1) Với yG H, 7Г GК hai tính chất sau là tương đương:
2.2.3. Toán tử chiếu suy rộng ĩ lK trong không gian Banach
Bây giờ, chúng tôi giới thiệu toán tử chiếu suy rộng trong không gian Banach và mô tả tính chất của nó. Hơn nữa, ta chỉ ra mối liên hệ giữa toán tử HK và 1ĨK.
Nhớ lại rằng toán tử J là một-đối-một khi B là không gian Banach lồi đều và trơn đều. Vì vậy, mỗi phần tử e B* có thể được biểu diễn duy
nhất theo dạng ip — J x , x e B . Thay cho (2.15) V ( J x,£) = v2( J x , £ ) , trong đó
V2(Jx,0 = w2 - 2ựx,i) + llíll2. (2.18)
Do đó, phiếm hàm v2( x , £ ) : B X B —>■ M+ là một trường hợp đặc biệt của
V ( x, £ ) . Vì vậy, Bổ đề 2.1 vẫn đúng với v2( x , ^ ) . Chú ý rằng
gradip=JxV2(x,0 = 2{x - £),gradịV‘2( z , 0 = 2ựi - Jx), vì ||a:||2 = ỊỊ
.
Nhận xét 2.5. 14(^50 7^ ^2(^5x) trong trường hợp tổng quát và bất đẳng thức chỉ xảy
ra trong không gian Hilbert.
Bây giờ, ta có thể giới thiệu toán tử chiếu suy rộng thứ hai trong không gian Banach.
Định nghĩa 2.6. Toán tử ĨỈK : B —»• K c B được gọi là toán tử chiếu suy rộng nếu
ĨĨK ánh xạ mỗi điểm cố định bất kỳ X € B tương ứng với điểm cực tiểu của phiếm hàm V2(a;,£) qua bài toán cực tiểu
Nhận xét 2.6. = Vi ( x , £ ) và X = X trong không gian Hỉlbert. Không khó để kiểm tra lại rằng
n K = K K J , T ^ K — n K J * , (2-19)
trong đ ó J : B ^ B * là ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa trong B và J* : B* —»■ B là ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa trong B*. Điều này cho phép ta thiết lập lại công thức mà không cần chứng minh các tính chất tương ứng của toán tử 7ĨK cho toán tử ĨIK.
Kí hiệu X = nKx, y = ĨIkV và giả sử £ là điểm tùy ý trong K c B. Khi
đó:
1) Toán tử là bất động theo mỗi điểm £ e K, nghĩa là = £;
2) J lK là đơn điệu trong B , nghĩa là
(Jx — Jy, X — y) >0.
3) ( J x - J x , x - Z ) > 0,v,£ e K.
Điểm X là hình chiếu suy rộng của X trên K c B nếu bất đẳng thức
3) thỏa mãn, ta gọi tính chất 3) là nguyên lý biến phân cơ bản của
trong B.
4) { J x - J í , x ~ í ) > O.VÍ 6 K .
5) ( J x - J x , x - Í ) > 0, Ví e K .
6) {£ - ỹ) < 2 C g ~ỉ( \ \ J x - J y \ \B. Ị C ) , khi c = ^/(||ĩ||s + llíìl2)/2-
1 ) ( J x - J y, x - ĩ ỉ > 2 C H B ( \ \ x - v \ \ / 2 C ) , k h i C =v/ ( P||2 + ||J||2)/2.
8) Toán tử ĨỈỊỉ cho xấp xỉ tốt tuyệt đối của liên quan đến hàm
v2 ( J x , £) nghĩa là
V 2 ( x , Z ) < v2(x,0 - v 2 ( x , x ) , v t e X.
Vì vậy, n# là toán tử không mở rộng một cách có điều kiện liên quan đến hàm
v2( J x , £ ) trong không gian Banach, nghĩa là
v 2 ( x , 0 < v 2 ( x , 0 , ^ e K .
9) Ĩ ỈK bất kỳ thỏa mãn bất đẳng thức v2(í, 0 < ^2(^)0) £ K
10)Toán tử Ĩ ỈK ổn định với nhiễu của tập K .
Bây giờ, giả sử K ị và K2 là các tập lồi đóng X G B và H ( K I , K2) < ơ (xem tính chất 8)
của toán tử PK trong Hilbert).
Giả sử nKxx = X ị nK2X = x2 ■ Ta có kết quả sau
Định lý 2.5. Nếu B là không gian Banach lồi trơn, ổg(e) là môđun của tính lồi tại B
và là hàm ngược, thì P1-Ĩ2II <2C1ỎB1{2~1CĨ2C2Ơ), C\ = ^/(IM2 + ||íC21|2)/2, C2 = 2 m a x ( I I Jx — Jxi\\B,, II Jx — Jx2||s,} . Chứng minh. Ta có ( J x 2 - J x I , x 2 - X i ) > 2CĨỏB(\\x2 - ĩill /2ơi).
Nhờ điều kiện H ( K i , K2) < ơ ta có tồn tại một phần tử £1 e K l sao cho 11^2 — £ill — Ơ1
và Vx Ễ ß ( J x — J x I , x2 — X i ) = (Ja: — J x i , x2 — £1)4- + (Ja: — J x I , £ i — X i ) < ơ \ \ J x — Jæi||s*, vì (Ja: — J x I , £ i — Æ i ) < 0. Tương tự, ta có phần tử £2 € K2 ( J x - J x 2 , x 2 - X i ) = ( J x - J x 2 , x 2 - 6) + + ( J x — J x 1,£2 — Æi) < ơ \ \ J x — Jx2\\B,, bởi vì {Jx - Jx2,^2 - Xị) < 0. vì vậy bất đẳng thức
(Jx2 - J x i , x 2 - X i ) < ơ ( \ \ J x - Jxi\\B„ + IIJx - Jx 2 \\ B ,)
< 2ơma,x{\\Jx — Jxi||B., II Jx — Jx2\\B,} = ơC2
là đúng.
Kết quả cuối cùng theo sau biểu thức
2 ơ C2> 2 C Ỉ ỖB( \ \ x2- x1\ \ /2ơi).
Định lý được chứng minh. □
Nếu ||æ|| , ||íì|| và ỊỊáT2|| bị chặn đều bởi R thì Cl < R và c2 < 4R và ta có
11^2 — ẩ i l l < 2Rỏg1(8LR~1ơ).
Đây là mối liên hệ rất quan trọng giữa phiếm hàm 1^2(2;, £) và phiếm hàm V\{X10 = llæ —
Định lý 2.6. Các bất đẳng thức
8C2ỏB(\\x - £11 /4(7) < v2( x , 0 < 4ơ2ps(4 11* - £11 /C)
đúng \/x, £ G 5, trong đó
Chứng minh. Ta bắt đầu chứng minh bất đẳng thức ở vế trái. Giả sử X và y là phần tử của B. Ta có
\ \ ( x + y)/2\\ 2 - ||x||2 > (J x , y - x } + 2R\5B{\\y - x\\ /4R ị ) . Sử dụng đẳng thức (J x , x) = ||a:||2, ta được
( J x , y ) < \\{x + y ) / 2 \ \ 2 - 2R\ỗB{\\x - y\\ / A R ị ) .
Hàm không giảm gg B{ s ) / £ kéo theo 2 ỖB{ E / 2) < ỗB{ s ) . Do đó,
v2{ x , y ) = w2 - 2ự x , y ) + llỉ/ll2
> |M|2 + \\y\\2 - 2-'||x + í/ll2 + iR2M\\x + y\\ /iR,)
> 2R\SB(\\x - Ị/ll / 2 R i ) + iRụB{\\x - ỉ/ll /4R0
>8iỉỉ<SB(lk-!/|| / 4 Rt) .
Bất đẳng thức ở vế trái (2.20) được chứng minh trong không gian Banach
lồi đều. Giả sử ta chứng minh bất đẳng thức ở vế phải trong không gian Banach trơn đều.
Tương tự như cách trong (2.17) ta có thể suy ra
( J x - J y, x - y ) > 2R\ỗB*{\\Jx - J y \ \ B m / 2 R 1 ) ,
trong đó B * là lồi đều. Từ (2.21) ta có
I J x - Jy\\B. ||z - yII > 2R\ỗB*(\\Jx - J y \ \ B , / 2 R 1 ) .
(2.20
Vì gB'(è) = ốB*(e)/e, ước lượng
g B - ( \ \ J x - J y \ \ B , / 2 R 1 ) < Щ 1 ||x - y \ \ (2.22) rõ ràng là đúng. Hơn nữa,
P B ( T ) = sup {er/2 - <JB*(e)} , 0<e<2 thì P B ( T ) > £ r / 2 - <b*(e),0 < £ < 2,r > 0. Do đó Рв(4<5в*(е)/е) > Kí hiệu ьв( т ) = р в ( т ) / т , ta có hßi^gB*^) > £/4. Định nghĩa £ = II J x - J y \ \ B . / R i . và sử dụng hàm không tăng J Ĩ B ( T ) , ta có từ (2 . 22 ) M4SB*(e) < hB(ịR[l \\x - y\ \ ) . Do đó,
J||a; - Jy\\B. < 8Д1/гБ(4Я"1 ||ж - y\\). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
(Jx - J y, x - y ) < 2R\PB(ị Ị|z - y\\ / R i ) . Mặt khác, tính lồi của V2( J x , y) suy ra
v2{x,y) < v2{ y, y) + 2(Jz - J y, x - y ) = 2 ( J x - J y, x - y),
Hệ quả 2.1. Nếu ||£|| và ||a;|| bị chặn, thì V2( x , £ ) —*■ 0, ||x — £11 —► 0 và ngUỢc lại.
Bổ đề 2.2. Nếu ||a;|| < R và ||£|| < R thì
2L-lR26B(\\x - ỉll /4R) < v2(x,í) < 4L~ 1 R 2 pg(4 ||z - fII / R ) .
Ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa trong B thỏa mãn các bất đẳng thức sau: 2C2SB(\\x - í\\ /2c)
< ựx AC2PB(4 ||x - íll /c) (2.23) và \ \ J x - JÍ||B. < S C hB(4 ||x - íll /C),hB(r)= P B { T ) / T . (2.24) BỔ đề 2.3. Nếu ||a:|| < R và ||£|| < R thì {2L)~1R2ỎB{\\X - £11 /2R) < (Jx - J ^ x - 0 (2.25) < 2 L - 1 ỉ ứ p B ( i \ \ x - Z \ \ I R ) . (2.26) II Jx - J£||B. < 8 R hB( 1 6 L ||a: - £11 / R ) , 1 LB( T ) = P B ( T ) / T .
Đây là công thức giải tích tốt nhất được biết để thấy rằng ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa là toán tử đơn điệu đều (liên tục đều) trên mỗi tập bị chặn trong (trơn đều) không gian Banach lồi đều.
Một ước lượng khác của ánh xạ đối ngẫu là
( J x:J £:x - £) < 8||x - £|| 2 + 2C1pB{\\x - £11). (2.27)