Thông tin tài liệu
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ LÀNH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MƠĐUN XẠ ẢNH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH CỬ NHÂN SƯ PHẠM TOÁN VINH - 2012 MỞ ĐẦU Lớp môđun xạ ảnh với lớp mơđun nội xạ có vai trị quan trọng việc nghiên cứu vành môđun Từ trước đến lớp môđun đối tượng nhiều người nghiên cứu Các kết đạt được sử dụng để mô tả cấu trúc nhiều lớp vành quan trọng vành Noether, vành nửa đơn, Từ năm nửa cuối kỉ XX, nhiều nhà nghiên cứu vành mơđun tìm cách mở rộng lớp môđun để phục vụ cho việc nghiên cứu thuộc tính vành Cùng với việc mở rộng lớp môđun nội xạ, người ta tìm cách mở rộng mơđun xạ ảnh cách xây dựng điều kiện đối ngẫu với điều kiện mơđun xạ ảnh tương ứng Trên vành hồn chỉnh, lớp môđun rời rạc lớp môđun tựa rời rạc mở rộng thực lớp môđun xạ ảnh Mặc dù vấn đề đặt việc mở rộng lớp mơđun xạ ảnh tương tự với việc mở rộng lớp môđun nội xạ, thực tế nghiên cứu ta thường gặp nhiều khó khăn hơn, địi hỏi sử dụng nhiều kĩ thuật phức tạp Mục đích nghiên cứu khóa luận hệ thống tính chất lớp mơđun xạ ảnh, môđun tựa xạ ảnh, môđun rời rạc mơđun tựa rời rạc Trên sở chúng tơi cố gắng tìm hiểu sâu đặc trưng lớp mơđun liên hệ tính chất chúng với tính chất số lớp vành biết Khóa luận gồm chương : Chương Các kiến thức sở vành môđun Nội dung chương nhắc lại số khái niệm sở lý thuyết môđun vành Chương Lớp môđun xạ ảnh số mở rộng mơđun xạ ảnh Nội dung chương tập trung nghiên cứu lớp môđun xạ ảnh, môđun tựa xạ ảnh thông qua điều kiện rời rạc, nghiên cứu môđun rời rạc tựa rời rạc, đồng thời tìm hiểu mối liên hệ thuộc tính xạ ảnh thuộc tính xạ ảnh thuộc tính rời rạc, đặc trưng mơđun tựa rời rạc qua điều kiện khả bù yếu Khóa luận thực hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo - Nguyễn Quốc Thơ Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy giúp đỡ góp ý thầy dành cho tác giả suốt q trình làm khóa luận Chúng tơi xin cảm ơn thầy cô giáo tổ Đại số bạn sinh viên động viên, giúp đỡ chúng tơi hồn thành khóa luận Vì trình độ thời gian có hạn nên khóa luận chắn có nhiều thiếu sót Chúng tơi mong nhận đóng góp ý kiến bạn đọc để khóa luận hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Nghệ An, tháng năm 2012 Tác giả Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ VÀNH VÀ MÔ ĐUN Trong chương ta giả sử R vành có đơn vị cho trước kí hiệu R-Mod dùng để phạm trù gồm tất R-môđun trái unita, tức môđun M vành R với điều kiện 1m = m, với m thuộc M 1.1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ MÔĐUN Trong mục chúng tơi tóm tắt lại số khái niệm sở Lý thuyết môđun mục 1.2- Hệ thống hóa kiến thức sở vành.Những khái niệm, thuật ngữ kí hiệu vành mơđun khơng nhắc đến tìm thấy tài liệu tham khảo liệt kê cuối khóa luận 1.1.1 Sự phân tích mơđun thành tổng trực tiếp môđun Trong lý thuyết môđun, mặt ta nghiên cứu môđun cho nhờ phân tích thành mơđun đơn giản hơn; mặt khác ta hướng tới việc xây dựng môđun từ môđun cho Theo hướng thứ hai chúng tơi giới thiệu cấu trúc đặc biệt có ý nghĩa tổng trực tiếp môđun Định nghĩa Giả sử M môđun vành R a) Môđun M gọi môđun đơn M không chứa môđun thực khác 0, nghĩa có mơđun M b) Môđun A môđun M gọi tối đại A ≠ M A không chứa môđun thực M c) Ta gọi môđun A M bé ( theo quan hệ bao hàm ) chứa tập hợp X M mơđun sinh X Khi X gọi tập sinh hay hệ sinh A Trong trường hợp A = M ta nói X hệ sinh M hay M sinh X Nếu M có hệ sinh hữu hạn ta nói M Rmơđun hữu hạn sinh Định nghĩa a) Giả sử {Ai | iI } họ tùy ý môđun R-mơđun M Khi mơđun sinh tập S= A gọi tổng i I môđun Ai họ cho ký hiệu A i I b) Một họ F = { Ai iI } môđun môđun M gọi độc lập (hay khả tổng) Aj A i i j = 0, với j I Trong trường hợp họ F = {Ai | I I } độc lập, tổng A i tổng I trực tiếp họ F kí hiệu Ai Môđun A gọi phân tích I thành tổng trực tiếp họ F = {Ai | i I } môđun môđun A họ F = {Ai | i I } độc lập A = Ai Khi điều kiện I sau thỏa mãn: (i) A = A i (ii) Aj I A i j i = 0, với j I Nếu A tổng trực tiếp họ môđun F = { Ai | i I } phần tử x A biểu diễn thành tổng hữu hạn x = a1 + a2 +… + an, Ai, i = 1, 2, 3, …, n c) Cho F = {Ai | i I } họ R–mơđun Tích Đềcác A i I với phép cộng phép nhân vô hướng theo thành phần: (ai) + (bi) = (ai +bi) (ai)r = (air) R- mơđun.Mơđun gọi tích trực tiếp họ F Tập tích Đềcác A i gồm tất phần tử (ai) mà = hầu hết, trừ số I hữu hạn số i I, làm thành môđun môđun tích trực tiếp nói Mơđun gọi đối tích (hay tổng trực tiếp ngồi ) họ F = { Ai i I } kí hiệu Ai Trong trường hợp tất môđun Ai I họ F môđun A tích trực tiếp tổng trực tiếp ngồi nói gọi lũy thừa A kí hiệu tương ứng AI A(I) tương ứng Nếu R-môđun M tổng trực tiếp họ mơđun { Ai i I } M đẳng cấu với tổng trực tiếp ngồi họ R-môđun { Ai i I } Đảo lại, { Ai i I } họ R-môđun M = Ai tổng trực I tiếp họ mơđun cho Khi M có họ mơđun { A’i i I } với A’i đẳng cấu với Ai, với i I M tổng trực tiếp mơđun A’i Do số trường hợp, không cần phân biệt tổng trực tiếp tổng trực tiếp ngoài, người ta thường dung chung thuật ngữ cho hai đối tượng tổng trực tiếp kí hiệu Ai I Định nghĩa a)Môđun M ≠ gọi khơng phân tích khơng biểu diễn thành tổng trực tiếp hai môđun thực b) Giả sử M có phân tích M = Mi Nếu Mi ≠ môđun I khơng phân tích M, i I phân tích gọi phân tích thành tổng trực tiếp mơđun khơng phân tích 1.1.2 Mơđun cốt yếu, mơđun đối cốt yếu Căn đế môđun Định nghĩa Cho A môđun môđun M A gọi môđun cốt yếu (hay lớn) M với môđun X ≠ M ln có A X ≠ Trong trường hợp ta nói M mở rộng cốt yếu A, kí hiệu A M Một mở rộng cốt yếu M A gọi mở rộng cốt yếu thực M ≠ A Môđun M gọi môđun khác không M môđun cốt yếu M Đối với môđun A khác môđun M tồn mở rộng cốt yếu A M Mở rộng cốt yếu tối đại A M gọi bao đóng A M Một môđun A M gọi đóng A khơng có mở rộng cốt yếu thực M Một số tính chất môđun cốt yếu môđun vành R đề cập mệnh đề sau: Mệnh đề a) A M xR A ≠ 0, ≠ x M b) A B M A M A B, B M c) A M, K M A K K d) Giao họ hữu hạn môđun cốt yếu môđun M môđun cốt yếu M e) A B M, BA MA B M f) Cho f: M N đồng cấu môđun, B N f-1 (B) M g) Cho Ai, Mi môđun M, i I cho: M = M i tồn I Ai, Ai Mi i I thì: I i) Tồn M i = Mi I I ii) Ai Mi I I Định nghĩa Cho A môđun môđun M A gọi môđun đối cốt yếu (hay bé) M với môđun thực X M A + X ≠ M Khi ta kí hiệu: A 0 M Mơđun M gọi môđun hổng môđun thực mơđun đối cốt yếu mơđun M Một số tính chất mơđun đối cốt yếu môđun vành R đề cập mệnh đề sau: Mệnh đề a) Nếu A 0 B B C A 0 C với A, B, C môđun M b) Cho A 0 M, A N Nếu N M A 0 N c) Tổng số hữu hạn mmôđun đối cốt yếu môđun M môđun đối cốt yếu môđun M d) Nếu A hạng tử trực tiếp môđun M X môđun A cho X 0 M Khi X 0 A e) Nếu A B, B M B 0 M BA 0 MA A 0 M f) Cho f: M N đồng cấu môđun A 0 M f(A) 0 N Định nghĩa (i) Tổng tất môđun đối cốt yếu môđun M gọi môđun M Kí hiệu: Rad(M) (ii) Giao tất môđun cốt yếu môđun M gọi đế (socle) mơđun M Kí hiệu: Soc(M) Mệnh đề sau cho cách định nghĩa khác khái niệm đế môđun Mệnh đề (i) Rad(M) giao tất cácmôđun tối đại M (ii) Soc(M) tổng tất môđun đơn môđun M 1.1.3 Bù giao bù cộng môđun Định nghĩa Cho A môđun M Môđun A’ M tối đại số mơđun M có giao với A không gọi bùgiao A M Liên quan đến bù- giao mơđun mơđun đóng ta có mệnh đề sau: Mệnh đề (i) Mỗi môđun A M ln tồn mơđun đóng (bù-giao) B cho A môđun cốt yếu B (ii) Nếu A mơđun đóng B B mơđun đóng M A mơđun đóng M Định nghĩa Cho A môđun M Môđun P M tối thiểu số môđun M thỏa mãn điều kiện A + P = M môđun P gọi bù-cộng A M Môđun B M gọi môđun bù cộng B bù-cộng môđun M 1.1.4 Dãy khớp Định nghĩa Đơn cấu f: X Y R-môđun gọi chẻ Im(f) hạng tử trực tiếp Y Toàn cấu g: Y Z gọi chẻ Ker(g) hạng tử trực tiếp Y Mệnh đề (i) Đồng cấu môđun f: X Y đơn cấu chẻ tồn đồng cấu g: Y X cho gf = idx Khi Y= Imf Kerg (ii) Đồng cấu g: Y Z gọi toàn cấu chẻ tồn đồng cấu h: Z Y cho gh = idZ Khi Y = Kerg Imh Định nghĩa 10 a)Ta gọi dãy khớp (những môđun) dãy hữu hạn vô hạn f g Y Z X đồng cấu môđun R cho ảnh đồng cấu vào trùng với hạt nhân đồng cấu mơđun khác hai đầu (nếu có) dãy Chẳng hạn, mơđun Y, ta phải có: Im(f) = Ker(g) b)Một dãy khớp dạng: f g X 0 Y Z gọi dãy khớp ngắn c)Một dãy khớp ngắn f g Y Z X gọi chẻ Imf = Kerg hạng tử trực tiếp Y Mệnh đề Cho dãy khớp ngắn R-môđun ’ f g G: M M’’ M Khi mệnh đề sau tương đương: i) Dãy khớp ngắn G chẻ ii) Tồn R – đồng cấu f0: M M’sao cho f0f = 1M’ iii) Tồn R – đồng cấu g0: M’’ M cho gg0 = 1M’’ Hơn nữa, ta có: M Im(f) Ker(f0) Ker(g) Im(g0) M’ M’’ 1.2 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ VÀNH 1.2.1 Phần tử lũy đẳng, phần tử lũy linh Căn vành Định nghĩa Cho vành R, có đơn vị (i) Phần tử x R gọi lũy đẳng x2 = x (ii) Hệ phần tử x1, x2, …,xn R gọi hệ lũy đẳng trực giao nếu: x ix i = x i xixj = 0, i ≠ j (iii) Phần tử x R gọi lũy linh tồn số nguyên dương n cho xn = Số nguyên dương bé cho xn = gọi bậc lũy linh x Đối với phần tử lũy linh vành có đơn vị ta có mệnh đề sau: Mệnh đề Nếu x phần tử lũy linh khác vành R có đơn vị – x phần tử khả nghịch Chứng minh Vì x phần tử lũy linh nên tồn số nguyên dương n cho xn = Khi ta có: 10 Pi ji hi (*) P = Pi I h A g f B Khi ta có: iI, ghji = ghi = fji gh = f Vậy P A - xạ ảnh n Mệnh đề 10: Môđun N ( Ai) - xạ ảnh (nN) N i 1 Ai - xạ ảnh, i = 1,2, , n Khẳng định mệnh đề 10 không trường hợp tổng trực tiếp vô hạn =Ai Sau phản ví dụ Ví dụ: Cho I tập vô hạn, giả sử Ai = Z, iI Hiển nhiên Q Ai - xạ ảnh Tồn toàn cấu từ Ai Q Ánh xạ khơng thể mở rộng Qz iI môđun xạ ảnh Do vậy, Q ( Ai) - xạ ảnh (theo mệnh đề 10) iI Trong trường hợp N hữu hạn sinh mệnh đề 10 mở rộng cho trường hợp vô hạn Mệnh đề 11: Cho I tập tuỳ ý N hữu hạn sinh Ai - xạ ảnh iI Khi N ( iI Ai) - xạ ảnh Chứng minh: Giả sử X Ai Khi ( Ai)/X = iI A i = (Ai + X)/X Với đồng cấu : N 21 iI A iI i , Im A iI A iF i i , với với F tập hữu hạn sinh I Áp dụng mệnh đề 10 cho tổng trực tiếp hữu hạn A iF i ta có điều phải chứng minh Từ mệnh đề mệnh đề 10 ta có hệ sau: Hệ 1: Tổng trực tiếp môđun xạ ảnh môđun xạ ảnh Định nghĩa 3: Môđun M gọi tựa xạ ảnh (hay tự xạ ảnh) M M - xạ ảnh n Hệ 2: Một tổng trực tiếp hữu hạn Mi tựa xạ ảnh i 1 Mi Mj - xạ ảnh (i,j = 1,2, ,n) Mn tựa xạ ảnh M tựa xạ ảnh Định nghĩa 4: (a) Miền xạ ảnh củamôđun M tập hợp tất môđun A cho M A - xạ ảnh (b) Lớp xạ ảnh môđun M tập tất môđun N cho N M - xạ ảnh Hệ 3: (i) Miền xạ ảnh mơđun ln đóng kín với tổng trực tiếp hữu hạn (ii) Lớp xạ ảnh mơđun khép kín mơđun mơđun thương tổng trực tiếp tuỳ ý môđun 2.3 BAO XẠ ẢNH CỦA MỘT MÔĐUN 2.3.1 Khái niệm bao xạ ảnh môđun Định nghĩa 5: Một cặp (P,p) gọi bao xạ ảnh môđun M, P xạ ảnh p: P M đồng cấu cho Kerp môđun bé P Chúng ta biết môđun tồn bao nội xạ mở rộng cốt yếu tối đại mơđun Tuy nhiên bao xạ ảnh mơđun khơng thiết tồn Ví dụ: Z - mơđun Z khơng có bao xạ ảnh có bao xạ nội xạ Q 22 Định lý 12 Giả sử M có bao xạ ảnh cặp (P,p) Q môđun xạ ảnh, q: Q M tồn cấu Khi Q có phân tích Q = P' P'' cho: (i) P' P (ii) P'' môđun Ker(q) (iii) (P';q/p') bao xạ ảnh môđun M Hơn f: M1 M2 đẳng cấu cặp (P1;p1) bao xạ ảnh M1, (P2, p2) bao xạ ảnh M2 tồn đẳng cấu f : P1 P2 cho p2 f f p1 Chứng minh: Từ tính xạ ảnh Q ta có biểu đồ giao hoán với hàng cột khớp: Q h P p q M O O Từ p toàn cấu p0h = q toàn cấu đầy h toàn cấu Do P mơđun xạ ảnh h tồn cấu chẻ Do tồn đơn cấu g: P Q cho h0g = 1p Q = Im(g) Ker(h) Đặt P' = Im(g) P'' = Ker(h), ta thấy: (i) thoả mãn g đơn cấu (ii) thoả mãn p0h = q Mặt khác ta lại có q(P') = q (Q) = M, P' bao xạ ảnh q0g = p0h0g = p 23 (q|p') M O khớp Điều suy từ Ker(q/p') = g(Ker(p)) môđun đầy g(P) = P' Do (iii) thoả mãn Để chứng minh mệnh đề cuối, đặt p = p2 = fp1, f = h Thế p2 f = f0p1 f = h đơn cấu, ker( f ) = ker(p1) thành phần trực tiếp p1 f đẳng cấu 2.3.2 Vành hoàn chỉnh vành nửa hoàn chỉnh Định nghĩa 6: Vành R gọi hoàn chỉnh trái, R - mơđun trái có bao xạ ảnh, R gọi nửa hoàn chỉnh trái, R - môđun trái hữu hạn sinh có bao xạ ảnh Chú ý: - Một vành hoàn chỉnh trái chưa hoàn chỉnh phải - Một vành nửa hồn chỉnh trái ln ln nửa hồn chỉnh phải 2.4 MƠĐUN VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN RỜI RẠC 2.4.1 Các điều kiện rời rạc (D1) Với mơđun A M có phân tích M = M1 M2 cho M1 A A M2 0 M Môđun M gọi môđun khả bù với môđun A B M cho A + B = M B chứa môđun bù cộng A M (D2) Nếu A M cho M/A đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M A hạng tử trực tiếp M (D3) Nếu M1, M2 hạng tử trực tiếp M M1 M2 hạng tử trực tiếp M Bổ đề 13: M thoả mãn điều kiện (Di) hạng tử trực tiếp thoả mãn điều kiện (Di) Mệnh đề 14: Với môđun M, khẳng định sau đâu tương đương: 24 (i) M có tính chất (D1) (ii) Mọi mơđun A M viết A = N S với N M S 0 M (iii) M môđun khả bù môđun bù cộng M hạng trực tiếp M Chứng minh: (i) (ii) M phân tích: M = M1 M2 với M1 A A M2 0 M Khi A = M1 A M2 Lấy N = M1 S = A M2 (ii) (iii) Giả sử M = X + Y, ta chứng tỏ Y phần phụ X Từ giả thiết, coi Y M Bây X Y = Y1 S cho Y1 M S 0 M Từ Y M S 0 Y Viết Y = Y1 Y2, ký hiệu phép chiếu Y1 Y2 Y2 Khi X Y = Y1 X Y Y2 X Y2 = X Y Y Y2 = (X Y) = (Y1 + S) = S Từ ta có: X Y2 0 Y2 M = X + Y = X + Y1 + Y2 = X + Y2 Do Y2 phần phụ X Cho P mơđun phụ M Thế tồn K -0 M cho P bé thoả mãn K + P = M Từ P = L T với L M T 0 M Do tính "bé nhất" P P = L (iii) (i) Cho A 0 M Khi A có phần phụ B B có phần phụ M10A M1 M Viết M = M1 M2 A = M1 A M2 Ngoài ra, M = M1 + B A = M1 + A B Ký hiệu v phép chiếu M1 M2 M2 thì: A M2 = v(A) = v(A B) Từ giả thiết B phần phụ A, A B M đó: 25 A M2 0 M Ta có M thoả mãn điều kiện (D1) Bổ đề 15: Nếu M môđun thoả mãn điều kiện (D2) thì: f (i) Nếu M1, M2 M với tồn cấu M1 M2 ta có Kerf M1 (ii) M thoả mãn (D3) Chứng minh: (i) Giả sử M = M1 M1* M2 (M1 M1* (kef M ) * M ( Kerf M 1* ) Từ ta có Kerf M 1* Kerf hạng tử trực tiếp M1 (ii) Giả sử A, B M A + B = M M = A A*, A* (A B) A B A B Từ ta suy A B hạng tử trực tiếp M (theo (i)) Mệnh đề 16: Đối với môđun M điều kiện sau tương đương: (i) M thoả mãn điều kiện (D3) (ii) Đối với hạng tử trực tiếp P Q M cho M = P + Q, tồn môđun P' Q cho M = P P' Chứng minh: (i) (ii) Giả sử M môđun thoả mãn điều kiện (D3) P, Q hạng tử trực tiếp M cho M = P + Q Từ điều kiện (D3), ta có P Q hạng tử trực tiếp M, chẳng hạn M = (P Q) T, mơđun T Vì P Q Q nên Q = (P Q) (T Q) Do đó: M = P + Q = P + (P Q) (T Q) = P (T Q) Chọn P' = T Q ta có điều phải chứng minh 26 (ii) (i) Giả sử M thoả mãn điều kiện (b) P, Q hạng tử trực tiếp M cho M = P + Q Theo giả thiết, tồn môđun P' Q cho M = P P' Vì P' Q nên ta có Q = P' (P Q) Do P Q hạng tử trực tiếp Q Q hạng tử trực tiếp M nên P Q hạng tử trực tiếp M Hệ quả: Một mơđun khơng phân tích thành tổng trực tiếp có tính chất (D1) môđun hổng Định nghĩa 7: Môđun M gọi thoả mãn điều kiện (D0) M môđun khơng phân tích phân tích M = A B ln ln có A B - xạ ảnh B A - xạ ảnh Mơđun M gọi mơđun nâng thoả mãn điều kiện (D1) 2.4.2 Môđun rời rạc Định nghĩa 8: Mơđun M gọi rời rạc thoả mãn điều kiện (D1) (D2) Mệnh đề 17: Môđun tựa xạ ảnh M rời rạc mơđun có phần phụ Chứng minh: M môđun rời rạc M có tính chất (D1) nên từ mệnh đề 14 ta có điều phải chứng minh Đảo lại, giả sử mơđun M có phần phụ (chú ý rằng, nói chung mơđun N có phần phụ N khơng thiết phần phụ) Giả sử M = A + B Ta B chứa phần phụ A Theo giả thiết, A có phần phụ P, M = A + P A P 0 P Gọi v, đồng cấu tự nhiên: M M/A B M/A Vì M B - xạ ảnh, nên tồn f: M B cho f = v Đặt = v|p g = f|p Thế g(P) = (P) = M/A M = A + g(P) 27 A g(P) = g(ker()) Từ ker() = A P 0 P', g(ker()) 0 g(P) (theo tính chất mơđun bé) Do A g(P) 0 P g(P) phần phụ B P g M f v B M/A Tiếp theo, chứng minh môđun phụ M hạng tử trực tiếp Thật vậy, theo mệnh đề 14, M có tính chất (D1) Giả sử A môđun phụ M B phần phụ A Theo biểu đồ trên, từ f (A) = f(A) A Do vậy, M = f(M) + A = f(A + B) + A = f(A) + f(B) + A = f(B) + A Theo tính chất nhỏ B f(B) = B M = B + Ker(f) Từ ker(f) A tính chất nhỏ A với ker(f) = A ta có: Ker(f) = A = Ker(v) = Ker(f) Như vậy, f toàn cấu, tức f(M) = B Cuối A B = M = A B Từ tính chất (D2) M ta kết luận M rời rạc 28 2.4.3 Môđun tựa rời rạc Định nghĩa 9: Môđun M gọi tựa rời rạc thoả mãn điều kiện (D1) (D3) Từ định nghĩa, ta suy môđun rời rạc môđun tựa rời rạc Tuy nhiên, chiều ngược lại không trường hợp tổng quát Về đặc trưng mơđun tựa rời rạc,ta có khẳng định sau: Mệnh đề 18: Các phát biểu sau tương đương môđun M: (i) M môđun tựa rời rạc; (ii) M tổng trực tiếp hai môđun bù - cộng M; (iii) M thoả mãn D0 D1 2.4.4 Mối liên hệ thuộc tính xạ ảnh thuộc tính rời rạc Bổ đề 19: Giả sử M = A + B Nếu M/A có bao xạ ảnh B chứa phần phụ A Chứng minh: Giả sử (P, ) bao xạ ảnh môđun M/A : B M/A đồng cấu tự nhiên Do P bao xạ ảnh nên tồn đồng cấu g: P B cho 0g = Hoàn toàn tương tự chứng minh mệnh đề 17 ta có g(P) phần phụ A chứa B Định lý 20: Cho vành R, khẳng định sau tương đương: (i) R (nửa) hoàn thiện phải (ii) Mỗi R - môđun tựa xạ ảnh (hữu hạn sinh) rời rạc (iii) Mỗi R - môđun (hữu hạn sinh) phần phụ (iv) Mỗi R - mơđun tự có tính chất mơđun có phần phụ Chứng minh: (i) (iii): Theo bổ đề 19 (iii) (ii): Theo mệnh đề 17 29 (ii) (iv): Hiển nhiên (iv) (i): Giả sử có (iv) M R - mơđun Khi tồn tồn cấu : F M với F môđun tự Vì F có tính chất (D1), theo mệnh đề 17 ta có F = F1 F2 với F1 ker( F2 ker() 0 F2 Rõ ràng | F : F2 M bao xạ ảnh M Vậy R (nửa) hoàn thiện phải 2.5 ĐẶC TRƯNG CỦA MÔĐUN TỰA RỜI RẠC QUA CÁC ĐIỀU KIỆN KHẢ BÙ YẾU Trong định nghĩa môđun rời rạc môđun tựa rời rạc người ta sử dụng điều kiện D1 D2 (D1 D3) Tuy nhiên, điều kiện D1 chặt Vì vậy, người ta cố gắng tìm kiếm điều kiện yếu để thay cho D1 định nghĩa Theo hướng nghiên cứu Zoschingger, Abdul - Karim Singh xét điều kiện sau: Định nghĩa 10 Giả sử M môđun (i) M gọi môđun khả bù yếu môđun M có bù - cộng M; (ii) M gọi môđun - khả bù mơđun M có bù - cộng (supplement) hạng tử trực tiếp M; (iii) M gọi môđun H - khả bù với môđun A M tồn hạng tử trực tiếp A' M cho với mơđun X M ln có A + X = M xảy A' + X = M Mối quan hệ khái niệm vừa định nghĩa lược đồ suy luận sau: (D1) Khả bù yếu; (D1) - khả bù yếu Các điều kiện yếu điều kiện (D1) trình bày Mệnh đề sau cho đặc trưng môđun tựa rời rạc qua điều kiện bù yếu 30 Mệnh đề 21: Môđun M tựa rời rạc M thoả mãn điều kiện D0 H - khả bù Chứng minh: Hiển nhiên suy điều kiện cần Ta chứng minh điều kiện đủ Giả sử môđun M thoả mãn điều kiện cho Ta chứng minh M môđun khả bù cho M = X Y với X Y hai môđun bù cộng M Trước hết ta chứng minh khẳng định thứ hai Giả sử X Y môđun M cho chúng môđun bù - cộng Vì M H - bù nên môđun X tồn hạng tử trực tiếp X' M cho với môđun T M ta có X + T = M xảy X' + T = M Vì X bù Y nên M = X + Y, suy M = X' + Y Giả sử M = X' B Khi theo điều kiện (D0), ta có X' B mơđun ảnh xạ lẫn Theo [6], từ điều kiện B X' - xạ ảnh M = X' + Y, tồn môdun C Y cho M = X' C Lại theo giả thiết M mơđun H - bù, ta có M = X + C Vì Y bù - cộng X nên Y phải có tính chất tổi thiểu môđun M thoả mãn X + Y = M Do từ C Y X + C = M ta có Y = C Vì vậy, ta có M = X' Y Thế theo điều kiện (D0) , X' Y môđun M xạ ảnh lẫn Do từ M = X + Y, tồn môđun Z M cho M = Z Y Lại tính tổi thiểu X số môđun M thoả mãn X + Y = M, ta có Z = X Vậy M = X Y Để kết thúc chứng minh mệnh đề, ta cần chứng tỏ M môđun khả bù Thật vậy, giả sử A B môđun M = A + B Ta chứng minh B chứa môđun bù - cộng A Từ M môđun H - bù, môđun A B M, tồn hạng tử trực tiếp A' B' M cho với 31 môđun X Y M, A + X = M xảy A' + X = M B + Y = M xảy B' + Y = M Giả sử M = A' A1 = B' B1 Khi theo điều kiện (D0), A' A1 xạ ảnh lẫn nhau, B' B1 xạ ảnh lẫn Do A + B = M nên theo điều kiện H - bù ta có M = A' + B Theo [6], tồn môđun B0 B cho A' B0 = M Từ A + B0 = M Ta chứng tỏ B0 bù - cộng A M Thật vậy, C môđun thực B0 cho A + C = M ta có A' + C = M ta có A' + C = M Điều khơng thể B0 mơđun cịn bù trực tiếp A' M Điều kết thúc phép chứng minh mệnh đề 21 Chú ý: Điều kiện (D0) suy (D3) Tuy nhiên môđun M thoả mãn điều kiện H - bù (D3) không thiết tựa rời rạc Chẳng hạn, môđun Zz, với Z vành nguyên thoả mãn H - bù (D3) khơng mơđun tựa rời rạc khơng thoả mãn điều kiện (D1) 32 KẾT LUẬN Khóa luận đề cập giải số vấn đề sau: Hệ thống lại số khái niệm sở lý thuyết vành mơđun Tìm hiểu lớp mơđun xạ ảnh, xét mối quan hệ với môđun vành V xét điều kiện ràng buộc môđun với mơđun cụ thể Nghiên cứu môđun với điều kiện rời rạc, thông qua điều kiện rời rạc chúng tơi tìm hiểu mơđun rời rạc, mơđun tựa rời rạc, tìm hiểu mối quan hệ thuộc tính xạ ảnh thuộc tính rời rạc 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, Nxb Giáo dục, 2003 Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận, Cơ sở lý thuyết vành môđun, Nxb GD 2001 Ngô Thúc Lanh, Đại số (Giáo trình sau đại học), Nxb Giáo dục, 1982 Sze Tsen Hu, Đại số đồng điềm, 1973 34 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ VÀNH VÀ MÔ ĐUN 1.1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ MÔĐUN 1.2 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ VÀNH 10 1.3 KẾT LUẬN CHƯƠNG I 14 Chương MÔĐUN XẠ ẢNH VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG 15 CỦA MÔĐUN XẠ ẢNH 15 2.1 MÔĐUN XẠ ẢNH 15 2.2 MÔĐUN A- XẠ ẢNH 17 2.3 BAO XẠ ẢNH CỦA MỘT MÔĐUN 22 2.4 MÔĐUN VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN RỜI RẠC 24 2.5 ĐẶC TRƯNG CỦA MÔĐUN TỰA RỜI RẠC QUA CÁC ĐIỀU KIỆN KHẢ BÙ YẾU 30 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 35 ... tiếp môđun xạ ảnh môđun xạ ảnh Định nghĩa 3: Môđun M gọi tựa xạ ảnh (hay tự xạ ảnh) M M - xạ ảnh n Hệ 2: Một tổng trực tiếp hữu hạn Mi tựa xạ ảnh i 1 Mi Mj - xạ ảnh (i,j = 1,2, ,n) Mn tựa xạ ảnh. .. mối quan hệ môđun tự với môđun xạ ảnh số tính chất mơđun xạ ảnh Mệnh đề 1: Mọi môđun tự môđun xạ ảnh Tuy nhiên điều ngược lại không Mệnh đề 2: Hạng tử trực tiếp môđun xạ ảnh môđun xạ ảnh Mệnh đề... chọn tài liệu tham khảo cho cuối khóa luận 14 Chương MÔĐUN XẠ ẢNH VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA MÔĐUN XẠ ẢNH 2.1 MÔĐUN XẠ ẢNH Định nghĩa1: Môđun P gọi môđun xạ ảnh với mơđun A, B tồn cấu g: A B, đồng
Ngày đăng: 16/09/2021, 17:31
Xem thêm: Một số tính chất của môđun xạ ảnh khoá luận tốt nghiệp đại học
