MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cám ơn Mục lục MỞ ĐẦU 1 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2 1 1 Tổng trực tiếp và tích trực tiếp của họ mô đun 2 1 2 Dãy khớp 3 1 3 Mô đun nội xạ và mô đun xạ ảnh 4 1 4 Nhóm Abel 7[.]
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cám ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tổng trực tiếp tích trực tiếp họ mô đun 1.2 Dãy khớp 1.3 Mô đun nội xạ mô đun xạ ảnh 1.4 Nhóm Abel 1.5 Hàm tử 1.6 Hệ xạ ảnh 10 Chương TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN NGƯỢC 13 2.1 Hàm tử 13 2.2 Một số kết tập số đếm 19 2.3 Thứ nguyên đối đồng điều tập hợp bậc xk 28 ( ) 2.4 Các dãy phổ cho lim 33 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 n MỞ ĐẦU Giới hạn ngược định nghĩa sở định nghĩa hệ xạ ảnh phạm trù R-mô đun trái Tức là, với I tập số, định hướng, ta định nghĩa giới hạn ngược sau: “Cho { Aα , f αβ } hệ xạ ảnh R-mô đun tập số I Giới hạn ( uα : lim Aα → Aα )α∈I ngược limA α họ đồng cấu chiếu thỏa: f αβuβ = uα α < β , với R-mô đun M với đồng cấu ψ α : M → Aα thỏa mãn f αβψβ =ψ α với α < β , tồn đồng cấu θ : M → lim Aα cho uα θ = ψ α ” Với định nghĩa giới hạn ngược trên, ta tìm hiểu số tính chất hàm tử lim tập số đếm được, thứ nguyên đối ( ) đồng điều tập hợp bậc xk , dãy phổ cho lim n Toàn luận văn chia làm chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức biết đến đại số đại cương, đại số đồng điều Chương 2: Nội dung chương chia làm phần Phần 1: Trình bày định nghĩa hàm tử lim số tính chất hệ xạ ảnh mềm cận mềm Phần 2: Nêu kết tập số đếm Phần 3: Thứ nguyên đối đồng điều tập hợp bậc xk ( ) Phần 4: Về dãy phổ cho lim n Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong phần kiến thức chuẩn bị này, nhắc lại số kiến thức cần thiết lý thuyết mô đun cần dùng cho việc triển khai nội dung chương 1.1 Tổng trực tiếp tích trực tiếp họ mơ đun 1.1.1 Định nghĩa Cho A, B R- mơ đun trái Khi tập tích Descartes A × B với hai phép tốn cộng nhân ngồi định bởi, ( a1 , b1 ) + ( a2 , b2 ) =( a1 + a2 , b1 + b2 ) , r ( a, b ) = ( ra, rb ) , Với ( a1 , b1 ) , ( a2 , b2 ) , ( a, b ) ∈ A × B với r ∈ R , R-mô đun, gọi mô đun tổng trực tiếp hai mô đun A B, kí hiệu là: A⊕ B 1.1.2 Định nghĩa Cho họ R- mơ đun trái {M i }i∈I Khi tích Descartes = ∏ Mi i∈I {( x ) i i∈I } xi ∈ M i với hai phép toán sau: ( xi )i∈I + ( xi′ )i∈I = ( xi + x′ )i∈I , r ( xi )i∈I = ( rxi )i∈I , Với ( xi )i∈I , ( xi′ )i∈I ∈ ∏ M i với r ∈ R , R-mô đun trái i∈I gọi mơ đun tích trực tiếp họ { X i }i∈I 1.1.3 Định lý Cho họ khác rỗng R-mơ đun {M i }i∈I Khi với R- mô đun M, họ đồng cấu { fi : M → M i } phân tích cách qua họ phép chiếu pi : ∏ M t → M i Nói cách khác, tồn t∈I đồng cấu f : M → ∏ M i cho fi = pi f với i ∈ I (Tính phổ dụng i∈I tích trực tiếp)[1, định lý 5, tr.28] 1.1.4 Định nghĩa Cho họ khác rỗng R-mô đun {M i }i∈I Mô đun ∏M i∈I i gồm số x = ( xi ) mà hầu hết thành phần xi = trừ số hữu hạn gọi mô đun tổng trực tiếp họ {M i }i∈I ký hiệu ⊕ M i hay i∈I ⊕M i 1.1.5 Định lý Cho họ khác rỗng R-mô đun {M i }i∈I Khi với R- mơ đun M, họ đồng cấu { ft : M t → M } phân tích cách qua họ phép nhúng { jt : M t → ⊕ M i } Nói cách khác, tồn đồng cấu f : ⊕ M i → M cho ft = fjt với t ∈ I (Tính phổ dụng tổng trực tiếp)[1, Định lý tr 32] 1.2 Dãy khớp 1.2.1 Một số định nghĩa Dãy đồng cấu (hữu hạn hay vô hạn) f g → A → B → C → gọi khớp mô đun B imf = ker g Một mô đun dãy đồng cấu gọi mơ đun trung gian vừa có đồng cấu vào vừa có đồng cấu Dãy đồng cấu R-mô đun gọi dãy khớp khớp mơ đun trung gian f g Dãy khớp có dạng → A → B → C → gọi dãy khớp ngắn f g Dãy khớp đồng cấu → A → B → C → gọi chẻ mô đun B Imf hạng tử trực tiếp B, tức tồn mô đun B1 cho= B Imf ⊕ B1 Một dãy khớp gọi chẻ chẻ mô đun trung gian 1.2.2 Định lý χ σ Đối với dãy khớp ngắn → A → B → C → , ba phát biểu sau tương đương [1, định lý 1, tr 40] i Dãy chẻ ii Đồng cấu χ có nghịch đảo trái iii Đồng cấu σ có nghịch đảo phải 1.2.3 Mệnh đề Nếu dãy khớp f g → A → B → C → chẻ B B ≅ Imf ⊕ Img [1, hệ 2, tr 41] 1.2.4 Mệnh đề α β Cho dãy khớp → A → B → C với β đơn cấu A=0 Chứng minh : Theo tính khớp dãy trên, ta có A ≅ Im α = ker= β Tương tự ta có mệnh đề sau 1.2.5 Mệnh đề β α Cho C → B → A → với β tồn cấu A=0 1.3 Mơ đun nội xạ mô đun xạ ảnh 1.3.1 Định nghĩa Một R- mô đun J mô đun nội xạ với đơn cấu χ : A → B , đồng cấu f : A → J , tồn đồng cấu f : B → J thỏa f = f χ 1.3.2 Định lý Hai mệnh đề sau tương đương : i R- mô đun J nội xạ χ σ ii Bất kỳ dãy với ngắn → A → B → C → dãy nhóm Abel sau khớp σ χ → Hom ( C , J ) → Hom ( B, J ) → Hom ( A, J ) →0 * * [1, tr 76] 1.3.3 Mệnh đề R-mô đun J nội xạ với ideal trái I R đồng cấu f : I → J , luôn tồn phần tử q ∈ J cho với λ ∈ I , ta có f ( λ ) =λq Nói cách khác đồng cấu f : I → J mở rộng tới đồng cấu f : R → J (Tiểu chuẩn Baer)[1, Định lý 5, tr 77] 1.3.4 Mệnh đề Mỗi mơ đun M nhúng vào mô đun nội xạ N ( M ) [1, Định lý 9, tr 82] 1.3.5 Định lý Đối với R-mơ đun J, phát biểu sau tương đương : i J mô đun nội xạ ii Mọi dãy khớp → J → B → C → chẻ iii J đẳng cấu với hạng tử trực tiếp mơ đun nội xạ [1, Định lý 10, tr 82] 1.3.6 Mệnh đề Tích trực tiếp họ mô đun J = ∏ J i nội xạ i∈I mô đun thành phần J i nội xạ 1.3.7 Định nghĩa Mô đun P gọi mô đun xạ ảnh với toàn cấu σ : B → C đồng cấu f : P → C tồn đồng cấu ϕ : P → B cho f = σϕ 1.3.8 Định nghĩa Mô đun X gọi mô đun tự X có sở 1.3.9 Định lý Mỗi mơ đun tự X mô đun xạ ảnh [1, Định lý 1, tr 73] 1.3.10 Định lý Tổng trực tiếp họ mô đun P = ⊕ Pi xạ ảnh i∈I mô đun thành phần Pi xạ ảnh [1, Định lý 2, tr 73] 1.3.11 Định lý Đối với mô đun P, ba phát biểu sau tương đương : i P mô đun xạ ảnh χ σ ii Mỗi dãy khớp → A → B → P → chẻ iii P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp mô đun tự [1, Định lý 3, tr 75] 1.3.12 Bổ đề rắn Cho sơ đồ giao hoán f g A → B → C →0 a b c f′ g′ → A′ → B′ → C′ Với dòng khớp, ta có dãy khớp Kera → Kerb → Kerc → Cokera → Cokerb → Cokerc Hơn nữa, f đơn cấu Kera → Kerb đơn cấu, g ′ tồn cấu Cokerb → Cokerc toàn cấu 1.3.13 Bổ đề năm ngắn Cho biểu đồ giao hoán đồng cấu sau, dịng khớp: → A → B → C →0 α β γ → A′ → B′ → C ′ →0 Khi đó, α, γ đơn (tồn, đẳng) cấu β đơn (tồn, đẳng) cấu 1.4 Nhóm Abel Ext ( X , Y ) 1.4.1 Định nghĩa Cho X, Y hai R-mô đun Ta gọi mở rộng Y X dãy khớp ngắn E R-mô đun χ σ E : → Y → W →X →0 1.4.2 Định nghĩa Giả sử χ σ E : → Y → W →X →0, χ′ σ′ E ′ : → Y → W′ →X →0 Là hai mở rộng Y X Kí hiệu E E ′ tồn R-đồng cấu β :W → W ′ cho biểu đồ sau giao hoán χ σ E : → Y → W →X →0 β χ′ σ′ → W′ →X →0 E ′ : → Y Dễ thấy β đẳng cấu quan hệ quan hệ tương đương Kí hiệu : Ext( X ,Y ) tập hợp tất lớp tương đương mở rộng Y X Và [E] lớp tương đương mở rộng E 1.4.3 Định nghĩa Cho [ E1 ] , [ E2 ] ∈ Ext ( X , Y ) Khi đó, ∇Y [ E1 + E2 ] ∆ X [ E1 ] + [ E2 ] = Trong : χ1 ⊕χ σ1 ⊕σ2 E1 ⊕ E2 : → Y ⊕ Y →W1 ⊕ W2 →X ⊕ X →0 với χ1 σ1 χ2 σ2 E1 : → Y →W1 → X → ; E2 : → Y →W2 →X →0 ∆ X đồng cấu chéo mô đun X xác định công thức ∆ X= ( x) ∆X : X → X ⊕ X , ( x, x ) , ∀x ∈ ∆ X ∇ X đồng cấu đối chéo mô đun X cho công thức ∇X : X ⊕ X → X , x + x′ ∇Y ( x, x′ ) = 1.4.4 Định lý Với phép toán cộng định nghĩa tập Ext(X,Y) lập thành nhóm Abel 1.5 Hàm tử Ext n 1.5.1 Các định nghĩa Cho A B mô đun trái, X phép giải xạ ảnh mô đun A X phức thu gọn phép giải X Xét phức sau : ( ) δ Hom X , B : Hom ( X , B ) → Hom ( X , B ) → δ → Hom ( X n , B ) → Hom ( X n+1 , B ) → Trong đồng cấu δn = ( −1) ( ( Khi đó, H n Hom X , B n +1 Hom ( ∂ n , iB ) , ∀n ≥ ) ) gọi tích mở rộng n- chiều R mô đun A, B kí hiệu là: ExtRn ( A, B ) hay Ext n ( A, B ) 1.5.2 Định lý Nếu A mô đun trái xạ ảnh (tương ứng: B mơ đun trái nội xạ) ta có Ext n ( A, B ) = với n ∈ N mô đun trái B (tương ứng: mô đun trái A) [1, Định lý 1&2, tr 163] 1.5.3 Định lý Với mô đun trái A với dãy khớp ngắn mô đun trái f g → B′ → B → B′′ → Ta có dãy khớp ( ) ( ) δ → Hom ( A, B ) → Hom ( A, B′′ ) → Ext1 ( A, B′ ) → → Hom ( A, B′ ) Hom i , f Hom i , g f g δ → Ext n ( A, B ) → Ext n ( A, B′′ ) → Ext n+1 ( A, B′ ) → → Ext n ( A, B′ ) * * Tương tự , ([1], Định lý 6, tr 168) B mô đun trái dãy khớp f g ngắn mô đun trái → A′ → A → A′′ → ta có dãy khớp Hom( g ,i ) Hom( f ,i ) δ → Hom ( A, B ) → Hom ( A′, B ) → Ext1 ( A′′, B ) → → Hom ( A′′, B ) g f δ → Ext n ( A, B ) → Ext n ( A′, B ) → Ext n+1 ( A′′, B ) → → Ext n ( A′′, B ) * * [1, Định lý 5, tr 168] 1.5.4 Mệnh đề f g Cho A,B mô đun trái → M → P → A → dãy khớp ngắn,trong P mơ đun xạ ảnh Khi Ext1 ( A, B ) ≅ Hom ( M , B ) Im ( Hom ( f , iB ) ) 1.5.5 Hệ Với giả thiết Mệnh đề 1.5.4, ta có Ext1 ( A, B ) ≅ Ext ( A, B ) nhờ đẳng cấu ϕ : ( Hom ( M , B ) Im ( Hom ( f , i ) ) → Ext ( A, B ) ) Định ϕ α + Im ( Hom ( f , i ) ) = α [ E ] với α ∈ Hom ( M , B ) 1.5.6 Định lý Cho A mô đun trái Khi khẳng định sau tương đương : i A xạ ảnh ... ĐẦU Giới hạn ngược định nghĩa sở định nghĩa hệ xạ ảnh phạm trù R-mô đun trái Tức là, với I tập số, định hướng, ta định nghĩa giới hạn ngược sau: “Cho { Aα , f αβ } hệ xạ ảnh R-mô đun tập số I Giới. .. ” Với định nghĩa giới hạn ngược trên, ta tìm hiểu số tính chất hàm tử lim tập số đếm được, thứ nguyên đối ( ) đồng điều tập hợp bậc xk , dãy phổ cho lim n Toàn luận văn chia làm chương:... : M → lim Aα cho uα θ = ψ α 1.6.5 Mệnh đề Giới hạn ngược hệ xạ ảnh { Aα , f αβ } R-mô đun trái tập số định hướng I tồn Tất nhiên, giới hạn ngược hàm tử khớp trái 1.6.6 Mệnh đề Nếu { Aα ,