3 Ứng dụng của dưới vi phân vào nghiên cứu bài toán tối ưu
3.4Bài toán với ràng buộc đẳng thức
Giả sử f là hàm lồi trên E, C là tập affine trong E song song với không gian con V trong E, nghĩa là C = a+V, a ∈ V. Xét bài toán:
Có thể xem định lý sau đây như là hệ quả của Định lý 3.2 áp dụng cho NA(x0) = V⊥. Để cho đầy đủ ta trình bày chứng minh nó một cách độc lập
Định lí 3.3. i) Giả sử f liên tục tại một điểm của C, x là nghiệm của bài toán (P3) . Khi đó,
∂f (x)∩V⊥ 6= ∅. (3.1)
ii) Giả sử (3.1) đúng tại x ∈ C. Khi đó, x là nghiệm của bài toán
(P3).
Chứng minh. Ta có
V⊥ = {x∗ ∈ E : hx∗, xi = 0, ∀x ∈ V}.
i) Xét hàm L(x) = f (x) +δ(x|C),
trong đó δ(x|C) là hàm chỉ của tập C. Khi đó, L(.) là hàm lồi trên E. Ta thấy x là nghiệm của bài toán (P3) khi và chỉ khi hàm L(.) đạt cực tiểu tại x. Theo định lí 3.1, 0∈ ∂L(x).
Do f liên tục, áp dụng định lí Moreau - Rockfellar, ta có 0 ∈ ∂L(x) = ∂f(x) +∂δ(x|C). Mặt khác, ta lại có
∂δ(¯x|C) =NC(¯x) = V⊥, do đó, ta có (3.1).
ii) Giả sử (3.1) đúng tại x ∈ C. Khi đó, ∃x∗ ∈ ∂f(x)∩L⊥. Vì với x ∈ C, x−x ∈ V, cho nên
0 = hx∗, x−xi ≤ f (x)−f (x) (∀x ∈ C). Do đó x là nghiệm của bài toán (P3).
Định lí 3.4. Cho E là một không gian Banach,
x∗i ∈ E∗, αi ∈ R, (i = 1, ..., m)
và
C = {x ∈ E :hxi∗, xi = αi, i = 1, ..., m}.
Giả sử f là hàm lồi trên E và liên tục tại một điểm củaV. Khi đó xđạt cực tiểu của hàm f trên C khi và chỉ khi tồn tại λi ∈ R (i = 1, ..., m)
sao cho
λ1x∗1 +...+ λmx∗m ∈ ∂f (x).
Để chứng minh định lí trên, trước tiên ta chứng minh bổ đề sau đây:
Bổ đề 3.1. Cho E là một không gian Banach, x∗i ∈ E∗, αi ∈ R (i = 1, ..., m), đặt
V = {x ∈ E : hx∗i, xi = 0, i = 1, ..., m}.
Khi đó
V = lin{x∗1, ..., x∗m},
trong đó lin là kí hiệu của bao tuyến tính.
Chứng minh.Không mất tính tổng quát, giả sửx∗1, ..., x∗m là độc lập tuyến tính. Xét toán tử
T : E →Rm
x 7→T x = (hx∗1, xi, ...,hx∗m, xi). Khi đó ImT = Rm. Theo kết quả của giải tích hàm,
Ta lại có (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(KerT)⊥ = V⊥, ImT∗ = lin{x∗1, ..., x∗m}. Từ đó suy ra
V = lin{x∗1, ..., x∗m}.
Chứng minh định lí 3.4
Tập affine C song song với không gian con V
V = {x ∈ E : hx∗i, xi = 0, i = 1, ..., m}.
Từ định lí 3.3 suy ra x đạt cực tiểu hàm f trên C khi và chỉ khi ∃x∗ ∈ ∂f(x)∩V⊥. Theo bổ đề 3.1,
x∗ ∈ V⊥ = lin{x∗1, ..., x∗m}. Do đó, tồn tại các số λ1, ..., λm sao cho
λ1x∗1 +...+ λmx∗m ∈ ∂f (x).