TiÕng Ph¸p [3] Ogawa (1979), "Sur le produit direct du bruit blanc par luimeme", C.R.Acad.Sci.Paris Ser.A, 288, pp.359-362 TiÕng Anh [4] L.Arnold (1974), Stochastic diffirential equations: Theory and Applica-tion, Wiley, New York p [5] K.Bichteler (1981), "Stochastic integration and L -theory of semimartin-gales", Ann.Prob., 9, pp 49-89 [6] S.Bochner (1947), "Stochastic process", Ann.Math., 48, pp 1014-1061 [7] R.Carmona, J.Lacroix (1990), Spectral theory of random Schrodinger operators, Boston, MA, Birkhauser 96 [8] S.Chevet (1983), "Compactness in spaces of Gaussian Radon proba-bilities on a Banach spaces", C.R Acad Sci Paris Ser.A, 296, pp 275-278 [9] J.Diestel and J.J.Uhl (1977), Vector measures, Mathematical survey, No.15, American Mathematical Society [10] Nicolae Dinculeanu (1999), Vector integration anh Stochastic integra-tion in Banach spaces, A Wiley-Interscience Publication [11] Dunford-Schwartz (1963), Linear operators I,II, Interscience, New York [12] I.I.Gikman and A.V.Skorokhod (1972), Stochastic diffirential equations, Berlin, Springer-Verlag [13] "Adjoint T.L.Gill, S.Basu, W.W.Zachary and V Steadman (2004), for operators in Banach spaces", http://www.ams.org/proc/2004-132-05/S0002-9939-03-072046/S0002-9939-03-07204-6.pdf [14] E.Gine, M.B.Marcus (1983), "The central limit theorem for stochastic integrals with respect to Levy process", Ann.Prob., 11, pp 54-77 [15] I Grubisic (2002), Interest rate theory - the BGM model, Leiden University [16] J Hoffmann-Jorgencen (1977), "Probability in Banach spaces", Lecture Notes Mathematic, 598, pp 2-186 [17] N.Ikeda, S.Watanabe (1981), Stochastic diffirential equation and diffu-sion process, North Holland 97 [18] K.Ito (1944), "Stochastic integrals", Proc.Imp.Acad.Tokyo, 20, pp.519-524 [19] K.Ito (1961), Lectures on Stochastic Processes, Tate Institute, Bombay [20] H.Kunita (1970), "Stochastic integral bases on Martingales taking values in Hilbert space", Nogoya Math, 38, pp.41-52 [21] M.Ledoux, M.Talagrand (1991), Probability in Banach spaces, Springer-Verlag [22] W.Linde (1983), Infinitely divisible and stable measures on Banach spaces, Teubner-Texte zur Mathematik-Band, 58, Teubner, Leipzig [23] Krzysztop Maurin (1972), Methods of Hilbert spaces, Warszawa [24] D.Nualart, E.Pardoux (1988), "Stochastic calculus with anticipating integrands", Prob.Theory and Related Fields, 78, pp.535581 [25] Y.Okazaki (1979), "Wiener integral by stable random measure", Mem.Fac.Sci.Kyushu Uni.Ser.A, 33, pp.1-70 [26] A.Pazy (1983), Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations, New York Inc [27] J.Rosinski (1984), "Random integral of Banach spaces valued functions", Studia Math., 78, pp.15-38 [28] J.Rosinski (1987), "Bilinear random integrals", Dissertationes mathe-maticae, Warswana [29] A.V.Skorokhod (1975), "On a generalization of a stochastic integral", Theory Probab.Appl., 20, pp.219-233 98 [30] A.V Skorokhod (1984), Random Linear Operators, Reidel Publishing Company, Dordrecht [31] M.Rockenerb (2006), Fractional Brownian motion in Finance and Queueing, Dissertation, Department of Math., University of Helsinky, 2003 [32] G Taraldsen (1997), "Random set and spectra of unbounded linear linear operators", preprint, http://mpcj.unige.ch/mparc/html/p/93-228 [33] Đ.H.Thắng (1987), "Random Operators in Banach spaces", Probab Math Statist., 8, pp.155-157 [34] Đ.H.Thắng (1988), "Gaussian random operators in Banach spaces", Acta Math.Vietnam, 13, pp.79-85 [35] §.H.Th¾ng (1992), "Sample paths of random linear operators in Banach spaces", Mem.Fac.Kyushu Uni.Ser.A, 45, pp.287-306 [36] Đ.H.Thắng (1992), "Vector symmetric random measures and random integrals", Theor Proba Appl., 37 , pp.526-533 [37] Đ.H.Thắng (1995), "The adjoint and the composition of random op-erators on a Hilbert space", Stochastic and Stochastic Reports, 54, pp.53-73 [38] Đ.H.Thắng (1996), "On Ito stochastic integral with respect to vector stable random measures", Acta Math Vietnamica, 21, pp.171181 [39] Đ.H.Thắng (1996), "On the adjoint of a random operator", Southeast Asia Bulletin of Math., 20, pp.95-100 99 [40] Đ.H.Thắng (1997), "Random mapping on infinite dimensional spaces", Stochastics and stochastics Report, 88, pp.5173 [41] Đ.H.Thắng (2001), "Vector random stable measures and random inte-grals", Acta Mathematic Vietnamica, 26(2), pp.205-218 [42] K.Urbanik, W.A.Woyczynski (1967), "Random integral and Orlicz spaces", Bull Sca Polon Sciences, 15, pp.161-169 [43] N.N Vakhania, V.I Tarieladze and S.A Chobayan (1987), Probability distribution on Banach spaces, Reidel Publishing Company [44] N.Wiener (1923), "Differential space", J.Math.Phys., 2, pp.134-174 100 Phơ lơc Phơ lơc nμy giíi thiƯu mét số khái niệm, định lý lý thuyết không gian Banach v lý thuyết xác suất không gian Banach đợc sử dụng luận án Các chứng minh nh thông tin liên quan ngời đọc tìm đọc [8, 9, 10, 16, 21, 28] Toán tử hạch Định nghĩa Một toán tử tuyến tính T : X Y đợc gọi l toán tử h¹ch nÕu tån t¹i d·y (xn) X vμ (yn) Y cho vμ víi mäi x ∈ X T (x) = Nếu T l toán tử hạch chuẩn hạch T đợc định nghĩa T nuc = inf infimum đợc lấy tất dÃy (xn) v (yn) cho xn ∈ X, yn ∈ Y vμ T (x) = toán tử hạch từ X Y N (X, Y ) đợc trang bị chuẩn hạch không gian Banach Lớp toán tử tuyến tính hạch liên quan mËt thiÕt víi lý thut tÝch tensor cđa kh«ng gian Banach Luận án có đề cập phần mối liên hệ ny phần 1.4 chơng v phần 2.2 chơng 101 Tích tensor không gian Banach Giả sử X v Y l không gian Banach Ký hiệu X Y l tích tensor đại sè cđa kh«ng gian Banach X vμ Y Trên không gian tuyến tính X Y có loại chuẩn đợc quan tâm nghiên cứu nhiều l chuÈn bÐ nhÊt (least crossnorm) vμ chuÈn lín nhÊt (greatest crossnorm) Trong luận án, sử dụng khái niƯm chn lín nhÊt (greatest crossnorm) Ký hiƯu B(X, Y ; Z) l không gian hm song tuyến tính liên tục từ X ì Y Z Chú ý r»ng B(X, Y ; Z) lμ kh«ng gian Banach víi chuẩn B(X, Y ; Z) đợc xác ®Þnh nh− sau: : x ∈ X, y ∈ Y, x φ = sup{ φ(x, y) 1, y 1} Trªn không gian tuyến tính X Y ta xác định hμm γ γ(u) = sup{φ(u) : φ ∈ B(X, Y ; R), 1}, (u) = X Y Lm đủ không gian định chuẩn X Y dới chuẩn ta thu đợc không gian Banach, ký hiÖu lμ X ⊗Y vμ gäi lμ tích tensor X v Y , chuẩn đợc lm ®đ trªn X ⊗Y ta vÉn tiÕp tơc ký hiƯu l Mệnh đề ã Nếu u X Y th× n γ(u) = inf n xi yi : xi ∈ X, yi ∈ Y, u = i=1 xi ⊗ yi i=1 • NÕu u ∈ X ⊗Y , với 0, tồn dÃy (xn) X vμ (yn) Y cho limn xn = 0, limn yn = 0, u = 102 chuÈn γ vμ ∞ γ (u)xn ynγ(u) + n=1 H×nh häc kh«ng gian Banach Ký hiƯu ( i) lμ d·y Rademacher Không gian Banach X đợc gọi l loại p (1 < p 2) nÕu tån t¹i mét h»ng sè C > cho với dÃy hữu hạn (xi) X x C i i p i Không gian Banach X đợc gọi l đối loại q (q ≥ 2) nÕu tån t¹i mét h»ng sè C > cho với dÃy hữu hạn (xi) X i xi Trong luận án quan tâm đến không gian Banach loại 2, đặc biệt l tính chất không gian loại đợc phát biểu Định lý 1.4.2 v 1.4.3 Không gian Banach loại l không gian phổ biến lý thuyết v thực tiễn Ví dụ không gian hữu hạn chiều, không gian Hilbert, không gian lp, Lp (p 2) l không gian Banach loại Độ đo véc tơ Gauss không gian Banach Giả sử R l toán tử L(X , X ) R đợc gọi l đối xứng (x1, Rx2 ) = (Rx1, x2) víi mäi x1 , x2 X R đợc gọi l dơng (Rx, x) với x X Độ đo xác suất Radon X -giá trị đợc gọi l Gauss đối xứng tồn toán tử dơng vμ ®èi xøng R ∈ L(X , X ) cho ρˆ(a) = exp{−(Ra, a)/2} 103 ∀a ∈ X , l ký hiệu hm đặc trng ®é ®o ρ, ρˆ(a) = X exp{i(x, a)} ρ(dx) Lóc ®ã ta cã Ra = (x, a)x ρ(dx) X R đợc xác định v đợc gọi l toán tư covariance cđa cđa ρ 104 ... thuyết độ đo ngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên, phơng trình vi phân ngẫu nhiên, toán tử ngẫu nhiên, điểm bất động ngẫu nhiên, hệ động lực ngẫu nhiên Trong hớng nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên, việc... tơ ngẫu nhiên Gauss v tích phân ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều Việc nghiên cứu tích phân ngẫu nhiên Ito cho hm ngẫu nhiên nhận giá trị toán tử độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss nhận giá trị không gian. ..2 Tích phân ngẫu nhiên Ito vô hạn chiều v công thức Ito 2.1 Tích phân ngẫu nhiên tử độ đo véc tơ 2.2 Biến phân bình phơn ®èi xøng 2.3 Quá trình Ito v công th Toán tử ngẫu nhiên không