Tích phân và ứng dụng 13

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGƠ THỊ SINH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGÔ THỊ SINH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Phƣơng pháp tốn sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS TS VŨ ĐỖ LONG Hà Nội – Năm 2015 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU CHƢƠNG NGUYÊN HÀM 1.1 Định nghĩa nguyên hàm 1.2 Các tính chất nguyên hàm .4 1.3 Bảng công thức nguyên hàm số hàm số 1.4 Một số phƣơng pháp tính nguyên hàm 1.4.1 Phƣơng pháp ghép vi phân thích hợp 1.4.2 Nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ 1.4.3 Nguyên hàm theo phần 13 1.4.4 Nguyên hàm hàm số có thức 16 1.4.5 Nguyên hàm hàm lƣợng giác 22 1.5 Bài tập tự luyện 34 CHƢƠNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG 35 2.1 Định nghĩa tích phân xác định 35 2.2 Điều kiện khả tích 35 2.3 Tính chất tích phân xác định 35 2.4 Công thức Newton – Leipnitz 36 2.5 Ứng dụng 36 2.5.1 Tính tích phân xác định theo Newton – Leipnitz 36 2.5.2 Tính diện tích hình phẳng 39 2.5.3 Tính thể tích khối trịn xoay 50 2.5.4 Tính độ dài đƣờng cong phẳng 55 2.6 Bài tập tự luyện 58 CHƢƠNG CÁC BÀI TOÁN KHÁC 60 3.1 Tìm giới hạn tích phân 60 3.1.1 Đặt vấn đề 60 3.1.2 Một số ví dụ minh họa 60 3.2 Bất đẳng thức tích phân 63 3.2.1 Đánh giá theo hàm số cận tích phân 63 3.2.2 Bất đẳng thức cổ điển tích phân ứng dụng 66 3.2.3 Định lý giá trị trung bình 74 3.2.4 Ứng dụng tích phân chứng minh bất đẳng thức 76 3.2.5 Tìm cực trị phƣơng pháp tích phân 80 3.3 Tính tổng 84 3.3.1 Lý thuyết 84 3.3.2 Một số ví dụ minh họa 85 3.4 Bài tập tự luyện 88 KẾT LUẬN 90 TÀI LIỆU THAM KHẢO 91 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa học, lời tơi xin trân trọng cảm ơn đến thầy cô giáo công tác khoa Toán – Cơ – Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, người giảng dạy cung cấp kiến thức khoa học quý báu suốt năm học vừa qua để tơi có tảng kiến thức thực luận văn Tiếp theo xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS TS Vũ Đỗ Long, người tận tình bảo giúp đỡ tạo điều kiện nhiều mặt để tơi hồn thành luận văn Cuối xin chân thành cảm ơn Sở giáo dục đào tạo Hà Nội, ban giám hiệu trường THPT Phan Huy Chú – Đống Đa – Hà Nội tạo điều kiện tối đa để tơi có thời gian học tập tốt hồn thành khóa học Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2015 Học viên Ngơ Thị Sinh MỞ ĐẦU Tốn học môn khoa học nghiên cứu số, cấu trúc, khơng gian phép biến đổi Nói cách khác, người ta cho mơn học " hình số." Tốn học tảng cho tất ngành khoa học tự nhiên khác Có thể nói khơng có tốn học, khơng có ngành khoa học Mơn Tốn chia thành nhiều phân mơn nhỏ, có phân mơn: Giải tích tốn học cịn gọi đơn giản Giải tích Giải tích ngành tốn học nghiên cứu khái niệm: giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân Phép tốn giải tích "phép lấy giới hạn" Phần lớn người học lúng túng gặp khó khăn học Giải tích nói chung Ngun hàm, Tích phân, tốn thực tế cần dùng đến Tích phân nói riêng Tích phân có ứng dụng số tốn tìm giới hạn, chứng minh bất đẳng thức, hay tính tổng… Bên cạnh đó, đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học - Cao đẳng năm xuất tốn liên quan đến tích phân Với mong muốn hệ thống lại kiến thức nguyên hàm, tích phân xác định ứng dụng tơi lựa chọn đề tài “Tích phân ứng dụng” cho luận văn , cụ thể luận văn gồm chương: Chương 1: Nguyên hàm Trong chương nhắc đến khái niệm tính chất nguyên hàm, bảng nguyên hàm hàm số thường gặp số phương pháp tính nguyên hàm làm sở để tính tích phân xác định trình bày chương Chương 2: Tích phân xác định ứng dụng Ở chương nêu định nghĩa tích phân xác định, điều kiện khả tích tính chất tích phân xác định có tính chất quan trọng sử dụng cơng thức Newton – Leipnitz để tính tích phân xác định sau tìm ngun hàm Đặc biệt chương thể ứng dụng tích phân việc tính diện tích hình phẳng giới hạn đường tính thể tích vật trịn xoay quay hình phẳng xung quanh trục Ox, Oy Chương 3: Các toán khác Chương đề cập đến ứng dụng tuyệt vời tích phân tốn phức tạp tìm giới hạn, tìm tổng hay chứng minh bất đẳng thức Mặc dù cố gắng tìm tịi vấn đề tốn liên quan đến việc tính Tích phân ứng dụng nó, kiến thức vơ tận nên luận văn khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong nhận góp ý bảo thầy giáo để luận văn có giá trị khoa học cao Em xin chân thành cảm ơn! CHƢƠNG NGUYÊN HÀM 1.1 Định nghĩa nguyên hàm a Giả sử hàm y = f (x) liên tục khoảng (a;b) Khi hàm số y = F (x) gọi nguyên hàm hàm số y = f (x) F ' (x ) = f (x ), ∀x ∈(a;b) b Nếu y = F (x) nguyên hàm hàm số nguyên hàm hàm số ký hiệu là: I = ∫ f (x )dx = F (x )+ c 1.2 Các tính chất nguyên hàm a Nếu y = f (x) hàm số có ngun hàm  ∫ f (x )dx )' = f (x ); d (∫ f (x )dx )= f (x )dx b Nếu F (x) có đạo hàm ∫d (F (x )) = F (x )+ c c Phép cộng Nếu f d Phép trừ Nếu f e Phép nhân với hẳng số khác  kf (x )dx = k ∫ f (x )dx, ∀k ≠ f Công thức đổi biến số Cho y = f (u ) u = g (x).Nếu ∫ f (x )dx = F (x )+ c f (g (x ))g '(x )dx = ∫ f (u )du = F (u )+ c ( ( x x 1.3 Bảng công thức nguyên hàm số hàm số ∫ 0dx = C ; ∫dx = x + c α ∫(ax + b ) ∫ dx = ax + b ∫e ax + b dx = a ∫m ax + b dx = a ln m ∫ln (ax + b )dx =  x + dx ∫ a − x2 dx ∫ 1.4 = arcsin a + x2 Một số phƣơng pháp tính nguyên hàm 1.4.1 Phƣơng pháp ghép vi phân thích hợp a Phƣơng pháp Sử dụng biến đổi f '(x ).dx =d ( f (x)) Ví dụ: adx = d (ax + b); sin x.dx = −d (cos x); b Một số ví dụ = ln Ví dụ 1.1.1 ([1]) I=∫ Ví dụ 1.1.2 ([1]) I = 2x + dx d x + 3x + ( ∫ (x2 + 3x)+ 5=x ∫ + 3x +5 ) = ln x + 3x + + c Ví dụ 3.2.23 ([4]) Cho ≤ x ≤ y ≤ Giải 82 Xét hàm số Suy g (t ) x y ∫ g (t )dt ≤ x ∫ g (t )dt ⇒ y ∫ ( t − tan t )dt ≤ x ∫(t − tan t )dt  y x2  + ln cos x − x  y2 + ln cos y  22    (x − y ) xy − ln (cos y )x ≤ 2(cos x)y  π f (x , y ) ≤ 0, ∀x , y ∈  0;   2 Vậy max f (x, y ) =0 x = y = Ví dụ 3.2.24 ([4]) Cho x ≥ Tìm giá trị nhỏ hàm  y x2  22   + ln cos x ≤ x  y2 + ln cos y  0 số f (x ) = (x   − 1)ln (1+ x )− x  + ln  + x  2 Giải Xét hàm số g Sử dụng Mệnh đề 4, ta có Từ đẳng thức x ∫t ln (1+ t )dt = Ta nhận 83 hay (x − 1)ln (1 + x Vậy f (x) = −ln x =1 3.3 Tính tổng 3.3.1 Lý thuyết a Cơng thức tính tổng cấp số cộng, cấp số nhân + Cho cấp số cộng (un ) có số hạng đầu u1 công sai d Đặt S n = u1 + u2 + + un Khi S + Cho cấp số nhân (un ) có số hạng đầu u1 cơng bội q ≠ Đặt S n = u1 + u2 + + un Khi S b Cơng thức nhị thức Newton (a + b )n = Cn0 a n + Cn1 a n −1b + C n2 a n − b + + C nk a n −k b k + + C nn bn n =∑Cnk a n −k bk k Đặc biệt (1+ x )n =0 = Cn0 + Cn1 x + + Cnk x (1− x )n k + + Cnn xn (1 ) = Cn0 − Cn1 x + + ( −1)k Cnk x k + + ( −1)n Cnn xn Một số kết () - Từ •  • Cn0 + Cn1 + + Cnk + + Cnn = 2n (2) Cn0 − Cn1 + + ( −1)k Cnk + + ( −1)n Cnn = (3) Cn0 + Cn1 a + + Cnk a k + + Cnn a n • Cn + 84 - Lấy ∫ b a b−a + Cn 3.3.2 Một số ví dụ minh họa Ví dụ 3.3.1 ([5]) Tính tổng sau: a Pn = + x + x + + nxn−1 b Qn = 12 + 2 x + 32 x + + n xn−1 Giải a Ta có với x ≠ Pn dx = ∫(1+ 2x + 3x + + nx n −1 )dx = x + x + x + + x n + C  ⇒ ∫ Pn dx = Lấy đạo hàm vế ta   n n +1 =  x (1− x ) + C  ' = nx ⇒P  1− x n  Vậy x ≠ P = + x + x Với Với x =1 P = + + + + n = n b n (n +1) ∫ Qn dx = ∫(12 + 2 x + 32 x + + n x n −1 )dx = x + x + x + + nx n + C = xPn + C Trong +) Với x ≠ xPn hay ∫Qn dx = 85 (x −1)3 n+2 − ( n + n − 1)x n+1 + ( n + 1)2 x − x −1 Qn = n x +) Với x =1 Q = 12 + 2 + + n2 = n n + n +1 ( )( ) n Ví dụ 3.3.2 ([5]) Tính tổng sau: a S = b S c 1 S3 = + Cn1 + Cn2 + + n +1 Cnn d = S e = S C1 n C n Giải Xét tích phân ∫1 a Ta có ∫1 x (1− x )n dx = − Mặt khác ∫1  =  Cn  x 2 − Cn1 S = Vậy b Xét tích phân ∫1 (1− x )n dx 86  (  Ta tính I n = ∫1 (1− x )n dx u = Đặt  dv = dx I n = ∫1 (1 − x )n dx = x (1 − x )n  ( 2 n ∫1 x 1− x )n−1 dx -2 n ∫1 (1 − x )n dx + n ∫1 (1 − x )n−1 dx = -2 nI n + 2nIn−1 0 I n = −2n ∫1 (1 − x − 1)(1 − x )n −1 dx = 0 ⇔In = ( Mặt khác ∫1 (1 − x )n dx = ∫1 Cn0 − Cn1 x + + ( −1  C0x−  n  Vậy S Mặt khác (1 + x )n n + + Cn x  n ( (1 + x ) n dx = ∫ Cn + C n1 x + C nên n2 x + + C n n x n )dx 11   Vậy S = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x d Ta có ∫1 (1− x )n dx = − Mặt khác (1 − x )n = Cn0 − Cn1 x + Cn2 x − + ( −1)n Cnn xn nên 87 ∫1 (1 − x )n dx = ∫1 (C n0 − C n1 x + C n2 x − + ( −1)n C nn x n )dx  =C0x   ⇔1− ⇔S e Xét tích Mặt khác ∫1  =  Cn0  Vậy 3.4 Bài tập tự luyện Bài Chứ Bài Chứ a Bài Chứ 10 Bài Chứ 88 Bài Cho x ≥ y > Tìm giá trị nhỏ hàm số: f (x, y ) = y (e x − e − x )− x (e y − e− y ) Bài Cho ≥ x ≥ y > Tìm giá trị lớn hàm số: f (x , y ) = y ln + x + y − x − x ln − y Bài Tìm giá trị nhỏ hàm số f (x ) = x arctan x − ln (1+ x )− x arctan ,x ≥ 1 1 Bài Tính tổng S = Cn0 + Cn1 + Cn2 22 + Cn3 23 + + n +1Cnn 2n (Đại học Đà Nẵng năm 2001) 1 Bài 10 Tính tổng S = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + n +1Cnn theo n (Đại học Sư Phạm TP HCM năm 2000) Bài 11 Chứng minh C1 + 2n Bài 12 Chứng minh Bài 13 Cho Sn Bài 14 Cho Sn Bài 15 Cho Sn 89 KẾT LUẬN Nội dung luận văn “ Tích phân ứng dụng” bao gồm phương pháp tính nguyên hàm, tích phân xác định số ứng dụng tích phân xác định Luận văn đạt số kết quả: Luận văn phân dạng trình bày phương pháp dạng tính nguyên hàm làm sở quan trọng cho việc tính tích phân xác định cơng thức Newton – Leipnitz Luận văn đưa số ứng dụng tích phân vào tốn thực tế giải số dạng tốn phổ thơng tìm giới hạn, tính tổng, chứng minh bất đẳng thức 90 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] 12 [2] Bộ giáo dục đào tạo (2008), Sách giáo khoa, sách tập giải tích lớp ban ban nâng cao, Nhà xuất Giáo dục Võ Văn Giai – Võ Văn Thoại (2008), Tích phân xác định ứng dụng, Nhà xuất Đại học Sư Phạm [3] Trần Phương (2009), Bài giảng trọng tâm ơn luyện mơn Tốn, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [4] Trần Phương (2006), Tuyển tập chuyên đề kỹ thuật tính Tích phân, Nhà xuất Tri Thức [5] Đồn Quỳnh (Chủ biên), Tài liệu liệu chun tốn Giải tích 12, nhà xuất giáo dục Việt Nam [6] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2009), Tốn học cao cấp (tập hai: Phép tính giải tích biến số), Nhà xuất Giáo dục 91 ... thức cổ điển tích phân ứng dụng 66 3.2.3 Định lý giá trị trung bình 74 3.2.4 Ứng dụng tích phân chứng minh bất đẳng thức 76 3.2.5 Tìm cực trị phƣơng pháp tích phân 80... hàm làm sở để tính tích phân xác định trình bày chương Chương 2: Tích phân xác định ứng dụng Ở chương nêu định nghĩa tích phân xác định, điều kiện khả tích tính chất tích phân xác định có tính... lúng túng gặp khó khăn học Giải tích nói chung Ngun hàm, Tích phân, tốn thực tế cần dùng đến Tích phân nói riêng Tích phân có ứng dụng số tốn tìm giới hạn, chứng minh bất đẳng thức, hay tính