3 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1 1 Môđun, môđun con, môđun thương 4 1 2 Đồng cấu môđun 7 1 3 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp 11 1 4 Môđun cốt yếu và môđun đối cốt yếu 16 1 5 Môđ[.]
3 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun, môđun con, môđun thương 1.2 Đồng cấu môđun 1.3 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp 11 1.4 Môđun cốt yếu môđun đối cốt yếu 16 1.5 Môđun nội xạ 17 1.6 Chiều Krull định lí lí thuyết chiều 19 Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA 21 MÔĐUN COATOMIC 21 2.1 Một số khái niệm tính chất mơđun coatomic 21 2.2 Một số tính chất môđun coatomic vành địa phương 31 2.3 Môđun đối cốt yếu coatomic 40 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 MỞ ĐẦU Việc nghiên cứu lý thuyết môđun ngày phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng quan trọng nghiên cứu lý thuyết vành Một hướng nghiên cứu vành đặc trưng vành qua tính chất lớp xác định mơđun chúng Vì ngày có nhiều lớp mơđun nghiên cứu Trong mơđun Coatomic môđun quan trọng đại số đại nói chung đại số giao hốn nói riêng, hai lớp quan trọng có mối quan hệ gần gũi với môđun Coatomic biết đến môđun hữu hạn sinh môđun nửa đơn Trong [9], Zưschinger định nghĩa mơđun Coatomic vành Noether Gần đây, Güngöroğlu Harmanci (trong [8]) nêu lên số kết lớp môđun Trong phạm vi luận văn sâu nghiên cứu lớp môđun coatomic với đề tài “Một số tính chất mơđun coatomic” Bố cục luận văn chia làm hai chương: ♦ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm, định nghĩa lý thuyết mơđun có liên quan đến nội dung đề tài Cụ thể trình bày tóm tắt khái niệm, kí hiệu tính chất cấu trúc đại số mơđun, khái niệm tính chất mơđun nội xạ, mơđun cốt yếu, môđun đối cốt yếu ♦ Chương 2: Một số tính chất mơđun coatomic Trong chương chúng tơi đề cập đến ba nội dung Nội dung thứ trình bày chi tiết hệ thống khái niệm, chứng minh tính chất mơđun coatomic nghiên cứu cấu trúc đại số môđun coatomic Nội dung thứ hai nghiên cứu môđun coatomic vành địa phương với iđêan tối đại m Nội dung thứ ba nghiên cứu môđun đối cốt yếu K -vành Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh hướng dẫn PGS.TS Trần Tuấn Nam Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người tận tình chu đáo động viên tơi nhiều suốt trình học tập trình hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn tất thầy cơ, cán khoa Tốn – Tin trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt Thầy tổ Đại số nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Xin cảm ơn bạn học viên nghành toán động viên giúp đỡ tơi có nhiều ý kiến đóng góp q trình hồn thành luận văn Do trình độ thời gian có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận bảo góp ý thầy bạn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2014 Tác giả Nguyễn Văn Tấn BẢNG KÍ HIỆU VIẾT TẮT : Vành số nguyên : Nhóm cộng số hữu tỉ ⊕ Ai : Tổng trực tiếp ngồi mơđun Ai , i ∈ I i∈I ⊕ f i : Tổng trực tiếp họ đồng cấu ( f i , i ∈ I ) i∈I ∏ f : Tổng trực tiếp họ đồng cấu ( f i , i ∈ I ) i∈I i N ≤ M : N môđun M N ⊆ e M : N môđun cốt yếu M N ⊆ s M : N môđun đối cốt yếu M Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun, môđun con, môđun thương Định nghĩa 1.1.1 ([1, §1]) Giả sử R vành Một R -môđun phải M M ×R→M nhóm cộng aben với ánh xạ gọi phép nhân vô (m, r ) mr hướng thỏa hệ thức sau: (mr )r ' = m(rr '), (m + m ')r =mr + m ' r , với m, m ' ∈ M r , r ' ∈ R m(r + r ') = mr + mr ', m.1 = m Tương tự, R -môđun trái nhóm aben M với phép nhân vơ hướng rm (r ∈ R, m ∈ M ) thỏa: r (r ' m) = (rr ')m, r (m + m ') =rm + rm ', với m, m ' ∈ M r , r ' ∈ R (r + r ')m =rm + r ' m, 1.m = m Nếu R vành giao hốn khái niệm R -môđun phải R môđun trái trùng gọi R -mơđun Ví dụ 1.1.2 - Phép nhân bên phải vành R phép nhân vơ hướng R lên nhóm aben R thỏa mãn tiên đề môđun Bởi vậy, R R -môđun phải Tương tự, R R -mơđun trái Do đó, R R -mơđun - Mỗi iđêan phải R R -môđun phải, iđêan trái R R -môđun trái - Giả sử R = vành số nguyên Mỗi nhóm aben A có cấu trúc mơđun Có thể nói khái niệm mơđun mở rộng khái niệm nhóm aben khơng gian vectơ Định nghĩa 1.1.3 ([1, §1]) Giả sử M R -mơđun phải Tập A M gọi môđun M A môđun R với phép cộng phép nhân vô hướng M hạn chế A Bổ đề 1.1.4 ([1, §1]) Giả sử M R -môđun phải Nếu A tập khác rỗng M phát biểu sau tương đương: (i) A môđun M , (ii) A nhóm cộng M với a ∈ A, r ∈ R ta có ar ∈ A , (iii) Với a, b ∈ A r , s ∈ R , ta có ar + bs ∈ A Ví dụ 1.1.5 (a) Mỗi mơđun M có mơđun tầm thường M Môđun A M gọi thực A ≠ A ≠ M (b) Giả sử M R -môđun tùy ý m0 ∈ M Khi tập = m0 R {m0 r , r ∈ R} mơđun M Nó gọi mơđun cyclic sinh phần tử m0 (c) Giả sử m0 phần tử R -môđun M , I iđêan phải vành R Tập hợp phần tử m0α α chạy khắp I mơđun M Kí hiệu m0 I (d) Giả sử A B hai mơđun M A ∩ B môđun M A + B = {a + b / a ∈ A, b ∈ B} môđun M Mệnh đề 1.1.6 ([1, §1]) Giao họ mơđun R môđun M môđun M Ví dụ 1.1.7 1) 2 ∩ 3 = 6 2) p = , với P tập tất số nguyên tố p∈P Định nghĩa 1.1.8 ([1, §1]) Giả sử X tập R -môđun M Môđun bé A chứa X gọi môđun sinh X X tập sinh hay hệ sinh A Trong trường hợp A = M ta nói X hệ sinh M M sinh X Nếu M có hệ sinh hữu hạn ta nói M R mơđun hữu hạn sinh Nếu mơđun sinh phần tử ta gọi mơđun mơđun cyclic Mệnh đề 1.1.9 ([1, §1]) Giả sử X tập R -mơđun M Khi đó, mệnh đề sau tương đương: (i) A môđun sinh tập X , A {∑ xrx / x ∈ X , rx ∈ R} , rx hầu hết trừ số hữu (ii) = hạn Ví dụ 1.1.10 -mơđun số hữu tỉ khơng có hệ sinh hữu hạn Thật vậy, giả sử X = {a1a , , an } hệ sinh hữu hạn Khi a1 biểu diễn dạng tổng hữu hạn a1 =x1a1 +∑ xi , ∈ i ≠1 Suy a1 =2x1a1 +∑ 2ai xi , ∈ i ≠1 Từ ma1 = ∑ 2ai xi , ∈ với m = − x1 i ≠1 Giả sử a =y a +∑ a y , y ∈ m 1 i ≠1 i i i Khi a1 =myi a1 +∑ myi = ∑ xi yi + ∑ myi = ∑ i i i ≠1 i ≠1 i ≠1 i ≠1 Điều chứng tỏ X \{a1} hệ sinh Tiếp tục trình sau n bước ta tập rỗng hệ sinh = {0} ! Định nghĩa 1.1.11 ([1, §1]) Giả sử ( Ai / i ∈ I ) họ tùy ý mơđun R -mơđun M Khi môđun sinh tập S = Ai gọi i∈I tổng môđun Ai kí hiệu ∑ Ai i∈I Định nghĩa 1.1.12 ([1, §1]) Mơđun A M gọi tối đại A ≠ M khơng chứa môđun thật M Định lý 1.1.13 ([1, §1]) Trong mơđun hữu hạn sinh môđun thật chứa môđun tối đại Bổ đề Zorn 1.1.14 ([1, §1]) Cho A tập thứ tự Nếu tập thứ tự hồn tồn A có cận A A có phần tử tối đại Hệ 1.1.15 ([1, §1]) Mỗi mơđun hữu hạn sinh M ≠ {0} chứa môđun tối đại Định nghĩa 1.1.16 ([1, §1]) Cho A mơđun R -mơđun M Khi (M × A) / R → M / A , ánh xạ Hơn nữa, nhóm tương ứng (m + A, r ) mr + A thương M / A R -môđun với phép nhân vô hướng ( m + A ) r =mr + A gọi môđun thương 1.2 Đồng cấu môđun Định nghĩa 1.2.1 ([1, §1]) Cho hai môđun M R N R Một đồng cấu R - môđun hay ánh xạ tuyến tính f : M → N ánh xạ f thỏa điều kiện : f ( x + y)= f ( x) + f ( y), f ( xr ) = rf ( x), với x, y ∈ M r ∈ R Nếu N = M f gọi tự đồng cấu M Một đồng cấu R -mơđun cịn gọi đơn giản đồng cấu không cần rõ vành sở Dễ dàng thấy f : M → N đồng cấu môđun f ( xr + ys)= rf ( x) + sf ( y) , với x, y ∈ M , r , s ∈ R Tập tất đồng cấu từ M R đến N R , kí hiệu HomR ( M , N ) hay Hom(M , N ) Tập hợp nhóm aben với phép cộng đồng cấu ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x) , với f , g ∈ Hom(M , N ) x ∈ R Nếu R vành giao hốn nhóm cộng có cấu trúc R -môđun với phép nhân vô hướng f (rx) = f ( x)r Đồng cấu môđun f : M R → N R gọi đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) f đơn ánh (toàn ánh, song ánh) Đối với đồng cấu môđun f : M → N ,kí hiệu imf = f ( M ) ker f = {x ∈ M / f ( x ) = 0} = f −1 (0) gọi imf ảnh f ker f hạt nhân f Mệnh đề 1.2.2 ([1, §1]) Cho đồng cấu môđun f : M → N U ,V tương ứng môđun M , N Khi : (i) f (U ) môđun N {x ∈ M / f ( x) ∈V } môđun M (ii) f −1 (V ) = Đặc biệt, ta có Im f Kerf môđun tương ứng N , M Mệnh đề 1.2.3 ([1, §1]) Giả sử f : X → Y đồng cấu R -mơđun Khi phát biểu sau tương đương: (i) f đơn cấu (ii) f giản ước bên trái, nghĩa đẳng thức f ϕ1 = f ϕ2 ⇒ ϕ1 = ϕ2 ϕ1 ,ϕ2 đồng cấu từ R -môđun tùy ý M tới X Mệnh đề 1.2.4 ([1, §1]) Giả sử f : X → Y đồng cấu R -mơđun Khi đó, phát biểu sau tương đương: f toàn cấu (ii) f giản ước bên phải, nghĩa đẳng thức ϕ1 f = ϕ2 f ⇒ ϕ1 = ϕ2 ϕ1 ,ϕ2 đồng cấu từ Y đến R -môđun N (i) Bổ đề 1.2.5 ([1, §1]) Giả sử ϕ : A → B đồng cấu R -môđun U ,V môđun A, B Khi đó, ta có phát biểu sau: (i) ϕ đơn cấu ker ϕ = (ii) ϕ −1 (ϕ (U ))= U + ker ϕ (iii) ϕ −1 (ϕ (V ))= V ∩ imϕ Định lý 1.2.6 ([1, §1]) Mỗi đồng cấu R -mơđun ϕ : A → B có phân tích Trong đó, δ : A → B / ker ϕ toàn cấu tự nhiên, ϕ ' đơn cấu Hơn nữa, ϕ ' toàn cấu ϕ tồn cấu Định lý 1.2.7 ([1, §1]) ( định lý đẳng cấu thứ nhất) Nếu B, C hai môđun A ( B + C ) / C ≅ B / ( B ∩ C ) Định lý 1.2.8 ([1, §1]) (định lý đẳng cấu thứ hai) Nếu C ⊂ B ⊂ A A / B ≅ ( A / C ) / ( B / C ) ... mơđun Coatomic vành Noether Gần đây, Güngöroğlu Harmanci (trong [8]) nêu lên số kết lớp môđun Trong phạm vi luận văn sâu nghiên cứu lớp môđun coatomic với đề tài ? ?Một số tính chất mơđun coatomic? ??... bày tóm tắt khái niệm, kí hiệu tính chất cấu trúc đại số mơđun, khái niệm tính chất mơđun nội xạ, mơđun cốt yếu, môđun đối cốt yếu ♦ Chương 2: Một số tính chất mơđun coatomic Trong chương chúng... chứng minh tính chất môđun coatomic nghiên cứu cấu trúc đại số môđun coatomic 2 Nội dung thứ hai nghiên cứu môđun coatomic vành địa phương với iđêan tối đại m Nội dung thứ ba nghiên cứu môđun đối