i MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1 1 Các khái niệm mở đầu về không gian tôpô 5 1 1 1 Không gian tôpô 5 1 1 2 Cơ sở, tiền cơ sở của tôpô 6 1 1 3 Lân cận, cơ sở lân cận 6 1 1 4 Không gia[.]
i MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: 1.1 Các khái niệm mở đầu không gian tôpô: 1.1.1 Không gian tôpô: 1.1.2 Cơ sở, tiền sở tôpô: 1.1.3 Lân cận, sở lân cận: 1.1.4 Không gian tôpô: 1.1.5 Phần trong, bao đóng, biên: 1.1.6 Điểm hội tụ điểm cô lập: 1.1.7 Ánh xạ liên tục, ánh xạ mở, ánh xạ đóng: 1.1.8 Các tiên đề tách: 1.1.9 Các tiên đề đếm được: 1.2 Không gian compact: 1.2.1 Không gian compact: 1.2.2 Không gian compact đếm được: 10 1.2.3 Không gian compact địa phương k-không gian: 10 1.2.4 Compact hóa: 10 1.2.5 Ánh xạ đầy đủ: 11 1.2.6 Không gian Cech-đầy đủ: 11 1.2.7 Không gian giả compact: 11 1.3 Khơng gian mêtric, khơng gian mêtric hóa: 12 1.3.1 Không gian mêtric: 12 1.3.2 Khơng gian mêtric hóa được: 12 1.4 Không gian paracompact: 13 1.4.1 Không gian paracompact: 13 1.4.2 Không gian paracompact đếm được: 13 ii 1.5 Nhóm tơpơ số cấu trúc liên quan: 13 1.5.1 Nhóm tơpơ: 13 1.5.2 Bổ sung Raikov nhóm tơpơ: 14 1.5.3 Nhóm tơpơ Cech-đầy đủ: 15 1.5.4 M-không gian, p-không gian: 15 Chương 2: Các kiểu đầy đủ không gian tôpô: 17 2.1 Các kiểu đầy đủ khác không gian tôpô: 17 2.2 Chú ý: 21 2.3 Mệnh đề 2.3: 22 2.4 Mệnh đề 2.4: 23 2.5 Định lí 2.5: 23 2.6 Hệ 2.6: 26 2.7 Định lí 2.7: 26 2.8 Mệnh đề 2.8: 27 2.9 Mệnh đề 2.9: 27 2.10 Mệnh đề 2.10: 27 2.11 Mệnh đề 2.11: 28 2.12 Hệ 2.12: 29 2.13 Hệ 2.13: 29 2.14 Ví dụ: 29 Chương 3: Một số kết nhóm tơpơ 31 3.1 Các kết ánh xạ tựa liên tục: 31 3.1.1 Mệnh đề 3.1.1: 32 3.1.2 Mệnh đề 3.1.2: 32 3.1.3 Hệ 3.1.3: 36 3.2 Các kết nhóm nửa tơpơ với phép nhân tựa liên tục: 36 3.2.1 Bổ đề 3.2.1: 36 3.2.2 Bổ đề 3.2.2: 37 iii 3.3 Các kết nhóm tơpơ, nhóm nửa tơpơ, nhóm paratơpơ: 38 3.3.1 Định lí 3.3.1: 38 3.3.2 Định lí 3.3.2: 40 3.3.3 Định lí 3.3.3: 42 3.3.4 Hệ 3.3.4: 42 3.3.5 Hệ 3.3.5: 43 3.3.6 Hệ 3.3.6: 43 3.3.7 Định lí 3.3.7: 44 3.3.8 Ví dụ: 44 3.3.9 Chú ý: 44 3.4 Các kết khơng gian giải tích với tính chất Baire: 45 3.4.1 Định lí 3.4.1: 45 3.4.2 Hệ 3.4.2: 46 3.4.3 Hệ 3.4.3: 47 3.4.4 Hệ 3.4.4: 47 3.4.5 Hệ 3.4.5: 47 3.4.6 Hệ 3.4.6: 47 3.4.7 Hệ 3.4.7: 47 3.4.8 Hệ 3.4.8: 47 3.5 Các kết lưới đếm hiệu nhóm nửa tơpơ: 48 3.5.1 Định lí 3.5.1: 48 3.5.2 Bổ đề 3.5.2: 48 3.5.3 Định lí 3.5.3: 50 3.5.4 Ví dụ: 51 3.6 Các kết nhóm giả compact điểm: 51 3.6.1 Bổ đề 3.6.1: 52 3.6.2 Định lí 3.6.2: 52 iv 3.6.3 Định lí 3.6.3: 54 3.6.4 Hệ 3.6.4: 55 3.6.5 Ví dụ: 55 3.6.6 Chú ý: 56 KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 MỞ ĐẦU Một nhóm paratơpơ G nhóm G với tôpô thỏa phép nhân m : G × G → G liên tục nối, nhóm nửa tơpơ G nhóm G với tơpơ thỏa phép nhân m : G × G → G liên tục tách Một nhóm nửa tơpơ G mà phép toán nghịch đảo In : G → G liên tục gọi nhóm tựa tơpơ Việc nghiên cứu tính chất nhóm tơpơ, nhóm paratơpơ, nhóm nửa tơpơ nhiều nhà toán học giới quan tâm Sự liên quan nhóm nửa tơpơ tách được, nhóm nửa tơpơ mêtric hóa với nhóm tơpơ paratơpơ quan tâm nhiều nhà toán học: Năm 1936, D.Montgomery chứng minh rằng: - Mọi nhóm nửa tơpơ tách mêtric hóa mêtric đầy đủ nhóm tơpơ - Mọi nhóm nửa tơpơ mêtric hóa mêtric đầy đủ nhóm paratơpơ Năm 1957, R.Ellis chứng minh nhóm nửa tơpơ compact địa phương nhóm tơpơ Năm 1960, W Zelazko kết luận nhóm nửa tơpơ mêtric hóa đầy đủ nhóm tơpơ Năm 1982, N Brand chứng minh nhóm paratơpơ Cechđầy đủ nhóm tơpơ Gần đây, số phát triển theo kết đưa A.Bouziad (1996), P Kenderov, I S Kortezov W Moors (2001), A V Arhangel’skii E A Reznichenko (2005) A Bouziad chứng minh nhóm nửa tơpơ Cech-đầy đủ nhóm tơpơ A V Arhangel’skii E A Reznichenko chứng minh nhóm paratơpơ G nhóm tơpơ Gδ -không gian không gian giả compact P Kenderov, I S Kortezov W B Moors giới thiệu lớp không gian Baire mạnh chứng minh nhóm nửa tơpơ Baire mạnh nhóm tơpơ Và số mối liên hệ đáng ý tính liên tục tách liên tục nối xây dựng từ Dựa kết trên, luận văn tiếp tục nghiên cứu số phương pháp tính chất kiểu đầy đủ mà A V Arhangel’skii đưa mở rộng định lí D Montgomery R Eliss lớp rộng không gian quạt-đầy đủ Lớp khơng gian quạt-đầy đủ lớn, có mối quan hệ với không gian quen thuộc, chẳng hạn: - Tất không gian compact, không gian compact đếm được, không gian giả compact không gian quạt-đầy đủ - Mọi Gδ -không gian trù mật không gian quạt-đầy đủ khơng gian quạt-đầy đủ - Ảnh không gian quạt-đầy đủ qua ánh xạ liên tục mở không gian quạt-đầy đủ - Một khơng gian quạt-đầy đủ địa phương khơng gian quạt-đầy đủ Quan tâm đến mối quan hệ trên, luận văn dành cho việc khảo sát khơng gian quạt đầy đủ tính chất chúng Luận văn dành cho việc nghiên cứu không gian mối quan hệ với: ánh xạ tựa liên tục, phép nhân tựa liên tục, nhóm nửa tơpơ với phép nhân tựa liên tục, khơng gian giải tích với tính chất Baire,… Nội dung luận văn gồm ba chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho việc nghiên cứu sau Chương giới thiệu kiểu đầy đủ khác khơng gian tơpơ tính chất chúng Chương đưa ứng dụng tính chất kiểu đầy đủ trên: ánh xạ tựa liên tục, nhóm nửa tơpơ với phép nhân tựa liên tục, khơng gian giải tích với tính chất Baire,… Trong phần kết luận ta trình bày số nhận xét kết hướng mở rộng cho luận văn Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh Trong trình học tập làm luận văn, thầy động viên giúp tác giả tiếp cận với hướng toán học đại, vấn đề lớn toán mở toán Sự động viên hướng dẫn tận tình thầy khơng giúp tác giả việc hồn thành luận văn mà cịn giúp tác giả có thêm cách nhìn nhận lĩnh vực khác sống xã hội Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin chân thành cám ơn quý thầy trực tiếp giảng dạy lớp hình học tơpơ khóa 21 q thầy Tổ Hình học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chun mơn phương pháp làm việc hiệu trình học cao học Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng Tổ Chức Hành chính, Phịng Khoa học Cơng nghệ Sau đại học, Phịng Kế hoạch – Tài Trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, đưa sở lí thuyết nhằm phục vụ cho chương Các kiến thức chủ yếu chương nhằm mục đích giới thiệu khái niệm không gian tơpơ nhóm tơpơ Hầu hết kiến thức đưa ngắn gọn, dễ hiểu để tiện việc theo dõi tiếp phần sau Để tìm hiểu thêm chi tiết, ta tham khảo thêm tài liệu [7], [17] 1.1 Các khái niệm mở đầu không gian tôpô: 1.1.1 Không gian tôpô: Một không gian tôpô cặp ( X ,τ ) bao gồm tập hợp X họ τ tập X thỏa điều kiện sau: (τ ) ∅ ∈τ X ∈τ (τ ) Nếu U1 ∈τ U ∈τ U1 ∩ U ∈τ (τ ) Nếu A ⊂ τ A ∈τ Tập X gọi không gian, phần tử X gọi điểm không gian X, tập X thuộc τ gọi tập mở X, họ τ tập mở X gọi tôpô X 1.1.2 Cơ sở, tiền sở tôpô: Cho τ tôpô X Một họ β ⊂ τ gọi sở không gian tôpô ( X ,τ ) tập mở khác rỗng X hợp họ tập thuộc β Một họ σ ⊂ τ gọi tiền sở không gian tôpô ( X ,τ ) họ tất giao hữu hạn tập thuộc σ sở τ Một tơpơ hồn tồn xác định biết sở hay tiền sở 1.1.3 Lân cận, sở lân cận: Cho X không gian tôpô x ∈ X Tập V X gọi lân cận điểm x tồn tập mở G cho x ∈ G ⊂ V Nếu lân cận V x tập mở V gọi lân cận mở x Một họ Ux lân cận x gọi sở lân cận x lân cận V x tồn lân cận U ∈ Ux cho U ⊂ V 1.1.4 Không gian tôpô: Cho ( X ,τ ) không gian tôpô tập A ⊂ X Khi đó, họ τA = {G ∩ A : A ∈τ } tôpô A, gọi tôpô cảm sinh tôpô τ X Không gian ( A,τ A ) gọi không gian tôpô không gian tôpô ( X ,τ ) ... minh nhóm nửa tơpơ Baire mạnh nhóm tôpô Và số mối liên hệ đáng ý tính liên tục tách liên tục nối xây dựng từ Dựa kết trên, luận văn tiếp tục nghiên cứu số phương pháp tính chất kiểu đầy đủ mà... quạt -đầy đủ không gian quạt -đầy đủ 3 - Ảnh khơng gian quạt -đầy đủ qua ánh xạ liên tục mở không gian quạt -đầy đủ - Một khơng gian quạt -đầy đủ địa phương không gian quạt -đầy đủ Quan tâm đến mối quan. .. mêtric đầy đủ nhóm tơpơ - Mọi nhóm nửa tơpơ mêtric hóa mêtric đầy đủ nhóm paratơpơ Năm 1957, R.Ellis chứng minh nhóm nửa tơpơ compact địa phương nhóm tơpơ Năm 1960, W Zelazko kết luận nhóm nửa tơpơ