MMỤỤCC LLỤỤCC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÍ HIỆU MỞ ĐẦU 1 Chương 1 HÀM ĐA TRỊ VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM ĐA TRỊ 3 1 1 Giới hạn của dãy tập hợp 3 1 2 Ánh xạ đa trị 8 1 3 Tính liên tục của ánh xạ đa trị 10 C[.]
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÍ HIỆU MỞ ĐẦU Chương 1: HÀM ĐA TRỊ VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM ĐA TRỊ 1.1 Giới hạn dãy tập hợp 1.2 Ánh xạ đa trị 1.3 Tính liên tục ánh xạ đa trị 10 Chương 2: KHOẢNG CÁCH HAUSDORFF VÀ CÁI ĐỀU HAUSDORFF 15 2.1 Không gian tập đóng khơng gian mêtric .15 2.2 Trường hợp không gian đều, Hausdorff .20 2.3 Không gian tập lồi đóng khơng gian lồi địa phương 22 2.4 Tính liên tục hàm đa trị lồi 27 Chương 3: TÍNH ĐO ĐƯỢC CỦA HÀM ĐA TRỊ .32 Kiến thức chuẩn bị 32 3.1 Hàm đa trị đo nhận giá trị tập compact khơng gian khả li metric hóa 34 3.2 Định lý hàm chọn Hàm đa trị đo với giá trị tập đầy đủ không gian metric khả li 36 3.3 Hàm đa trị đo lồi compact 41 3.4 Định lý chiếu Định lý hàm chọn Von Neumann - Aumann 42 3.5 Tính đo khơng gian Suslin lồi địa phương 49 3.6 Định lý hàm ẩn Những tính chất ổn định hàm đa trị đo 53 Chương 4: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM ĐA TRỊ 57 4.1 Nguyên hàm hàm đa trị .57 4.2 Phép lấy đạo hàm hàm đa trị có biến phân bị chặn 61 4.3 Định lý tính compact tập nghiệm phương trình vi phân đa trị .64 4.4 Định lý tồn nghiệm phương trình vi phân đa trị 67 4.5 Sự tồn nghiệm lớp bao hàm thức vi phân có chậm .80 KẾT LUẬN .87 BẢNG KÍ HIỆU Γ : T → 2X Hàm đa trị từ T vào X dom Γ Miền hữu hiệu Γ Gr(Γ) Đồ thị Γ rangeΓ Miền ảnh Γ Γ − (U ) Nghịch ảnh tập U Γ − (U ) Nhân tập U Γ −1 Ánh xạ đa trị ngược Γ d ( x, y ) Khoảng cách x y d ( x, A) Khoảng cách từ x đến tập A e( A, B ) Độ dôi tập A B h( A, B ) Khoảng cách Hausdorff A B ( X ) Tập tất tập X f ( X ) Tập tất tập đóng X tb ( X ) Tập tất tập đóng hồn tồn bị chặn X k (X ) Tập tất tập compact X B X ( x, r ) Quả cầu tâm x bán kính r > B = BX (0,1) Quả cầu tâm bán kính BX ( A, ε ) ε -lân cận tập không rỗng A X* Không gian đối ngẫu không gian vector topo X int A Phần tập A A Bao đóng tập A Ao Tập cực tập A coA Bao lồi tập A coA Bao lồi đóng tập A δ ( A) Hàm cực tập A δ * ( A) Hàm tựa tập A n.l.t.t Nửa liên tục n.l.t.d Nửa liên tục h.k.n Hầu khắp nơi ( X ) Nhóm Borel nhỏ chứa tất tập mở khơng gian topo X ⊗ Nhóm nhỏ chứa tất tập A × B ( A ∈ , B ∈ ) prT : T × U → T Ánh xạ chiếu lên T s σ -trường T sinh tập Suslin T µ µ -đầy đủ với µ độ đo dương (T , ) = µ với độ đo dương bị chặn µ (T , ) χ A (.) Hàm đặc trưng tập A C X ([a; b]) Không gian hàm liên tục từ [a;b] vào X L1X ([a; b]) Khơng gian lớp hàm khả tích từ [a;b] vào X MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Giải tích đa trị hướng nghiên cứu tương đối Toán học, định hình khoảng nửa đầu kỷ 20 Đối tượng Giải tích đa trị ánh xạ đa trị mà lý thuyết trình bày cách tương đối có hệ thống khơng gian topo Claude Berge (1963) Vai trị Giải tích đa trị Tốn học ứng dụng tốn học ngày cơng nhận rộng rãi Đặc biệt, Giải tích đa trị có nhiều ứng dụng lý thuyết tối ưu lý thuyết bao hàm thức vi phân Trong trình học tập tìm hiểu tri thức tốn học mình, tơi nhận thấy Giải tích đa trị đề tài hấp dẫn Dưới hướng dẫn PGS TS Nguyễn Đình Huy, tơi chọn thực đề tài: Một vài tính chất định tính hàm đa trị ứng dụng MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trong luận văn này, chúng tơi khảo sát số định nghĩa khoảng cách Hausdorff, tính liên tục tính đo hàm đa trị ứng dụng chúng phương trình vi phân đa trị ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu luận văn khoaûng cách Hausdorff, vài tính chất định tính hàm đa trị số ứng dụng chúng Phạm vi nghiên cứu giải tích hàm, lý thuyết độ đo PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu mang tính lí thuyết: tìm hiểu, phân tích tài liệu tham khảo, tổng hợp nội dung có liên quan đến đề tài nghiên cứu trình bày kết nghiên cứu (với chứng minh chi tiết) theo mạch thống Áp dụng kết phương pháp lập luận Tơpơ đại cương, Giải tích hàm, Lý thuyết độ đo… CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI Luận văn trình bày gồm phần: phần mở đầu, phần nội dung phần kết luận Phần mở đầu nêu rõ lý chọn đề tài, xác định rõ đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu đề tài, phương pháp nghiên cứu cấu trúc đề tài Phần nội dung gồm chương Chương 1: Chương giới thiệu khái niệm số định lí hàm đa trị tính liên tục hàm đa trị Chương 2: Chương trình bày khoảng cách Hausdorff Hausdorff Chương 3: Chương trình bày tính đo ánh xạ đa trị Chương 4: Trình bày nguyên hàm hàm đa trị phương trình vi phân đa trị Phần kết luận trình bày tóm gọn kết nghiên cứu được, hạn chế tồn tại, đồng thời nêu hướng nghiên cứu Chương 1: HÀM ĐA TRỊ VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM ĐA TRỊ 1.1 Giới hạn dãy tập hợp Định nghĩa 1.1 Giả sử X không gian metric ( K n ) dãy tập X Khi ta định nghĩa a) Giới hạn dãy ( K n ) tập lim sup K n = {x ∈ X / lim inf d ( x, K n ) = 0} n →∞ n →∞ b) Giới hạn dãy ( K n ) tập lim inf K n = {x ∈ X / lim d ( x, K n ) = 0} n →∞ n →∞ c) Ta nói dãy ( K n ) có giới hạn K , kí hiệu: lim K n = K , n →∞ lim sup K n lim inf K n K = = n →∞ n →∞ Định lý 1.2 Giả sử X không gian metric, ( K n ) dãy tập X Khi đó: ((ii)) lim sup K n tập tập hợp tất điểm tụ dãy ( xn ) , xn ∈ K n , n →∞ lập lim inf K n tập hợp tất giới hạn dãy n →∞ ((iiii)) lim= sup K n = K m B( K m , ε ) n m≥ n n →∞ ε >0 n m≥ n ((iiiiii)) lim inf K n = B ( K m , ε ) n →∞ ε >0 n m≥ n Chứng minh (i) Ta có {x ∈ X / x =lim xnk , xn ∈ K n } = {x ∈ X / lim d ( x, xnk ) =0, xn ∈ K n } k →∞ k →∞ = {x ∈ X / lim inf d ( x, xn ) = 0, xn ∈ K n } n →∞ = {x ∈ X / lim inf d ( x, K n ) = 0} = lim sup K n n →∞ n →∞ (ii) Nếu x ∈ lim sup K n hiển nhiên x ∈ K m n m≥ n n →∞ Giả sử x ∈ K m , ta xây dựng dãy X sau n m≥ n Cho trước ε > Với n = , x ∈ K m nên tồn cho d ( x, y1 ) < 2−1 ε m ≥1 Đặt n1 = min{m ∈ / y1 ∈ K m } xn1 = y1 Do x ∈ K m nên tồn y2 ∈ K m cho d ( x, y2 ) < 2−2 ε m ≥ n1 +1 m ≥ n1 +1 Đặt n2 = min{m ∈ / y2 ∈ K m , m > n1} xn1 = y2 Giả sử ta có xnk , x ∈ K m nên tồn yk +1 ∈ K m cho d ( x, yk +1 ) < 2− k ε m ≥ nk +1 m ≥ nk +1 Đặt nk +1 = min{m ∈ / yk +1 ∈ K m , m > nk } xnk +1 = yk +1 Như ta xây dựng dãy ( xnk ) , xnk ∈ K nk , mà lim xnk = x k →∞ Do x ∈ lim sup K n (do (i)) n →∞ Bây ta chứng minh lim sup K n = B ( K m , ε ) ε >0 n m≥ n n →∞ Ta có lim sup K n =∈ {x X / x = lim xnk , xn ∈ K n } k →∞ n →∞ = {x ∈ X / ∀ε > 0, ∀n ∈ , ∃m ∈ , m ≥ n : d ( x, K m ) < ε } = {x ∈ X / ∀ε > 0, ∀n ∈ , ∃m ∈ , m ≥ n : x ∈ B( K m , ε )} = B( K m , ε ) ε >0 n m≥ n (iii) Ta có lim inf K n =∈ {x X / x = lim xn , xn ∈ K n } n →∞ n →∞ = {x ∈ X / ∀ε > 0, ∃n ∈ : ∀m ≥ n, d ( x, K m ) < ε } = {x ∈ X / ∀ε > 0, ∃n ∈ : ∀m ≥ n, x ∈ B ( K m , ε )} = B( K m , ε ) ε >0 n m≥ n Chú ý lim sup K n tập hợp tất điểm tụ dãy “xấp xỉ”, tức n →∞ dãy {xn } thỏa mãn ∀ε > 0, ∀N ∈ , ∃n ∈ , n > N cho xn ∈ B ( K n , ε ) 1) lim inf K n ⊂ lim sup K n n →∞ n →∞ 2) lim sup K n = lim sup K n lim inf K n = lim inf K n n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ (bởi d ( x, K n ) = d ( x, K n ) ) 3) lim sup K n lim inf K n tập đóng n →∞ n →∞ Thật vậy, giả sử ( zm ) dãy lim inf K n hội tụ đến z ∈ X n →∞ ∞ 4) Nếu dãy ( K n ) thỏa mãn K1 ⊃ K ⊃ ⊃ K n ⊃ lim K n = K n n →∞ n =1 Bởi lim= sup K n = K m K n n m≥ n n →∞ n K n ⊂ B( K m , ε ) = lim inf K n , K m chứa B ( K m , ε ) , n →∞ ε >0 n m≥ n n ∞ = = = K n lim inf K n lim Kn Kn lim sup n →∞ n →∞ n →∞ n =1 Giới hạn dãy tập không gian topo Trong không gian topo tổng quát, không gian metric hóa được, lim sup K λ lim inf K λ định nghĩa thông qua dãy suy rộng phần tử xλ cách tương tự định nghĩa giới hạn dãy tập không gian metric Giả sử X không gian định chuẩn , X * không gian đối ngẫu X , ( K n ) dãy tập X ( Ln ) dãy tập X * Khi ta có định nghĩa sau: Giới hạn giới hạn yếu dãy ( K n ) topo yếu σ ( X , X * ) σ - lim sup K n =∈ {x X / x = σ - lim xn , xn ∈ K n } n →∞ k →∞ k σ - lim inf K n =∈ {x X / x = σ - lim xn , xn ∈ K n } n →∞ n →∞ Giới hạn giới hạn yếu dãy ( Ln ) topo yếu σ ( X * , X ) σ - lim sup Ln =∈ { x* X * / x* = σ - lim xn* , xn* ∈ Ln } k →∞ n →∞ K σ - lim inf Ln =∈ σ - lim xn* , xn* ∈ Ln } { x* X * / x* = n →∞ n →∞ Định lý 1.3 (định lý tính compact) Mọi dãy tập ( K n ) không gian metric khả li X chứa dãy có giới hạn (giới hạn rỗng) Chứng minh Vì X khơng gian metric khả li nên tồn họ đếm tập mở (U n ) cho: với tập mở U X , với x ∈ U tồn U m cho x ∈U m ⊂ U Giả sử ( K n ) dãy tập hợp X , ta xây dựng dãy Trước hết ta xây dựng dãy dãy ( K nm ) sau Chọn chọn dãy ( K n0 ) cho K n= K n , ∀n ∈ Giả sử với m − lập dãy ( K np ) với ≤ p ≤ m − Ta lập dãy ( K nm ) sau Với U m có hai trường hợp: Nếu U m (lim sup K nmk −1 ) ≠ ∅ với dãy nk , ta lập ( K nm ) k →∞ K km = K km−1 Nếu U m (lim sup K nmk −1 ) = ∅ với dãy nk đó, ta lập k →∞ ( K nm ) K km = K nmk −1 Tiếp theo, ta chọn dãy ( Ln ) cho L= K nn , ∀n ∈ Khi ( Ln ) dãy n ( K nm ) có giới hạn, thật vậy: Giả sử ( Ln ) khơng có giới hạn, nghĩa tồn xo ∈ X cho xo ∈ lim sup Ln , xo ∉ lim inf Ln n →∞ n →∞ Vì xo ∉ lim inf Ln nên tồn lân cận mở U xo dãy ( Lnk ) cho n →∞ U ∩ Lnk = ∅ với k Ta cố định U m mà xo ∈ U m ⊂ U Khi U m (lim sup Lnk ) = ∅ k →∞ nk Với nk ≥ m = Lnk K= K pmk−1 với pk Do ( Lnk ) dãy nk dãy K mm−1 ( m cố định) Như với m ta rơi vào trường hợp thứ hai Do theo cách xây dựng dãy ( K nm ) có K km = K pmk−1 n Vì = Ln K= K pmn với pn đó, nên ( Ln ) n≥ m dãy ( K km ) Vì n xo ∈ l im sup Ln ⊂ lim sup K km ⊂ X \ U m n →∞ k →∞ Điều mâu thuẫn với xo ∈ U m Do ( Ln ) có giới hạn Sau định lý đối ngẫu không gian Banch Nhắc lại Cho X không gian định chuẩn, K tập X L tập X * Khi Nón liên hiệp âm (hay nón đối âm cực) K − K= {x* ∈ X * / 〈 x* , x〉 ≤ ≤ 0, ∀x ∈ K } Nón liên hiệp âm L L−= {x ∈ X / 〈 x* , x〉 ≤ ≤ 0, ∀x* ∈ L} Định lý 1.4 Giả sử X không gian Banch, ( K n ) dãy nón lồi đóng X Khi lim inf K n = (σ - lim sup K n− ) − n →∞ n →∞ Chứng minh Giả sử x ∈ lim inf K n , x lim xn , xn ∈ K n ∀n ∈ = n →∞ Lấy x* ∈ σ - lim sup K n− , ta chứng tỏ 〈 x* , x〉 ≤ Vì x* ∈ σ - lim sup K n− nên n →∞ n →∞ x* = σ - lim xn*k , với xn* ∈ K n− Do 〈 xn*k , xnk 〉 ≤ Cho k → ∞ 〈 x* , x〉 ≤ ... tính liên tục tính đo hàm đa trị ứng dụng chúng phương trình vi phân đa trị ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu luận văn khoảng cách Hausdorff, vài tính chất định tính hàm đa trị. .. tích đa trị đề tài hấp dẫn Dưới hướng dẫn PGS TS Nguyễn Đình Huy, tơi chọn thực đề tài: Một vài tính chất định tính hàm đa trị ứng dụng MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trong luận văn này, khảo sát số định. .. định lí hàm đa trị tính liên tục hàm đa trị Chương 2: Chương trình bày khoảng cách Hausdorff Hausdorff Chương 3: Chương trình bày tính đo ánh xạ đa trị Chương 4: Trình bày nguyên hàm hàm đa trị