Một số tính chất của miền iđêan chính

1 MỤC LỤC Trang Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phần tử bất khả quy, phần tử nguyên tố 1.2 Vành chuỗi lũy thừa hình thức 1.3 Miền nhân tử hóa 1.4 Môđun thương 1.5 Độ dài môđun 1.6 Hàm tử 1.7 Môđun hữu hạn sinh, môđun tự 1.8 Vành môđun Noether 1.9 Miền đóng nguyên 10 1.10 Vành địa phương 11 1.11 Vành quy 11 Chương Một số tính chất miền iđêan 13 2.1 Miền iđêan 13 2.2 Đặc trưng miền iđêan 13 2.3 Môđun tự miền iđêan 20 2.4 Mơđun hữu hạn sinh miền iđêan 28 2.5 Đặc trưng miền iđêan có số chiều 41 Kết luận 44 liệu tham khảo Tài 45 MỞ ĐẦU Cho R miền ngun Ta nói R miền iđêan iđêan R iđêan chính, tức iđêan R sinh phần tử Miền iđêan lớp vành cổ điển, quan trọng Đại số giao hoán Miền nguyên R gọi miền nhân tử hóa (viết tắt UFD) phần tử khác khơng khả nghịch R phân tích thành tích hữu hạn nhân tử bất khả quy Chú ý miền iđêan miền nhân tử hóa Tuy nhiên tồn miền nhân tử hóa khơng miền iđêan Chẳng hạn, vành đa thức biến với hệ số trường miền nhân tử hóa khơng phải miền iđêan Vành Noether lớp vành quen thuộc Đại số giao hoán Ta biết vành giao hoán R vành Noether iđêan R hữu hạn sinh I.S.Cohen đưa đặc trưng cho vành Noether: R vành Noether iđêan nguyên tố R hữu hạn sinh Kết cho phép ta nghĩ đến việc để nghiên cứu tính chất tập tất iđêan R, ta cần nghiên cứu tính chất tập iđêan nguyên tố R đủ Áp dụng tư tưởng Nơng Quốc Chinh Phạm Hồng Nam [3] đưa đặc trưng cho miền iđêan chính, phát biểu sau: Cho R miền nguyên Khi R miền iđêan R miền nhân tử hóa iđêan nguyên tố R iđêan Mục đích luận văn trình bày lại kết báo [3] trình bày số tính chất miền iđêan dựa vào [6] Ngồi phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành chương Trong Chương 1, chúng tơi trình bày kiến thức sở liên quan đến kết chứng minh Chương 2, nhằm giúp người đọc dễ theo dõi nội dung luận văn Chương 2, trình bày nội dung luận văn Trong chương chúng tơi trình bày định nghĩa tính chất miền iđêan dựa vào [3] [6] Luận văn thực từ tháng năm 2010 hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn trân trọng đến cô giáo hướng dẫn, người đặt vấn đề, tạo điều kiện thường xuyên giúp đỡ suốt q trình học tập hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn trân trọng đến PGS.TS Lê Quốc Hán, PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS Nguyễn Thành Quang, TS Mai Văn Tư, TS Chu Trọng Thanh, thầy cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học, Ban Giám hiệu trường Đại học Vinh, trường THPT 1/5 Nghĩa Đàn, thường xuyên giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả q trình học tập hồn thành luận văn Vinh, tháng 11 năm 2010 Tác giả Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phần tử bất khả quy, phần tử nguyên tố 1.1.1 Định nghĩa Cho p phần tử miền nguyên R (i) Phần tử p gọi phần tử bất khả quy p khác 0, không khả nghịch p  ab a b phần tử khả nghịch R (ii) Phần tử p gọi phần tử nguyên tố p khác 0, không khả nghịch với a , b  R mà p | ab p | a p | b (iii) Phần tử p gọi phần tử nguyên tố iđêan ( p) iđêan nguyên tố khác 1.2 Vành chuỗi lũy thừa hình thức 1.2.1 Định nghĩa Cho R vành, x ẩn (còn gọi biến) Xét chuỗi lũy thừa hình thức f ( x)  a0  a1x    an x n    i 0 xi , (ai  R, i )  Tập hợp tất chuỗi lũy thừa hình thức với hệ tử thuộc R ký hiệu R[[ x]] Trên R[[ x]] , với f ( x)  i 0 xi g ( x)   j 0 b j x j thuộc R[[ x]]   xét phép toán sau:  (i) Phép cộng: f ( x)  g ( x)   (ai  bi ) xi i 0  (ii) Phép nhân: f ( x).g ( x)   ck x k ck  k 0  aib j i  j k Khi R[[ x]] trở thành vành gọi vành chuỗi lũy thừa hình thức 1.2.2 Định lý Nếu P iđêan nguyên tố R[[ x]] gọi P ảnh P qua đồng cấu tự nhiên R[[ x]]  R , biến x thành P hữu hạn sinh P hữu hạn sinh Hơn nữa, P sinh r phần tử P sinh r  phần tử x  P P sinh r phần tử x  P 1.3 Miền nhân tử hóa 1.3.1 Định nghĩa Miền nguyên R gọi miền nhân tử hóa (viết tắt UFD) phần tử khác không khả nghịch R phân tích thành tích hữu hạn nhân tử bất khả quy 1.3.2 Định lý Mỗi miền nguyên R UFD iđêan nguyên tố khác R chứa phần tử ngun tố 1.4 Mơđun thương 1.4.1 Định nghĩa Cho M R  môđun, S tập nhân đóng vành r  R Khi ta có vành thương S 1R   | r  R , s  S  Trên tích Đề s  M  S  (m , s) | m  M , s  S  ta xác định quan hệ hai sau: (m , s) (m, s) tồn t  S cho t (sm  sm)  Khi quan hệ quan hệ tương đương M  S Ta ký hiệu S 1M tập thương M  S theo quan hệ tương đương Ký hiệu (m , s)  m s m  S 1M   | m  M , s  S  Trên S 1M trang bị hai phép toán sau: s  (i) Phép cộng: m m sm  sm m m   , với ,  S 1M s s ss s s (ii) Phép nhân với vô hướng: r r x rx x   , với  S 1R  S 1M s s u su u Với phép toán trên, S 1M trở thành S 1R  môđun gọi môđun thương M theo tập nhân đóng S 1.4.2 Chú ý (i) S 1M có cấu trúc R  môđun với phép nhân vô hướng xác định bởi: r x r x rx x với r  R  S 1M    s s s s (ii) Cho P iđêan nguyên tố vành R Khi S  R \ P tập nhân đóng ta ký hiệu S 1M M P Môđun M P gọi mơđun địa phương hóa M iđêan nguyên tố P (iii) Ta có hàm tử địa phương hóa S 1 : R  mod  R  mod M S 1M 1.4.3 Mệnh đề Cho f : L  G đồng cấu môđun vành giao hốn R , điều kiện sau tương đương: (i) f toàn ánh; (ii) f P : LP  GP toàn ánh với P  Spec( R) (ký hiệu Spec( R) tập hợp tất iđêan nguyên tố vành R ); (iii) f M : LM  GM toàn ánh với iđêan cực đại M R 1.5 Độ dài môđun 1.5.1 Định nghĩa (i) Một R  môđun M khác môđun không gọi mơđun đơn, M có hai mơđun khơng (ii) Một dãy hợp thành R  môđun M dãy giảm gồm số hữu hạn môđun M  M  M1   M n  0 cho M i 1 / M i môđun đơn, i  1, , n Số n gọi độ dài dãy hợp thành 1.5.2 Mệnh đề Định nghĩa Nếu R  mơđun M có dãy hợp thành tất dãy hợp thành M có độ dài Khi độ dài dãy hợp thành M gọi độ dài môđun M ký hiệu lR ( M ) 1.5.3 Định lý Cho R vành giao hoán f g   L   M   N  0 dãy khớp ngắn R  mơđun R  đồng cấu Khi đó: (i) R  mơđun M có độ dài hữu hạn L N có độ dài hữu hạn (ii) Nếu L , M , N có độ dài hữu hạn lR (M )  lR ( L)  lR ( N ) 1.6 Hàm tử 1.6.1 Định nghĩa Cho R S vành giao hốn Chúng ta nói T hàm tử hiệp biến từ R  môđun vào S  môđun T quy tắc tương ứng xác định R  môđun M S  môđun T ( M ) cho đồng cấu f : M  G R  mơđun có S  đồng cấu T ( f ) : T (M )  T (G) thỏa mãn điều kiện sau: (i) Với đồng cấu R  môđun f : M  G g : G  H T ( g f )  T ( g ) T ( f ) : T (M )  T ( H ) (ii) Với R  mơđun M ta có T (id M )  IdT ( M ) : T (M )  T (M ) Ta nói T hàm tử nghịch biến điều kiện (i) thay bằng: T ( g f )  T ( f ) T ( g ) : T ( H )  T (M ) 1.6.2 Mệnh đề Cho R S vành giao hoán, T hàm tử hiệp biến (nghịch biến) từ R  môđun vào S  mơđun Khi đó: (i) Nếu f : M  G đẳng cấu R  mơđun T ( f ) S  đẳng cấu môđun T ( f )1  T ( f 1 ) (ii) Giả sử T cộng tính, z : M  G đồng cấu khơng T ( z ) đồng cấu không, T (0)  (0 bên trái công thức R  môđun 0) 1.6.3 Mệnh đề Cho R miền nguyên, với R  môđun M , đặt  (M ) : m  M : r  R \ 0, rm  0 Khi  ( M ) môđun M gọi môđun xoắn M Nếu  ( M )  0 M gọi mơđun khơng xoắn, cịn  (M )  M M gọi môđun xoắn Cho f : M  G đồng cấu R  môđun Ta thấy f ( (M ))   (G) định nghĩa  ( f ) : (M )   (G) xác định  ( f )(m)  f (m) với m  (M ) (Thực chất,  ( f ) thu hẹp f  ( M ) ) Như theo cách xác định trên,  trở thành hàm tử hiệp biến, cộng tính từ R  môđun vào R  môđun Ta gọi  hàm tử xoắn Ta có: (i) Với R  mơđun G mơđun G / (G) không xoắn (ii) Nếu họ  G  họ khác rỗng R  mơđun  (  G )    (G )   1.6.4 Mệnh đề Cho R S vành giao hoán T hàm tử cộng tính (hiệp biến nghịch biến) từ R  môđun vào S  môđun Với n gọi G1 , , Gn R  mơđun Khi T  in1Gi   in1T (Gi ) S  môđun 1.7 Môđun hữu hạn sinh, môđun tự 1.7.1 Định nghĩa (i) Cho M R  môđun Một tập  xi iI , xi  M gọi hệ sinh M với phần tử x  M tổ hợp tuyến tính R hệ  xi iI , nghĩa với x  M x   xi ,  R, J  I , J   iJ (ii) Nếu M có hệ sinh gồm hữu hạn phần tử M gọi mơđun hữu hạn sinh 1.7.2 Định nghĩa Tập S R  môđun M gọi tập độc lập tuyến tính, từ đẳng thức r1x1  đôi khác nhau, ta rút r1   rn xn  với x1 , , xn  S  rn  Nếu trái lại S gọi tập phụ thuộc tuyến tính Nếu mơđun M có hệ sinh S độc lập tuyến tính gọi mơđun tự tập S gọi sở M 1.7.3 Ví dụ Vành R mơđun tự với sở 1 Tổng quát hơn, với I tập số bất kì, R ( I ) R  môđun tự với sở ei | i  I  , ei có thành phần thứ i , thành phần lại Cơ sở gọi sở tự nhiên hay sở tắc R ( I ) Mỗi không gian vectơ trường K K  môđun tự do, ln có sở 1.7.4 Mệnh đề Cho M mơđun vành giao hốn R Khi tồn R  mơđun tự F tồn cấu R  mơđun f : F  M Ngoài ra, M hữu hạn sinh sinh n phần tử F R  môđun tự với sở hữu hạn gồm n phần tử 1.7.5 Mệnh đề Định nghĩa Cho R vành giao hoán khác 0, F R  môđun tự với sở hữu hạn sở F hữu hạn hai sở F có số phần tử Số phần tử sở F gọi hạng F , ký hiệu rankF 1.7.6 Nhận xét Cho M , G1 , , Gn mơđun vành giao hốn R n n  n I iđêan R Nếu M   Gi IM  I   Gi    IGi i 1  i 1  i 1 1.8 Vành môđun Noether 1.8.1 Định nghĩa Cho M R  môđun (i) M gọi môđun Noether dãy tăng môđun  M  M1  M M dừng, tức tồn n cho M n  M n1  10 (ii) Vành R gọi vành Noether R R  môđun Noether 1.8.2 Mệnh đề M R  môđun hữu hạn sinh vành Noether R M R  mơđun Noether 1.8.3 Mệnh đề Cho R vành Noether, giao hoán I iđêan R , với R  môđun M , đặt:  I ( M )  m  M | n  : I n  (0 : m)  n (0 : M I n ) gọi f : M  G đồng cấu R  mơđun, ta có f ( I (M ))   I (G) xác định  I ( f ) :  I (M )   I (G)  I ( f )(m)  f (m), m  I (M ) Như vậy,  I trở thành hàm tử hiệp biến cộng tính từ R  mơđun vào R  mơđun Chúng ta gọi hàm tử I  xoắn Ta có: (i)  I (M /  I (M ))  với R  môđun (ii) Nếu (G ) tập khác rỗng R  mơđun  I ( G )   I (G )   1.9 Miền đóng nguyên 1.9.1 Định nghĩa Cho R vành vành giao hốn S s  S Ta nói s nguyên R tồn h s h  rh1s h1  r0 , r1, , rh1  R cho  r1s  r0  Như phần tử R nguyên R 1.9.2 Mệnh đề Cho R miền nhân tử hoá, K trường thương R Khi u  K nguyên R u  R 1.9.3 Mệnh đề Định nghĩa Cho R vành vành giao hoán S Đặt R :  s  S | s nguyên R R vành S chứa R gọi bao đóng nguyên R S Ta nói R đóng nguyên S R  R 1.9.4 Định nghĩa Bao đóng nguyên miền nguyên R trường 31 mâu thuẫn nên suy Rpi  Rp j  R , Rpi Rp j nguyên tố t Vậy nên Rpiti Rp jj nguyên tố ( Rp jj )  Rp j nên t Rp1t1  ( Rpiti )  Rpi ( Rpiti )  ( Rp jj )  R suy Rpiti  Rp jj  R Do t t  Rpsts  Rp1t1 Rp2t2 Rpsts  Ra  I ker f  I Để chứng minh f toàn ánh (theo Mệnh đề 1.4.3) ta cần f M : RM  DM toàn ánh với iđêan cực đại M R Do R trường nên theo Mệnh đề 2.2.1, M  Rq , với q phần tử bất khả Xét i  , với  i  s : q pi không liên kết quy R Rpiti  Rq  M , R / Rpiti linh hóa tử phần tử R \ M Hai trường hợp xẩy ra, M  Rq không iđêan Rp1 , , Rps Khi M khác tất iđêan theo ta có DM  , nên f M phải toàn ánh Mặt khác M  Rpi , với i (1  i  s ) ta suy với r1 , , rs  R u  R \ M , (r1  Rp1t1 , , rs  Rpsts )  f (ri ) linh hóa tử phần tử R \ M , mà DM , (r1  Rp1t1 , , rs  Rpsts ) u  f (ri )  Im f M u Do f M toàn ánh với iđêan cực đại M R , f tồn ánh Cuối cùng, yêu cầu sau ta áp dụng định lý đồng cấu môđun suy điều cần chứng minh 2.4.5 Bổ đề Cho R vành giao hoán, h  với i  1, , h , cho Gi1 , , Gini , (ni  ) R  môđun đặt M i  nji1 Gi j Khi h  M i  G11    G1n1  G21    Gh1nh1  Gh1    Ghnh i 1 32 2.4.6 Hệ Nếu M môđun hữu hạn sinh miền iđêan R M tổng trực tiếp mơđun xyclic linh hóa tử lũy thừa ngun tố (prime power annihilators) Nghĩa tồn h , m phần tử nguyên tố p1 , , pm  R số nguyên dương t1 , , tm R  môđun R1 , , Rh cho M  R / Rp1t1    R / Rpmtm  R1    Rh Chứng minh Theo Định lý 2.4.3, tồn a1 , , an  R cho M  R / Ra1  R / Ra2    R / Ran , Nếu a j  R / Ra j  R , ak khả nghịch R R / Rak  Vì kết suy từ Mệnh đề 2.4.4 Bổ đề 2.4.5  2.4.7 Định nghĩa Cho R miền iđêan chính, ta nói họ  pi i 1 n họ cặp không liên kết phần tử bất khả quy R p1 , , pn phần tử bất khả quy R pi , p j (i  j ,  i , j  n) không liên kết 2.4.8 Nhận xét Nếu R miền iđêan  pi i 1 họ phần tử bất n khả quy R Khi  pi i 1 họ cặp không liên kết phần tử bất khả n quy R họ iđêan  Rpi i 1 R đôi nguyên tố n 2.4.9 Định lý Cho M môđun hữu hạn sinh miền iđêan R , M  Khi có h , t  tồn b1 , , bh  R \ 0 cho M  R / Rb1    R / Rbh  R1    Rt R1    Rt  R (điều rõ ràng h  t  ) cho (i)  (M )  R / Rb1    R / Rbh ; (ii) t  rankM ; (iii) M môđun tự M không xoắn 33 Chứng minh (i) Theo Mệnh đề 1.6.3 Mệnh đề 1.6.2 ta có  (M )   ( R / Rb1 )     ( R / Rbh )   ( R1 )     ( Rt ) Nhưng bi ( R / Rbi )  0, bi  nên  ( R / Rbi )  R / Rbi , với i  1, , h Cũng  ( R)  (do R miền nguyên) ta có (i) (ii) Đặt S :  R \ 0 K :  S 1R trường thương R Chú ý S 1 ( R / Rbi )  với i  1, , h Vì theo Chú ý 1.4.2 Mệnh đề 1.6.4 có đẳng cấu K  không gian vectơ S 1M  S 1R1    S 1Rt Do t  v dimK S 1M  rank R M (iii) Từ (i), M môđun khơng xoắn  (M )  nên M  R1    Rt , với R1    Rt  R Do M môđun tự Đảo lại, M môđun tự hữu hạn sinh miền iđêan R M có sở hữu hạn (ei )in1 Giả sử x  (M ) phải tồn a  R để ax  0, a  Khi ta có  ax  a(i 1 xi ei ), xi  R Suy n i1 axiei  n nên axi  với i  1, , n Do xi  0, i  1, , n nên x  Vậy  (M )  , nghĩa M môđun không xoắn  2.4.10 Hệ Môđun miền iđêan R có hạng mơđun xoắn 2.4.11 Bổ đề Cho mơđun M khác 0, hữu hạn sinh miền iđêan R Nếu M  R1   Rt  R / Rp1u11   R / Rp1 1w (1) u  R / Rp2u21   R / Rp2 w ( 2)   R / Rpnun1   R / Rpn nw ( n ) , u u 34 với t , n , R1   Rt  R ,  pi i 1 họ cặp không liên kết phần tử n bất khả quy R (mỗi i  1, ui1  ui  , uiw(i )  , n ) w(i), ui1 ,  uiw(i )  Rpi (M )  R / Rpiui1  thỏa mãn  R / Rpi iw( i ) , i  1, , n Hơn u p phần tử bất khả quy R mà khơng phần tử liên kết phần tử p1 , , pn  Rp ( M )  Chứng minh Ta có nhận xét sau: Nếu p q hai phần tử bất khả quy không liên kết miền iđêan R với n  Rp ( R / Rq n )  Ta nhận thấy rằng, với phần tử bất khả quy q R , ta có  Rq ( M )  Do  Rq ( R / Rpiu )  với u  q pi không liên kết Áp dụng Mệnh đề 1.8.3 Mệnh đề 1.6.2 suy điều phải chứng minh  2.4.12 Định lý Cho M môđun khác 0, hữu hạn sinh miền iđêan R Theo Định lý 2.4.3, tồn a1 , , an  R cho R  Ra1  Ra2   Ran M  R / Ra1  R / Ra2    R / Ran Khi đó, số nguyên dương n họ iđêan  Rai i 1 R bất biến n M Nói cách khác, b1 , b2 , , bm  R thỏa mãn R  Rb1  Rb2   Rbm M  R / Rb1  R / Rb2    R / Rbm , n  m Rai  Rbi với i  1, , n Chứng minh Nếu Rai  0, i  1, , n M mơđun tự có hạng 35 n (theo Mệnh đề 1.7.5)  (M )  theo Định lý 2.4.9 (do Rai  0, i  1, , n nên M  R   R , mà  ( R)  nên  (M )  ) Từ ta có Rbi  với i  1, , m m  rankM  n Vậy trường hợp chứng minh cho  v  n Bây giờ, giả sử Ra1  Khi tồn v  Ra1  Khi đó, tồn u   Rav   Rav1   Ran cho  u  m Rb1   Rbu   Rbu 1   Rbm Từ Định lý 2.4.9, ta có n  v  rankM  m  u R / Ra1  R / Ra2    R / Rav   (M )  R / Rb1  R / Rb2    R / Rbu Ta chứng minh trường hợp đặc biệt v  n , kết chung suy từ Do vậy, ta chứng minh trường hợp Ran  Rbm  Trong trường hợp ta sử dụng kết quả: Nếu R miền iđêan khơng trường, M R  mơđun Khi M có độ dài hữu hạn M hữu hạn sinh tồn r  R với r  cho rM  Áp dụng vào trường hợp này,  (M )  M nên tồn r  R với r  cho rM  , ta có lR ( M ) hữu hạn Và ta chứng minh quy nạp theo độ dài môđun M Nếu lR (M )  , m n lớn ta xét dãy khớp n n i 1 i 2   R / Ra1   R / Rai   R / Rai  0 n mà  R / Rai  M nên theo Định lý 1.5.3 i 1 n lR ( M )  lR ( R / Ra1 )  lR (  R / Rai ) , i 2 vô lý lR (M )  Như n  tương tự m  Do 36 R / Ra1  R / Rb1 Ra1  Ann R ( R / Ra1 )  Ann R ( R / Rb1 )  Rb1 Giả thiết quy nạp với lR (M )  kết với R  mơđun khác có độ dài bé lR ( M ) Ta giả sử n  m Vì Ra1 iđêan thực sự, khác R nên tồn phần tử bất khả quy p R nhân tử a1 Với phần tử khác 0, không khả nghịch r  R ta có  R / Rp (0 : R / Rr Rp)   0 nÕu Rp  Rr , nÕu Rp  Rr Vì vậy, theo Mệnh đề 2.4.4 Mệnh đề 1.6.2 n (0 : M Rp)  (0 : R / Rai Rp) i 1 đẳng cấu trực tiếp n lần R  môđun R / Rp , lR (0 : M Rp)  n m Tương tự suy (0 : M Rp)  (0 : R / Rbi Rp) Mặt khác lR (0 : M Rp)  w i 1 w số nguyên i từ đến m, p nhân tử bi Vì n  w  m  n nên n  m  w p nhân tử bi với i  1, , n  m Do vậy, với i  1, , n tồn ci , di  R cho  pci bi  pdi nên Rp( R / Rai )  Rp / Rai  R / Rci Rp( R / Rbi )  Rp / Rbi  R / Rdi Từ Nhận xét 1.7.6 ta thấy pM  R / Rc1  với Rc1   Rcn  Rd1   R / Rcn  R / Rd1   R / Rd n  Rdn  Với ý lR (M )  lR ( pM ) Gọi h (tương ứng k ) số nguyên lớn số số nguyên i từ đến n mà Rci  R (tương ứng Rdi  R ), với cách hiểu h  (hoặc k  ) khơng có số ngun Trường hợp h  n pM  trường hợp xẩy 37 k  n Khi c1 , c2 , , cn , d1 , d2 , , dn phần tử khả nghịch R Rai  Rbi  Rp , i  1, , n , trường hợp chứng minh Khi h  n k  n , áp dụng giả thiết quy nạp cho hai phân tích tổng trực tiếp pM ta có n  h  n  k Rci  Rdi với i  h  1, , n từ suy Rai  Rbi , i  1, , n Vậy ta có điều phải chứng minh  2.4.13 Hệ Cho p phần tử bất khả quy miền iđêan R Giả sử m , n u1 , , um , v1 , ,  R / Rpu1  cho u1   um , v1    R / Rpum  R / Rp v1   R / Rp m  n ui  vi với i  1, , n Chứng minh Áp dụng giả thiết ta thấy R  Rpu1  Rpu2  R  Rpv1  Rpv2   Rpum  Rpvn Theo Định lý 2.4.12, ta có m  n, Rpui  Rp vi nên ui  vi với i  1, , n Vậy ta có điều cần chứng minh  2.4.14 Định nghĩa Cho M môđun xoắn, hữu hạn sinh miền iđêan R (i) Khi x thuộc M , tập Ann( x)  r  R | xr  0 iđêan khác R nên tồn phần tử  khác để Ann( x)  R Phần tử  xác định (sai khác nhân tử khả nghịch) gọi cấp x , ký hiệu o( x) (ii) Do R miền iđêan nên Ann(M ) iđêan R nên tồn   R (sai khác nhân tử khả nghịch) để Ann(M )  R Ta gọi  số mũ M , ký hiệu exp(M) 38 2.4.15 Nhận xét (i) Rx  R / Ann( x)  R / Ro( x) (ii) Số mũ M chia hết cho cấp phần tử chia hết cho số mũ mơđun Nếu M môđun xyclic sinh phần tử x exp(M)= o(x) 2.4.16 Định lý Cho M mơđun xoắn, hữu hạn sinh Khi M có phân  M n exp(M i )  pui , p phần tử bất khả quy tích M  M1  R , ui  , exp(M )  pu , với u  max u1 , , un  Hơn phân tích Chứng minh Nếu M có phân tích trên, khơng tính tổng quát, giả sử u  u1  u2   un Ta có Ann(M )  r  R | rx  0, x  M   r  R | rx1  rx2   rxn  0, xi  M i   r  R | rxi  0, xi  M i  (do biểu diễn M )  n i 1 Ann( M i )  n Rpui  Rpu , suy exp(M )  pu i 1 Nếu exp(M )  pu , theo Định lý 2.4.3 ta có phân tích M  N1   Nn với N i , ( i  1, , m ) môđun M mà Ni  R / Rpiti , pi phần tử bất khả quy R Từ Nhận xét 2.4.15 ta có exp( Ni ) ước exp(M )  pu nên exp( Ni )  pui , với ui  u Cũng theo chứng minh Ann( M )  m i 1 Rpui  Rpu Từ suy max u1 , , um   u Tính suy từ Hệ 2.4.13  2.4.17 Định nghĩa Cho M môđun hữu hạn sinh miền iđêan R Mỗi phần tử bất khả quy p R ta ký hiệu C p ( M ) tập hợp tất phần tử M có cấp lũy thừa p Ta dễ dàng chứng minh C p ( M ) môđun M 39 2.4.18 Định lý Cho M môđun xoắn, hữu hạn sinh miền iđêan R Khi có phân tích M  M1   M n Với phần tử bất khả quy p R C p ( M ) tổng trực tiếp tất hạng tử M i phân tích mà exp( M i )  piui , ui u1 , , uk  , pi liên kết với p   exp(C p ( M ))  pu , u  max ui1 , , uik Chứng minh Giả sử phân tích có M i1 , , M ik , i1 , , ik 1, , n ui có số mũ pi j j mà pi j liên kết với p  M ik x  xi1  Với x  M i1   Ann( x)  r  R | rx  0  r  R | rxi1   xik , xi j  M i j   rxik   i j i1 , ,ik  Ann( xi j )  R , với  cấp phần tử xi j (chia hết cho cấp phần tử lại biểu diễn x ) ước p u Nghĩa x  C p (M ) Ngược lại, x  C p (M ) o( x)  p e Hơn nữa, x  M nên ta có x  x1  x2   xn , ta chứng minh xi  i  i j , i j i1 , , ik  Thật vậy, Ro( x)  Ann( x)  n i 1 Ann( xi ) Nếu có số i  i j Ann( xi )  qu , q phần tử bất khả quy không liên kết với p nên cấp x chia hết cho q Điều mâu thuẫn o( x)  p e Suy x  xi1   xik  M i1   M ik Từ Định lý 2.4.16 suy exp(C p ( M ))  pu  Từ kết trên, ta có định lý sau cho phép mơ tả hồn tồn cấu trúc mơđun hữu hạn sinh miền iđêan R 2.4.19 Định lý Cho M môđun khác 0, hữu hạn sinh miền iđêan R Theo Hệ 2.4.6 M tổng trực tiếp R  mơđun xyclic linh hóa tử lũy thừa nguyên tố (prime power annihilators) Giả sử 40 M  R1  với t , n , R1   Rt  R / Rp1u11   R / Rp1 1w (1) u  R / Rp2u21   R / Rp2 w ( 2)   R / Rpnun1   R / Rpn nw ( n ) , u u  Rt  R ,  pi i 1 họ cặp không liên kết phần tử n bất khả quy R i  1, ui1  ui  , uiw(i )  , n ; w(i), ui1 , thỏa mãn  uiw(i ) Và có M  R1  với s , m , R1   Rs  R / Rq1v11   R / Rq11 y (1) v  R / Rq2v21   R / Rq22 y ( 2)   R / Rqmvm1   R / Rqmmy ( m ) , v v  Rs  R ,  qi i 1 họ cặp không liên kết phần tử m bất khả quy R i  1, vi1  vi  , viy (i )  , n ; y(i), vi1 , thỏa mãn  viy (i ) Thì t  s  rank R M n  m Cụ thể hơn, sau xếp phù hợp q1 , , qn cần thiết họ  Rpi i 1  Rqi i 1 iđêan R n n Sự xếp lại thực ta có w(i)  y(i) với i  1, , n với i họ  uij   vij  số nguyên dương tương ứng j 1 j 1 w(i ) w(i ) Chứng minh Theo Định lý 2.4.9 ta có t  rank R M  s áp dụng Bổ đề 2.4.11 Hệ 2.4.13 ta có Rp1 , , Rpn   P  Spec( R) : P  vµ  P ( M )  0 41 Suy n  m xếp lại (nếu cần) q1 , , qn cho  Rpi i 1   Rqi i 1 n n Xét số nguyên i với  i  n , theo Mệnh đề 1.8.3, Mệnh đề 1.6.2 Bổ đề 2.4.11 ta có R / Rpiui1   R / Rpi iw( i )   Rpi (M )  R / Rpivi1  u  R / Rpi iy ( i ) v (Lưu ý Rpi  Rqi ta phải có Rpih  ( Rpi )h  Rqih với h Ta khơng nói pi  qi sinh iđêan nên liên kết với nhau) Trong giả thiết uij vij , từ Bổ đề 2.4.11 ta có w(i)  y(i) uij  vij với j  1, , w(i)  2.4.20 Hệ Cho M mơđun xoắn, hữu hạn sinh miền iđêan R Khi M có phân tích (khơng kể đến thứ tự hạng tử) M  C p1 (M )  p1 ,  C pn (M ) , pn phần tử bất khả quy R , môđun C pi ( M ) có số mũ exp(C pi (M ))  piui , i  1, , n M có số mũ exp( M )  p1u1 p2u2 pnun 2.5 Đặc trưng miền iđêan có số chiều 2.5.1 Định lý Cho ( R , M ) vành địa phương R miền nguyên với số chiều Khi phát biểu sau tương đương: (i) R vành quy; (ii) Mọi iđêan khác R luỹ thừa M ; (iii) Tồn phần tử a  R cho iđêan khác R có dạng Ra h , h ; (iv) R miền iđêan chính; (v) R miền đóng ngun Chứng minh (i)  (ii) Vì R vành quy, dim R  nên M iđêan 42 Chú ý R vành giao hốn, có đơn vị iđêan thực I R ln tồn iđêan cực đại chứa Do ( R , M ) vành địa phương nên I  M Mặt khác, I giao tất iđêan nguyên tố chứa I Mà R có iđêan nguyên tố khác M nên Mệnh đề 1.10.2 I M  nguyên sơ tồn t  I  M Theo cho M t  I Ta chứng minh R / M t vành Artin Trước hết, chứng minh R / M t vành Noether Giả sử J / M t  J1 / M t   Jn / M t dãy môđun R / M t J  J1  ()  Jn  dãy iđêan R dãy mơđun R nên phải dừng R vành Noether Do dãy () phải dừng nên R / M t vành Noether Tiếp theo, giả sử J / M t iđêan nguyên tố vành R / M t Ta có M t  J  R Với a , b  R / M t , a  a  M t , b  b  M t , a , b  R Nếu a.b  J / M t a  J / M t b  J / M t Điều có nghĩa ab  J a  J b  J nên J iđêan nguyên tố R suy J  M Suy R / M t có iđêan nguyên tố M / M t iđêan cực đại R / M t ( R , M ) vành địa phương Suy R / M t vành Artin Vậy vành R / M t Artin, địa phương iđêan cực đại iđêan Do M iđêan R nên M / M t iđêan R / M t Theo Bổ đề 1.10.3 I / M t lũy thừa M / M t nên I lũy thừa M (ii)  (iii) Vì v dimR / M (M / M )  (do v dimR / M (M / M )  dim R ) nên ta có M  M Gọi a M \ M Theo giả thiết Ra  M n với n Do a M mà M  M n , n  nên suy n  Vậy M  Ra Vì iđêan khác R lũy thừa M nên phải có dạng Ra h , h 43 (iii)  (iv) Hiển nhiên (iv)  (v) R PID R UFD nên theo Mệnh đề 1.8.3 ta suy R miền đóng nguyên (v)  (i) Lấy a M \ 0 , theo Mệnh đề 1.10.2, Ra M  nguyên sơ chứa lũy thừa M Gọi t số nhỏ số i  mà M i  Ra , M t 1  Ra , lấy b M t 1 \ Ra a b Gọi K trường thương R Đặt c :   K , ký hiệu c 1   b a K \ R (vì b  Ra ) Theo giả thiết c 1 khơng ngun R Ta có c 1M : c 1r | r  M  R  mơđun K chứa R bM  M t  Ra Do c 1M iđêan R Ta chứng minh R Giả sử ngược lại, c1M  M Điều có nghĩa R  mơđun hữu hạn sinh M đóng với phép nhân phần tử vành R[c-1 ] có cấu trúc R[c-1 ]  mơđun Vì R miền nguyên, M R[c-1 ]  môđun trung thành nên từ Mệnh đề 1.9.6 suy c 1 nguyên R , suy mâu thuẫn Vậy c1M  R Do M  Rc iđêan nên R vành quy  44 KẾT LUẬN Dựa vào tài liệu [3] [6], luận văn hoàn thành việc sau: Trình bày số tính chất đặc trưng miền iđêan Đặc biệt kết Nông Quốc Chinh Phạm Hồng Nam (2008) nói R miền iđêan R miền nhân tử hóa iđêan nguyên tố R iđêan Xét cấu trúc mơđun tự do, mơđun hữu hạn sinh miền iđêan Xét đặc trưng miền iđêan có số chiều Krull 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lí thuyết module, NXB Đại học Sư phạm Tiếng Anh [2] M.F Atiyah and I.G Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Company [3] Nong Quoc Chinh and Pham Hong Nam (2008), New characterizations of principal ideal domains, East-West J of Mathematics, Vol 10, No 2, 163166 [4] Irving Kaplansky (1970), Commutative Rings, Allyn and Bacon, Inc, Boston [5] H Matsumura (1986), Commuatative ring theory, Cambridge University Press [6] R.Y Sharp (1990), Steps in Commutative Algebra, Cambridge University Press ... tồn hệ tham số R sinh iđêan cực đại M Chú ý R vành quy R miền nguyên 13 Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MIỀN IĐÊAN CHÍNH 2.1 Miền iđêan 2.1.1 Định nghĩa Cho R miền nguyên Ta nói R miền iđêan (viết... PID) iđêan R iđêan chính, tức iđêan R sinh phần tử 2.1.2 Ví dụ Vành số nguyên miền iđêan Vành đa thức F  x  với F trường miền iđêan Vành [x] khơng phải miền iđêan iđêan I  (2, x) khơng phải iđêan. ..2 MỞ ĐẦU Cho R miền nguyên Ta nói R miền iđêan iđêan R iđêan chính, tức iđêan R sinh phần tử Miền iđêan lớp vành cổ điển, quan trọng Đại số giao hoán Miền nguyên R gọi miền nhân tử hóa (viết