VÀI ĐỊNH LÍ MINIMAX CHO HÀM ĐA TRỊ VÕ VIẾT TRÍ*, NGUYỄN XUÂN HẢI**, NGUYỄN HỒNG QUÂN** TÓM TẮT Chúng tôi chứng minh vài điều kiện đủ cho sự tồn tại đẳng thức minimax và điểm yên ngựa Các kết quả được[.]
Võ Viết Trí tgk TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ VÀI ĐỊNH LÍ MINIMAX CHO HÀM ĐA TRỊ VÕ VIẾT TRÍ*, NGUYỄN XN HẢI**, NGUYỄN HỒNG QN** TĨM TẮT Chúng tơi chứng minh vài điều kiện đủ cho tồn đẳng thức minimax điểm yên ngựa Các kết thiết lập cho hàm đa trị vô hướng xác định nửa dàn tơpơ Từ khóa: định lí minimax, điểm yên ngựa, nửa dàn , ánh xạ ∆ -KKM ABSTRACT Some minimax theorems for set-valued maps We prove several sufficient conditions for the existence of minimax equalities and saddle points Results are established for set-valued maps defined on topological semilattices Keywords: minimax theorem, Saddle point, Semilattice, Giới thiệu tổng quan -KKM mapping F : X × X →2R hàm đa trị vô hướng Ta Gọi X tập khơng rỗng nói đẳng thức minimax thỏa cho F sup F (x, y) inf y∈X x∈X = sup inf F (x, y) x∈X (1) y∈X Trong trường hợp X không gian tôpô compact F hàm liên tục tập F (x, y) tập compact, max F (x, y) F (x, y) y∈X x∈ X Hơn ánh xạ đơn trị y →max F ( x, y) x∈X tồn y∈X x →min F (x, y) liên tục Bởi y∈X vậy, trường hợp đẳng thức minimax thỏa cho F viết dạng max F (x, y) y∈X x∈X = max F (x, y) x∈X (2) y∈X Một điểm (x, y) ∈ X × X gọi điểm yên ngựa F F (x, y) = F (x, y) max F(x,y) = y∈ X x∈X * ** TS, Trường Đại học Thủ Dầu Một; Email: trivv@tdmu.edu.vn TS, Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng ( Cơ sở TP Hồ Chí Minh) Nếu F có điểm n ngựa đẳng thức minimax ln thỏa cho F, (1) viết dạng inf max F (x, y) y∈X x∈X = sup F (x, y) x∈X (3) y∈X Một điều kiện để có đẳng thức kiểu (1) thiết lập lần đầu [2], điều kiện đủ để có đẳng thức dạng (2) đưa gần tác giả ([38]) Bài báo thiết lập vài kết cho tồn điểm yên ngựa đẳng thức minimax (1) thỏa Ta nhắc lại vài khái niệm cần thiết sau Gọi X, Y không gian tôpô G : X →2Y hàm đa trị G gọi nửa liên tục (lsc) x0 tập mở U ⊆ Y thỏa G(x0) ∩ U ≠ ∅, tồn lân cận mở V x0 cho: ∀x ∈V G(x0) ∩U ≠ ∅ G gọi nửa lên tục (usc) x0 với tập mở , U ⊇ G(x0 ) , tồn lân cận mở V x0 cho U ⊇ G(V ) G gọi liên tục x0 vừa usc vừa lsc x0 Ta nói G lsc (usc, liên tục) lsc (usc, liên tục) điểm X Từ trở đi, với tập khơng rỗng X, ta ln kí hiệu 〈 X 〉 lớp tất tập hữu hạn X Tập thứ tự phận ( X , ≤) gọi nửa dàn (gọi tắt nửa dàn) cặp phần tử (x, y) có cận sup { x, y} ( X , ≤) gọi nửa dàn tôpô X không gian tôpô ánh xạ (x, y) →sup { x, y} liên tục Nếu x1, x2 ∈ X cho x1 ≤ x2 tập [ x1 , x2 ] = { y ∈ X : x1 ≤ y ≤ } gọi khoảng x2 thứ tự (hoặc cho gọn khoảng) Với tập hữu hạn N ∈ 〈 X 〉 , tập hợp conv∆ N = [x, sup N ] gọi bao lồi N Tập C ⊆ X gọi x∈N tập ∆ − lồi với N ∈ 〈 C〉 , conv∆ N ⊆ C Gọi ( X , ≤ ( X , ≤ hai nửa dàn tơpơ Trên X × X ta trang bị tơpơ tích 1 2 ) ) đưa vào X1 × X quan hệ thứ tự phận sau: với (x1, x2 ) ∈ X1 × X ( y1, y2 ) ∈ X1 × X ta xác định (x1, x2 ) ≤ ( y1, y2 ) x1 ≤ y1 x2 ≤ y2 Khi ( X1 × X ,≤) nửa dàn tôpô với sup { (x1 , x2 ),( y1, y2 )} = (sup{ x1 , y1} , sup{ x2 , y2 }) Ta gọi nửa dàn nửa dàn tích D ⊆ X G : X →2 X ánh xạ đa trị, G Với X nửa dàn tôpô, gọi ánh xạ ∆ − KKM với tập hữu hạn N ∈ 〈 D〉 , ta có conv∆ N ⊆ x∈N G(x) Định lí sau dùng để chứng minh kết báo Định lí thiết lập [1] Định lí 1.1 Giả sử X nửa dàn tơpơ có khoảng liên thơng đường G : X →2 X ánh xạ đa trị thỏa điều kiện sau (i) G có ảnh đóng; (ii) G ánh xạ ∆ − KKM; (iii) tồn N0 ∈ 〈 X 〉 tập compact K X cho Khi x∈X x∈X G(x) ⊆ K G(x) ≠ ∅ δ ∈ R Các định lí minimax Định lí 2.1 Giả sử X nửa dàn tơpơ có khoảng liên thơng đường, F : X × X →2R hàm đa trị thỏa điều kiện sau a) với N ∈〈 X 〉 b) với x ∈X , y ∈ conv∆ N , sup F (x, y) ≤ δ ; x∈N tập c) tồn N0 ∈ 〈 X 〉 maxsup F ( x, y) > δ { y ∈ X : sup F (x, y) ≤ δ } đóng; tập compact K X cho ∀y ∈ X \ K , x∈N Khi tồn δ > F∗ := sup inf x∈X sup inf x∈X y ∈X cho sup F (x, y) ≤ δ Do đó, với x∈X F( x, y) , điều kiện a)-c) thỏa inf sup F (x, y) y∈X y∈X = x∈X F (x, y) y∈X Chứng minh Định nghĩa hàm đa trị G : X →2 X , xác định G(x) = { y ∈ X : sup F (x, y) ≤ δ } cho x ∈ X Bởi giả thiết b), G có ảnh đóng, nghĩa điều kiện (i) Định lí 1.1 thỏa Giả thiết c) có nghĩa với y ∈ X \ K , tồn x∈ cho N sup F (x, y) > δ Điều kéo theo với y thỏa sup F (x, y) ≤ δ cho x ∈ N , y phải thuộc K Do G(x) = x∈N0 { y ∈ X : sup F (x, y) ≤ δ } ⊆ K x∈N0 Vậy điều kiện (iii) Định lí 1.1 thỏa cho G Ta chứng minh G ánh xạ ∆ −KKM Lấy tập hữu hạn N ∈ 〈 y ∈ conv∆ N Giả thiết a) kéo X〉 theo tồn x ∈ N cho sup F (x, y) ≤ δ , nghĩa y ∈{ y'∈ X : sup F (x, y') ≤ δ } = G(x) Do conv∆ N ⊆ G(x) Vậy, G thỏa tất x∈N điều kiện Định lí 1.1 Theo Định lí 1.1 ta có { y ∈ X : sup F ( x, y) ≤ δ } ≠ ∅ G(x) = x∈ X x∈X Suy tồn y ∈ X sup cho: sup F (x, y) ≤ δ với x ∈ X Do F (x, y) ≤ sup{ sup F (x, y), x ∈ X } ≤ δ x∈ X Chú ý bất đẳng thức sau thỏa F∗ = inf sup F (x, y) y∈X x∈X ≥ sup inf x∈X F(x, y) = F y∈X ∗ Do đó, với δ > F∗ , điều kiện a)-c) thỏa inf sup F (x, y) y∈X x∈X ≤ sup F (x, y) ≤ δ Cho δ →F∗ ta có inf ≤ x∈X sup inf F (x, y) sup F (x, y) y∈X x∈X Các bất thức kéo theo minh hoàn thành x∈X inf = y∈X sup F (x, y) y∈X x∈X sup inf x∈X F (x, y) Chứng y∈X Gọi X nửa dàn tôpô F : X × X →2R hàm đa trị Ta nói F ∆ −tựa lõm với y ∈ X , N ∈ 〈 X 〉 x ∈conv∆ N , tồn x'∈ cho N F (x', y) ⊆ F (x, y) − R+ Sau vài điều kiện đủ để giả thiết Định lí 2.1 thỏa Mệnh đề 2.1 Nếu với x ∈ X , F (x, lsc giả thiết b) Định lí 2.1 thỏa ⋅) 1) Giả thiết a) Định lí 2.1 thỏa với y ∈ X sup F ( y, y) ≤ tập , δ U y := { x ∈ X : sup F (x, y) > δ } ∆ − lồi Chứng minh ∆ − lồi Trong trường hợp F ∆ − tựa lõm U y 1) Lấy lưới { yα } Vx = { y ∈ X : sup F (x, y) ≤ δ } hội tụ y0 Ta phải đến chứng tỏ sup F (x, y0 ) ≤ δ Với ε > , tồn t0 ∈ F (x, y0 ) cho lsc, tồn lưới { tα } tα ∈ F (x, yα ) cho tα →t0 Ta có tα ≤ sup F (x, yα ) ≤ δ cho α Vì (−∞,δ ] đóng, ta có t0 ≤ δ Khi sup F (x, y0 ) ≤ t0 + ε ≤ δ + ε Vì tùy ý, ta có sup F (x, y0 ) ≤ δ sup F (x, y0) ≤ t0 + ε Khi F (x, ⋅) 2) Giả sử trái lại, a) Định lí 2.1 khơng thỏa Thế tồn N ∈ 〈 X 〉 y ∈ conv∆ cho sup F (x, y) > với x ∈ N Suy N ⊆ U y Vì U y ∆ −lồi, N δ ta có y ∈ conv N ⊆ U , nghĩa y ∆ sup F ( y, y) ≤ δ sup F ( y, y) > δ Điều mâu thuẫn với giả thiết Trong trường hợp hàm đơn trị, ta có hệ sau δ ∈ R Hệ 2.1 Giả sử X nửa dàn tơpơ có khoảng liên thơng đường, f : X × X →R hàm (đơn trị ) thỏa điều kiện sau a) với b) với N ∈ 〈 X 〉 y ∈ conv∆ N , tồn x ∈ N với x ∈ X , tập { f (x, y) ≤ δ ; y ∈ X f (x, y) ≤ δ } đóng; : c) tồn N0 ∈ 〈 X tập compact K X cho 〉 x ∈ N0 cho f (x, y) > δ Khi ∃y ∈ X cho ∀y ∈ X \ K , tồn f (x, y) ≤ δ với x ∈ X Hệ là, với δ > supinf f (x, y) , điều kiện a)-c) thỏa inf sup f (x, y) x∈ X y∈X = supinf f (x, y) x∈ X y∈X y∈ X x∈ X Tiếp theo ta chứng minh kết cho tồn điểm yên ngựa Định lí 2.2 Giả sử X nửa dàn tơpơ có khoảng liên thơng đường F : X × X →2R hàm đa trị thỏa điều kiện sau a) với Γ ∈〈 X × X 〉 sup F (a, y) ≤ inf F (x,b) ; (x, y) ∈ conv∆Γ , (a, b) ∈ Γ tồn với b) với (a,b) ∈ X × X tập { (x, y) ∈ X × X : supF (a, y) ≤ inf F (x,b) } đóng; , c) tồn X× Γ0 ∈ 〈 X × X tập compact K cho 〉 X ∀(x, y) ∈ X × X \ K , tồn (a,b) ∈ vớ sup F (a, y) > inf F (x,b) Γ0 i Khi F có điểm yên ngựa, ta có inf max F (x, y) = sup x∈X F (x, y) y∈X x∈X y∈X Chứng minh Định nghĩa hàm đa trị G : X × X →2 X ×X , xác định G(a,b) = { (x, y) ∈ X × X : supF (a, y) ≤ inf F (x,b) } cho (a,b) ∈ X × X Lấy Γ ∈ 〈 X × X (x, y) ∈ conv∆Γ , giả thiết a) tồn 〉 cho sup F (a, y) ≤ inf F (x,b) Điều có nghĩa (a,b) ∈ Γ (x, y) ∈{ (x', y') ∈ X × X : sup F (a, y') ≤ inf F (x',b) } = G(a,b) Do conv∆Γ ⊆ { (x', y') ∈ X × X : sup F (a, y') ≤ inf F (x',b) (a,b)∈Γ }= Vậy G ánh xạ ∆ −KKM (a,b)∈Γ G(a,b) Giả thiết b) nói G có ảnh đóng Giả thiết c) tương đương với tồn Γ0 ∈ 〈 X × X 〉 tập compact K X × cho X X×X \K⊆ = ( a,b)∈Γ0 [ X × X \ { (x, y) ∈ X × X : sup F (a, y) ≤ inf F (x,b) } ] { (x, y) ∈ X × X : sup F(a, y) ≤ inf F(x,b) } =X×X \ ( a,b)∈Γ0 = X×X \ Do { (x, y) ∈ X × X : sup F (a, y) > inf F (x,b) } (a,b)∈Γ0 (a,b)∈Γ0 (a,b)∈Γ0 (x, y) ∈ G(a,b) G(a,b) ⊆ K Vậy , theo Định lí 1.1, tồn (x, y) ∈ X × X cho G(a, b) = (a,b)∈X × X { (x, y) ∈ X × X : sup F(a, y) ≤ inf F (x,b) } , (a,b)∈X × X Nghĩa sup F (a, y) ≤ inf F cho (a,b) ∈ X × X Với (a,b) = (x, y) ta (x,b) có sup F (x, y) ≤ inf F (x, y) Do ta phải có sup F (x, y) = F (x, y) = inf F (x, y) Bây cho b = ta có: sup F (a, y) ≤ inf F (x, y) = F (x, y) với a ∈ X Suy y max a∈X F (a, y) = F (x, y) Tương tự, lấy a = x ta suy F (x,b) = F (x, y) b∈ X Vậy ( x, y) điểm yên ngựa Mệnh đề sau cho điều kiện đủ để giả thiết b) Định lí 2.2 thỏa Mệnh đề 2.2 Giả sử X nửa dàn tơpơ compact, (a,b) ∈ X × X , tập V (a,b) = F (a, ⋅ ) F (⋅ , b) lsc cho { (x, y) ∈ X × X : sup F (a, y) ≤ inf F (x,b) } đóng Chứng minh Lấy lưới { (xα , yα )} V (a, b) hội tụ (x0, y0 ) Lấy bất t ∈ F (a, y) đến kì h ∈ F (x,b) Khi tồn lưới tα ∈ F (a, yα ) hα ∈ F (xα ,b) cho tα →t hα →h Bởi sup F (a, yα ) ≤ inf F (xα ,b) cho α , ta có tα ≤ cho α Do hα t ≤ h Vì t, h tùy ý, ta có sup F (a, y) ≤ inf F (x,b) Hệ sau phát biểu cho hàm đơn trị, chứng minh suy trực tiếp từ Định lí 2.2 f : X × X →R Hệ 2.2 Giả sử X nửa dàn tơpơ có khoảng liên thông đường hàm (đơn trị ) thỏa điều kiện sau a) với Γ ∈ 〈 X × X 〉 (x, y) ∈ conv∆Γ , tồn (a, b) ∈ Γ với b) với (a,b) ∈ X × X , c) tồn Γ0 ∈ 〈 X × X 〉 tập : { (x, y) ∈ X × X f (a, y) ≤ f (x,b) ; f (a, y) ≤ f (x,b) } đóng; X× X tập compact K ∀(x, y) ∈ X × X \ K , tồn (a,b) ∈ Γ0 vớ i cho f (a, y) > f (x,b) Khi f có điểm yên ngựa, ta có inf max f (x, y) = supmin f (x, y) y∈X x∈X x∈X y∈Y TÀI LIỆU THAM KHẢO Horvath, C D., & Llinares J V (1996), “Maximal elements and fixed points for binary relations on topological ordered space”, J Math Econom., 25, 291-306 Khanh P.Q, & Quan N.H, “Topologically-based characterizations of the existence of solutions of optimization-related problems”, Math Nachr., DOI 10.1002/mana.201400323 Li, S.J., Chen G.Y., & Lee G.M., (2000), “Minimax Theorems for Set-Valued Mappings”, Journal of optimization theory and applications, Vol 106, No 1, 183– 200 Li Z.F., & Wang S.Y., (1998), “A type of minimax inequality for vector-valued mappings”, J Math Anal.Appl., 227, 68–80 Luc D.T., & Vargas C., (1992), “A saddle point theorem for set-valued maps”, Nonlinear Anal., 18, 1–7 Yang, M.G., Xu J.P., Huang, N.J., & Yu, S.J., (2010), “Minimax theorems for vectorvalued mappings in abstract convex spaces”, Taiwanese J.Math., 14(2), 719– 732 Zhang Y., Li S.J., & Zhu S.K., (2012), “Mininax problems for set-valued mappings”, Numer Funct Anal Optim., 33(2), 239–253 Zhang Y., & Li S.J., “Minimax theorems for scalar set-valued mappings with nonconvex domains and applications”, J Glob Optim., DOI 10.1007/s10898-0129992-2 (Ngày Tòa soạn nhận bài: 09-5-2016; ngày phản biện đánh giá: 30-5-2016; ngày chấp nhận đăng: 13-6-2016) ... giả ([38]) Bài báo thiết lập vài kết cho tồn điểm yên ngựa đẳng thức minimax (1) thỏa Ta nhắc lại vài khái niệm cần thiết sau Gọi X, Y không gian tôpô G : X →2Y hàm đa trị G gọi nửa liên tục (lsc)... (x, y) y∈X Chứng minh Định nghĩa hàm đa trị G : X →2 X , xác định G(x) = { y ∈ X : sup F (x, y) ≤ δ } cho x ∈ X Bởi giả thiết b), G có ảnh đóng, nghĩa điều kiện (i) Định lí 1.1 thỏa Giả thiết... →2 X ánh xạ đa trị thỏa điều kiện sau (i) G có ảnh đóng; (ii) G ánh xạ ∆ − KKM; (iii) tồn N0 ∈ 〈 X 〉 tập compact K X cho Khi x∈X x∈X G(x) ⊆ K G(x) ≠ ∅ δ ∈ R Các định lí minimax Định lí 2.1