MỘT DẠNG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KRASNOSELSKII TRONG KHÔNG GIAN K ĐỊNH CHUẨN NGUYỄN BÍCH HUY*, VÕ VIẾT TRÍ** TÓM TẮT Trong báo cáo này, chúng tôi có một kết quả mở rộng định lí Krasnoselskii về điểm bất[.]
Nguyễn Bích Huy tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ MỘT DẠNG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KRASNOSELSKII TRONG KHƠNG GIAN K-ĐỊNH CHUẨN NGUYỄN BÍCH HUY*, VÕ VIẾT TRÍ** TĨM TẮT Trong báo cáo này, chúng tơi có kết mở rộng định lí Krasnoselskii điểm bất động tổng hai tốn tử khơng gian K-định chuẩn Chúng tơi trình bày ứng dụng cho phương trình vi-tích phân Từ khóa: điểm bất động Krasnoselskii, khơng gian K-Định chuẩn ABSTRACT An extension of the Krasnoselskii fixed point Theorem in K-normed space In this report, we obtain an extension of the Krasnoselskii fixed point theorem for sum of two operators to the case of K-normed spaces We apply it to the existence of solutions of the integrodifferential equation Keywords: Krasnoselskii fixed point, K-normed spaces Giới thiệu Lí thuyết điểm bất động công cụ mạnh hữu hiệu để nghiên cứu tồn nghiệm cấu trúc tập nghiệm phương trình phi tuyến tổng quát Một kết nhà Tốn học quan tâm Định lí điểm bất động Krasnoselskii tồn điểm bất động tổng hai tốn tử khơng gian Banach, Định lí phát triển khơng gian lồi địa phương ([4],[5]), dạng khác theo ràng buộc toán tử Trong báo này, giới thiệu kết tương tự tồn điểm bất động tổng hai tốn tử khơng gian K-định chuẩn với điều kiện bị chặn dãy ánh xạ tuyến tính sử dụng kết để nghiên cứu số phương trình vi-tích phân phi tuyến nêu [4] với ràng buộc khác Chúng tơi giải tốn cách xây dựng không gian K-định chuẩn với tôpô thích hợp Cho ( E, K , γ ) khơng gian tuyến tính tơpơ đầy đủ với tơpơ γ thứ tự sinh nón K, tập M E gọi chuẩn tắc với ξ ∈ K ,η ∈ M thỏa ξ ≤ η ξ ∈ M Tập M E gọi bị chặn (giới nội) lân cận V gốc cho trước tồn số a>0 để A ⊂ aV Dưới đây, ta giả sử ( E, K ,γ ) không gian lồi địa phương, chuẩn tắc, với sở lân cận gốc họ σ gồm tập lồi, cân đối, hấp thu chuẩn tắc chứa lân cận bị chặn Thêm nữa, ta giả sử K nón quy * ** PGS TS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM NCS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM Định nghĩa 1.1 [6] p : X →E Cho X khơng gian tuyến tính thực Một ánh xạ chuẩn X (i) p x ( ) ∀x ∈ p ( x ) X ≥ θE = θE phần tử không E X, (ii) p λ x = p ( ) ( λ x) gọi K- x = θX , đâyθE , θX ∀λ ∈ R , ∀x ∈ X , (iii) p ( x + y ) ≤ p ( x) + ∀x, y ∈ X p( y) Nếu p K-chuẩn X cặp (X,p) gọi không gian K-chuẩn Trên không gian xem xét tôpô τ nhận họ η x= { x + p−1 ( W ) : W ∈σ } , làm sở lân cận địa phương x, không gian tôpô ký hiệu ( X , p,τ ) Định nghĩa 1.2 [6] 1) Ta nói ( X , p,τ ) đầy đủ theo Weierstrass dãy chuỗi ∞ ∑ p ( xn+1 − xn ) hội tụ E dãy { xn } hội tụ n =1 2) Ta nói ( { xn} hội tụ ( { an} ⊂ X mà X , p,τ ) X , p,τ ) đầy đủ theo Kantorovich dãy p ( xk − xl ) ≤ an ∀k , l ≥ n, an →θE ( { xn} { xn} thỏa γ ⊂K, (1) X , p,τ ) Ta dễ dàng kiểm tra dãy đầy đủ theo Kantorovich đầy đủ theo Weierstrass Định lí điểm bất động Định lí 2.1 Cho ( X , p,τ ) đầy đủ theo Weierstrass (hoặc Kantorovich), C tập đóng X ánh xạ T : C →X Giả sử với z ∈C điều kiện sau thỏa: (1) Tz ( x) = T ( x ) + z ∈C ∀x ∈ C (2) Tồn dãy ánh xạ tuyến tính, dương, liên tục { Qn ∗ tính chất: (2a) ξ ∈ K limn→∞ Qn ( ξ ) = θE (2b) V ∈σ (2c) : E →E} tồn W ∈σ z p( T )) n ( x) ≤Q z n −Tn ( y γ ( Qn ( ξ ) →θE ), r ∈ N Qr ( W + V ) ⊂ V , p ( x − y ) với n ∈ N x, y ∈ C n∈N thỏa ( Khi đó: ánh xạ →C I − T ) 1 : C xác định liên tục Chứng minh Bước 1: Chứng minh tồn ánh xạ Với z ∈ C , cố định, Với V ′ ∈σ ( I − T ) 1 cho trước, chọn V ∈σ thỏa V + V ⊂ V ′ , theo giả thiết (2b) ta chọn W ∈σ số r ∈ N W ⊂ V Qr ( W +V ) ⊂ V r Với z0 z = T nr ( z n n ∈ C bất kì, ta đặt ), n−1 n+1 z n = 1, 2, , quy nạp theo n ta có ( = T nr ( zz ) z z z ), z =T (2) Do p( z −z = p ( T nr ) ( n z z ) − T nr ( z ≤Q z )) p ( z n r Mặt khác, theo giả thiết (2a) tồn Qnr p ( z0 − z1 ) ∈W , ∀ n ≥ N Đặt ) x = T Nr ( z x z −z (3) N ∈ N để n −1 z với n ∈ N , = T r ( x ) , n = 1, 2, (dãy } ) n ) {x } tịnh tiến dãy n {z n Theo (3) với tính chuẩn tắc tập W bất đẳng thức p(T Nr (z )- T Nr (z ))£ o p(z - z ) Q z z Nr ta có ξ = p( x −x ( = p ( T Nr ) z z ) − T Nr ( ) ) ∈W z (4) z Bằng quy nạp theo n = 0,1, 2, ta chứng tỏ tổng riêng Sn ( Qr ) ( ξ0 ) n k =∑ r Q ) ∈W +V k =0 Thật vậy, hiển nhiên theo (4) (5) với Sk (Qr )(x0 )Ỵ W + V , (5) n = , giả sử (5) với n = k , theo (2) suy Qr ( Sk ( Qr ) ( ξ ) ) ∈V S k +1 ( Qr ) ( ξ0 ) = ξ + Qr ( S ( Q ) ( ξ ) ) ∈W + V , k nghĩa (5) với n = k +1 Với n ∈ N∗ , ta có p ( x −x n suy n +1 ) ( r = p( Tr x z −1 ) n −Tr( x p( x z n n−1 )) ≤Q r ) −x n ≤ Qn ( ξ r n n ∑p( x k =0 − xk k +1 ) ≤ ∑Qk ) ∈W + V ⊂ V + V ⊂ V′ (ξ r k =0 (6) ), Vì V ′ lân cận bị chặn gốc cho trước ( E, K , γ ) , từ tính quy ∞ nón K ∑ Qkr ( ξ ) < ∞ Theo tính chất đầy đủ theo Weierstrass tồn k =0 x∗ ∈ C để + ) X , p,τ ) τ xn →x∗ Mặt khác, ta có p ( x∗ −z T r ( x∗ ) x ( ) ≤ p (n 1x∗ − γ r +Q p ( x n − x∗ ) →θ , suy x* điểm bất động T Giả sử a ∈C , T r ( a ) = a , r z z p ( x ∗ − a) = p (z T rn ∗( x γ )z − T rn ( a ) ) ≤ ∗Q p ( E (khi n →∞) x − a ) →θ suy a = a Như T r có điểm bất động nhất, từ đẳng thức T r ( x =x, T r( x T z ) ∗ z z ∗ ) suy ∗ điểm bất động tính vừa chứng minh x* ∗ z điểm bất động Tz Như ánh xạ φ : C →C, z →φ ( z) với φ ( z ) điểm bất động T z φ = ( I − T ) 1 xác định Hơn nữa, theo chứng τ minh T n ( z ) →φ ( z ) , với z ∈ C z 0 Bước Chứng minh φ = ( I − T ) 1 liên tục Với y ∈ C , cố định, đặt x = φ( y ), x = T n ( x) với n ∈ N Sử dụng giả thiết định lí z = y), tồn (với y n dãy ánh xạ tuyến tính, dương, liên tục : E →E} có tính chất nêu (2a, { Qn 2b,2c) định lí Giả sử V ′ ∈σ p ( x − x′ ) ta chứng tỏ tồn tập V0 ∈σ để y′ ∈ C ∈V ′ , x′ = φ ( y′ gốc ) thỏa p ( y − y′ ∈V0 ) Thật vậy, theo tính chất họ lân cận ( không gian ∈σ E, K ,γ ) ta chọn V thỏa V +V ⊂ V ′ , sử dụng giả thiết (2b) ta tìm W ∈σ số r ∈ N∗ để có W + W ⊂ V Qr ( W +V ) ⊂ V (7) Tập V0 xây dựng sau: Đặt W0 =W chọn W ′ ∈σ thỏa W ′ + W ′ ⊂ W , sử dụng tính liên tục Q1 gốc với lân cận W ′ ta tìm 0′ choW ⊂ W ′ Q ( W ) ⊂ W ′ Do tính chuẩn tắc W 1 để ≤ Q1 p ( a − b ) , a, b ∈ C p ( a − b ) ∈W ⇒ p ( T ( b) ) ′ ( a) ( a,b ∈ C ) −T ∈W ′ ′ ′ cho W + W ⊂ W , lại tiếp tục sử dụng tính liên tục 1′ θ ta tìm W ∈σ để có W ⊂ W mệnh đề sau E ) ta có mệnh đề sau Chọn W ∈σ W1 ∈σ p ( T ( a ) − T ( b ) ) = p ( Ty ( a ) − Ty ( b ) 2 Q1 p ( a − b ) ∈W ⇒p ( T ( a ) − T ( b ) ) ∈W ( a,b ∈ C ) ′ Tiếp tục trình ta tìm dãy lân cận gốc ′ {W } i −1 i=0,1, ,r có tính chất W ⊂ W j −1 ′ j , W ′ +W ′ ⊂ W { Wi }i=0,1, , r và mệnh đề sau p ( a − b ) ∈ W ⇒p ( T ( a ) − T ( b) ) ∈W ′ j ( a,b ∈ C ) , (8) j −1 j j j với j = 1, 2, , r −1 Đặt V0 = Wr −1 , trước hết ta chứng minh kết sau: (i) Với y′ ∈ C thỏa p ( y − y′ ∈V p ( Ty r ( z ) − T r ( z ∀z ∈ C ) (ii)p ( T rn ( a ) − T rn ( a ) y ∀n ∈ N ∗ ) ) ∈W ) ∈W + V , ∀a ∈ C Chứng minh (i) Ta có T ( z ) − T ( z ) y =T( T y ( b) ) với y (10) ( z)) T ( Ty′ p( T2( z) −T2( z) + p ( y − y′ a= Ty ( ) ), z b = Ty′ ) − ( z) ) + y − y′ , suy ≤ p ( T ( a) − T ( z) (9) (11) p ( a − b) = p ( y − Sử dụng (8), y′ , ý + th W ì ta có p ( T ( a ) − T ( b ) ) + p ( y − y ′ ) ∈ W ′ ) ∈Wr−1 ′ r −2 ⊂ W ′ r −2 ⊂ Wr −2 tập W r suy r −2 Từ (11) tính chuẩn tắc −2 p ( T ( z ) − T ( z ) ) ∈ W , ∀z ∈ C ... Nếu p K- chuẩn X cặp (X,p) gọi khơng gian K- chuẩn Trên không gian xem xét tôpô τ nhận họ η x= { x + p−1 ( W ) : W ∈σ } , làm sở lân cận địa phương x, không gian tôpô k? ? hiệu ( X , p,τ ) Định nghĩa... theo Kantorovich dãy p ( xk − xl ) ≤ an ? ?k , l ≥ n, an →θE ( { xn} { xn} thỏa γ ? ?K, (1) X , p,τ ) Ta dễ dàng kiểm tra dãy đầy đủ theo Kantorovich đầy đủ theo Weierstrass Định lí điểm bất động Định. .. S ( I−T ( I − T ) 1 có điểm bất động, điểm bất động ánh xạ T+S Ứng dụng cho phương trình tích phân khơng gian Banach 3.1 Bài tốn [2] Cho F không gian Banach với chuẩn , xét tồn nghiệm phương