3 Ứng dụng của dưới vi phân vào nghiên cứu bài toán tối ưu
3.5Bài toán lồi với ràng buộc bất đẳng thức
Cho E là không gian Banach, f0, ..., fm là các hàm hữu hạn trên E, tập A⊂ E . Xét bài toán (P4) min f0(x), fi(x) ≤ 0, i = 1, ..., m. x ∈ A.
Xét hàm số Lagrange của bài toán (P4)
L(x;λ0, ..., λm) =
m
X
i=0
Định lí 3.5. (Định lí Kuhn - Tucker)
Giả sử các hàm số f0, ..., fm là các hàm lồi và A là tập lồi khác rỗng; điểm x là điểm chấp nhận được của bài toán (P4). Khi đó,
i) Nếu x là nghiệm của bài toán (P4) thì tồn tại các nhân tử Lagrange
λi ≥ 0 (i = 1, ..., m) sao cho chúng không đồng thời bằng 0 và thỏa
mãn điều kiên Kuhn-Tucker:
L(x;λ0, ..., λm) = min
x∈AL(x;λ0, ..., λm), (3.2)
và điều kiện bù
λifi(x) = 0 (i = 1, ..., m). (3.3)
Nếu thêm vào đó điều kiện Slater:
∃x0 ∈ A : fi(x0) < 0 (i = 1, ..., m)
được thỏa mãn thì λ0 > 0 và có thể xem λ0 = 1.
ii) Nếu (3.2) và (3.3) thỏa mãn với λ0 = 1, thì x là nghiệm của bài toán (P4).
Chứng minh.
i) Giả sử x là nghiệm của bài toán (P4). Đặt
C = (µ0, ..., µm) ∈ Rm+1 : (∃x ∈ A), fi(x)−fi(x) < µi, i= 0, ..., m . Ta chứng minh intRm++1 ⊂ C.
Thật vậy, lấy (µ0, ..., µm) ∈ intR+m+1. Khi đó, µi > 0 (i = 0, ..., m). Với x = x, ta có:
µ0 > f0(x)−f0(x) = 0
µi > 0≥ −fi(x) (i = 1, ..., m). Từ các điều trên, suy ra
Vậy intC 6= ∅. Vì f0, ..., fm lồi, nên tập C lồi.
Hơn thế, 0∈/ C. Thật vậy, nếu 0∈ C thì ∃x ∈ A thỏa mãn
f0(x) < f0(x), fi ≤ 0 (i = 1, ..., m).
Do đó, x không là nghiệm của (P4), mâu thuẫn với giả thiết. Vậy 0∈/ C. Theo định lí 1.7 , có thể tách các tập C và {0} bởi một phiếm hàm tuyến tính khác 0, tức là tồn tại các số λ0, ..., λm không đồng thời bằng 0, sao cho m X i=0 λiµi ≥ 0 (∀(µ0, ..., µm) ∈ C). (3.4) Do intR+m+1 ⊂C, ta suy ra λi ≥ 0 (i = 0, ..., m). Lấy x ∈ A, µi = fi(x) (i = 1, ..., m), µ0 = f0(x)−f0(x) +ε, Từ (3.4) ta nhận được m X i=1 λifi(x) ≥λ0f0(x) (∀x ∈ A). (3.5) Do x là điểm chấp nhận được, ta có fi(x) ≤ 0 (i = 1, ..., m).
Nếu ∃i ∈ {1, m}: fi(x) =−α < 0 với một i nào đó, thì ∀ε > 0 ta có 0 = f0(x)−f0(x) < ε, fj(x) ≤0 < ε (j = 1, ..., i−1, i+ 1, ..., m). Do đó (ε, ..., ε,−α, ε, ..., ε) ∈ C (−α ở vị trí thứi) kết với (3.4) khi ε →0 ta có −λiα ≥ 0. Từ đây suy ra λi = 0 nếu fi(¯x) < 0. Vì vậy, nếu fi(¯x) < 0, thì λi = 0. Do đó
λifi(¯x) = 0 (i = 1, ..., m). Điều kiện này và (3.5) cho ta (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
m X i=0 λifi(x) ≥ m X i=0 λifi(x).
Từ đó suy ra
L(x;λ0, ..., λm) = min
x∈AL(x;λ0, ..., λm).
Giả sử điều kiện Slater được thỏa mãn. Ta khẳng định λ0 6= 0. Thật vậy, nếu nhưλ0 = 0, thì trong các số λ1, ..., λm phải có ít nhất một λi > 0. Do đó m X i=1 λifi(x) < 0 = m X i=0 λifi(x).
Điều này mâu thuẫn với (3.2). Vậy λ0 6= 0, tức là λ0 > 0. ii) Giả sử x là điểm chấp nhận được của bài toán (3.2), (3.3),
với λ0 = 1, λi ≥ 0 (i = 1, ..., m). Lấy x chấp nhận được tùy ý, tức là
x ∈ A, fi(x) ≤0 (i = 1, ..., m). Khi đó, f0(x) = f0(x) + m X i=1 λifi(x) ≤ f0(x) + m X i=1 λifi(x) ≤ f0(x).
Vậy x là nghiệm của bài toán (P4).
Định lí 3.6. Giả sử các hàm f0, f1, ..., fm lồi và tập A là lồi; f0, f1, ..., fm
liên tục tại một điểm của A, x là điểm chấp nhận được của bài toán
(P4). Khi đó,
i) Nếu x là nghiệm của bài toán (P4), thì tồn tại các nhân tử Lagrange không đồng thời bằng 0: λi ≥ 0 (i = 0, ..., m), sao cho:
0 ∈ λ0∂f0(x) +...+λm∂fm(x) +NA(¯x), (3.6) λifi(x) = 0 (i = 1, ..., m), (3.7)
trong đó NA(¯x) là nón pháp của A tại x.
Thêm vào đó, nếu điều kiện Slater đúng, thì λ0 6= 0 và có thể xem
ii) Nếu (3.6) và (3.7) thỏa mãn với λ0 = 1, thì x là nghiệm của bài toán (P4) . Chứng minh. i) Xét hàm Lagrange của (P4) có dạng L1(x;λ0, ..., λm) = m X i=0 λifi(x) +δ(x|A) trong đó δ(.|A) là hàm chỉ của tập A.
Do x là nghiệm của (P4) ta có điều kiện cần (3.2), (3.3) (định lí 3.3). Vì thế, hàm L1(x;λ0, ..., λm) đạt cực tiểu tại x. Theo Định lý 3.1,
0 ∈ ∂L1(x;λ0, ..., λm).
Bởi vì ∂δ(x|A) = NA(¯x), theo định lí Moreau - Rockafellar, ta có 0∈ λ0∂f0(x) +...+λm∂fmf (x) +NA(¯x)
ii) Giả sử (3.6) và (3.7) thỏa mãn với λ0 = 1. Khi đó, tồn tại x∗i ∈ ∂fi(¯x) (i = 0, ..., m), x∗m+1 ∈ NA(¯x) sao cho x∗0+ m+1 P i=1 λix∗i = 0 ⇒0 = x∗0 + m+1 P i=1 λix∗i, x−x ≤f0(x)−f0(x)+ m P i=1 λi(fi(x)−fi(x)) (∀x ∈ A). ⇒f0(x) + m P i=1 λifi(x) ≥ f0(x) + m P i=1 λifi(x) (∀x ∈ A). Từ định lí (3.3b), suy ra x là nghiệm của (P4).
Kết luận
Chương 3 đã trình bày ứng dụng dưới vi phân của hàm lồi trong không gian Banach vào việc khảo sát bài toán tối ưu lồi trong một số trường hợp.
Kết luận
Luận văn đã trình bày một cách có hệ thống các nội dung sau:
Khái niệm dưới vi phân của hàm lồi và những tính chất cơ bản của dưới vi phân hàm lồi trên không gian Banach.
Một số ứng dụng của dưới vi phân hàm lồi vào nghiên cứu bài toán tối ưu lồi trong không gian Banach.
Vì khả năng và điều kiện có hạn, luận văn chắc chắn không thể tránh được thiếu sót. Kính mong các thầy cô và các đồng nghiệp góp ý kiến để em có điều kiện chỉnh sửa luận văn được tốt hơn.
Tài liệu tham khảo
Tài liệu tiếng Việt (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[1] Haim Brezis (2005), Giải tích hàm: lý thuyết và ứng dụng, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia TP. HCM.
[2] Huỳnh Thế Phùng (2005), Giải tích lồi, Nhà xuất bản Đại học Khoa học Huế.
[3] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền (2009), Giải tích lồi và ứng dụng, Nhà xuất bản Khoa học kĩ thuật và công nghệ.
[4] Cônmôgôrốp A. N., Fômin X. V. (1971), Cơ sở Lý thuyết hàm và giải tích hàm, NXB Giáo dục, Hà Nội.
[5] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000),Giải tích lồi, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà nội.
Tài liệu tiếng Anh
[6] Clarke F. H (1983), Optimization and nonsmooth analysis, Wiley.
[7] Ekeland I. and Témam R. (1976), Convex Analysis and Variational Problems, Study in Math. and its applications, North-Holand Amer- ican Elsevier, New York.
[8] Phelps R. R. (1993), Convex Function, Monotone Operators and Differentiability, Second Edition, Springer, Berlin.