Toán tử chiếu suy rộng trên không gian Banach- 123docz.net

1) Với yG H, 7Г GК hai tính chất sau là tương đương:

2.2. Toán tử chiếu suy rộng trên không gian Banach

2.2.1. Toán tử chiếu metric PK trong không gian Banach

Mục này chúng tôi nghiên cứu một số tính chất của toán tử chiếu metric mở rộng từ toán tử chiếu metric trong không gian Hilbert sang không gian Banach, ở đây cũng mô tả chi tiết những tính chất liên tục đều của toán tử chiếu metric trong không gian Banach.

Định nghĩa 2.4. Cho B ỉà không gian Banach lồi đều và trơn đều và K là tập

con khác rỗng lồi đóng của B. Toán tứ PK : B —> K được gọi là toán tử chiếu

metric nếu Pk ánh xạ mỗi điểm X £ B thành phần tử gần nhất X G K với X,

nghĩa là X là nghiệm của bài toán cực tiểu hóa

IIrc — õf|| = inf ||x — £11 (2-9)

Dưới các giả thiết của ta về không gian Banach B thì toán tử chiếu PK hoàn toàn

xác định, tức là có duy nhất hình chiếu X với mỗi X G B, phần tử X gọi là xấp xỉ tốt nhất của X. Một câu hỏi tự nhiên nảy sinh là liệu định lí trên còn đúng khi ta xét trong không gian Banach lồi đều và trơn đều? Định lí dưới đây sẽ trả lời cho câu hỏi này.

Định lý 2.2. Cho A ỉà toán tử tùy ý từ không gian Banach B vào B*,a > 0 là số

cố định bất kì, f G B*. Khi đó, điểm X G K c B là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phẫn

(Ax - /, £ - x) > 0, £ G K,

nếu và chỉ nếu X* là nghiệm của phương trình toán tử trong B

X = P K { X — a J * ( A x — /)), (2.10)

trong đó J* : B* —>■ B là ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa trong B*.

Chứng minh. Vì ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa J trong B là toán tử thuần nhất và lẻ, và

33* = IỊỊ* : B* -> B*,

ta có thể viết bất đẳng thức đã cho dưới dạng tương đương

((J ( — a J * ( A x — /)) + x ) — X, X — £) > 0 , £ € từ đây ta thu được phương trình (2.10).

Kí hiệu X = = P K V và giả sử £ là điểm bất kì trong tập hợp

K c B . Tương tự như các tính chất 1)-10) ta có các tính chất sau đối với PK trong đó

B là không gian Banach.

a) Toán tử PK là bất động tại mỗi điểm £ nghĩa là PK£ = £.

b) Chỉ đúng trong không gian Hilbert.

c) ( J ( x — x ) , x — £) > 0,€ K . Điểm X là hình chiếu metric của X trên K c B nếu bất đẳng thức c) thỏa mãn, ta gọi tính chất c) là nguyên lý biến phân cơ sở của P k trong B .

d) Chỉ đúng trong không gian Hilbert.

e) (J(x - x), X - £) > 0, V£ G K. Những kết quả mạnh hơn dưới đây.

Định lý 2.3. Điểm X G K ỉà hình chiếu của điểm X E B trên K khi và chỉ khi bất đẳng thức { J ( x - x ) , x - £ ) > |Ịz - zỊ|2,V£ G K được thỏa mẫn. Chứng minh. Thực tế, từ (2.11) ta có ngay Ị|z - x\\ < ỊỊz — íc|| 1 < ( J ( x - x , x - 0) < \ \ x - ^11, €K , nghĩa là X = PKX . □ (2.1 3

Ngược lại, nếu X = PKX thì theo c) ta có

0 < ( J ( x — x ) , X — £) = ( J ( x — x ) , X — x ) + { J ( x — x ) , X

— £)

— l i # — zỊ|2 + (J ( x — X , X — £).

từ đây ta thu được (2.11). □

f) Bây giờ, ta mô tả tính chất của tính liên tục đều của toán tử PK trong không gian Banach B. Nhớ lại rằng, toán tử chiếu metric trong không gian Banach không có mở rộng trong trường hợp tổng quát. Trong khi đó nó có tính liên tục đều trên mỗi tập hợp bị chặn dựa vào những định lý sau.

Định lý 2.4. Giả sứ B là không gian Banach lồi đều và trơn đều. Nếu

Ổ B { Z ) là môđun của tính lồi trong không gian B, Pb{j) là môđun của

tính trơn, và ỗ g 1 ^ ) là hàm ngược của Ỗ b { s ) t h ì

II* - y \ \ < C S -B' ( 2 pB( S C L ||z - »11)), (2.12)

trong đó L là hằng số Figiel và

c = 2max{1, |Ịz - y\I , IIy - zỊ|} .

Nhận xét 2.2. Nếu \\x — y\\ < R và \\y — x\\ < R thì c (C — 2 max {1, i?})

là hằng số tuyệt đối và (2.12) cho ta tính liên tục đều của toán tử PK trong không gian Banach trên tập hợp bị chặn.

Nhận xét 2.3. Ta có thể cải tiến ước lượng (2.12) trở thành

\ \ x - yII < 2ơổs1(16L2Ps(4 \\X - yII / C ) ) , c = m a x { \ \ x - ỹ \ \ : \ \ y - x \ \ } .

g) Chỉ đúng trong không gian Hilbert.

h) Chỉ đúng trong không gian Hilbert.

i) Với bất kỳ PK thỏa mãn bất đẳng thức

( J ( x - P K x ) - J ( y - P K y ) , P K x - P K y ) > 0,Va:, 2/ G B .

j) Toán tử PK ổn định với nhiễu của tập hợp K .

2.2.2. Toán tử chiếu suy rộng 7ĨKtrong không gian Banach

Công thức (2.9) trong Định nghĩa 2.4, tức là

||a; — a:|| = inf ||x — £11

ịeK

của toán tử chiếu metric là tương đương bài toán cực tiểu hóa

P ỵ x = x ; X \ \ \ x — ж I I2 = inf ||ж — £||2.

ỉeK

Chú ý rằng V ị ( x , £) = ||a: — £||2 không chỉ được coi như bình phương khoảng cách giữa hai điểm X và £ mà còn như là hàm Lyapunov theo £ với X cố

định. Vì vậy ta có thể viết lại (2.13) ở dạng

P K X — x : X : Vi { x , x ) — inf Vi(a;,£). Trong không gian Hilbert (và chỉ trong không gian Hilbert)

Vi(z,í) = Ikllff -2(x,í) + llíllị,.

Bây giờ ta chỉ ra rằng có thể xây dựng được các phiếm hàm tương tự trên trong không gian Banach bằng cách dùng phép biến đổi Young-Fenchel.

Thực vậy, giả sử /(£) : в — ¥ R là một phiếm hàm cho trước và í f i ẽ B * . Phép biến đổi Young-Fenchel được định nghĩa là

= sup{(^,£) - /(£)}• ees

(2.1

(2.1

Phiếm hàm /*(<£>) được gọi là liên hợp với /(£) và ta kí hiệu

^,í) = r w - f e f ) + / f â

khi đó v*((p, £) > 0.

Phiếm hàm : в * X в —»■ ш+ là không chuẩn tắc vì nó xác định trên cả hai phần tử £ từ không gian Banach в và phần tử i p của không gian đối ngẫu

B * .

Ta định nghĩa phiếm hàm у (<£,£) : в* X в R bởi công thức

^ , « ) = И И 1 В - - 2 < ¥ > , 0 + И В - - (2-15) Dễ dàng thấy rằng

> (IMI5. - Ш)2 > 0,

tức là, phiếm hàm V ( ự > , £ ) : в* X в —> M+ là không âm.Hơn nữa, đặt £ = J*ip và dùng định nghĩa của ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa, ta thu được bất đẳng thức IMIb* - 2(<P,J*ự>) + \\J*<p\\2B- = 0. Do đó M||.=sup{2<<M}-|ia2} ỉeBk J

là biến đổi Young-Fenchel và = 4_1 Н ^ Н д , là liên hợp với /(£) = Ị|£||2. Ta mô tả những tính chất chính của hàm V ( ( p , £ ) . Bổ đề 2.1. Những phát biểu sau là đúng: 1) V ( < p , £ ) liên tục; 2) V ( < p , £ ) ỉà khả vi theo Ц) và £; 3) gradựV(ip, £) = 2ụ*ip - £); 4) gradçV{(?,£) = 2(Jf - (fi)-

5) v(y>,£) lồi theo ip khi £ cố định, theo £ khi ip làcốđịnh;

6) (Ill’ll - llíll)2 < V ( < p , í ) < (IMI + llíll)2;

7) V (v, i ) > 0 , V x , i e B - ,

8) Cho ip cố định, khi đó v ( oo n ế u ||£|| — ĩ o o v à ngược lại. Nếu £ cố định thì 00 nếu ll^ll —>• oo và ngược lại;

1. v(^,£) = 0 nếu và chỉ nếu ífi = J£.

Chứng minh.

Tính liên tục của phiếm hàm V2 (<^, £) suy từ tính liên tục của chuẩn và ánh xạ đối ngẫu trong các không gian trơn.

Tính khả vi của chuẩn trong không gian Banach trơn đều kéo theo tính khả vi của theo <f khi £ cố định và theo £ khi íp cố định.

Công thức g r a d y V ( < p , € ) và g r a d ^ v ( ( p , ^ ) là kết quả của việc tính toán trực tiếp.

Tính đơn điệu của toán tử gradựV(<p, £) và gradçV(<p, £) cho ta tính lồi của phiếm hàm v(y?,£). Các bất đẳng thức trong 6) được suy từ những mối liên hệ sau:

1М£.-2^,0 + Ш2<М£. + 2|М1в. u w + u w2 và

I M I * . - 2 ( ^ , 0 + Ш2>М1|.-2|М15. Ш + Ш2- từ đây suy ra 7) và 8) tính chất 9) thu được từ 6), đẳng thức

\mị. - 2 ( J U ) + m 2 = 0

và phép biểu diễn duy nhất < p = J y, y e B.

Bổ đề được chứng minh. □

Bây giờ ta giới thiệu toán tử chiếu suy rộng đầu tiên trong không gian Banach. Định nghĩa 2.5. Toán tử ĨĨK : B* —► K c B được gọi là toán tử chiếu suy rộng

nếu 7ĨK ánh xạ mỗi điểm cố định bất kỳ ip £ B* thành điểm cực tiểu của

phiếm hàm v(y?,£), nghĩa là nghiệm của bài toán cực tiểu TĨK<P = W ĩp = V ( i p , ĩ p ) = inỉV(<p, 0,

phần t ử ĩ p £ K c B củng được gọi là hình chiếu suy rộng của điểm íp. Sự tồn tại của toán tử TĨK xác định nhờ tính chất 8) của hàm Tính duy nhất suy từ tính đơn điệu ngặt của ánh xạ J.

Kí hiệu Tpx = TĨK<PŨ 'Kk(P2 và giả sử £ là điểm bất kì trong tập hợp

K c B. Tiếp theo, ta miêu tả những tính chất của toán tử 7ĨK bằng cách chứng minh các phát biểu tương tự như 1)-10) trong mục 2.1.

1) Toán tử 7ĨK là J- bất động theo mỗi điểm £ e K, nghĩa là:

= £;

Thật vậy, theo tính chất 9) của phiếm hàm v(ip,£) vì

m ĩ V ( J Z , r ì ) = V ( J Z , Z ) = 0 . Ỉ1£K

2) 7 ĨK là đơn điệu trong B * , nghĩa là ẽ B *

{<Pi - ụ>2, ỹĩ- ^2) > 0- (2.16) Chứng minh. Bằng Định nghĩa 2J) của toán tử 7ĩ K i hai bất đẳng thức

V ị ỉ P u i ) > v { v i , ỹ i ) , V ( Ì P 2 , T Ị ) > V ( ( p 2 , v 2 )

thỏa mãn với V£, 77 G K và Ví^i, £ B * . Đặt ^ = (^2 và Ĩ ]= (f i ĩ khi đó, ^(^1,^2) ^

ViỉPuỹì), V{ip2,W\) > ^(^2,^2);

và ta có

I I ^ i I I b * - 2(^1, ^2) + ll^2||2 + IIHll* - 2(^2,^1) + llîll2 > Mẳ* - 2(y>i,î) + llîll2 + MỈ,. - 2(^2,ỹ2) + ||^2||2.

Từ đây, ta thu được

( V l i V l ) + (^2,^2) ^ (^15^2) + (^2,^1), V^i,y?2 € 5*,

điều này là tương đương với (2.16). □

3) { i p - J 0, V£ e X.

Điểm e là hình chiếu suy rộng của <p trên K c B nếu và chỉ nếu bất đẳng thức 3) thỏa

mãn. Ta gọi tính chất 3) là nguyên lý biến phẫn cơ bản của 1ĨK trong cặp đối ngẫu

B,B* vì điều này tương đương với phép biểu diễn nghiệm (trong dạng của bất đẳng

thức biến phân) cho bài toán cực tiểu của phiếm hàm Lyapunov v(y>,£) trên K. Chứng minh. Định nghĩa |2 .Ỗ| cho ta

V ( < p , Ụ ) < V ( ( f , Ụ + 0 ( £ - Ụ ) )

trong đó 9 € [0,1] và X p + ỡ(£ — ~ Ợ ) E . KÌ bởi vì tính lồi của K . Dùng tính chất 5) của phiếm hàm V ( < f ,£) ta có 0 > V { y, ỹ ) - V { i p , ỹ + d { £ - ỹ ) ) > 2 { J Ợ p + e { £ - ĩ p ) ) - ( p , -Tp+0(£-ự)). Từ đây ta có bất đẳng thức ụtịp + QỤi-ự)) - v , í - ỹ ) > 0. Cho 0 —> 0, ta có { J ( ỹ ) - V, Ệ - ự ) > 0 , V Ệ € K .

Ngược lại, nếu 3) đúng thì

V ( v , 0 - V ( i f , T p ) > 2( J ĩ p - v , s - ự ) > 0,Vf e K . xuất hiện trong dạng của tính chất 4) của V { í p ^ ) nghĩa là,

V { ỉ PA ) > V { ỉ P & ) № z K .

Do đó Tp = ĨTK<P- ũ

4) < ¥ > - . 7 í , Ụ j - í ) > 0 , V í e A \ Chứng minh. Rõ ràng

v { y, ự > ) < v { > p , ị ) + v ự ị , l p ) ,

viết lại bất đẳng thức trên một cách tường minh ta có

V { v, ỹ ) = IMIb* - 2(<y^> + ll^ll2;

n<M) = Mt- 2(^,0 + Iieil2, v ụ m = liên2 - 2( j ^ ự ) + II^II2, ta được + ( J £ , v ) - { 0, V£ e K.

Chứng minh. Dùng nguyên lý biến phân cơ sở của 7 TK trong cặp đối ngẫu B, B*

(tính chất 3) ta có thể viết

{ 0.

Tính chất đơn điệu của toán tử «7* cho ta bất đẳng thức {ụ> — J~ĩp, ĩp —

J*ự>) = {ụ> — J~ĩp: J*Jỹĩ — J*ụ>) < 0. Điều này kết luận chứng minh.

6) 11^1 - <^>11 < 2^isr“1(||í^i - ( P2\ \ B ' / R I ) , trong đó

R ĩ = « i d t o l l . I l ^ l l ) = V ( l l ^ l l, + ll^ll,)/2. Chứng minh. Ta có ( J x - J y, x - y ) > 2R\ỏB{\\x - y\\ /2Rị) và >2 w( l k - y||) = R ị à B Ì ị ị x - yII / 2 R i ) . Do đó, 2R2 1ỖB(\\V1 - ỹ2\\ / 2 R i ) < (J^i - J ỹ2 ìĩ p 1 - ỹ2) . Dùng tính chất 3) hai lần cho toán tử 7Ĩ K ta có

(J^x - x - ỹ2) ={ < f i - -^2)- (ụ?! - Jĩpl,Tpl - ỹ2) < (<Pí - 1 - ^2) và (tpi - J<p2ìụ>1 - ( p 2 ) < (<PI - J i p 2 ì i p ! - ( p 2 ) ~ (ụ>2 - Jỹ2,Tpl - ự 2 ) = (ụ>i - ụ>2,Vi - < p 2 ) - Hiển nhiên {<Pi - V ĩ ỹ i - V ỉ ) < №1 - ụ2\\ -11^1 - ^2IIB., □ (2.1 3

VÌ vậy bất đẳng thức

2RlỏB(\\ĩp1 -Tp2\\ / 2 R i ) < \\ỹl -ĩp2\\ 11^! - ( p2\ \B.

thỏa mãn. Điều này cho ta kết quả cuối cùng của 6) □

Nhận xét 2.4. Nếu ll^rỊỊ và II^ỊỊ bị chặn đều bởi R, thì Ri < R và ta có từ

ôB(\\x - y\\ / 2 R ị ) > (AL)-lR-2R2ôB(\\X - y\\ /2R) \\vi - <Ã>II < 2/ỉ0ì;1(4L||¥>i - ip2\\B./R)

có nghĩa là toán tử chiếu metric TĨK là liên tục đều trên mỗi tập bị chặn của không gian Banach B.

7) (ipi — — ^2) ^ ~ ^2II /2i?i), trong đó Ri ở 6). Bất

đẳng thức này được chứng minh nhờ tính chất trước.

8) Toán tử 7XK cho bởi xấp xỉ tốt tuyệt đối của ip € B* theo phiếm hàm V { i p , £ ) nghĩa là

V { J ỹ , ị ) < V { y, 0 - V ( < p , i p ) .

vì vậy, 1ĨK là toán tử không giãn liên quan tới phiếm hàm y(<£,£), trong không gian

Banach, nghĩa là

V(jụ>,í) < V(p,f).

Chứng minh. Ta viết lại tính chất 3) theo dạng sau ( i p , ĩ p -

ệ ) > ( J ĩ p , ĩ p - ệ ) , v Z e K .

Từ đây ta thấy rằng

(<p,0 < (JỤ,0 + - (JỤ,ẽ) =

ụ<p,0 + (¥>,¥>) - I M I2- Điều này tương đương với bất đẳng thức

M2 - 2<J^> + l i e i l2 + |M||. - 2 ( < pìự ) + \ m \2-

Tính chất 8) được suy ra nhờ các bất đẳng thức dưới đây

= IMIb- - 2 <  +||ỹ||2, = ll^lls- - 2 < > +IIÍII2, v,№ f ) = l l v l ls-2< J ỹ , f > + | | f | |2. 9) Bất kì T ĨK đều thỏa mãn bất đẳng thức ((/b* — J ' K K )ÍP I — (I B* — J T ^ K )ÍP 2 : K K V I — > 0, Vy?i, ụ > 2 € B * ,

trong đó IB* : B* —»■ B* là toán tử đồng nhất trong B*. Chứng minh. Từ tính chất 3) ta có

(<Px - J^Pi) ĩp\ - Tp2) > 0

và

~ J(P 2 i(P 2 ~ ^ P l ) — kết hợp các bất đẳng thức

trên ta thu được 9). □

10)Toán tử 1ĨK ổn định với nhiễu của tập hợp K, nghĩa là

11^2 - ^ìlls* < 2C1ổ"1(2“1Cf2ơ20-), trong đó ụ?! = 7TKÍP,^P2 = ' K K V I K\ và K2 là tập hợp lồi đóng,

H (ÍỈ1, íỉ2) < ơ và

Ci = \/(||^i||2 + 11^21|2)/2,