Đang tải... (xem toàn văn)
MỤC LỤC trang Mục lục Bảng danh mục các hình 2TMỞ ĐẦU2T 2 2TChương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ2T 3 2T1 1 Một số kiến thức về hệ động lực phức2T 3 2T1 2 Một số kiến thức về lý thuyết thế vị2T 5 2T1 3 Một số k[.]
MỤC LỤC trang Mục lục Bảng danh mục hình MỞ ĐẦU T 2T Chương - KIẾN THỨC CHUẨN BỊ T T 1.1 Một số kiến thức hệ động lực phức T T 1.2 Một số kiến thức lý thuyết vị T T 1.3 Một số kiến thức lý thuyết ergodic lý thuyết độ đo T T Chương - ĐỘ ĐO ĐIỀU HÒA TRÊN TẬP JULIA CỦA ÁNH XẠ HỮU TỶ 14 T T Chương - ĐỘ ĐO ĐIỀU HÒA TRÊN TẬP JULIA CỦA ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC 23 T T 3.1 Về toán tử P lớp G 24 T 2T 2T T 3.2 Sự tồn độ đo bất biến 25 T T 3.3 Một số tính chất mở rộng độ đo điều hòa ω 27 T T 3.4 Các tính chất Ergodic độ đo µ 31 T T 3.5 So sánh với độ đo cực đại 36 T T 3.6 Chiều Hausdorff độ đo điều hòa 39 T T KẾT LUẬN 47 T 2T TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 T 2T BẢNG DANH MỤC CÁC HÌNH trang Hình 3.3.1.1 Hình vành khăn hình học………………………………………… 32 Hình 3.3.1.2 Các đường cong Qn ……………………………………………33 MỞ ĐẦU Việc nghiên cứu địa phương ánh xạ chỉnh hình lặp lân cận điểm bất động phát triển mạnh vào cuối kỷ 19 Lĩnh vực sau quan tâm nhiều nhà tốn học giới Pierre Fatou, Gaston Julia, S Lattes, J.F Ritt, … Lý thuyết phép lặp hàm hữu tỉ f ( z ) mà đóng vai trị quan trọng tập Fatou F ( f ) tập Julia J ( f ) , nghiên cứu Fatou Julia Một quan tâm nhà toán học lĩnh vực hệ động lực phức tìm hiểu độ đo điều hòa tập Julia các ánh xạ tựa đa thức Xét f ánh xạ tựa đa thức mở rộng Luận văn trình bày tồn độ đo bất biến ergodic tương đương với độ đo điều hòa tập Julia J ( f ) , đồng thời độ đo điều hòa tương đương với độ đo entropy cực đại f tương đương bảo giác với đa thức Luận văn chứng minh chiều Hausdorff độ đo điều hòa J ( f ) nhỏ trừ tập Julia liên thông Các nội dung luận văn dựa hai báo [3], [11] Luận văn gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Độ đo điều hòa tập Julia ánh xạ hữu tỷ Chương 3: Độ đo điều hòa tập Julia ánh xạ tựa đa thức Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kiến thức hệ động lực phức 1.1.1 Ánh xạ tựa đa thức Định nghĩa 1.1.1.1 Một ánh xạ tựa đa thức bậc d ba (U ,V , f ) U ,V tập mở đẳng cấu với đĩa, với U compact tương đối V f : U → V ánh xạ riêng, chỉnh hình bậc d Trong luận văn ta xét d ≥ Ở ánh xạ f : U → V hai không gian tô pô ánh xạ riêng tạo ảnh tập compact V compact U Ánh xạ f biến biên U thành biên V , điểm gần ∂U thành điểm gần ∂V Định nghĩa 1.1.1.2 Cho f : U ' → U g : V ' → V ánh xạ tựa đa thức, K f , K g liên thơng Khi f g gọi tương đương (ký hiệu f ext g ) tồn tập mở liên thông U1 , U1' , V1 , V1' cho ' −1 (V1 ) V1' đẳng cấu , f −1 (U1 ) U= K f ⊂ U1' ⊂ U1 ⊂ U , K g ⊂ V1' ⊂ V1 ⊂ V = 1, f chỉnh hình ϕ : U1 \ K f → V1 \ K g cho ϕ f = g ϕ Định nghĩa 1.1.1.3 Chúng ta cho tương ứng ánh xạ tựa đa thức f : U ' → U bậc d với ánh xạ giải tích thực mở rộng h f : S → S bậc d, sai khác liên hợp phép quay Ta gọi h f ánh xạ f Ánh xạ z z d ánh xạ f Định nghĩa 1.1.1.4 Cho f : U ' → U g : V ' → V ánh xạ tựa đa thức Ta nói f g tương đương tô pô (ký hiệu f top g ) tồn đồng phôi ϕ từ lân cận K f lên lân cận K g cho ϕ f = g ϕ gần K f Nếu ϕ chỉnh hình ta nói f g tương đương bảo giác (ký hiệu f hol g ) Nếu ϕ tựa bảo giác ta nói f g tương đương tựa bảo giác (ký hiệu f qc g ) Ta có f hol g ⇒ f qc g ⇒ f top g Định nghĩa 1.1.1.5 Cho f ánh xạ tựa đa thức bậc d Khi f tương đương bảo giác với đa thức f tương đương với z z d 1.1.2 Tính chuẩn tắc họ ánh xạ Định nghĩa 1.1.2.1 Một dãy ( f n ) ánh xạ từ không gian metric ( X , d1 ) đến không gian metric ( X , d ) gọi hội tụ địa phương X tới ánh xạ f điểm x ∈ X tồn có lân cận x mà f n hội tụ đến f lân cận Định nghĩa 1.1.2.2 Một họ ánh xạ từ không gian metric ( X , d1 ) vào không gian metric ( X , d ) gọi họ chuẩn tắc X dãy vô hạn ánh xạ chứa dãy hội tụ địa phương X Định lý 1.1.2.3 (Định lý Montel) Cho họ hàm chỉnh hình miền D ⊂ Giả sử tồn ba điểm phân biệt a, b, c ∈ cho f ( z ) ∉ {a, b, c}, ∀z ∈ D , chuẩn tắc D 1.1.3 Tập Fatou, tập Julia, đĩa Siegel Định nghĩa 1.1.3.1 Cho f hàm hữu tỉ Tập Fatou f , ký hiệu F ( f ) tập mở lớn mà dãy {f } n chuẩn tắc Tập Julia hàm hữu tỉ f , ký hiệu J ( f ) định nghĩa phần bù F ( f ) , tức J ( f ) = \ F ( f ) Hay nói cách khác tập J ( f ) chứa tất điểm z ∈ ∞ mà dãy {f n ( z )} không chuẩn tắc Định nghĩa 1.1.3.2 Cho f : S → S tự đồng cấu chỉnh hình, S mặt Riemann U thành phần liên thông tập Fatou F ( f ) Ta nói U đĩa Siegel f quanh điểm zo tồn đồng phơi chỉnh hình φ :U → D với D đĩa mở đơn vị cho cho φ ( f n (φ −1 ( z ))) = e 2π iα z với số α thuộc \ φ ( zo ) = Định lý 1.1.3.3 Giả sử f hàm hữu tỉ có bậc ≥ , J ( f ) tập vơ hạn phần tử 1.2 Một số kiến thức lý thuyết vị 1.2.1 Miền quy Định nghĩa 1.2.1.1 Giả sử D miền thực ∞ ζ ∈ ∂D Hàm cản ζ hàm điều hòa b xác định D ∩ N , với N lân cận mở ζ , thỏa mãn b < D ∩ N lim b( z ) = z →ζ Một điểm biên mà tồn hàm cản gọi điểm quy Trong trường hợp ngược lại gọi điểm kỳ dị Nếu điểm ζ ∈ ∂D điểm quy, D gọi miền quy 1.2.2 Hàm Green Định nghĩa 1.2.2.1 Cho tập compact với , D = \ K Giả sử D miền quy (theo nghĩa Dirichlet), Một hàm Green D ánh xạ g D : D × D → (−∞, ∞] cho với ω ∈ D : (a) g D (., ω ) điều hòa D \ {ω} , bị chặn bên lân cận , log z + O(1), (b) g D (ω , ω ) = ∞ z → ω g D ( z , ω ) = − log z − ω + O(1), ω= ∞ ω≠∞ , (c) g D ( z , ω ) → z → ς , với ς ∈ ∂D gần khắp nơi (nếu viết f= (t ) g (t ) + O(1) t → t0 ta hiểu f (t ) − g (t ) bị chặn với t đủ gần t0 t đủ lớn t0 = ∞ ) Định lý 1.2.2.2 (Công thức Poisson – Jensen) Công thức dùng tài liệu trường hợp quy dùng phát biểu sau : Với U miền cho ∂U hợp hữu hạn đường cong trơn F hàm số giải tích xác định lân cận cl U Khi với x ∈ U ta có = log F( x ) ∫ ∂U log F( x ) ωU d ( x, dz) − ∑ gU (z, w) w∈U: F (w)= gU hàm số Green U phần tử không F lý tùy theo bội số chúng 1.2.3 Độ đo điều hòa Định nghĩa 1.2.3.1 Cho miền u hàm điều hòa dưới, u ≡/ −∞ tồn tốn tử ∆u tuyến tính dương không gian C0∞ ( D) ∆u (φ )= ∫ D u∆φ ∀φ ∈ C0∞ ( D) Đối với miền quy D độ đo điều hịa K = ∂D (tính y ) định nghĩa sau ωD ( y, v) = ∆g y (v) = ∆g D (v, y ) = ∫ g D (v, y)∆v D Một định nghĩa khác đưa sau: Nếu φ hàm liên tục xác định ∂D (do tính quy) φ có mở rộng điêu hịa φ miền D Ta đặt ωD ( z ,φ ) = φ ( z ) Định lý 1.2.3.2 (Nguyên lý cực đại cho hàm điều hòa dưới) Cho miền D ⊂ u ∈ SH ( D) Khi a Nếu u nhận giá trị cực đại tồn cục D u = const ; b Nếu limsup u ( z ) ≤ ∀ζ ∈ ∂D u ≤ D z →ζ Tính điều hịa bất biến qua ánh xạ bảo giác Định lý 1.2.3.4 (Nguyên lý cực đại cho hàm điều hòa) Cho D tập mở khác rỗng h hàm điều hòa D i) Nếu h đạt giá trị cực đại điểm D h hàm D ii) Nếu h liên tục D h ≤ δ D h ≤ D ( Bao đóng biên D định lý lấy ) Định lý 1.2.3.5 (Bất đẳng thức Harnack) Lấy h hàm số điều hòa dương xác định dĩa B (0,1) với tâm bán kính Với r < , có số Cr (không phục thuộc vào h ) cho với x, y ∈ B(0, r ) (đĩa với bán kính r), ta có h( x ) < Cr h( y ) 1.3 Một số kiến thức lý thuyết ergodic lý thuyết độ đo 1.3.1 Ergodic Định nghĩa 1.3.1.1 Ta gọi ( X , , m) khơng gian xác suất X tập hợp, σ − đại số tập X độ đo ( X , ) có m( X ) = Định nghĩa 1.3.1.2 Cho ( X , 1 , m1 ) ( X , , m2 ) không gian xác suất a) Một phép biến đổi T : X → X gọi đo T −1 ( ) ⊂ 1 b) Một phép biến đổi T : X → X gọi bảo toàn độ đo T đo ( m1 (T −1 ( B2 ) = m2 ( B2 ) với B2 ∈ Định nghĩa 1.3.1.3 Cho ( X , , m) không gian xác suất Phép biến đổi bảo toàn độ đo T : X → X gọi ergodic phần tử B thỏa T −1 ( B) = B m( B ) = (hay m( B ) = ) Định lý 1.3.1.4 Nếu T : X → X phép biến đổi bảo toàn độ đo không gian xác suất ( X , , m) phát biểu sau tương đương: i) T ergodic ii) phần tử mà m( B) = Chỉ phần tử B ∈ với m(T −1 ( B)∆B) = hay m( B) = (Ở ta sử dụng ký hiệu A= ∆B ( A \ B ) ∪ ( B \ A) ∞ iii) Với A∈ mà m( A) > ta có m( T − n A) = n =1 iv) Với A, B ∈ mà m( A) > , m( B) > ta có m( B ∩ T − n ( A)) > Định lý 1.3.1.5 Nếu T : X → X phép biến đổi bảo toàn độ đo không gian xác suất ( X , , m) phát biểu sau tương đương: i) T ergodic ii) Nếu f đo f T= ( x) f ( x) ∀x ∈ X f hàm h.k.n iii) Nếu f đo f T ( x) = f ( x) h.k.n f hàm h.k.n iv) Nếu f ∈ L2 (m) f T= ( x) f ( x) ∀x ∈ X f hàm h.k.n v) Nếu f ∈ L2 (m) f T ( x) = f ( x) h.k.n f hàm h.k.n Định lý 1.3.1.6 (Định lý truy hồi PoinCaré) Cho T : X → X phép biến đổi bảo tồn độ đo khơng gian xác suất ( X , , m) Giả sử E ∈ cho m( E ) > Khi tồn F ⊂ E với m( F ) = m( E ) cho với x ∈ F tồn dãy n1 < n2 < n3 số tự nhiên với T ni ( x) ∈ F với i 1.3.2 Entropy, mở rộng tự nhiên 1.3.2.1 Entropy Định nghĩa 1.3.2.1.1 Nếu α phủ mở X , gọi N (α ) số lượng phần tử phủ hữu hạn nhỏ α Ta định nghĩa entropy α : H (α ) = log N (α ) Giả sử α , β phủ mở X , nối chúng (kí hiệu α ∨ β ) phủ mở xác định : α ∨ β = { A ∩ B : A ∈ α , B ∈ β } Giả sử α phủ mở X T : X → X liên tục T −1α phủ mở X chứa tập hợp dạng T −1 A , với A ∈α Ta ký hiệu : T − iα =α ∨ T −1α ∨ ∨ T − ( n −1)α n −1 i =0 V Định lý 1.3.2.1.2 Giả sử α phủ mở X T : X → X liên tục, tồn giới hạn lim n →∞ H n (V ) T − iα n −1 i =0 ... Chương 2: Độ đo điều hòa tập Julia ánh xạ hữu tỷ Chương 3: Độ đo điều hòa tập Julia ánh xạ tựa đa thức 3 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kiến thức hệ động lực phức 1.1.1 Ánh xạ tựa đa thức Định... Luận văn trình bày tồn độ đo bất biến ergodic tương đương với độ đo điều hòa tập Julia J ( f ) , đồng thời độ đo điều hòa tương đương với độ đo entropy cực đại f tương đương bảo giác với đa thức. .. tập Fatou F ( f ) tập Julia J ( f ) , nghiên cứu Fatou Julia Một quan tâm nhà toán học lĩnh vực hệ động lực phức tìm hiểu độ đo điều hịa tập Julia các ánh xạ tựa đa thức Xét f ánh xạ tựa đa thức