Một số tính chất của hệ số nhị thực

B GIO DC V O TO TRNG I HC THNG LONG NGUYN TH THU GIANG MT S TNH CHT CA H S NH THC LUN VN THC S TON HC M S 60460113 H Ni Nm 2015 B GIO DC V O TO TRNG I HC THNG LONG NGUYN TH THU GIANG MT S TNH CHT CA H S NH THC LUN VN THC S TON HC M S 60460113 NGI HNG DN KHOA HC : PGS.TS V TH KHễI H Ni Nm 2015 Thang Long University Libraty LI CAM OAN Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cu riờng ca tụi Cỏc s liu nờu lun l trung thc v cha c cụng b bt kỡ cụng trỡnh no khỏc Tỏc gi lun NGUYN TH THU GIANG MC LC M U CHNG 1: GII THIU V H S NH THC V KIN THC CHUN B 1.1 LCH S TON T HP TRONG CP THCS: 1.2 GII THIU V H S NH THC: 1.2.1 nh ngha: 1.2.2 Cụng thc: 1.3 K THUT M: 1.3.1 Mt s kin thc c bn ca t hp: 1.3.2 Cụng thc bao hm v loi tr: 1.3.3 Hai quy tc c bn ca phộp m: 11 1.3.4 Hoỏn v: 13 1.3.5 Chnh hp: 16 1.3.6 T hp: 18 1.3.7 Tớnh s phn t ca mt hp cỏc hp: 21 CHNG 2: CC NG NHT THC CA H S NH THC 24 2.1 CC NG NHT THC C BN 24 2.1.1 ng nht thc 24 2.1.2 ng nht thc 25 2.1.3 ng nht thc 26 2.1.4 ng nht thc 27 2.1.5 ng nht thc 28 2.1.6 ng nht thc 29 2.1.7 ng nht thc 30 2.1.8 ng nht thc 31 2.1.9 ng nht thc 32 2.2 CC NG NHT THC NNG CAO 33 2.2.1 ng nht thc 10 33 Thang Long University Libraty 2.2.2 ng nht thc 11 34 2.2.3 ng nht thc 12 36 2.2.4 ng nht thc 13 37 2.2.5 ng nht thc 14 38 2.2.6 ng nht thc 15 39 KT LUN 41 TI LIU THAM KHO 42 M U Lý chn ti: Trong nhng nm hc trờn gh nh trng v quỏ trỡnh ging dy, tụi nhn thy rng i vi a s hc sinh vic tip thu kin thc chng t hp xỏc sut l rt khú khn õy l phn kin thc mi chng trỡnh sỏch giỏo khoa Ch yu cỏc kin thc chuyờn sõu v xỏc sut trung chng trỡnh cao ng - i hc nờn ú cng l mt khú khn cho cỏc thy cụ giỏo ging dy la tui THPT - THCS vic ỏp dng phng phỏp ging dy cho phự hp Cỏc em thng rt mỏy múc, nu gp toỏn l l khụng bit cỏch gii quyt hay cha t hng gii quyt Hc sinh thiu tớnh ch ng vic tip thu kin thc Vỡ vy kin thc d quờn v kt qu hc cha cao Hay hc sinh tip nhn kin thc mt cỏch th ng, ch yu theo li c chộp hay thiu tớnh t logic Vy lm th no hc sinh hc tt phn kin thc ny? ú chớnh l mt nhng lý thụi thỳc chỳng tụi thc hin ti Mt s tớnh cht ca h s nh thc Khụng ging nh nhng cỏch chng minh thụng thng sỏch giỏo khoa, õy chỳng tụi s chng minh cỏc ng nht thc bng phng phỏp mi, ú l phng phỏp t cỏc cõu hi v tr li bng hai cỏch hon ton theo toỏn t hp thun tỳy õy l phng phỏp tip cn khỏ mi ti Vit Nam nhng ó c s dng rng rói trờn ton th gii v t nhiu thnh tu cao Lch s nghiờn cu: Ni dung toỏn t hp a vo ging dy t cp trung hc ph thụng hu ht cỏc nc trờn th gii Tuy nhiờn, Vit Nam ni dung toỏn t hp c a vo sỏch giỏo khoa lp 11 nm 2000 vi lng kin thc cũn hn ch Dy hc phỏt hin v gii quyt l phng phỏp dy hc tớch cc ỏp ng yờu Thang Long University Libraty cu xó hi Xong ỏp dng phng phỏp ny ging dy hiu qu ni dung khú nh toỏn t hp thỡ cn s úng gúp ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc nh khoa hc Mc ớch nghiờn cu: Dy hc sinh chng minh h s nh thc, cỏc ng nht thc bng nh ngha t hp thun tỳy m khụng s dng phng phỏp quy np Rốn luyn cho hc sinh t mt cỏch logic, t tru tng toỏn t hp Phm vi v i tng nghiờn cu: - i tng nghiờn cu: Hc sinh trung hc c s v giỏo viờn toỏn cp trung hc c s - Phm vi nghiờn cu: Cỏc trng cp trung hc c s Mu kho sỏt: Xem xột vic ỏp dng dy hc chng minh cỏc ng nht thc bng phng phỏp t hp m Cõu hi nghiờn cu: Vn dng phng phỏp t hp m tip thu tt hn kin thc c v li chng minh c cỏc ng nht thc Gi thuyt nghiờn cu: Khi hc sinh c hc chng t hp xỏc sut theo phng phỏp dy hc mi l phng phỏp t hp m, t cõu hi v tr li hon ton theo toỏn t hp thun tỳy Cỏc em s tip thu bi tt hn, ngoi cỏc em cú th m rng bi toỏn v cú nhng sỏng to toỏn hc Phng phỏp nghiờn cu: Nghiờn cu sỏch giỏo khoa toỏn trung hc c s, c bit cỏc 6, 7, 8, Cỏc ti tham kho, kt hp vic nghiờn cu v thc hnh chng minh toỏn t hp S dng phng phỏp dy hc truyn thng v hin i mt cỏch an xen Cỏc lun c thu nhp c: 9.1 Lun c lớ thuyt: - Lý thuyt dy hc phỏt hin v gii quyt - Thc trng dy v hc trng trung hc c s - Dy hc phỏt hin v gii quyt toỏn 9.2 Lun c thc t: Kt qu thc nghim v nng lc hc ca hc sinh sau quỏ trỡnh ging dy ca giỏo viờn lp thc nghim 10 Cu trỳc lun vn: Ngoi phn m u, kt lun khuyn ngh, ti liu tham kho, ph lc, ni dung chớnh ca lun c trỡnh by chng Chng 1: Gii thiu v h s nh thc Chng 2: Cỏc ng nht thc ca h s nh thc Thang Long University Libraty CHNG GII THIU V H S NH THC V KIN THC CHUN B chng 1, chỳng tụi xin trỡnh by khỏi quỏt v lch s toỏn t hp cp trung hc c s, gii thiu v h s nh thc Nhng kin thc chun v k thut m, cỏc nguyờn lý m c bn, cỏc khỏi nim c bn hm toỏn hc s c chỳng tụi gii thiu theo phng phỏp m Kin thc chớnh chng ny, chỳng tụi s dng mt s ti liu tham kho sau: Nguyn Hu Anh, Toỏn ri rc, NXB i hc Quc Gia TP H Chớ Minh, 2001 Trn Ngc Danh, Toỏn ri rc nõng cao, NXB i hc Quc Gia TP H Minh Schaum's Outline of Discrete Mathematics, McGraw - Hill, 1977 1.1 LCH S TON T HP TRONG CP THCS: Ni dung: i s t hp cung cp kin thc c bn v i s t hp v lý thuyt sỏc xut i s t hp, cũn gii thiu v hai quy tc m c bn, cỏc khỏi nim, cỏc cụng thc v hoỏn v, chớnh hp, t hp, cụng thc khai trin nh thc Niu-tn v ỏp dng ca nú Nú cũn cung cp khỏi nim m u v cỏc cụng thc n gin nht ca lớ thuyt xỏc sut, mt lnh vc quan trng ca Toỏn hc, cú nhiu ng dng thc t Trong nhng nm 80 ca th k trc, i s t hp a vo chng trỡnh sỏch giỏo khoa v mang tớnh cht gii thiu n nm 1994 - 1995, chng trỡnh thớ im chuyờn ban, i s t hp c a vo dy cựng xỏc sut Mc tiờu dy hc phn ny l hỡnh thnh khỏi nim ban u v i s t hp, hc sinh cn nm c cỏc quy tc m, cỏch tớnh s hoỏn v, chớnh hp, t hp, bit cỏch ỏp dng vo cỏc bi toỏn, n gin ca thc tin v xỏc sut c in, ng thi bit cụng thc khai trin nh thc Niu-tn v s dng cụng thc ú vo vic gii toỏn 1.2 GII THIU V H S NH THC: 1.2.1 nh ngha: * nh ngha: xnx Chỳng ta nh ngha x x l s cú k phn t ( k phn t khỏc xk x v khụng phõn bit th t) ly t gm n phn t Núi mt cỏch xnx khỏc, x x c tớnh theo cỏch chn cú k phn t t cú n phn t xk x m th t sp xp l khụng quan trng 1.2.2 Cụng thc: xnxn! x xk x n xca k xng ! nht thc s c chỳng tụi chng Cụng thc nyxlx kh!x qu minh chng xnx x k x c l t hp n chp k xx Lu ý rng, mt s quc gia chõu ú cú Vit Nam thng ký k hiu t hp n chp k l Cn xnx Ton b lun ny, chỳng tụi s dng ký hiu quc t l x x xk x Thang Long University Libraty T hai cỏch tr li trờn cho chỳng tụi ng nht thc 5: x n x nx1 x x 2k x x , x n x 1x k x0 xx xnxx n x 1x 2.1.6 ng nht thc 6: k x x x n xx, xk xx k x 1x x0 x k x nx a Cõu hi: Trong mt hi thi "Ai thụng minh nht", thy giỏo mun chn mt i thi u gm k ngi Cú bao nhiờu cỏch lp mt i thi u gm k thnh viờn t mt lp cú n hc sinh m ú chn mt bn lm i trng? b Tr li: + Cỏch 1: u tiờn, thy chn k bn n bn thnh lp i thi u, thy xnx cú x x cỏch xk x T k bn, chn mt bn bt k lm i trng, thy cú: k cỏch la chn xnx T ú, theo quy tc nhõn, thy cú: k x x cỏch la chn cỏc bn tham xk x gia thi u + Cỏch 2: Thy chn bn i trng trc Thy chn mt bn t n bn, thy cú n cỏch Sau ú, s bn cũn li l x n x 1x Thy chn x k x 1x bn t x n x 1x bn cũn li x n x 1x Theo quy tc nhõn, thy cú: n xx cỏch la chn cỏc bn tham gia x k x 1x thi u Vy chỳng ta gii bi toỏn t theo hai cỏch 29 Thang Long University Libraty Hay chỳng tụi cú kt qu ca ng nht thc : xnxx n x 1x k x x x nxx kxk x 1xxx xnx n 2.1.7 ng nht thc 7: x k x x x n.2nx1 , x n x 1x a Cõu hi: k x0 xkx Trong kỡ thi ting hỏt hc trũ ca trng A Do cng mun tham gia nờn cụ chn mt ca t mt nhúm cú n hc sinh, m cụ mun nhúm cú mt bn lm qun ca din xng Cú bao nhiờu cỏch lp mt ca t mt nhúm cú n hc sinh ? b Tr li: + Cỏch 1: Vi mi s k x 0, , n u tiờn, cụ chn k bn t n bn lp lp thnh ca Cụ cú xnx x k x cỏch xx Tip theo k bn c chn, cụ chn mt bn bt kỡ lm din xng Cụ cú k cỏch xnx Theo quy tc nhõn, cụ cú k x x cỏch la chn xk x xnx n Vy vi k t n n, tng cng cụ cú x k x x cỏch chn k x0 x k x + Cỏch 2: Do bn no cng cú nng khiu ca hỏt v mong mun tham gia Cụ chn bn din xng trc, cụ ly mt bn bt kỡ t n bn nhúm lm din xng Cụ cú n cỏch S bn cũn li ca nhúm l x n x 1x bn M mi bn cũn li s cú hai kh nng tham gia hoc khụng tham gia, nờn x n x 1x bn cụ cú 2nx1 cỏch Theo quy tc nhõn, cụ cú n.2nx1 cỏch la chn 30 Vy chỳng ta gii bi toỏn t theo hai cỏch n xnx x k x k x x n.2 k x0 xnx nx1 xx n xk x k x n x2.1.8 ng nht thc 8: k x0 n x x , x n x x a Cõu hi: 22 Gi X cú n phn t Nh vy cú n ca X Th no l kớch c trung bỡnh ca ? b Tr li: + Cỏch 1: X: Tp cú n phn t A l ca X xnx kx x xA n xk x Kớch c trung bỡnh ca l: Ax X n x x n 2k x0 + Cỏch 2: hiu rừ hn v bn cht ta lm rừ cụng thc sau: Ta chia thnh tng cp, mi cp gm mt v phn bự ca nú Ta a mt vớ d bt kỡ hiu thờm v cụng thc trờn Vớ d: Xột A x {1,2, , n} Chia A thnh cỏc Tp A1 x x1, ,kx gm k phn t Tp A = {k +1, ,n-1,n} gm x n x k x phn t ( Tp A : phn bự ca A1 ) k xnxk n Kớch c trung bỡnh ca A x v A l: 22 n Vy mi cp cú s phõn t trung bỡnh l n Hay kớch c trung bỡnh ca tt c cỏc l 31 Thang Long University Libraty T hai cỏch tr li trờn cho chỳng ta ng nht thc xnx kx x n x kn xx x , x n x 0xn x m x n x k x22 m xx n x 2.1.9 ng nht thc x, 9: x k x x x x j xx k x jx xx j x0 x xx k x0 x m x 0, n x x a Cõu hi: T mt lp cú x m x n x hc sinh, bao gm m hc sinh nam v n hc sinh n Cú bao nhiờu cỏch to mt t gm k thnh viờn? b Tr li: + Cỏch 1: xm x nx Tt nhiờn ta cú xx cỏch to mt t ca lp xkx + Cỏch 2: Vi mi s j x 0, , k u tiờn thy chn j thnh viờn t m bn nam trc xmx Ta cú: x x cỏch xjx Tip theo chn x k x j x s thnh viờn cũn li t n hc sinh n xn Thy cú x xk x x x cỏch jx x m xx n x x x j xx k x jxx cỏch la chn s thnh viờn j x0 xxx Vy chỳng ta gii bi toỏn t theo hai cỏch k Theo quy tc nhõn, thy cú x m x nx k x mx x n x jx x x k x x x x j x.x k x xx j x0 x x x 32 2.2 CC NG NHT THC NNG CAO: Gii tớch t hp khụng ch gii quyt cỏc bi toỏn c t i s t hp m cũn nhiu ng dng thỳ v cỏc ngnh toỏn hc khỏc Vớ d i s, s hc, hỡnh hc t hp, lý thuyt xỏc sut Cỏc h s nh thc thng c ny sinh mt cỏch t nhiờn s hc modular, i s giao hoỏn, lý thuyt modular, vỡ vy nhng ng thc liờn quan n h s nh thc úng mt vai trũ c bit quan trng Di õy chỳng tụi xin trỡnh by mt s vớ d v chng minh ng nht thc theo phng phỏp m Ni dung phn 2.2, chỳng tụi vit da theo mt s ti liu tham kho sau: Nguyn Hu Anh, Toỏn ri rc, NXB i hc Quc Gia TP H Chớ Minh, 2001 Trn Ngc Danh, Toỏn ri rc nõng cao, NXB i hc Quc Gia TP H Chớ Minh, 2003 Nguyn Khc Minh, Ti liu bi dng giỏo viờn, H Ni 1999 Tp Toỏn hc v tui tr, s 1, 2/20 xnxx 2n x x 2.2.1 ng nht thc 10: x k x x x n xx kxn x1 xk x1 xx a Cõu hi: Chỳng tụi a tỡnh sau: Cú n nh khoa hc nghiờn cu vt lý v n nh khoa hc nghiờn cu toỏn hc cựng tham gia mt hi ngh khoa hc Hi cú bao nhiờu cỏch chn mt nhúm lm vic gm n ngi, ú cú mt nh vt lý lm nhúm trng? 33 Thang Long University Libraty b Tr li: + Cỏch 1: u tiờn chn nhúm trng l nh vt lý, cú n cỏch chn Sau ú, chn x n x 1x thnh viờn cũn li t x 2n x 1x nh vt lớ v nh x 2n x x toỏn hc Nh vy, cú xx cỏch chn x n x1 x x 2n x x Theo quy tc nhõn, chỳng ta cú cỏch chn n xx nhúm nghiờn cu x n x1 x khoa hc m nh vt lý lm trng nhúm + Cỏch 2: Vi mi s k x 1, , n xnx Chỳng tụi chn k nh vt lý cú x x cỏch chn xk x Chn nhúm trng l nh vt lý, chỳng tụi cú k cỏch chn Tip theo chn x xnx n x k x nh toỏn hc, cú xx cỏch chn xn x k x xnx Theo quy tc nhõn chỳng tụi cú: x k x x k x1 x k x xnxx 2n x x Vy chỳng tụi ó chng minh ng nht thc 10: x k x x x n xx n x1 xk x1 x k xx xn x k x n x n xxx 2n x 1x 2k x x n x k x x x2.2.2 ng nht thc 11: x a Cõu hi: x x n xk x0x k xxx x2x Tng t nh vớ d 2, chỳng tụi thy v phi l s cỏch chn n phn t t X gm 2n x phn t nờn xột bi toỏn sau: Tớnh s cỏch chn n phn t t X gm 2n x phn t? 34 b Tr li: + Cỏch 1: x 2n x x Ta chn n phn t t gm 2n + phn t S cỏch chn chớnh bng x nx xx cỏch chn + Cỏch 2: Ta chia X thnh n cp v phn t x chn n phn t t X ta thc hin cỏc bc sau: xnx Bc 1: Ta chn k cp k x 0, n t n cp ó chia, ta cú x x cỏch xk x Sau ú, mi cp ta chn mt phn t Mi phn t cú cỏch chn, nờn x x mi phn t k cú cỏch Ta cú k cỏch chn ổử kn Theo quy tc nhõn, ta cú ỗ ữ cỏch chn ốkứ xn x k x Bc 2: Chn xx cp x n x k x cp cũn li x2x xn x k x n x kx n x k x n x k x1 Vỡ xnu x n x k x chn v xnu x n x k x l.x xxx Do ú,22x ta chn xxx2nu x x n x k x l v khụng chn x nu x n x k x chn xn x k x x n xx n Theo quy tc nhõn, chỳng ta cú: x 2k x x n x k x cỏch chn x k x0x k xx x2x Vy bng hai cỏch tr li cõu hi, chỳng t ụi ó chng minh xn x k x c ng nht thc11:n x n xxx 2n x 1x k x x n x k x x xx k x x x n xk x0x xx x2x 35 Thang Long University Libraty x n1 xx n2 x x nr x x n1 x n2 x x nr x 2.2.3 ng nht thc 12: x x xx x x x x xx kk x k x x k x k1 xx k2 x x kr xxx a Cõu hi: Chỳng tụi xõy dng tỡnh sau: Thy Th cú mt khay ng bỳt chỡ mu, cỏc cõy bỳt hỡnh thc thỡ khỏc nhng cú tt c r mu r x m1, m2 , , mr x n1 bỳt mu m1 n2 bỳt mu m2 nr bỳt mu mr Cú bao nhiờu cỏch thy tng bn Huy k cõy bỳt bt kỡ? b Tr li: + Cỏch 1: x n1 x Chn k1 bỳt mu m1 cú x x cỏch x k1 x x n2 x Chn k bỳt mu m2 cú x x cỏch x k2 x x nr x Tng t, chn k r bỳt mu mr cú x x cỏch x kr x Cỏc s lng k1 , k2 , , kr thy cú th chn bt kỡ cho tng k1 x k2 x x kr x k Nh vy, theo quy tc nhõn thy cú tt c: x n1 xx n2 x x nr x x x k xx k x x k x cỏch x xx x x r x xk k1 x k2 x r + Cỏch 2: Thy ly ngu nhiờn k cõy bỳt tng s x n1 x n2 x x nr x cõy x n1 x n2 x x nr x bỳt ca thy, d nhiờn s cú: xx cỏch thy chn kxx Vy qua hai cỏch tr li, ta cú: 36 x n1 xx n2 x x nr x x n1 x n2 x x nr x x xk x k xx k x x k x x x x kk x k x x xx x x r xxx r x 2n x x 2n xx 2n x nx1 2.2.4 ng nht thc 13: x x x x x x x x x x x0 x x xx 2n x a Cõu hi: Xột bi toỏn: Cú 2n vt, hi cú bao nhiờu cỏch ly mt s chn vt ? b Tr li: Cỏch 1: Ta cú cỏc trng hp sau: x 2n x + Trng hp 1: Ly vt t 2n vt cú x x cỏch x0 x x 2n x + Trng hp 2: Ly vt t 2n vt cú x x cỏch x2 x + Trng hp th n x ổ 2n Ly 2n vt t 2n vt, cú ỗ ữ cỏch ố 2nứ x 2n x x 2n xx 2n x Vy ỏp dng quy tc cng, ta cú: x x x x x x x x x cỏch x0 x x2 xx 2n x Cỏch 2: Mi hnh ng ly mt vt, cú hai s la chn l ly (L) hoc khụng ly (K) Ta cú: 2n hnh ng thỡ cú 22n cỏch ly Nhng vỡ mun ly c mt s chn vt, mi ln chn (L) (hoc (K)) mt vt ta phi chn (L) hoc (K) thờm vt khỏc Nh vy, mi cỏch ly ó c m ln 22 n x 22 nx1Do ú, s cỏch ly l: 37 Thang Long University Libraty T hai cỏch tr li trờn cho chỳng ta kt qu: x 2n x x 2n xx 2n x x x x x x x x x 22 nx1 x0 x x xx 2n x c ng nht thc 13 bng phng phỏp m Vy ta xóxchng minh xnx xnx xnxxnx 2.2.5 ng nht thc 14: x x x x x x 3x x x x n x x x n.2nx1 x1 x x x x xxnx a Cõu hi: Ta bit, n chớnh l s cỏch ly mt phn t t mt gm n phn t 22 nx1 l s ca gm x n x 1x phn t Xột X x xx1; x2 ; ; xn x Hóy m s cp x a, A x ú a x X v A l mt ca X -1 = X/ {a} b Tr li: Cỏch 1: Ta cú: n cỏch chn a , vi mi cỏch chn a ta cú: 2nx1 cỏch chn A Theo quy tc nhõn ta cú: n.2nx1 cp x a,A x Cỏch 2: x A l mt gm k phn t ca gm n phn t k x 0, n x xnx xnx nờn x x x xx cỏch chn A xk x xn x k x Mt cỏch chn A, chn a x X \ A nờn cú x n x k x cỏch chn a Khi k chy t n x n x 1x Theo quy tc cng, ta cú: n xn x k x xnx xnxxnx n x k xxx x x x x x x x n x x cp x a,A x xx x 1k x0xnx x x x 2xx nx Vy t hai cỏch tr li trờn cho ta kt qu 38 x k x n xx n x i xk xnx 2.2.6 ng nht thc 15: x x xx x x xk x a Cõu hi: i x0 x k xx k x i xx x Ta ó bit, 2k l s ca mt gm k phn t xnx x k x l s gm k phn t ca gm n phn t xx Xột X x xx1; x2 ; ; xn x Hóy m s cp (A, M) ú A l mt gm k phn t ca X M l mt ca A b Tr li: Cỏch 1: xnx Vỡ A cú k phn t nờn x x cỏch chn A xk x Mi cỏch chn A ta cú 2k cỏch chn M xnx Theo quy tc nhõn, ta cú: 2k x x cp (A, M) xk x Cỏch 2: xnx Ta cú: x x cỏch chn M x x i x k x xk x Sau chn M, ta chn x k x i x phn t t x n x i x phn t cũn li ta xn xix cú: xx cỏch chn xk xix x n xx n x i x Theo quy tc nhõn, ta cú: x xxx cỏch chn x k xx k x i x Vi i x n k, ly tng cỏc cp (A, M) l k x x k xx k x i x i x0 Vy t hai cỏch tr li trờn cho chỳng ta kt qu: 39 Thang Long University Libraty x n xx n x i x x xxx k x n xx n x i xk xnx x x k xx k x i x x x k x i x0 x xxxx x Chỳng ta ó chng minh c ng nht thc 15 40 KT LUN Lun ó trỡnh by mt cỏch cú h thng tng quan v tớnh cht h s nh thc Trong chng mt, chỳng tụi ó gii thiu khỏi quỏt cỏc ng nht thc c bn, k thut m v mt s nguyờn lý c bn c bit chng hai chỳng tụi ó i nghiờn cu, chng minh chi tit cỏc ng nht nht thc bng phng phỏp m s phn t ca mt hp bng hai cỏch Trờn c s ú, chng minh cỏc ng nht thc bng cỏch xõy dng cỏc tỡnh cho hc sinh tip thu v to hng thỳ vi mụn hc chng hai, chỳng tụi cũn nghiờn cu cỏc ng nht thc nõng cao, cựng da trờn phng phỏp m s phn t Cui chng, chỳng tụi cũn a mt s ng nht thc nõng cao nhm s dng phng phỏp chng hai, cho hc sinh hiu thờm v mt cỏch mi chng minh cỏc ng nht thc Kt qu ca lun nhm nõng cao cht lng dy v hc toỏn t hp xỏc sut, nhm phỏt trin t toỏn hc cho hc sinh la tui trung hc c s v c bit to tin cho cỏc em yờu thớch, tỡm hiu chuyờn sõu v toỏn t hp, c gi l mụn hc khú cp ny Cui cựng chỳng tụi xin c nờu mt s cú th m rng nghiờn cu tip theo tng lai, ú l: - Cỏc ng nht thc an du - ng dng ca h s nh thc gii mt s bi toỏn thi i hc cng nh thi Olympic quc gia v cp quc t Hay gii cỏc bi toỏn liờn quan n phc ca cỏc thut toỏn cng nh gii cỏc bi toỏn lnh vc tin hc - ng dng ca nguyờn lý bao hm v loi tr cuc sng, hay gii cỏc bi toỏn phc v cỏc bi toỏn liờn quan n lnh vc tin hc 41 Thang Long University Libraty TI LIU THAM KHO Nguyn Hu Anh, Toỏn ri rc, NXB i hc Quc Gia TP H Chớ Minh, 2001 Trn Ngc Danh, Toỏn ri rc nõng cao, NXB i hc Quc Gia TP H Chớ Minh, 2003 Nguyn Khc Minh, Ti liu bi dng giỏo viờn, H Ni 1999 Tp Toỏn hc v tui tr, s 1, 2/2001 Schaum's Outline of Discrete Mathematics, McGraw - Hill, 1977 Benjamin Arthur T., and Jennifer J Quinn, Proofs that really count: the art of combinatorial proof No 27 MAA, 2003 42 LI CM N Trong thi gian hc v nghiờn cu ti trng c s quan tõm giỳp ca Khoa Toỏn - Tin, phũng Sau i hc v Qun lý khoa hc, Trng i hc Thng Long, v c bit l s hng dn ca thy giỏo PGS.TS V Th Khụi tụi cú th tin hnh nghiờn cu ti Mt s tớnh cht ca h s nh thc n chỳng tụi ó hon thnh ti hon thnh lun ny, ngoi s n lc ca bn thõn, tụi cũn nhn c rt nhiu s giỳp , úng gúp ý kin ca nhiu cỏ nhõn v th Tụi xin by t lũng bit n sõu sc n: Quý thy cụ giỏo Khoa Toỏn - Tin, phũng Sau i hc v Qun lý khoa hc, Trng i hc Thng Long ó tn tỡnh ging dy trang b kin thc cho tụi sut quỏ trỡnh hc ti ngụi trng ny c bit, tụi xin gi li cm n chõn thnh nht ti Thy PGS.TS V Th Khụi - ngi Thy ó trc tip ging dy, hng dn, ng viờn v giỳp tụi hon thnh lun ny Bờn cnh ú, tụi khụng th khụng nhc n s ng viờn, giỳp t th lp Cao hc Toỏn Thng Long khúa õy, chỳng tụi sng v giỳp nh mt gia ỡnh V cui cựng, ngi tụi mun cm n nht l gia ỡnh v nhng ngi thõn ca tụi, v mt ngi c bit ??? tụi li gi l c bit vỡ ngi ú ó theo tụi t u n sut quỏ trỡnh hc - trai - tỡnh yờu nh ca tụi luụn ngoan ngoón nh cho tụi cú th hon thnh lun Mc dự ht sc n lc v c gng, nhng kin thc v kinh nghim cũn hn ch nờn ti khụng trỏnh nhng sai sút, rt mong c s ch o lun ca tụi cú th c hon thin hn na Hi Phũng, thỏng 7, nm 2015 TC GI LUN VN Nguyn Th Thu Giang Thang Long University Libraty [...]... bao nhiêu số gồm sáu chữ số, không trùng nhau? Giải: Mỗi số cần lập là một hoán vị của 6 số đã cho Do đó, số cần lập bằng đúng số các hoán vị của 6 phần tử Do đó ta có tổng số các số có 6 chữ số cần lập là: P6 x 6! x 720 Ví dụ: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số, không trùng nhau Giải: Do các số có 6 chữ số cần lập là các số tự nhiên nên chứa số 0 không... 1.3.4 Hoán vị: Hoán vị thực chất là một cách sắp xếp nào đó các phần tử của một tập hợp a Hoán vị không lặp: * Định nghĩa: Cho một tập hợp gồm n x n x 1x phần tử Một cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó (mỗi phần tử có mặt đúng một lần) được gọi là một hoán vị của n phần tử đã cho Kí hiệu số hoán vị của n phần tử bằng Pn Ta có công thức: Pn x n! Ví dụ: Với sáu chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có... trong đó chữ số 4 có mặt đúng ba lần, còn các chữ số khác có mặt đúng một lần Giải: Gọi n x a 1a2 a3 a7 (ai x X x x0,1,2,3,4,4,4x) là số cần lập Áp dụng công thức ta có số n được lập kể cả các số n có dạng 0a2a3 a7 là 7! 3! 6! 3! Số các số n có dạng 0a2a3 a7 là Vậy số các số n đúng yêu cầu bài toán là 7! 6! - = 720 số 3! 3! Ví dụ: Với sáu chữ số 0, 1, 2, 3, 4 ,5 có thể lặp được bao nhiêu số chia hết... thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử thuộc A Kí hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử bằng Ak Số chỉnh hợp n chập k của n phần tử được tính bởi công thức: A k x n x n x 1x x n x k x1x n! xn x n x k x! Ví dụ: Một lớp học có 25 học sinh Muốn chọn ra một lớp trưởng, một lớp phó và một thủ quỹ mà không cho kiêm nhiệm Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? Giải: Mỗi các chọn ra một. .. bao nhiêu số chia hết cho 5 gồm 11 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 4 lần, chữ số 2 có mặt 3 lần, chữ số 3 có mặt 2 lần, chữ số 4 có mặt 1 lần và tổng số lần xuất hiện của chữ số 0 và chữ số 5 là 1 lần 15 Thang Long University Libraty Giải: Gọi số cần lập là n x a1a2 a3 a11 Do n chia hết cho 5 nên n phải tận cùng bằng 0 hoặc 5 Vì tổng số lần xuất hiện trong n của 0 và 5 bằng 1 nên nếu n tận cùng bằng... 1 x n2 cách làm một trong hai công việc Tổng quát hóa quy tắc cộng: Tổng quát lên m công việc không thể làm đồng thời và số cách làm chúng tương ứng là n1 , n2 , , nm Số cách làm một trong m công việc là P = mi x 1 ni Ví dụ: Một sinh viên chọn đồ án môn học trong 5 nhóm: Khoa học máy tính, cơ sở dữ liệu, công nghệ phần mềm, hệ thống & mạng máy tính, kỹ thuật máy tính Mỗi nhóm có số lượng đề tài tương... gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử thuộc tập X Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử, ký hiệu là A k , bằng số ánh xạn từ tập k phần tử đến tập n phần tử và bằng nk , tức Ank x n k Ví dụ: Từ bốn chữ số 1, 2, 3, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số ? Giải: Vì tập 1, 2, 3, 5 chỉ có duy nhất một chữ số chẵn là 2, nên x x abcd với a, b, c, d thuộc tập 1, 2, 3, 5 là số chẵn... b, c có thể bằng nhau, nên y x abc là một chỉnh hợp lặp chập 3 của bốn phần tử 1, 2, 3, 5 Để thành lập số x ta chỉ cần lấy một số y nào đó rồi thêm 2 vào cuối 3 Bởi vậy, số các số x x abc2 bằng các số y x abc và bằng A4 x 43 x 64 Chẳng hạn 1112, 1122, 1132, 1152, , 5542, 5552 17 Thang Long University Libraty Ví dụ: (Bài toán đếm số các hàm từ một tập hữu hạn vào một tập hữu hạn) Giả sử N và M là hai... rời nhau (disjoint) Khi đó số cách để chọn một phần tử từ một trong các tập chính là: A1 x A2 x x Am x A1 x A2 x x Am b Quy tắc nhân: Ví dụ: Một trung tâm máy tính có 32 máy vi tính Một máy có 12 cổng Như vậy trung tâm có bao nhiêu cổng? Lời giải: Quá trình gồm hai bước: Bước 1: Chọn máy Bước 2: Chọn cổng của máy được chọn Dễ thấy, số cách là 32 x12 x 384 cổng Giả thiết: Một nhiệm vụ được tách làm... trưởng, một lớp phó và một thủ quỹ là một chỉnh hợp chập 3 của tập 25 phần tử 16 Số các chỉnh hợp là: 3 A25 x 25! x13800 x 25 x 3x! Vậy có 13800 cách chọn ra một lớp trưởng, một lớp phó và một thủ quỹ trong lớp học có 25 học sinh b Chỉnh hợp có lặp: * Định nghĩa: Cho tập hữu hạn X gồm n phần tử Mỗi dãy có độ dài k các phần tử của tập X, mà mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần và được sắp xếp theo một thứ