giãn trong không gian Banach
Ánh xạ T từ không gian mêtric (X, d) vào không gian mêtric (Y, p) được gọi là không giãn nếu với mọi X, y £ X ta có
p ( T x , T y) < d ( x , y ) .
Ta xét ví dụ sau:
Gọi B là hình cầu đơn vị đóng trong không gian Co (không gian của các dãy số hội tụ đến 0 với chuẩn s up). Với mỗi X = ( x i , x2, ...) £ B ta đặt
T x = (1, Xi, X<1,...). Khi đó T là ánh xạ không giãn trong B mà không có điểm bất động.
T h ật vậy, nếu có X* = T X* thì ta có
( x \ , x \ , x ;...) = (1,*Ĩ,
Nhưng khi đó, ta có X* = 1 với mọi ỉ nên X* không thuộc Co-
Qua ví dụ ta thấy việc khảo sát sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn là phức tạp hơn so với ánh xạ co. Nó đòi hỏi không gian phải có những tính chất đặc biệt, chẳng hạn như tính lồi, tính trơn, cấu trúc chuẩn tắc.... Những câu hỏi dưới đây là những câu hỏi cơ bản nhất được hỏi khi nghiên cứu về ánh xạ không giãn:
a) Giả thiết nào cần được thêm vào đối với vấn đề cấu trúc của không gian M hoặc những định nghĩa trên T để đảm bảo sự tồn tại của ít nhất một điểm bất động.?
b) Cấu trúc của tập hợp tấ t cả các điểm bất động của T cho trước là gì.? c) Có thể kết nói gì về phép lặp của T.
25
Trong chương này chúng tôi sẽ cung cấp từng phần câu tr ả lời cho mỗi câu hỏi.
3.1 Cấu trú c chuẩn tắc
Đ ị n h n g h ĩ a 3.1.1. Tập lồi K trong không gian định chuẩn X được gọi là có cấu trúc chuẩn tắc nếu mọi tập con lồi, đóng, bị chặn H c K với
d ỉ a m H > 0 đều chứa điểm X £ H sao cho
s u p { ||x — zII : z E H } < d ỉ a m H
ồ đây d ỉ a m H = sup{||w — VII : u , v G H } là đường kính của H.
V í d ụ 3.1.1. Mọi tập hợp compact trong không gian Banach đều có cấu trúc chuẩn tắc.
T h ật vậy, ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tồn tại tập compact
K trong không gian Banach X sao cho K không có cấu trúc chuẩn tắc. Khi đó tồn tại tập hợp lồi, đóng, bị chặn H c K với d ỉ a m H > 0 sao cho với mọi X e H ta có: sup {||x — zII : z E H } = d ỉ a m H .
Đặt: r = d ỉ a m H, lấy X\ e H ta có s u p d l ^ i — z\\ : z e H } = r. Do K
compact nên H compact, do đó tồn tại X2 £ H sao cho
H lồi nên II Xl+X2 II £ H, do vậy tồn tại Xỵ £ H sao cho
suy ra lịrri — 273II = 11^2 — II = r. Giả sử đã có Xi, ...Xn £ H sao cho lỊxị — X jII = r với mọi ỉ Ỷ j- Khi đó tồn tại xn+1 E H sao cho
X\ + X2 + — + x r n %n+1 Từ đây ta có r = •%1 •%n+ 1 %n •En+1 n n 1 ” - t ¡Xi - z n + i | | < r i= 1
Dấu ” = ” xảy ra khi llíCị — x n+1II = r với mọi ỉ = 1, 2 , n.
Vậy: ta xây dựng được một dãy {xn} c H mà ||íCn — x m \\ = r với mọi n / m , điều này mâu thuẫn với tính compact của H. Do đó K có cấu trúc chuẩn tắc.
Ví dụ dưới đây chỉ ra một tập trong không gian Bannach không có cấu trúc chuẩn tắc.
V í dụ 3.1.2. Cho X = c [0,1] và tập K c X xác định như sau
Lấy y £ K , với £ —>■ 0+ ta có
lim \\y — t nx\\ > lim m ax \y(t) — t nx(t)\
n ->0c n->oo t e ( 0 , ĩ - £ )
^ lim m ax \y(t)\ — lim m a x |í nx (í)|
n—»00 te (0,1—c) n—»00
= 1
Vậy K không có cấu trúc chuẩn tắc.
Đ ịn h n gh ĩa 3.1.2. Cho không gian Bannach X . Dãy bị chặn { x n} c X
được gọi là dãy đường kính nếu nó không là dãy hằng và thỏa mãn:
ở đây dỉst là khoảng cách, co là bao lồi.
Sau đây là tiêu chuẩn để kiểm tra một tập có cấu trúc chuẩn tắc hay không.
K = { x e X : 0 < X (t) < X (1) = 1}
Khi đó tập K lồi, đóng, bị chặn, không có cấu trúc chuẩn tắc. T h ật vậy, hiển nhiên tập K là lồi, đóng, bị chặn. Ta có:
d ỉ a m K = s u p { ||x — y\\ : x , y £ K }
= sup \ max \x (t) — y ( tI ( < 1
x,yeK Ue[0,l] J
Lấy hai dãy ị x n = t ” Ị và { y n = t n} trong K ta có
Cho n —>■ 00 ta có d ỉ a m K ^ 1. Vậy d i a m K = 1. Với mọi X £ K ta có t nx ( t) E K và
27
B ổ đ ề 3.1.1. Tập con lồi, bị chặn K của không gian Banach có cấu trúc chuẩn tắc khỉ và chỉ khỉ nó không chứa dẫy đường kính.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng.
Đ iề u kiện cần:
Giả sử K chứa dãy đường kính { x n} . Đặt:
s = cõ( { xn})
ru(S) = s up{ \ \ u — VII , V G S } với u G s .
Vì u £ s nên tồn tại ỉ sao cho u £ c õ{:Ti, X2, ....Xi}. Ta có
ru(S) > |Ịrri+i - u\\ > d ỉ s t ( x i+1, c õ { x 1, x 2...oci})
Cho ỉ —>■ 00 ta có:
ru(S) ^ d i a m ( { x n}) = d ỉ a m S
(ở đây ta sử dụng tính chất d i a m A = d i a m A = diam(co(A))).
Vậy ru( S) = d ỉ a m S với mọi u £ s , điều này mâu thuẫn với tập K có cấu trúc chuẩn tắc. Do đó tập K không chứa dãy đường kính.
Đ iề u kiện đủ:
Giả sử K chứa tập con lồi, đóng, bị chặn s với d ỉ a m S > 0 sao cho sup { ||u — VII, V G S'} = d ỉ a m S
với mọi u £ s .
Đặt: d = d ỉ a m S , chọn £ £ (0,d). Ta xây dựng dãy đường kính trong s
như sau.
Lấy X\ £ s , đặt 2/0 = X\. Khi đó tồn tại X<1 £ s sao cho
d - £ < II2/0 - Z2II < d
Đặt yi = Xl+X2. Vì s lồi nên yi £ s , do đó tồn tại £3 G s sao cho
d - ị < ịịyi - ^ 3II < d
Đặt 2/3 = Xí+Xi +X3 _ Tiếp tục quá trình trên ta xây dựng được hai dãy {xn},
{ y n-1} trong s thỏa mãn