Một số tính chất của hệ số nhị thức

B GIOD CV OT O TR NG IH CTH NGLONG NGUY NTH THUGIANG M TS TNHCH TC AH S NH TH C LU NV NTH CS TONH C MS 60460113 H N i N m 2015 B GIOD CV OT O TR NG IH CTH NGLONG NGUY NTH THUGIANG M TS TNHCH TC AH S NH TH C LU NV NTH CS TONH C MS NG IH 60460113 NGD NKHOAH C:PGS.TSV TH KHI H N i N m 2015 Thang Long University Libraty L ICAM OAN Tụi xin cam oan y l cụng trỡnh nghiờn c u riờng c a tụi Cỏc s li u nờu lu n v n l trung th c v ch a c cụng b b t kỡ cụng trỡnh no khỏc Tỏcgi lu nv n NGUY NTH THUGIANG M CL C M CH U NG1: GI ITHI UV H S NH TH C VKI NTH CCHU NB 1.1 L CH S TON T H P TRONG C P THCS: 1.2 GI I THI U V H S NH TH C: 1.2.1 nh ngh a: 1.2.2 Cụng th c: 1.3 K THU T M: 1.3.1 M t s ki n th c c b n c a t h p: 1.3.2 Cụng th c bao hm v lo i tr : 1.3.3 Hai quy t c c b n c a phộp m: 11 1.3.4 Hoỏn v : 13 1.3.5 Ch nh h p: 16 1.3.6 T h p: 18 1.3.7 Tớnh s ph n t c a m t t p h p cỏc t p h p: 21 CH NG2:CC 2.1 CC NGNH TTH CC AH S NH TH C 24 NG NH T TH C C B N 24 2.1.1 ng nh t th c 24 2.1.2 ng nh t th c 25 2.1.3 ng nh t th c 26 2.1.4 ng nh t th c 27 2.1.5 ng nh t th c 28 2.1.6 ng nh t th c 29 2.1.7 ng nh t th c 30 2.1.8 ng nh t th c 31 2.1.9 ng nh t th c 32 2.2 CC 2.2.1 NG NH T TH C NNG CAO 33 ng nh t th c 10 33 Thang Long University Libraty 2.2.2 ng nh t th c 11 34 2.2.3 ng nh t th c 12 36 2.2.4 ng nh t th c 13 37 2.2.5 ng nh t th c 14 38 2.2.6 ng nh t th c 15 39 K TLU N 41 TILI UTHAMKH O 42 M U 1.Ldoch n ti: Trong nh ng n m h c trờn gh nh tr ng v quỏ trỡnh gi ng d y, tụi nh n th y r ng i v i a s h c sinh vi c ti p thu ki n th c ch xỏc su t l r t khú kh n y l ph n ki n th c m i ch ng t h p ng trỡnh sỏch giỏo khoa Ch y u cỏc ki n th c chuyờn su v xỏc su t t p trung ch ng trỡnh cao ng - i h c nờn ú c ng l m t khú kh n cho cỏc th y cụ giỏo gi ng d y l a tu i THPT - THCS vi c ỏp d ng ph ng phỏp gi ng d y cho phự h p Cỏc em th ng r t mỏy múc, n u g p toỏn l l khụng bi t cỏch gi i quy t hay ch a t h ng gi i quy t H c sinh thi u tớnh ch ng vi c ti p thu ki n th c Vỡ v y ki n th c d quờn v k t qu h c t p ch a cao Hay h c sinh ti p nh n ki n th c m t cỏch th ng, ch y u theo l i c chộp hay thi u tớnh t logic V y lm th no h c sinh h c t t ph n ki n th c ny? ú chớnh l m t nh ng lý thụi thỳc chỳng tụi th c hi n ti M t s tớnh ch t c a h s nh th c Khụng gi ng nh nh ng cỏch ch ng minh thụng th ng sỏch giỏo khoa, y chỳng tụi s ch ng minh cỏc ng nh t th c b ng ph ú l ph ng phỏp m i, ng phỏp t cỏc cu h i v tr l i b ng hai cỏch hon ton theo toỏn t h p thu n tỳy y l ph ng phỏp ti p c n khỏ m i t i Vi t Nam nh ng ó cs d ng r ng rói trờn ton th gi i v t nhi u thnh t u cao L chs nghiờnc u: N i dung toỏn t h p a vo gi ng d y t c p trung h c ph thụng h t cỏc n c trờn th gi i Tuy nhiờn, Vi t Nam n i dung toỏn t h p a vo sỏch giỏo khoa l p 11 n m 2000 v i l h c phỏt hi n v gi i quy t v n l ph h u c ng ki n th c cũn h n ch D y ng phỏp d y h c tớch c c ỏp ng yờu Thang Long University Libraty c u xó h i Xong ỏp d ng ph ng phỏp ny gi ng d y hi u qu n i dung khú nh toỏn t h p thỡ c n s úng gúp c a cỏc th y cụ giỏo v cỏc nh khoa h c M cớchnghiờnc u: D y h c sinh ch ng minh h s nh th c, cỏc ng nh t th c b ng nh ngh a t h p thu n tỳy m khụng s d ng ph ng phỏp quy n p Rốn luy n cho h c sinh t m t cỏch logic, t tr u t ng toỏn t h p Ph mviv it it - ngnghiờnc u: ng nghiờn c u: H c sinh trung h c c s v giỏo viờn toỏn c p trung h c c s - Ph m vi nghiờn c u: Cỏc tr ng c p trung h c c s 5.M ukh osỏt: Xem xột vi c ỏp d ng d y h c ch ng minh cỏc ng nh t th c b ng ph ng phỏp t h p m Cuh inghiờnc u: V n d ng ph ng phỏp t h p m ti p thu t t h n ki n th c c v l i ch ng minh c cỏc ng nh t th c 7.Gi thuy tnghiờnc u: Khi h c sinh h c m i l ph c h c ch ng t h p xỏc su t theo ph ng phỏp d y ng phỏp t h p m, t cu h i v tr l i hon ton theo toỏn t h p thu n tỳy Cỏc em s ti p thu bi t t h n, ngoi cỏc em cú th m r ng bi toỏn v cú nh ng sỏng t o toỏn h c Ph ngphỏpnghiờnc u: Nghiờn c u sỏch giỏo khoa toỏn trung h c c s , c bi t cỏc kh i 6, 7, 8, Cỏc ti tham kh o, k t h p vi c nghiờn c u v th c hnh ch ng minh toỏn t h p S d ng ph ng phỏp d y h c truy n th ng v hi n i m t cỏch an xen Cỏclu nc thunh p c: 9.1.Lu nc lớthuy t: - Lý thuy t d y h c phỏt hi n v gi i quy t v n - Th c tr ng d y v h c tr ng trung h c c s - D y h c phỏt hi n v gi i quy t v n toỏn 9.2.Lu nc th ct : K t qu th c nghi m v n ng l c h c t p c a h c sinh sau quỏ trỡnh gi ng d y c a giỏo viờn l p th c nghi m 10 C utrỳclu nv n: Ngoi ph n m u, k t lu n khuy n ngh , ti li u tham kh o, ph l c, n i dung chớnh c a lu n v n c trỡnh by ch Ch ng 1: Gi i thi u v h s nh th c Ch ng 2: Cỏc ng nh t th c c a h s nh th c ng Thang Long University Libraty CH NG1 GI I THI U V H S NH TH C VKI N TH C CHU N B ch ng 1, chỳng tụi xin trỡnh by khỏi quỏt v l ch s toỏn t h p c p trung h c c s , gi i thi u v h s nh th c Nh ng ki n th c chu n v k thu t m, cỏc nguyờn lý m c b n, cỏc khỏi ni m c b n hm toỏn h c s c chỳng tụi gi i thi u theo ph Ki n th c chớnh ch ng phỏp m ng ny, chỳng tụi s d ng m t s ti li u tham kh o sau: Nguy n H u Anh, Toỏn r i r c, NXB i h c Qu c Gia TP H Chớ Minh, 2001 Tr n Ng c Danh, Toỏn r i r c nõng cao, NXB i h c Qu c Gia TP H Minh Schaum's Outline of Discrete Mathematics, McGraw - Hill, 1977 1.1 L CH S TONT N i dung: v lý thuy t sỏc xu t H P TRONG C P THCS: i s t h p cung c p ki n th c c b n v i s t h p i s t h p, cũn gi i thi u v hai quy t c m c b n, cỏc khỏi ni m, cỏc cụng th c v hoỏn v , chớnh h p, t h p, cụng th c khai tri n nh th c Niu-t n v ỏp d ng c a nú Nú cũn cung c p khỏi ni m m u v cỏc cụng th c n gi n nh t c a lớ thuy t xỏc su t, m t l nh v c quan tr ng c a Toỏn h c, cú nhi u ng d ng th c t Trong nh ng n m 80 c a th k tr c, i s t h p a vo ch trỡnh sỏch giỏo khoa v mang tớnh ch t gi i thi u ch ng trỡnh thớ i m chuyờn ban, is t h p ng n n m 1994 - 1995, c a vo d y cựng xỏc su t M c tiờu d y h c ph n ny l hỡnh thnh khỏi ni m ban u v t h p, h c sinh c n n m is c cỏc quy t c m, cỏch tớnh s hoỏn v , chớnh h p, t h p, bi t cỏch ỏp d ng vo cỏc bi toỏn, n gi n c a th c ti n v xỏc su t c i n, ng th i bi t cụng th c khai tri n nh th c Niu-t n v s d ng cụng th c ú vo vi c gi i toỏn 1.2 GI ITHI UV H S NH TH C: 1.2.1. nhngh a: * nh ngh a: n Chỳng ta nh ngh a l s t p cú k ph n t ( k ph n t khỏc k v khụng phn bi t th t ) l y t t p g m n ph n t Núi m t cỏch n khỏc, k c tớnh theo cỏch ch n t p cú k ph n t t t p cú n ph n t m th t s p x p l khụng quan tr ng 1.2.2.Cụngth c: n n! k k! n k ! Cụng th c ny l h qu c a ng nh t th c s minh ch c chỳng tụi ch ng ng n k c l t h p n ch p k L u ý r ng, m t s qu c gia chu ú cú Vi t Nam th ng ký hi u t h p n ch p k l Cnk n Ton b lu n v n ny, chỳng tụi s d ng ký hi u qu c t l k Thang Long University Libraty T hai cỏch tr l i trờn cho chỳng tụi ng nh t th c 5: n 2k k 2.1.6 n , n n n ng nh t th c 6: k n , k k k n a Cõu h i: Trong m t h i thi "Ai thụng minh nh t", th y giỏo mu n ch n m t i thi u g m k ng i Cú bao nhiờu cỏch l p m t i thi u g m k thnh viờn t m t l p cú n h c sinh m ú ch n m t b n lm i tr ng? b Tr l i: + Cỏch 1: u tiờn, th y ch n k b n n b n thnh l p i thi u, th y n cú cỏch k T k b n, ch n m t b n b t k lm i tr ng, th y cú: k cỏch l a ch n n T ú, theo quy t c nhn, th y cú: k cỏch l a ch n cỏc b n tham k gia thi u + Cỏch 2: Th y ch n b n i tr ng tr c Th y ch n m t b n t n b n, th y cú n cỏch Sau ú, s b n cũn l i l n Th y ch n k b n t n b n cũn l i n Theo quy t c nhn, th y cú: n cỏch l a ch n cỏc b n tham gia k thi u V y chỳng ta gi i bi toỏn t theo hai cỏch 29 Thang Long University Libraty Hay chỳng tụi cú k t qu c a ng nh t th c : n n k n k k n n k k n.2 , n k n 2.1.7 ng nh t th c 7: a Cõu h i: Trong kỡ thi ti ng hỏt h c trũ c a tr ng A Do c ng mu n tham gia nờn cụ ch n m t t p ca t m t nhúm cú n h c sinh, m cụ mu n nhúm cú m t b n lm qu n ca di n x ng Cú bao nhiờu cỏch l p m t t p ca t m t nhúm cú n h c sinh ? b Tr l i: + Cỏch 1: V i m i s k 0, , n u tiờn, cụ ch n k b n t n b n l p l p thnh t p ca Cụ cú n k cỏch Ti p theo k b n x c ch n, cụ ch n m t b n b t kỡ lm di n ng Cụ cú k cỏch n Theo quy t c nhn, cụ cú k cỏch l a ch n k V y v i k t n n, t ng c ng cụ cú n n k k k cỏch ch n + Cỏch 2: Do b n no c ng cú n ng u ca hỏt v mong mu n tham gia Cụ ch n b n di n x lm di n x ng tr c, cụ l y m t b n b t kỡ t n b n nhúm ng Cụ cú n cỏch S b n cũn l i c a nhúm l n b n M m i b n cũn l i s cú hai kh n ng tham gia ho c khụng tham gia, nờn n b n cụ cú 2n1 cỏch Theo quy t c nhn, cụ cú n.2n1 cỏch l a ch n 30 V y chỳng ta gi i bi toỏn t theo hai cỏch n n k k k n.2 n n k n k k ng nh t th c 8: , n n 2 n 2.1.8 a Cõu h i: G i X t p cú n ph n t Nh v y cú n t p c a X Th no l kớch c trung bỡnh c a t p ? b Tr l i: + Cỏch 1: X: T p cú n ph n t A l t p c a X Kớch c trung bỡnh c a t p l: A A X n n k k n n k + Cỏch 2: hi u rừ h n v b n ch t ta lm rừ cụng th c sau: Ta chia t p thnh t ng c p, m i c p g m m t t p v ph n bự c a nú Ta a m t vớ d b t kỡ hi u thờm v cụng th c trờn Vớd : Xột t p A {1,2, , n} Chia t p A thnh cỏc t p T p A1 1, ,k g m k ph n t T p A = {k +1, ,n- 1,n} g m n k ph n t ( T p A : ph n bự c a t p A1 ) knk n 2 n V y m i c p cú s phn t trung bỡnh l n Hay kớch c trung bỡnh c a t t c cỏc t p l Kớch c trung bỡnh c a t p A1 v A l: 31 Thang Long University Libraty T hai cỏch tr l i trờn cho chỳng ta ng nh t th c n n k k n, n0 2 ng nh t th c 9: k n 2.1.9 m n k m n k j k j , j m 0, n a Cõu h i: T m t l p cú m n h c sinh, bao g m m h c sinh nam v n h c sinh n Cú bao nhiờu cỏch t o m t t g m k thnh viờn? b Tr l i: + Cỏch 1: m n T t nhiờn ta cú cỏch t o m t t c a l p k + Cỏch 2: V im is j 0, , k u tiờn th y ch n j thnh viờn t m b n nam tr c m Ta cú: cỏch j Ti p theo ch n k j s thnh viờn cũn l i t n h c sinh n n Th y cú k cỏch j Theo quy t c nhn, th y cú k m n j k j cỏch l j V y chỳng ta gi i bi toỏn t theo hai cỏch m n k m n k j . k j j 32 a ch n s thnh viờn 2.2 CC NG NH T TH CNNGCAO: Gi i tớch t h p khụng ch gi i quy t cỏc bi toỏn c t i s t h p m cũn nhi u ng d ng thỳ v cỏc ngnh toỏn h c khỏc Vớ d i s , s h c, hỡnh h c t h p, lý thuy t xỏc su t Cỏc h s nh th c th ng c n y sinh m t cỏch t nhiờn s h c modular, i s giao hoỏn, lý thuy t modular, vỡ v y nh ng ng th c liờn quan n h s nh th c úng m t vai trũ c bi t quan tr ng D i y chỳng tụi xin trỡnh by m t s vớ d v ch ng minh ng nh t th c theo ph ng phỏp m N i dung ph n 2.2, chỳng tụi vi t d a theo m t s ti li u tham kh o sau: Nguy n H u Anh, Toỏn r i r c, NXB i h c Qu c Gia TP H Chớ Minh, 2001 Tr n Ng c Danh, Toỏn r i r c nõng cao, NXB i h c Qu c Gia TP H Chớ Minh, 2003 Nguy n Kh c Minh, Ti li u b i d ng giỏo viờn, H N i 1999 T p Toỏn h c v tu i tr , s 1, 2/20 2.2.1 n 2n ng nh t th c 10: k n k k n a Cõu h i: Chỳng tụi a tỡnh hu ng sau: Cú n nh khoa h c nghiờn c u v t lý v n nh khoa h c nghiờn c u toỏn h c cựng tham gia m t h i ngh khoa h c H i cú bao nhiờu cỏch ch n m t nhúm lm vi c g m n ng ú cú m t nh v t lý lm nhúm tr i, ng? 33 Thang Long University Libraty b Tr l i: + Cỏch 1: u tiờn ch n nhúm tr ng l nh v t lý, cú n cỏch ch n Sau ú, ch n n thnh viờn cũn l i t 2n nh v t lớ v nh 2n toỏn h c Nh v y, cú cỏch ch n n 2n Theo quy t c nhn, chỳng ta cú cỏch ch n n nhúm nghiờn c u n khoa h c m nh v t lý lm tr ng nhúm + Cỏch 2: V i m i s k 1, , n n Chỳng tụi ch n k nh v t lý cú cỏch ch n k Ch n nhúm tr ng l nh v t lý, chỳng tụi cú k cỏch ch n n Ti p theo ch n n k nh toỏn h c, cú cỏch ch n n k n Theo quy t c nhn chỳng tụi cú: k k k 2 n 2n V y chỳng tụi ó ch ng minh ng nh t th c 10: k n k k n n k n 2n ng nh t th c 11: n k n k k n 2.2.2 k a Cõu h i: T ng t nh vớ d 2, chỳng tụi th y v ph i l s cỏch ch n n ph n t t t p X g m 2n ph n t nờn xột bi toỏn sau: Tớnh s cỏch ch n n ph n t t t p X g m 2n ph n t ? 34 b Tr l i: + Cỏch 1: 2n Ta ch n n ph n t t t p g m 2n + ph n t S cỏch ch n chớnh b ng n cỏch ch n + Cỏch 2: Ta chia X thnh n c p v ph n t x ch n n ph n t t t p X ta th c hi n cỏc b B c sau: n c1: Ta ch n k c p k 0, n t n c p ó chia, ta cú cỏch k Sau ú, m i c p ta ch n m t ph n t M i ph n t cú cỏch ch n, nờn m i ph n t k cú cỏch Ta cú k cỏch ch n ổ nử Theo quy t c nhn, ta cú k ỗ ữ cỏch ch n ố kứ B n k c p n k c p cũn l i c2: Ch n n k n k n k n k n u ch n v n u n k l Vỡ n k 2 2 Do ú, ta ch n x n u n k l v khụng ch n x n u n k ch n n k n Theo quy t c nhn, chỳng ta cú: n k cỏch ch n k k V y b ng hai cỏch tr l i cu h i, chỳng t ụi ó ch ng minh c ng nh t th c11: n k n k n 2n n k k n k n k 35 Thang Long University Libraty 2.2.3 ng nh t th c 12: n1 n2 nr n1 n2 nr k k1 k2 kr k1 k2 kr a Cõu h i: Chỳng tụi xy d ng tỡnh hu ng sau: Th y Th cú m t khay ng bỳt chỡ mu, cỏc cy bỳt hỡnh th c thỡ khỏc nh ng cú t t c r mu m1, m2 , , mr n1 bỳt mu m1 n2 bỳt mu m2 nr bỳt mu mr Cú bao nhiờu cỏch th y t ng b n Huy k cy bỳt b t kỡ? b Tr l i: + Cỏch 1: n Ch n k1 bỳt mu m1 cú cỏch k1 n Ch n k2 bỳt mu m2 cú cỏch k2 T n ng t , ch n kr bỳt mu mr cú r cỏch kr Cỏc s l ng k1 , k2 , , kr th y cú th ch n b t kỡ cho t ng k1 k2 kr k Nh v y, theo quy t c nhn th y cú t t c : n1 n2 nr cỏch k1 k2 kr k1 k2 kr + Cỏch 2: Th y l y ng u nhiờn k cy bỳt t ng s n1 n2 nr n n nr bỳt c a th y, d nhiờn s cú: cỏch th y ch n k V y qua hai cỏch tr l i, ta cú: 36 cy n1 n2 nr n1 n2 nr k k1 k2 kr k1 k2 kr 2n 2n 2n ngnh tth c13: 22 n1 2n 2.2.4. a Cõu h i: Xột bi toỏn: Cú 2n v t, h i cú bao nhiờu cỏch l y m t s ch n v t? b Tr l i: Cỏch1: Ta cú cỏc tr ng h p sau: + Tr 2n ng h p 1: L y v t t 2n v t cú cỏch + Tr 2n ng h p 2: L y v t t 2n v t cú cỏch + Tr ng h p th n ổ 2n L y 2n v t t 2n v t, cú ỗ ữ cỏch ố 2nứ 2n 2n 2n V y ỏp d ng quy t c c ng, ta cú: cỏch 2n Cỏch2: M i hnh ng l y m t v t, cú hai s l a ch n l l y (L) ho c khụng l y (K) Ta cú: 2n hnh ng thỡ cú 22n cỏch l y Nh ng vỡ mu n l y c m t s ch n v t, m i l n ch n (L) (ho c (K)) m t v t ta ph i ch n (L) ho c (K) thờm v t khỏc Nh v y, m i cỏch l y ó c m l n 22 n 22 n1 Do ú, s cỏch l y l: 37 Thang Long University Libraty T hai cỏch tr l i trờn cho chỳng ta k t qu : 2n 2n 2n n 2n V y ta ó ch ng minh c ng nh t th c 13 b ng ph ng phỏp m n n n n ngnh tth c14: n n.2n1 n 2.2.5. a Cõu h i: Ta bi t, n chớnh l s cỏch l y m t ph n t t m t t p g m n ph n t 22 n1 l s t p c a t p g m n ph n t Xột t p X x1; x2 ; ; xn Hóy m s c p a , A ú a X v A l m t t p c a t p X - = X/ {a} b Tr l i: Cỏch1: Ta cú: n cỏch ch n a , v i m i cỏch ch n a ta cú: 2n1 cỏch ch n A Theo quy t c nhn ta cú: n.2n1 c p a ,A Cỏch2: A l m t t p g m k ph n t c a t p g m n ph n t k 0, n n n nờn cỏch ch n A k n k M t cỏch ch n t p A, ch n a X \ A nờn cú n k cỏch ch n a Khi k ch y t n n Theo quy t c c ng, ta cú: n n k n n n n n c p a ,A n k n k V y t hai cỏch tr l i trờn cho ta k t qu 38 2.2.6. ngnh tth c15: n n i k n k i k k i k a Cõu h i: Ta ó bi t, 2k l s t p c a m t t p g m k ph n t n k l s t p g m k ph n t c a t p g m n ph n t Xột t p X x1; x2 ; ; xn Hóy m s c p (A, M) ú A l m t t p g m k ph n t c a X M l m t t p c a A b Tr l i: Cỏch1: n Vỡ t p A cú k ph n t nờn cỏch ch n t p A k M i cỏch ch n A ta cú 2k cỏch ch n M n Theo quy t c nhn, ta cú: 2k c p (A, M) k Cỏch2: n Ta cú: cỏch ch n M i k k Sau ch n M, ta ch n k i ph n t t n i ph n t cũn l i ta n i cú: cỏch ch n k i n n i Theo quy t c nhn, ta cú: cỏch ch n k k i V i i n k, l y t ng cỏc c p (A, M) l n n i i k k i k V y t hai cỏch tr l i trờn cho chỳng ta k t qu : 39 Thang Long University Libraty n n i k n k i k k i k Chỳng ta ó ch ng minh c ng nh t th c 15 40 K T LU N Lu n v n ó trỡnh by m t cỏch cú h th ng t ng quan v tớnh ch t h s nh th c Trong ch ng m t, chỳng tụi ó gi i thi u khỏi quỏt cỏc ng nh t th c c b n, k thu t m v m t s nguyờn lý c b n ch c bi t ng hai chỳng tụi ó i nghiờn c u, ch ng minh chi ti t cỏc ng nh t nh t th c b ng ph ng phỏp m s ph n t c a m t t p h p b ng hai cỏch Trờn c s ú, ch ng minh cỏc ng nh t th c b ng cỏch xy d ng cỏc tỡnh hu ng cho h c sinh ti p thu v t o h ng thỳ v i mụn h c ch ng hai, chỳng tụi cũn nghiờn c u cỏc ng nh t th c nng cao, cựng d a trờn ph ng phỏp m s ph n t Cu i ch ng, chỳng tụi cũn a m t s ng nh t th c nng cao nh m s d ng ph ng phỏp ch ng hai, cho h c sinh hi u thờm v m t cỏch m i ch ng minh cỏc ng nh t th c K t qu c a lu n v n nh m nng cao ch t l ng d y v h c toỏn t h p xỏc su t, nh m phỏt tri n t toỏn h c cho h c sinh l a tu i trung h c c s v c bi t t o ti n cho cỏc em yờu thớch, tỡm hi u chuyờn su v toỏn t h p, ny Cu i cựng chỳng tụi xin c u ti p theo t c g i l mụn h c khú c p c nờu m t s v n cú th m r ng nghiờn ng lai, ú l: - Cỏc ng nh t th c an d u - ng d ng c a h s nh th c gi i m t s bi toỏn thi i h c c ng nh thi Olympic qu c gia v c p qu c t Hay gi i cỏc bi toỏn liờn quan n ph c t p c a cỏc thu t toỏn c ng nh gi i cỏc bi toỏn l nh v c tin h c - ng d ng c a nguyờn lý bao hm v lo i tr cu c s ng, hay gi i cỏc bi toỏn ph c t p v cỏc bi toỏn liờn quan n l nh v c tin h c 41 Thang Long University Libraty TILI UTHAMKH O Nguy n H u Anh, Toỏn r i r c, NXB i h c Qu c Gia TP H Chớ Minh, 2001 Tr n Ng c Danh, Toỏn r i r c nõng cao, NXB i h c Qu c Gia TP H Chớ Minh, 2003 Nguy n Kh c Minh, Ti li u b i d ng giỏo viờn, H N i 1999 T p Toỏn h c v tu i tr , s 1, 2/2001 Schaum's Outline of Discrete Mathematics, McGraw - Hill, 1977 Benjamin Arthur T., and Jennifer J Quinn, Proofs that really count: the art of combinatorial proof No 27 MAA, 2003 42 L IC M N Trong th i gian h c t p v nghiờn c u t i tr ng c s quan tm giỳp c a Khoa Toỏn - Tin, phũng Sau i h c v Qu n lý khoa h c, Tr ng i h c Th ng Long, v c bi t l s h ng d n c a th y giỏo PGS.TS V Th Khụi tụi cú th ti n hnh nghiờn c u ti M t s tớnh ch t c a h s nh th c n chỳng tụi ó hon thnh ti thnh lu n v n ny, ngoi s n l c c a b n thn, tụi cũn nh n hon c r t nhi u s giỳp , úng gúp ý ki n c a nhi u cỏ nhn v t p th Tụi xin by t lũng bi t n su s c n: Quý th y cụ giỏo Khoa Toỏn - Tin, phũng Sau i h c v Qu n lý khoa h c, Tr ng i h c Th ng Long ó t n tỡnh gi ng d y trang b ki n th c cho tụi su t quỏ trỡnh h c t p t i ngụi tr ng ny c bi t, tụi xin g i l i c m n chn thnh nh t t i Th y PGS.TS V Th Khụi - ng i Th y ó tr c ti p gi ng d y, h ng d n, ng viờn v giỳp tụi hon thnh lu n v n ny Bờn c nh ú, tụi khụng th khụng nh c n s ng viờn, giỳp t t p th l p Cao h c Toỏn Th ng Long khúa y, chỳng tụi s ng v giỳp nh m t gia ỡnh V cu i cựng, ng thn c a tụi, v m t ng i tụi mu n c m n nh t l gia ỡnh v nh ng ng i c bi t ??? tụi l i g i l c bi t vỡ ng i i ú ó theo tụi t u n su t quỏ trỡnh h c t p - trai - tỡnh yờu nh c a tụi luụn ngoan ngoón nh cho tụi cú th hon thnh lu n v n M c dự h t s c n l c v c g ng, nh ng ki n th c v kinh nghi m cũn h n ch nờn ti khụng trỏnh kh i nh ng sai sút, r t mong o lu n v n c a tụi cú th c s ch c hon thi n h n n a H i Phũng, thỏng 7, n m 2015 TCGI LU NV N Nguy nTh ThuGiang Thang Long University Libraty [...]... i máy vi tính khác nhau mƠ ta g i lƠ lo i máy 1, , lo i máy 10 M t c quan mu n mua 5 máy vi tính H i c quan có bao nhiêu s l a ch n khác nhau? Gi i: Gi s a1 lƠ m t máy vi tính thu c lo i máy 1; a 2 lƠ m t máy vi tính thu c lo i máy 2, ,a10 lƠ m t máy vi tính thu c lo i máy 10, vƠ A a1, a 2 , , a10 M i cách ch n 5 máy vi tính có th coi lƠ m t t h p ch p 10 c a 5 vƠ t ng s các t h p đ c tính theo... vƠ s cách lƠm chúng t ng ng lƠ n1 , n2 , , nm S cách lƠm m t trong m công vi c lƠ P = mi  1 ni Víăd : M t sinh viên ch n đ án môn h c trong 5 nhóm: Khoa h c máy tính, c s d li u, công ngh ph n m m, h th ng & m ng máy tính, k thu t máy tính M i nhóm có s l ng đ tƠi t ng ng lƠ: 10, 15, 14, 16, 11 Có bao nhiêu cách ch n? L iăgi i: 10+15+14+16+11 = 66 cách 11 Thang Long University Libraty Góc nhìn t... thi t A1 ,A 2 , ,A m lƠ các t p h p r i nhau (disjoint) Khi đó s cách đ ch n m t ph n t t m t trong các t p chính lƠ: A1  A2   Am  A1  A2   Am b Quy t c nhân: Víăd : M t trung tơm máy tính có 32 máy vi tính M t máy có 12 c ng Nh v y trung tơm có bao nhiêu c ng? L iăgi i: Quá trình g m hai b c: B că1: Ch n máy B că 2: Ch n c ng c a máy đ c ch n D th y, s cách lƠ 32 12  384 c ng Gi thi t: M... t ch n, nên s cách ch n khác nhau b ng s t h p l p ch p 6 c a 4 ph n t (t p h p bóng cùng mƠu đ c coi lƠ m t ph n t ) vƠ đ  4   4  6  1 9!  84 th c      6 6 6!3!     * 20 c tính b ng công 1.3.7. Tính s ăph năt ăc aăm tăt păh p cácăt păh p: Víăd : L p 12A ph i lƠm m t bƠi ki m tra Toán g m có ba bƠi toán Bi t r ng m i em trong l p đ u gi i đ c ít nh t m t bƠi, trong l p có 20 em gi i... em h c sinh gi i đ c bƠi toán th 3 Ta ph i tính s ph n t c a t p h p A  B  C Không khó kh n ta có th th y đ c công th c sau lƠ đúng: A  B C  A  B  C  A  B  B C  C  A  A  B  C Theo công th c trên, s h c sinh trong l p s lƠ: 20  14  10  6  5  2  1  32 Nh ng ta có th b t g p nh ng bƠi toán có s tham gia c a nhi u h n ba t p h p con Víăd : Tính s cách treo 5 đôi t t trên m t dơy ph... nPn1 (k  1) Dùng  f , i  đ kí hi u c p g m hoán v f tùy ý c a n ph n t v i k đi m c đ nh vƠ i lƠ đi m tùy ý trong k đi m c đ nh đó (t c f (i)  i ) Th a nh n P0 (0)  1 lý gi i quan h (1.11), ta hãy tính s N các c p  f , i  b ng hai cách M t m t, i ch y qua đi m k c đ nh đã xác đ nh, nên m i hoán v trong Pn (k) hoán v đó có m t trong k c p  f ,i B i v y N=k.Pn  k  M t khác, n u f (i)  i ,... 1 ph n t còn l i (t c các ph n t khác i ) hoán v có f có  k  1 đi m c đ nh, nên m i m t trong n ph n t i có m t trong Pn1 (k  1) c p Do đó N  n.Pn1 (k  1) , nên đ ng th c (1.11) đ c ch ng minh Tính t ng các đ ng th c (1.11) theo k  1,2, , n vƠ d a vƠo đ ng th c (1.10) b ng cách thay n b ng  n  1 ta có: n n  kP (k)   nP k 0 n k 1 n1 n (k  1)  n Pn1 (k  1)  n(n  1)!  n! k 1... th t nƠo đó (m i ph n t có m t ít nh t m t l n) đ c g i lƠ hoán v l p S hoƠn v l p c a n ph n t i(1  i  k) xu t hi n ni l n đ thu c k lo i, mƠ các ph n t c ký hi u lƠ P(n1 , n2 , , nk ) vƠ đ lo i c tính b ng công th c: P(n1, n2 , , nk )  n! n!n2 ! nk ! Víăd : ( tuy n sinh vƠo tr 3, 4 có th l p đ ng H - Kh i D - 2001) T các ch s 0, 1, 2, c bao nhiêu s có b y ch s trong đó ch s 4 có m t đúng ba l... t M i b g m k (0  k  n) ph n t đ c s p th t c a t p h p A đ c g i lƠ m t ch nh h p ch p k c a n ph n t thu c A Kí hi u s ch nh h p ch p k c a n ph n t b ng Akn S ch nh h p ch p k c a n ph n t đ c tính b i công th c: A kn  n  n  1  n  k 1  n!  n  k ! Víăd : M t l p h c có 25 h c sinh Mu n ch n ra m t l p tr ng, m t l p phó vƠ m t th qu mƠ không cho kiêm nhi m H i có bao nhiêu cách ch... ch p k c a n ph n t đã cho * Nh n xét: Hai t h p đ c coi lƠ khác nhau khi vƠ ch khi có ít nh t m t ph n t khác nhau S t h p ch p k  0  k  n  c a n ph n t , đ đ n c kí hi u lƠ   vƠ k n n! c tính theo công th c     k  k! n  k ! Víăd : Có bao nhiêu cách chia m t l p 40 h c sinh thƠnh b n t , sao cho m i t có đúng 10 h c sinh? 18 Gi i: u tiên l p t 1 b ng cách ch n tùy ý 10 h c sinh