Một số tính chất của hệ số nhị thức

Header Page of 126 B GIO DC V O TO TRNG I HC THNG LONG NGUYN TH THU GIANG MT S TNH CHT CA H S NH THC LUN VN THC S TON HC M S 60460113 H Ni Nm 2015 Footer Page of 126 Header Page of 126 B GIO DC V O TO TRNG I HC THNG LONG NGUYN TH THU GIANG MT S TNH CHT CA H S NH THC LUN VN THC S TON HC M S 60460113 NGI HNG DN KHOA HC : PGS.TS V TH KHễI H Ni Nm 2015 Footer Page of 126 Thang Long University Libraty Header Page of 126 LI CAM OAN Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cu riờng ca tụi Cỏc s liu nờu lun l trung thc v cha c cụng b bt kỡ cụng trỡnh no khỏc Tỏc gi lun NGUYN TH THU GIANG Footer Page of 126 Header Page of 126 MC LC M U CHNG 1: GII THIU V H S NH THC V KIN THC CHUN B 1.1 LCH S TON T HP TRONG CP THCS: 1.2 GII THIU V H S NH THC: 1.2.1 nh ngha: 1.2.2 Cụng thc: 1.3 K THUT M: 1.3.1 Mt s kin thc c bn ca t hp: 1.3.2 Cụng thc bao hm v loi tr: 1.3.3 Hai quy tc c bn ca phộp m: 11 1.3.4 Hoỏn v: 13 1.3.5 Chnh hp: 16 1.3.6 T hp: 18 1.3.7 Tớnh s phn t ca mt hp cỏc hp: 21 CHNG 2: CC NG NHT THC CA H S NH THC 24 2.1 CC NG NHT THC C BN 24 2.1.1 ng nht thc 24 2.1.2 ng nht thc 25 2.1.3 ng nht thc 26 2.1.4 ng nht thc 27 2.1.5 ng nht thc 28 2.1.6 ng nht thc 29 2.1.7 ng nht thc 30 2.1.8 ng nht thc 31 2.1.9 ng nht thc 32 2.2 CC NG NHT THC NNG CAO 33 2.2.1 ng nht thc 10 33 Footer Page of 126 Thang Long University Libraty Header Page of 126 2.2.2 ng nht thc 11 34 2.2.3 ng nht thc 12 36 2.2.4 ng nht thc 13 37 2.2.5 ng nht thc 14 38 2.2.6 ng nht thc 15 39 KT LUN 41 TI LIU THAM KHO 42 Footer Page of 126 Header Page of 126 M U Lý chn ti: Trong nhng nm hc trờn gh nh trng v quỏ trỡnh ging dy, tụi nhn thy rng i vi a s hc sinh vic tip thu kin thc chng t hp xỏc sut l rt khú khn õy l phn kin thc mi chng trỡnh sỏch giỏo khoa Ch yu cỏc kin thc chuyờn sõu v xỏc sut trung chng trỡnh cao ng - i hc nờn ú cng l mt khú khn cho cỏc thy cụ giỏo ging dy la tui THPT - THCS vic ỏp dng phng phỏp ging dy cho phự hp Cỏc em thng rt mỏy múc, nu gp toỏn l l khụng bit cỏch gii quyt hay cha t hng gii quyt Hc sinh thiu tớnh ch ng vic tip thu kin thc Vỡ vy kin thc d quờn v kt qu hc cha cao Hay hc sinh tip nhn kin thc mt cỏch th ng, ch yu theo li c chộp hay thiu tớnh t logic Vy lm th no hc sinh hc tt phn kin thc ny? ú chớnh l mt nhng lý thụi thỳc chỳng tụi thc hin ti Mt s tớnh cht ca h s nh thc Khụng ging nh nhng cỏch chng minh thụng thng sỏch giỏo khoa, õy chỳng tụi s chng minh cỏc ng nht thc bng phng phỏp mi, ú l phng phỏp t cỏc cõu hi v tr li bng hai cỏch hon ton theo toỏn t hp thun tỳy õy l phng phỏp tip cn khỏ mi ti Vit Nam nhng ó c s dng rng rói trờn ton th gii v t nhiu thnh tu cao Lch s nghiờn cu: Ni dung toỏn t hp a vo ging dy t cp trung hc ph thụng hu ht cỏc nc trờn th gii Tuy nhiờn, Vit Nam ni dung toỏn t hp c a vo sỏch giỏo khoa lp 11 nm 2000 vi lng kin thc cũn hn ch Dy hc phỏt hin v gii quyt l phng phỏp dy hc tớch cc ỏp ng yờu Footer Page of 126 Thang Long University Libraty Header Page of 126 cu xó hi Xong ỏp dng phng phỏp ny ging dy hiu qu ni dung khú nh toỏn t hp thỡ cn s úng gúp ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc nh khoa hc Mc ớch nghiờn cu: Dy hc sinh chng minh h s nh thc, cỏc ng nht thc bng nh ngha t hp thun tỳy m khụng s dng phng phỏp quy np Rốn luyn cho hc sinh t mt cỏch logic, t tru tng toỏn t hp Phm vi v i tng nghiờn cu: - i tng nghiờn cu: Hc sinh trung hc c s v giỏo viờn toỏn cp trung hc c s - Phm vi nghiờn cu: Cỏc trng cp trung hc c s Mu kho sỏt: Xem xột vic ỏp dng dy hc chng minh cỏc ng nht thc bng phng phỏp t hp m Cõu hi nghiờn cu: Vn dng phng phỏp t hp m tip thu tt hn kin thc c v li chng minh c cỏc ng nht thc Gi thuyt nghiờn cu: Khi hc sinh c hc chng t hp xỏc sut theo phng phỏp dy hc mi l phng phỏp t hp m, t cõu hi v tr li hon ton theo toỏn t hp thun tỳy Cỏc em s tip thu bi tt hn, ngoi cỏc em cú th m rng bi toỏn v cú nhng sỏng to toỏn hc Phng phỏp nghiờn cu: Nghiờn cu sỏch giỏo khoa toỏn trung hc c s, c bit cỏc 6, 7, 8, Cỏc ti tham kho, kt hp vic nghiờn cu v thc hnh chng minh toỏn t hp S dng phng phỏp dy hc truyn thng v hin i mt cỏch an xen Footer Page of 126 Header Page of 126 Cỏc lun c thu nhp c: 9.1 Lun c lớ thuyt: - Lý thuyt dy hc phỏt hin v gii quyt - Thc trng dy v hc trng trung hc c s - Dy hc phỏt hin v gii quyt toỏn 9.2 Lun c thc t: Kt qu thc nghim v nng lc hc ca hc sinh sau quỏ trỡnh ging dy ca giỏo viờn lp thc nghim 10 Cu trỳc lun vn: Ngoi phn m u, kt lun khuyn ngh, ti liu tham kho, ph lc, ni dung chớnh ca lun c trỡnh by chng Chng 1: Gii thiu v h s nh thc Chng 2: Cỏc ng nht thc ca h s nh thc Footer Page of 126 Thang Long University Libraty Header Page of 126 CHNG GII THIU V H S NH THC V KIN THC CHUN B chng 1, chỳng tụi xin trỡnh by khỏi quỏt v lch s toỏn t hp cp trung hc c s, gii thiu v h s nh thc Nhng kin thc chun v k thut m, cỏc nguyờn lý m c bn, cỏc khỏi nim c bn hm toỏn hc s c chỳng tụi gii thiu theo phng phỏp m Kin thc chớnh chng ny, chỳng tụi s dng mt s ti liu tham kho sau: Nguyn Hu Anh, Toỏn ri rc, NXB i hc Quc Gia TP H Chớ Minh, 2001 Trn Ngc Danh, Toỏn ri rc nõng cao, NXB i hc Quc Gia TP H Minh Schaum's Outline of Discrete Mathematics, McGraw - Hill, 1977 1.1 LCH S TON T HP TRONG CP THCS: Ni dung: i s t hp cung cp kin thc c bn v i s t hp v lý thuyt sỏc xut i s t hp, cũn gii thiu v hai quy tc m c bn, cỏc khỏi nim, cỏc cụng thc v hoỏn v, chớnh hp, t hp, cụng thc khai trin nh thc Niu-tn v ỏp dng ca nú Nú cũn cung cp khỏi nim m u v cỏc cụng thc n gin nht ca lớ thuyt xỏc sut, mt lnh vc quan trng ca Toỏn hc, cú nhiu ng dng thc t Trong nhng nm 80 ca th k trc, i s t hp a vo chng trỡnh sỏch giỏo khoa v mang tớnh cht gii thiu n nm 1994 - 1995, chng trỡnh thớ im chuyờn ban, i s t hp c a vo dy cựng xỏc sut Mc tiờu dy hc phn ny l hỡnh thnh khỏi nim ban u v i s t hp, hc sinh cn nm c cỏc quy tc m, cỏch tớnh s hoỏn v, chớnh hp, t hp, bit cỏch ỏp dng vo cỏc bi toỏn, n gin ca thc tin v xỏc Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 sut c in, ng thi bit cụng thc khai trin nh thc Niu-tn v s dng cụng thc ú vo vic gii toỏn 1.2 GII THIU V H S NH THC: 1.2.1 nh ngha: * nh ngha: n Chỳng ta nh ngha l s cú k phn t ( k phn t khỏc k v khụng phõn bit th t) ly t gm n phn t Núi mt cỏch n khỏc, c tớnh theo cỏch chn cú k phn t t cú n phn t k m th t sp xp l khụng quan trng 1.2.2 Cụng thc: n n! k k ! n k ! Cụng thc ny l h qu ca ng nht thc s c chỳng tụi chng minh chng n k c l t hp n chp k Lu ý rng, mt s quc gia chõu ú cú Vit Nam thng ký hiu t hp n chp k l Cnk n Ton b lun ny, chỳng tụi s dng ký hiu quc t l k Footer Page 10 of 126 Thang Long University Libraty Header Page 34 of 126 T hai cỏch tr li trờn cho chỳng tụi ng nht thc 5: n 2k k n , n n n 2.1.6 ng nht thc 6: k n , k k k n a Cõu hi: Trong mt hi thi "Ai thụng minh nht", thy giỏo mun chn mt i thi u gm k ngi Cú bao nhiờu cỏch lp mt i thi u gm k thnh viờn t mt lp cú n hc sinh m ú chn mt bn lm i trng? b Tr li: + Cỏch 1: u tiờn, thy chn k bn n bn thnh lp i thi u, thy n cú cỏch k T k bn, chn mt bn bt k lm i trng, thy cú: k cỏch la chn n T ú, theo quy tc nhõn, thy cú: k cỏch la chn cỏc bn tham k gia thi u + Cỏch 2: Thy chn bn i trng trc Thy chn mt bn t n bn, thy cú n cỏch Sau ú, s bn cũn li l n Thy chn k bn t n bn cũn li n Theo quy tc nhõn, thy cú: n cỏch la chn cỏc bn tham gia k thi u Vy chỳng ta gii bi toỏn t theo hai cỏch Footer Page 34 of 126 29 Thang Long University Libraty Header Page 35 of 126 Hay chỳng tụi cú kt qu ca ng nht thc : n n k n k k 2.1.7 ng nht thc 7: n n k k n.2 , n k n a Cõu hi: Trong kỡ thi ting hỏt hc trũ ca trng A Do cng mun tham gia nờn cụ chn mt ca t mt nhúm cú n hc sinh, m cụ mun nhúm cú mt bn lm qun ca din xng Cú bao nhiờu cỏch lp mt ca t mt nhúm cú n hc sinh ? b Tr li: + Cỏch 1: Vi mi s k 0, , n u tiờn, cụ chn k bn t n bn lp lp thnh ca Cụ cú n k cỏch Tip theo k bn c chn, cụ chn mt bn bt kỡ lm din xng Cụ cú k cỏch n Theo quy tc nhõn, cụ cú k cỏch la chn k Vy vi k t n n, tng cng cụ cú n n k k k cỏch chn + Cỏch 2: Do bn no cng cú nng khiu ca hỏt v mong mun tham gia Cụ chn bn din xng trc, cụ ly mt bn bt kỡ t n bn nhúm lm din xng Cụ cú n cỏch S bn cũn li ca nhúm l n bn M mi bn cũn li s cú hai kh nng tham gia hoc khụng tham gia, nờn n bn cụ cú 2n1 cỏch Theo quy tc nhõn, cụ cú n.2n1 cỏch la chn Footer Page 35 of 126 30 Header Page 36 of 126 Vy chỳng ta gii bi toỏn t theo hai cỏch n n k k k n.2 n n k n k k 2.1.8 ng nht thc 8: , n n 2 n a Cõu hi: Gi X cú n phn t Nh vy cú n ca X Th no l kớch c trung bỡnh ca ? b Tr li: + Cỏch 1: X: Tp cú n phn t A l ca X Kớch c trung bỡnh ca l: A A X 2n n k k n n k + Cỏch 2: hiu rừ hn v bn cht ta lm rừ cụng thc sau: Ta chia thnh tng cp, mi cp gm mt v phn bự ca nú Ta a mt vớ d bt kỡ hiu thờm v cụng thc trờn Vớ d: Xột A {1,2, , n} Chia A thnh cỏc Tp A1 1, ,k gm k phn t Tp A = {k +1, ,n-1,n} gm n k phn t ( Tp A : phn bự ca A1 ) k nk n 2 n Vy mi cp cú s phõn t trung bỡnh l n Hay kớch c trung bỡnh ca tt c cỏc l Kớch c trung bỡnh ca A1 v A l: Footer Page 36 of 126 31 Thang Long University Libraty Header Page 37 of 126 T hai cỏch tr li trờn cho chỳng ta ng nht thc n n k k n, n0 2 2.1.9 ng nht thc 9: k n m n k m n k j k j , j m 0, n a Cõu hi: T mt lp cú m n hc sinh, bao gm m hc sinh nam v n hc sinh n Cú bao nhiờu cỏch to mt t gm k thnh viờn? b Tr li: + Cỏch 1: m n Tt nhiờn ta cú cỏch to mt t ca lp k + Cỏch 2: Vi mi s j 0, , k u tiờn thy chn j thnh viờn t m bn nam trc m Ta cú: cỏch j Tip theo chn k j s thnh viờn cũn li t n hc sinh n n Thy cú k cỏch j Theo quy tc nhõn, thy cú k m n j k j cỏch la chn s thnh viờn j Vy chỳng ta gii bi toỏn t theo hai cỏch m n k m n k j . k j j Footer Page 37 of 126 32 Header Page 38 of 126 2.2 CC NG NHT THC NNG CAO: Gii tớch t hp khụng ch gii quyt cỏc bi toỏn c t i s t hp m cũn nhiu ng dng thỳ v cỏc ngnh toỏn hc khỏc Vớ d i s, s hc, hỡnh hc t hp, lý thuyt xỏc sut Cỏc h s nh thc thng c ny sinh mt cỏch t nhiờn s hc modular, i s giao hoỏn, lý thuyt modular, vỡ vy nhng ng thc liờn quan n h s nh thc úng mt vai trũ c bit quan trng Di õy chỳng tụi xin trỡnh by mt s vớ d v chng minh ng nht thc theo phng phỏp m Ni dung phn 2.2, chỳng tụi vit da theo mt s ti liu tham kho sau: Nguyn Hu Anh, Toỏn ri rc, NXB i hc Quc Gia TP H Chớ Minh, 2001 Trn Ngc Danh, Toỏn ri rc nõng cao, NXB i hc Quc Gia TP H Chớ Minh, 2003 Nguyn Khc Minh, Ti liu bi dng giỏo viờn, H Ni 1999 Tp Toỏn hc v tui tr, s 1, 2/20 n 2n 2.2.1 ng nht thc 10: k n k k n a Cõu hi: Chỳng tụi a tỡnh sau: Cú n nh khoa hc nghiờn cu vt lý v n nh khoa hc nghiờn cu toỏn hc cựng tham gia mt hi ngh khoa hc Hi cú bao nhiờu cỏch chn mt nhúm lm vic gm n ngi, ú cú mt nh vt lý lm nhúm trng? Footer Page 38 of 126 33 Thang Long University Libraty Header Page 39 of 126 b Tr li: + Cỏch 1: u tiờn chn nhúm trng l nh vt lý, cú n cỏch chn Sau ú, chn n thnh viờn cũn li t 2n nh vt lớ v nh 2n toỏn hc Nh vy, cú cỏch chn n 2n Theo quy tc nhõn, chỳng ta cú cỏch chn n nhúm nghiờn cu n khoa hc m nh vt lý lm trng nhúm + Cỏch 2: Vi mi s k 1, , n n Chỳng tụi chn k nh vt lý cú cỏch chn k Chn nhúm trng l nh vt lý, chỳng tụi cú k cỏch chn n Tip theo chn n k nh toỏn hc, cú cỏch chn n k n Theo quy tc nhõn chỳng tụi cú: k k k 2 n 2n Vy chỳng tụi ó chng minh ng nht thc 10: k n k k n n k n 2n 2.2.2 ng nht thc 11: n k n k k n k a Cõu hi: Tng t nh vớ d 2, chỳng tụi thy v phi l s cỏch chn n phn t t X gm 2n phn t nờn xột bi toỏn sau: Tớnh s cỏch chn n phn t t X gm 2n phn t? Footer Page 39 of 126 34 Header Page 40 of 126 b Tr li: + Cỏch 1: 2n Ta chn n phn t t gm 2n + phn t S cỏch chn chớnh bng n cỏch chn + Cỏch 2: Ta chia X thnh n cp v phn t x chn n phn t t X ta thc hin cỏc bc sau: n Bc 1: Ta chn k cp k 0, n t n cp ó chia, ta cú cỏch k Sau ú, mi cp ta chn mt phn t Mi phn t cú cỏch chn, nờn mi phn t k cú cỏch Ta cú k cỏch chn ổ nử Theo quy tc nhõn, ta cú k ỗ ữ cỏch chn ốkứ n k Bc 2: Chn cp n k cp cũn li n k n k n k n k Vỡ nu chn v nu n k l n k 2 2 Do ú, ta chn x nu n k l v khụng chn x nu n k chn n k n Theo quy tc nhõn, chỳng ta cú: n k cỏch chn k k Vy bng hai cỏch tr li cõu hi, chỳng t ụi ó chng minh c ng nht thc11: n k n k n 2n n k k n k n k Footer Page 40 of 126 35 Thang Long University Libraty Header Page 41 of 126 2.2.3 ng nht thc 12: n1 n2 nr n1 n2 nr k k1 k2 kr k1 k2 kr a Cõu hi: Chỳng tụi xõy dng tỡnh sau: Thy Th cú mt khay ng bỳt chỡ mu, cỏc cõy bỳt hỡnh thc thỡ khỏc nhng cú tt c r mu m1, m2 , , mr n1 bỳt mu m1 n2 bỳt mu m2 nr bỳt mu mr Cú bao nhiờu cỏch thy tng bn Huy k cõy bỳt bt kỡ? b Tr li: + Cỏch 1: n Chn k1 bỳt mu m1 cú cỏch k1 n Chn k bỳt mu m2 cú cỏch k2 n Tng t, chn k r bỳt mu mr cú r cỏch kr Cỏc s lng k1 , k2 , , kr thy cú th chn bt kỡ cho tng k1 k2 kr k Nh vy, theo quy tc nhõn thy cú tt c: n1 n2 nr cỏch k1 k2 kr k1 k2 kr + Cỏch 2: Thy ly ngu nhiờn k cõy bỳt tng s n1 n2 nr cõy n n nr bỳt ca thy, d nhiờn s cú: cỏch thy chn k Vy qua hai cỏch tr li, ta cú: Footer Page 41 of 126 36 Header Page 42 of 126 n1 n2 nr n1 n2 nr k k1 k2 kr k1 k2 kr 2n 2n 2n 2.2.4 ng nht thc 13: 22 n1 2n a Cõu hi: Xột bi toỏn: Cú 2n vt, hi cú bao nhiờu cỏch ly mt s chn vt ? b Tr li: Cỏch 1: Ta cú cỏc trng hp sau: 2n + Trng hp 1: Ly vt t 2n vt cú cỏch 2n + Trng hp 2: Ly vt t 2n vt cú cỏch + Trng hp th n ổ 2n Ly 2n vt t 2n vt, cú ỗ ữ cỏch ố 2nứ 2n 2n 2n Vy ỏp dng quy tc cng, ta cú: cỏch 2n Cỏch 2: Mi hnh ng ly mt vt, cú hai s la chn l ly (L) hoc khụng ly (K) Ta cú: 2n hnh ng thỡ cú 22n cỏch ly Nhng vỡ mun ly c mt s chn vt, mi ln chn (L) (hoc (K)) mt vt ta phi chn (L) hoc (K) thờm vt khỏc Nh vy, mi cỏch ly ó c m ln 22 n 22 n1 Do ú, s cỏch ly l: Footer Page 42 of 126 37 Thang Long University Libraty Header Page 43 of 126 T hai cỏch tr li trờn cho chỳng ta kt qu: 2n 2n 2n n 2n Vy ta ó chng minh c ng nht thc 13 bng phng phỏp m n n n n 2.2.5 ng nht thc 14: n n.2n1 n a Cõu hi: Ta bit, n chớnh l s cỏch ly mt phn t t mt gm n phn t 22 n1 l s ca gm n phn t Xột X x1; x2 ; ; xn Hóy m s cp a, A ú a X v A l mt ca X -1 = X/ {a} b Tr li: Cỏch 1: Ta cú: n cỏch chn a , vi mi cỏch chn a ta cú: 2n1 cỏch chn A Theo quy tc nhõn ta cú: n.2n1 cp a,A Cỏch 2: A l mt gm k phn t ca gm n phn t k 0, n n n nờn cỏch chn A k n k Mt cỏch chn A, chn a X \ A nờn cú n k cỏch chn a Khi k chy t n n Theo quy tc cng, ta cú: n n k n n n n n cp a,A n k n k Vy t hai cỏch tr li trờn cho ta kt qu Footer Page 43 of 126 38 Header Page 44 of 126 2.2.6 ng nht thc 15: n n i k n k i k k i k a Cõu hi: Ta ó bit, 2k l s ca mt gm k phn t n k l s gm k phn t ca gm n phn t Xột X x1; x2 ; ; xn Hóy m s cp (A, M) ú A l mt gm k phn t ca X M l mt ca A b Tr li: Cỏch 1: n Vỡ A cú k phn t nờn cỏch chn A k Mi cỏch chn A ta cú 2k cỏch chn M n Theo quy tc nhõn, ta cú: 2k cp (A, M) k Cỏch 2: n Ta cú: cỏch chn M i k k Sau chn M, ta chn k i phn t t n i phn t cũn li ta n i cú: cỏch chn k i n n i Theo quy tc nhõn, ta cú: cỏch chn k k i Vi i n k, ly tng cỏc cp (A, M) l n n i i k k i k Vy t hai cỏch tr li trờn cho chỳng ta kt qu: Footer Page 44 of 126 39 Thang Long University Libraty Header Page 45 of 126 n n i k n k i k k i k Chỳng ta ó chng minh c ng nht thc 15 Footer Page 45 of 126 40 Header Page 46 of 126 KT LUN Lun ó trỡnh by mt cỏch cú h thng tng quan v tớnh cht h s nh thc Trong chng mt, chỳng tụi ó gii thiu khỏi quỏt cỏc ng nht thc c bn, k thut m v mt s nguyờn lý c bn c bit chng hai chỳng tụi ó i nghiờn cu, chng minh chi tit cỏc ng nht nht thc bng phng phỏp m s phn t ca mt hp bng hai cỏch Trờn c s ú, chng minh cỏc ng nht thc bng cỏch xõy dng cỏc tỡnh cho hc sinh tip thu v to hng thỳ vi mụn hc chng hai, chỳng tụi cũn nghiờn cu cỏc ng nht thc nõng cao, cựng da trờn phng phỏp m s phn t Cui chng, chỳng tụi cũn a mt s ng nht thc nõng cao nhm s dng phng phỏp chng hai, cho hc sinh hiu thờm v mt cỏch mi chng minh cỏc ng nht thc Kt qu ca lun nhm nõng cao cht lng dy v hc toỏn t hp xỏc sut, nhm phỏt trin t toỏn hc cho hc sinh la tui trung hc c s v c bit to tin cho cỏc em yờu thớch, tỡm hiu chuyờn sõu v toỏn t hp, c gi l mụn hc khú cp ny Cui cựng chỳng tụi xin c nờu mt s cú th m rng nghiờn cu tip theo tng lai, ú l: - Cỏc ng nht thc an du - ng dng ca h s nh thc gii mt s bi toỏn thi i hc cng nh thi Olympic quc gia v cp quc t Hay gii cỏc bi toỏn liờn quan n phc ca cỏc thut toỏn cng nh gii cỏc bi toỏn lnh vc tin hc - ng dng ca nguyờn lý bao hm v loi tr cuc sng, hay gii cỏc bi toỏn phc v cỏc bi toỏn liờn quan n lnh vc tin hc Footer Page 46 of 126 41 Thang Long University Libraty Header Page 47 of 126 TI LIU THAM KHO Nguyn Hu Anh, Toỏn ri rc, NXB i hc Quc Gia TP H Chớ Minh, 2001 Trn Ngc Danh, Toỏn ri rc nõng cao, NXB i hc Quc Gia TP H Chớ Minh, 2003 Nguyn Khc Minh, Ti liu bi dng giỏo viờn, H Ni 1999 Tp Toỏn hc v tui tr, s 1, 2/2001 Schaum's Outline of Discrete Mathematics, McGraw - Hill, 1977 Benjamin Arthur T., and Jennifer J Quinn, Proofs that really count: the art of combinatorial proof No 27 MAA, 2003 Footer Page 47 of 126 42 Header Page 48 of 126 LI CM N Trong thi gian hc v nghiờn cu ti trng c s quan tõm giỳp ca Khoa Toỏn - Tin, phũng Sau i hc v Qun lý khoa hc, Trng i hc Thng Long, v c bit l s hng dn ca thy giỏo PGS.TS V Th Khụi tụi cú th tin hnh nghiờn cu ti Mt s tớnh cht ca h s nh thc n chỳng tụi ó hon thnh ti hon thnh lun ny, ngoi s n lc ca bn thõn, tụi cũn nhn c rt nhiu s giỳp , úng gúp ý kin ca nhiu cỏ nhõn v th Tụi xin by t lũng bit n sõu sc n: Quý thy cụ giỏo Khoa Toỏn - Tin, phũng Sau i hc v Qun lý khoa hc, Trng i hc Thng Long ó tn tỡnh ging dy trang b kin thc cho tụi sut quỏ trỡnh hc ti ngụi trng ny c bit, tụi xin gi li cm n chõn thnh nht ti Thy PGS.TS V Th Khụi - ngi Thy ó trc tip ging dy, hng dn, ng viờn v giỳp tụi hon thnh lun ny Bờn cnh ú, tụi khụng th khụng nhc n s ng viờn, giỳp t th lp Cao hc Toỏn Thng Long khúa õy, chỳng tụi sng v giỳp nh mt gia ỡnh V cui cựng, ngi tụi mun cm n nht l gia ỡnh v nhng ngi thõn ca tụi, v mt ngi c bit ??? tụi li gi l c bit vỡ ngi ú ó theo tụi t u n sut quỏ trỡnh hc - trai - tỡnh yờu nh ca tụi luụn ngoan ngoón nh cho tụi cú th hon thnh lun Mc dự ht sc n lc v c gng, nhng kin thc v kinh nghim cũn hn ch nờn ti khụng trỏnh nhng sai sút, rt mong c s ch o lun ca tụi cú th c hon thin hn na Hi Phũng, thỏng 7, nm 2015 TC GI LUN VN Nguyn Th Thu Giang Footer Page 48 of 126 Thang Long University Libraty ... 1: Giới thiệu hệ số nhị thức Chương 2: Các đồng thức hệ số nhị thức Footer Page of 126 Thang Long University Libraty Header Page of 126 CHƯƠNG GIỚI THIỆU VỀ HỆ SỐ NHỊ THỨC VÀ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ... 18 1.3.7 Tính số phần tử tập hợp tập hợp: 21 CHƯƠNG 2: CÁC ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA HỆ SỐ NHỊ THỨC 24 2.1 CÁC ĐỒNG NHẤT THỨC CƠ BẢN 24 2.1.1 Đồng thức 24 2.1.2 Đồng thức ... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG NGUYỄN THỊ THU GIANG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HỆ SỐ NHỊ THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC MÃ SỐ 60460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS VŨ THẾ KHÔI Hà Nội