1) Với yG H, 7Г GК hai tính chất sau là tương đương:
2.3. Toán tử chiếu suy rộng trên không gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn
Trong phần này, ta nghiên cứu trường hợp B là không gian
Banach phản xạ, lồi ngặt. Vì một không gian Banach lồi đều là phản xạ và lồi ngặt,
trường hợp này ta sẽ nghiên cứu phần này là tổng quát hơn là trường hợp lồi đều đã được Alber nghiên cứu trong |5 Ị|
Định lý 2.7. Nếu B là không gian Banach phản xạ với B* là không gian đối ngẫu
của B và K là tập hợp con, khác rỗng, đóng, lồi của B thì ta có các tính chất sau: 1) Với bất kì (fi G B*, 7ĩỊ((fi là một tập con không rỗng, đóng, lồi và bị chặn
của K\
2) \/tp e B* không có hai phần tử khác 0 trong 7ĨK<P là phụ thuộc tuyến tính; 3) Toán tử 7ĨK '■ B* —>■ K là đơn trị khi và chỉ khi B lồi ngặt.
Chứng minh.
1) Với bất kỳ <f £ B*, ĩ ĩKự ) không rỗng. Tính bị chặn của T Ĩ K ^ P có thể được suy ra từ bất đẳng thức V(<£, X) > (||a;|| — IMI)2. Tiếp theo ta chứng minh rằng 7TKt p là đóng. Giả sử {xn} C 7ĩKt p v ầ xn — ¥ xữ, n V o o . Ta có
V ( ự > , x0) = IHI2 - 2 ( < f , x0) + ||a;0|| 2 = lim (||(^||2 - 2 ( i p , xn) + ||zn||2)
n—>00
= lim V ( < f , x n ) = inf V ( i p , y ) .
n-¥ 00 ytK
Do đó X q e 7 ĩKi p , và vì vậy 7TKt p đóng. Cuối cùng, ta chứng minh 7 ĩKt p là lồi. Giả sử X ị , X2 ẽ 7T Ị ỉ t p , K và 0 < A < 1 từ tính chất liên tục của phiếm hàm V, ta có
V ( ( f i , Ằ X í + (1 - A)x2) < X V ( i p , X i ) + (1 — X ) V ( i p , x 2)
Suy ra \ x i + (1 — X ) x2 €: 7ĨK<P- Do đó 7Ткф là tập hợp con lồi.
2) Giả sử X\, X2 G 7TKt p và = ịix2 với số thực ịi Ф 1. Khi đó ta có
v ( i p , x 1) =
suy ra
Thay X i bởi ịix2 trong đẳng thức trên ta có
2(1 - ụ ) { ( f i , x2) = (1 - Л1Ы2. Do ị i Ỷ 1, nên
2 ( ự > , x 2 ) = ( 1 + ự)\\x2\\2.
Đặt £3 = (x2 + xì)/2 = ^2^2 ■ Từ tính chất lồi của 7ГKự ) , ta có æ3 e 7Гд:<£. Từ V ( < f , x2) = V ( < f , x3) , lí luận tương tự trên, ta có
2 ( t p , x2) = (1 + ^-^)||ж2||2.
Suy ra 1 + n = 1 + tức là ụ , = 1. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ị i Ф 1. Do đó 2) được chứng minh.
3) Trước tiên ta chứng minh rằng tồn tại Ц ) G в * sao cho 7Ĩ K ^ P không là đơn trị khi đó В không lồi ngặt. Giả sử X I , X2 €: 7Т к ф , với 4 > ẽ B * nào đó. Ta có v ( < p , x 1) =
v ( i p , x2) điều này suy ra
2 {< p , x2 - X i ) = ||ж2||2 - ||жх|Ị2. (2.28) Từ tính chất 1) với bất kỳ Л e [о, 1] ta có (X x2 + (1 —Ằ ) x i ) €7Г.к-<£. Từ У ( i p , X x2 + (1 — A)^i) = V ( < p , X ị ) ta có
2A (i p , x2 - X i ) = IIX x2 + (1 - Ằ )x11|2 - ||xi I Từ d2.28Ị) và d2.29Ị) ta có
À(|M2 - |M2)H|Az2 + (1 - A)m||2 - IM2.
Nên
\\Xx2 + (1 - A)rciỊ|2 = A||x2||2 + (1 - A) 11^!II2. ||Aa;2 + (1 - A)íCi||2 < (A lla^ll + (1 - A) ll^ill )2. =A2ỊỊ<ia;2||2H-2A(1 - A) ||x2|| ||íCiII + (1 - A)2||xi||2
< A||X2||2 + (1 - A)|M2 = ||AX2 + (1 - AM*.
||AX2 + (1 - A)a?i|| = .A ||z2|| + (1 - A) ||rciII .
Lấy À = ta có
11^2 + a?i|| = l l ^ l l + \\xi\\ ■
Từ tính chất 2) ta thấy rằng không có cặp phần tử nào phụ thuộc tuyến tính trong 7xKip- Do đó đẳng thức trên chứng tỏ rằng B không lồi ngặt. Thứ hai, ta chứng minh rằng nếu B không lồi ngặt thì tồn tại if G B* sao cho 7TKt p không là đơn trị .
Giả sử rằng B không lồi ngặt. Tồn tại X ị:X2 ẽ B sao cho X \ , X2 độc lập tuyến tính và thỏa mãn ||xiỊỊ = ||x2|| = 1 và ll^ 1 ^ 2 ỊỊ = JlgilLtllgii = 1. Đặt K = co(xi,x2), ta thấy rằng tồn tại ( f e
B* thỏa mãn ĨTK<P = co(a;i,a;2) Thật vậy, vì B là phản xạ, nên B* cũng vậy. Từ định lí
James, với phần tồn tại If € B* thỏa mãn l l ^ l l = 1 v à (<£, X l + X 2 ỳ — 1. Su y r a + ( < p , z 2) ) (2.2 tức Từ đó Do đó ta có t (2.3
Vì ( < f , x i ) < ||<p|| ||xi|| = 1 và ( < p , x2) < l l ^ l l ||x2|| = 1, Theo (2.30) ta có
( í p , x ì ) = ( t p , x2) = 1. Với bất kỳ X e K , đặt X = Ằ X i + (1 — A)^2, trong đó A e [0,1]. Ta có
( t p , X) = ( < f , X x i + (1 - X ) x2) = A ( < f , X i ) + (1 - A) (<£,x2) = 1 (2.31)
Ta có 1 = ( Ị P , X ) < l l ^ l l ||a:|| = ||x|| . Dễ thấy
\\x\\ = ||Axi + (1 - A)rc211 < A l l ^ i l l + (1 - A ) l l a r a l l = 1 Cho ta ||:r|| = 1 và bây giờ áp dụng (2.31) và bất đẳng thức cuối ta có
V ( i p , X ) = y\\2 - 2 ( i p , X ) + ||z||2 = 0.
Do tính chất không âm của phiếm hàm V, (2.32) suy rasẼ T Ĩ K V, với mỗi
X G K . Ta thu được 7T x t p = c o ( x i , x2) . Dĩ nhiên 7Ĩ K < P không đơn trị . Vậy tính chất
3) được chứng minh □
Định lý 2.8. Nếu B là một không gian Banach phản xạ, lồi ngặt và B* là không gian
đối ngẫu của B và K là một tập con lồi, đóng khác rỗng của B thì toán tử chiếu suy rộng 7ĨK '■ B* —>• K ỉà ỉiên tục.
Chứng minh. Vì B là không gian Banach phản xạ, lồi ngặt và trơn, từ
tính chất 3) của Định lý 2.7, 7XK là đơn trị. Giả sử tpn —>■ tp khi n —> 00, và giả sử 7ĩK Ì V n ) = X n và T ĩK( ( f i ) = X khi n = 1,2,3,---
Từ bất đẳng thức
(\M - IM) 2 < V { < fn, xn) < V { < fn, x) < (||^n|| + ||a:||)2,
và giả thiết rằng <pn —)■ <p khi 71 —>• oo điều này cho ta {a;n} là tập hợp con bị
chặn của B . Do B là phản xạ, có dãy con của { xn} , ta vẫn kí hiệu là{a;n}, do đó xn — 1 x ' yếu và n — > 00. Tương tự như chứng minh tính chất
3) của Định lý 2.7, ta có thể thấy x ' = 7 ĩK( t p ) = X.
Với bất kì A € [0,1] ta có X x + (1 — A)xn G K . Từ bất đẳng thức
V((fi, x) < V((fi, Xx + (1 - A)xn),
ta có
IMI2 - 2 (ip, X) + ||a;||2 < ll^ll2 - 2 (<p, Xx + (1 - X)xn) + IIXx + (1 - A)
Do đó
2 (t p , (1 - A)(xn - x ) < IIAíc + (1 - A)zn||2 - ỊỊx||2.
Lí luận tương tự ở trên, từ bất đẳng thức V ( t pn, xn) < V ( t pn, X) ta có 2 xn - x ) < ||x|| 2 - ||zn||2.
Cộng vế với vế hai bất đẳng thức trên thu được
2 (if - < P n , xn - x ) < ỊỊÀÍC + (1 - A)zn||2 - ỊỊzn||2 + 2A (íf i:xn - X)
< A2||zỊỊ2 + 2À(1 — À) ||zỊỊ \ \ xn\ \
+ (1-A)2||xn||2 - ||a:n||2 + 2A (<p,xn - X)
< A||x||2 + (1 - A)||a;n||2 - ||a;n||2 + 2A (tp,xn - X) ^ ( I k l l2 - I k n l l2) + 2 \ { < f , xn - X) .
Vì vậy
2 (ụ> - ự>n, X - xn) > A(||a:n||2 - ||x||2) + 2A (ụ>, X - xn). (2.33)
Nếu ta sử dụng bất đẳng thức
tương tự các lí luận ở trên, ta được
2 ( t p - < pn, x - xn) > (1—À)(||z|| 2 - ||zn||2) + 2(1 - A) { i pn, x - xn) . (2.34) Từ (2.33) và (2.34) lấy A= 1/2 ta được
4 (ụ>- ( pn, x - xn) > (||xn|| 2 - ||a;||2) + 2 { t p , x - xn) (2.35) 4 ( i p - i p n , x - x n ) >(Ị|z||2 - \\xn\\2) + 2 ( i p n , x - x n ) . (2.36) Từ điều kiện ( pn — > vớin — > oo và xn —1X yếu, và n - ỳ - o o và kết hợp với (2.35)-(2.36) ta được
||a;n|| —> ||a;|| với n 00.
Vì xn X yếu khi Ĩ I —^ oo và B là phản xạ, lồi ngặt, ta có xn — > X yếu, và n —> 00.
Như vậy định lý được chứng minh. □