Một số nguyên lí điểm bất động cơ bản

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NONGINTHILATH kingkham MỘT SỐ NGUYÊN LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CƠ BẢN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NONGINTHILATH kingkham MỘT SỐ NGUYÊN LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CƠ BẢN Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS Nguyễn Bích Huy Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CẢM ƠN Tơi xin dành lời để gửi lời cảm ơn sâu sắc dến thầy , PGS.TS Nguyễn Bích Huy – người ân cần bảo , hướng dẫn nhiệt tình mặt chun mơn phương pháp học tập q báu , giúp tơi hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn thầy phịng sau đại học , thầy cô công tác trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh nhiệt tình giảng dạy , giúp dỡ tơi tồn q trình học tập trường trình làm luận văn cuối , xin cảm ơn bạn bè , gia đình người thân – người động viên , giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu NongInThiLath king kham Mục lục Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương ĐỊNH LÝ ÁNH XẠ CO 1.1 Định lý ánh xạ co Banach 1.2 Một số mở rộng định lý ánh xạ co 1.3 Ánh xạ co dồng phôi 1.4 Định lý Caristi 10 1.5 Đinh lý ánh xạ co cho ánh xạ Đa trị 12 1.6 Ánh xạ không giãn 18 1.7 Ứng dụng vào phương trình vi phân 21 Chương ĐỊNH LÝ SCHAUDER 24 2.1 Định lí Schauder 24 2.2 Một số mở rộng định lí Schauder 26 2.3 Ứng dụng cho phương trình tích phân 31 Chứơng ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ TĂNG 34 3.1 Khơng gian Banach có thứ tự 34 3.2 Định lí điểm bất động ánh xạ tăng 36 3.3 Ứng dụng vào phương trình vi phân 39 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Các tượng tự nhiên xã hội thường mơ tả phương trình phi tuyến để giải chúng nhà toán học xây dựng nhiều phương pháp nghiên cứu Phương pháp điểm bất động phương pháp đơn giản hữu hiệu để nghiên cứu phương trình phi tuyến Định lý điểm bất động đời sớm nhất, đơn giản ứng dụng nhiều định lý ánh xạ co Banach Định lý cho phép chứng minh tồn điểm bất động cho phép xây dựng dãy lập đơn giản hội tụ nghiệm Các định lý điểm bất động quan trọng định lý Schauder Khai thác tính lối miền xác định tính hồn tồn liên tục ánh xạ; định lý Tarskii điểm bất động khai thác quan hệ thứ tự tập xác định tính tăng ánh xạ Việc tìm hiểu định lý điểm bất động bản, mở rộng ứng dụng chúng trình bày chúng tài liệu việc làm cần thiết Đề tài đáp ứng yêu cầu luận văn thạc sĩ chuyên nghành Toán Giải Tích Nội dung luận văn trình bày chi tiết hệ thống định lý điểm bất động định lý ánh xạ co, định lý Schauder, định lý Tarskii Đồng thời xét số mở rộng ứng dụng chúng Luận văn có chương Chương trình bày điểm bất động ánh xạ co mở rộng , ánh xạ co suy rộng theo Krasnoselskii , ánh xạ 𝜀 − 𝛿 𝑐𝑐 , 𝜑 − 𝑐𝑐 , ánh xạ không giãn , ánh xạ đa trị co ứng dụng vào phương trình vi phân Chương trình bày định lí Schauder mở rộng định lí Krasnoselskii, định lí ánh xạ 𝑘 − 𝑐ơ đặc Chương trình bày định lí điểm bất động ánh xạ tăng khơng gian có thứ tự Chương ĐỊNH LÝ ÁNH XẠ CO 1.1 Định lý ánh xạ co Banach Định nghĩa 1.1.1 Ta nói Cho (𝑋, 𝑑 ) không gian metric ánh xạ T : X → X 1) T ánh xạ co x ≠ y , d(𝑇𝑇 , 𝑇𝑇) < d(𝑥 , 𝑦) 2) T thỏa điều kiện Lipsit hay đơn giản T ánh xạ Lipsit tồn số k ≥0 cho với x , y thuộc X : d(𝑇𝑇 , 𝑇𝑇) ≤ kd (𝑥 , 𝑦) (1.1) Dễ thấy ánh xạ Lipsit lien tục Số k(𝑇) bé thỏa mãn (1 ) gọi hệ số Lipsit T 3) Nếu k(𝑇) < ta nói T ánh xạ co hệ số k=k(T) hay đơn giản T k-co Nếu S ,T : x→x ánh xạ Lipsit k(𝑇 𝑜 𝑆) ≤ k(𝑇) · k(𝑆) đặc biệt k(𝑇 𝑛 ) ≤ (k(𝑇))𝑛 với n ∈ N 4) Điểm 𝑥0 ∈ 𝑥 điểm bất động T T𝑥0 = 𝑥0 Hiển nhiên T ánh xạ co T liên tục điểm bất động T , có , Định lí 1.1.1 Cho (𝑋 , 𝑑 ) không gian metric đầy đủ T : X → X ánh xạ k – co Khi T có điểm bất động , ghi 𝑥0 , lim𝑛→∞ 𝑇 𝑛 x = 𝑥0 với x ∈ X Hơn Chứng minh: d(𝑥0 , 𝑇 𝑛 𝑥) ≤ 𝑘𝑛 1−𝑘 d(x ,T x ) với x ∈ 𝑋 Với x ∈ 𝑋 , dặt : 𝑥1 = 𝑇𝑇 , 𝑥𝑛+1 =T𝑥𝑛 , n ∈ N Với n , p ∈ N , ta có : d(𝑥𝑛 , 𝑥𝑛+𝑝 ) =d(𝑇 𝑛 𝑥 , 𝑇 𝑛+𝑝 𝑥) ≤ kd(𝑇 𝑛−1 𝑥 , 𝑇 𝑛+𝑝−1 𝑥) ≤ …….≤ ≤ 𝑘 𝑛 𝑑 (𝑥 , 𝑇 𝑝 𝑥) ≤ 𝑘 𝑛 [𝑑 ( 𝑥 , 𝑇𝑇) + 𝑑 (𝑇𝑇, 𝑇 𝑥) + ⋯ + 𝑑(𝑇 𝑝−1 𝑥 , 𝑇 𝑃 𝑥] ≤ 𝑘 𝑛 (1 + 𝑘 + 𝑘 + ⋯ + 𝑘 𝑃−1 )∙ 𝑑 (𝑥, 𝑇𝑇) = 𝑘 𝑛 ∙ Vậy: d�𝑥𝑛 , 𝑥𝑛+𝑝 � ≤ 𝑘𝑛 1−𝑘 ∙ 𝑑(𝑥, 𝑇𝑇) 1−𝑘 𝑃 1−𝑘 ∙ 𝑑(𝑥, 𝑇𝑇) (1) Do k < , bất đẳng thức chứng tỏ (𝑇 𝑛 (𝑥))𝑛 dãy , nên hội tụ Đặt: 𝑥0 = lim𝑛→∞ 𝑇 𝑛 (𝑥) 𝐷𝐷 𝑇 liên tục nên 𝑥𝑜 = 𝑇(𝑥0 ) Từ (1) cho p → ∞ , ta d�𝑥0 , 𝑇 𝑛 𝑥� ≤ Định lý chứng minh 𝑘 1−𝑘 𝑑 (𝑥, 𝑇𝑇) 1.2 Một số mở rộng định lý ánh xạ co 1) Ánh xạ 𝜺 − 𝜹 𝒄𝒄 Định lí 1.2.1 Cho ( X , d ) không gian mêtric đầy đủ f : X → X thỏa mãn : với 𝜀 > 0, tồn 𝛿 > cho : 𝜀 ≤ 𝑑 (𝑥, y) ≤ ε + δ d(f (𝑥), 𝑓(𝑦)) < 𝜀 ( ta nói f (𝜀 − 𝛿 ) − 𝑐𝑐 ) Khi f có điểm bất động Chứng minh : 𝑥0 lim𝑛→∞ 𝑓 𝑛 ( 𝑥) = 𝑥0 với 𝑥 ∈ 𝑋 Từ định nghĩa ánh xạ 𝜀 − 𝛿 𝑐𝑐 ta suy f thỏa mãn điều kiện d( f(x),(y)) ≤ d(x,y) Do f liên tục Ta có : Lấy 𝑥0 ∈ 𝑋 tùy ý , xây dựng dãy lập 𝑥𝑛+1 = 𝑓(𝑥𝑛 ) đặt: 𝛼𝑛 = 𝑑(𝑥𝑛+1 , 𝑥𝑛 ) 𝛼𝑛+1 = 𝑑 (𝑥𝑛+2 , 𝑥𝑛+1 ) = 𝑑 (𝑓(𝑥𝑛+1 ), 𝑓(𝑥𝑛 ) ≤ 𝑑 (𝑥𝑛+1 , 𝑥𝑛 ) = 𝛼𝑛 nên {𝛼𝑛 } dãy giảm bị chặn Ta khẳng định lim𝑛→∞ 𝛼𝑛 = Thật , lim𝑛→∞ 𝛼𝑛 = 𝛼 > tính chât 𝜀 − 𝛿 𝑐𝑐 ta có : ∃𝛿 > ∶ 𝛼 ≤ 𝑑 (𝑥, 𝑦) ≤ 𝛼 + 𝛿 ⇒ 𝑑(𝑓 (𝑥), 𝑓(𝑔)) < 𝛼 𝑛𝑜 cho n> 𝑛0 thì𝛼 ≤ 𝛼𝑛 ≤ 𝛼 + 𝛿 Khi 𝛼𝑛+1 < 𝛼 ∀𝑛 ≥ 𝑛0 , Chọn ta gặp mâu thuẫn 𝛼𝑛 ≥ 𝛼 ∀𝑛 Tiếp theo ta chứng minh {𝑥𝑛 } dãy cauchy Cho > , ta chọn theo tính chất ánh xạ số 𝛿 > cho : 𝜀 𝜀 𝜀 ≤ 𝑑 (𝑥, 𝑦) ≤ + 𝛿 ⇒ 𝑑�𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)� < (1) 2 Khi ta giảm số 𝛿 tính chất (1) nên ta coi 𝛿 < ta tìm số 𝑛0 cho 𝛼𝑛 < 𝛿 ∀𝑛 ≥ 𝑛0 𝜀 𝑓 (𝑥) ∈ 𝐵 �𝑥𝑛 , + 𝛿� 𝜀 𝜀 ta có : 𝑑(𝑓 (𝑥), 𝑥𝑛 ) ≤ 𝑑(𝑓 (𝑥), 𝑓(𝑥𝑛 ) + 𝑑 (𝑓 (𝑥𝑛 ), 𝑥𝑛 ) ≤ 𝑑 (𝑥, 𝑥𝑛 ) + 𝛼𝑛 < 𝜀 𝜀 Nếu ≤ 𝑑(𝑥, 𝑥𝑛 ) < +𝛿 ta có: 2 𝑑 (𝑓 (𝑥), 𝑥𝑛 ) ≤ 𝑑�𝑓(𝑥), 𝑓 (𝑥𝑛 )� + 𝑑 (𝑓 (𝑥𝑛 ), 𝑥𝑛 ) < 𝜀 Vậy tính chất (2) Do 𝑑 (𝑥𝑛+1 , 𝑥𝑛 ) < 𝛿 < + 𝛿 nên 𝜀 với 𝛿 > 𝜀 ∀𝑥 ∈ 𝐵 �𝑥𝑛 , + 𝛿� (2) Thật ,giả sử 𝑑 (𝑥 , 𝑥𝑛 ) < + 𝛿 Nếu 𝑑(𝑥 , 𝑥𝑛 ) ≤ 𝜀 𝜀 +𝛿 𝜀 +𝛿 𝑥𝑛+2 = 𝑓(𝑥𝑛+1 ) ∈ 𝐵(𝑥𝑛 , + 𝛿) theo tính chất (2) Tương tự , ta chứng minh 𝜀 𝑑�𝑥𝑛+𝑝 , 𝑥𝑛 � < + 𝛿 < 𝜀 ∀𝑛 ≥ 𝑛0 Vậy {𝑥𝑛 } dãy Cauchay f Đặt 𝑥∗ = lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 ta dễ dàng chứng minh 𝑥∗ điểm bất động 2) Ánh xạ co suy rộng theo Krasnoselskii Định lí 1.2.2 Giả sử (X , d) không gian mêtric đầy đủ , 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑋 ánh xạ thỏa mãn điều kiện : với cặp số < 𝑎 < 𝑏 tồn số k ( phụ thuộc a , b ) , 𝑘 < cho 𝑎 ≤ 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑏 𝑑(𝑓 (𝑥), 𝑓 (𝑦)) ≤ 𝑘𝑘(𝑥 , 𝑦) Khi f có điểm bất động 𝑥∗ với 𝑥0 ∈ 𝑋 dãy {𝑓 𝑛 (𝑥0 )} hội tụ 𝑥∗ Chứng minh cho: Ta chứng minh f ánh xạ 𝜀 − 𝛿 𝑐𝑐 Cho 𝜀 > ta giả sử 𝑘 ∈ [0 , 1) số 𝜀 ≤ 𝑑 (𝑥 , 𝑦) ≤ 𝜀 + ⇒ 𝑑�𝑓 (𝑥), 𝑓 (𝑦)� ≤ 𝑘𝑘 (𝑥 , 𝑦) Chọn 𝛿 < min( , 1−𝑘 𝑘 𝜀 ) ta có 𝜀 ≤ 𝑑 (𝑥 , 𝑦) ≤ 𝜀 + 𝛿 ⇒ 𝑑�𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)� ≤ 𝑘𝑘 (𝑥 , 𝑦) ≤ 𝑘 (𝜀 + 𝛿 ) 3) Ánh xạ 𝝋 − 𝒄𝒄 < 𝑘 �𝜀 + 1−𝑘 𝜀� = 𝜀 𝑘 Định lí 1.2.3 Cho (X , d) không gian mêtric đầy đủ , f : X → X ánh xạ thỏa mãn điều kiện 𝑑�𝑓(𝑥), 𝑓 (𝑦)� ≤ 𝜑[𝑑 (𝑥 , 𝑦)] , 𝑥≠𝑦 Trong 𝜑 ∶ [0 , ∞) → [0 , ∞) hàm liên tục thỏa mãn 𝜑(0) = , 𝜑(𝑟) < 𝑟 ∀𝑟 > Khi f có điểm bất động 𝑥∗ với 𝑥0 ∈ 𝑋 dãy {𝑓 𝑛 (𝑥0 )} hội tụ 𝑥∗ Chứng minh : Ta chứng minh f ánh xạ co suy rộng theo Krasnoselskii Giả sử < 𝑎 < 𝑏 , ta đặt : 𝑘 = 𝑠𝑠𝑠 � 𝜑(𝑟) 𝑟 ∶ 𝑟[𝑎 , 𝑏]� Hàm k < Khi 𝜑(𝑟) 𝑟 𝑎 ≤ 𝑑(𝑥 , 𝑦) ≤ 𝑏 ⇒ liên tục [𝑎 , 𝑏] , 𝜑(𝑟) 𝑟 < ∀𝑟 ∈ [𝑎 , 𝑏] nên 𝑑(𝑓 (𝑥), 𝑓(𝑦)) 𝜑[𝑑(𝑥 , 𝑦)] ≤ ≤𝑘 𝑑(𝑥 , 𝑦) 𝑑(𝑥 , 𝑦) ⇒ 𝑑�𝑓(𝑥), 𝑓 (𝑦)� ≤ 𝑘𝑘 (𝑥 , 𝑦) 4) Ánh xạ co không gian mêtric Compact Định lí 1.2.4 Cho (X , d) khơng gian metric Compact f :X → X ánh xạ thỏa mãn điều kiện 𝑑�𝑓(𝑥), 𝑓 (𝑦)� < 𝑑 (𝑥 , 𝑦), ∀𝑥 ≠ 𝑦 Khi f có điểm bất động 𝑥∗ ∀𝑥0 ∈ 𝑋 dãy {𝑓 𝑛 (𝑥0 )} hội tụ 𝑥∗ Chứng minh: Ta chứng minh f ánh xạ co suy rộng theo Krasnoselskii Thật , xét tùy ý số < 𝑎 < 𝑏 Đặt : 𝑌 = {(𝑥 , 𝑦) ∈ 𝑋 × 𝑋: 𝑎 ≤ 𝑑 (𝑥 , 𝑦) ≤ 𝑏 } Ta có Y tập đóng khơng gian compact X × X nên tập compact Xét ánh xạ g : Y→R , 𝑔 (𝑥 , 𝑦 ) = 𝑑(𝑓 (𝑥), 𝑓(𝑦)) 𝑑(𝑥 , 𝑦) , (𝑥 , 𝑦) ∈ 𝑌 Ta dễ chứng minh 𝑔 liên tục 𝑔( 𝑥 , 𝑦) < ∀(𝑥 , 𝑦) ∈ 𝑌 Đặt: 𝑘 = 𝑠𝑠𝑠{𝑔(𝑥 , 𝑦): (𝑥 , 𝑦) ∈ 𝑌} Y compact nên ∃(𝑥0 , 𝑦0 ) ∈ 𝑌: 𝑘 = 𝑔�𝑥0 , 𝑦0 � Do 𝑘 < Và ta có 𝑔(𝑥 , 𝑦) ≤ 𝑘 ∀ (𝑥 , 𝑦) ∈ 𝑌 Vậy: 𝑎 ≤ 𝑑 (𝑥 , 𝑦) ≤ 𝑏 ⇒ 𝑑(𝑓 (𝑥), 𝑓(𝑦)) ≤ 𝑘𝑘(𝑥 , 𝑦) 29 Chứng minh: Đặt 𝐴1 = 𝑐𝑐 ���𝑓 (𝐷), 𝐴𝑛+1 = 𝑐𝑐 ���𝑓 (𝐴𝑛 ), 𝑛 ∈ ℕ Khi đó: 𝐴𝑛+1 ⊂ 𝐴𝑛 𝑣à 𝜒(𝐴𝑛+1 ) ≤ 𝑘 𝜒(𝐴𝑛 ) ≤ ⋯ ≤ 𝑘 𝑛+1 𝜒(𝐷 ), ∀𝑛 ∈ ℕ Đặ𝑡: ∞ 𝐾 = � 𝐴𝑛 𝑡ℎì 𝐾 𝑙ồ𝑖 đó𝑛𝑛 𝑓 (𝐾) ⊂ 𝐾 𝑣à𝜒 (𝐾) = Ta chứng minh : K≠ ∅ Với n ∈ ℕ lấy 𝑥𝑛 ∈ 𝐴𝑛 Đặt : 𝐵𝑖 = {𝑥𝑛 , 𝑛 ≥ 𝑖} 𝐵𝑖 ⊂ 𝐴𝑖 𝑣à𝜒 (𝐵1 ) = 𝜒(𝐵𝑖 ), ∀𝑖 ∈ ℕ Do: lim𝑛→∞ 𝜒(𝐴𝑛 ) = nên 𝜒(𝐵1 ) = hay 𝐵1 tập compact tương đối Vậy tồn dãy hội tụ (𝑥𝑛𝑘 )𝑘 , lim𝑘 𝑥𝑛𝑘 ≡ 𝑥 Do: 𝑥𝑛𝑘 ∈ 𝐴1 𝑛𝑘 ≥ 𝑖 𝐴𝑖 tập đóng nên : 𝑥 ∈ 𝐴𝑖 với 𝑖 ∈ ℕ ∞ 𝑉ậ𝑦 𝑥 ∈ 𝐾 = � 𝐴𝑖 Do K lồi , compact khác rỗng f : K → K liên tục , áp dụng định lí Schauder , f có điểm bất động K Định lí chứng minh Định lí 2.2.3 Cho 𝜑: (0, ∞) → ℝ liên tục cho : ≤ 𝜑(𝑟) < 𝑟 với r > Cho D tập lồi đóng bị chặn không gian Banach E f : D → E có dạng : f = U + C với U ánh xạ 𝜑 − 𝑐𝑐 ( nghĩa : |𝑈𝑈 − 𝑈𝑈| ≤ 𝜑(|𝑥 − 𝑦|), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷 , C ánh xạ compact Giả sử : f(D) ⊂ D Khi f có điểm bất động 30 Chứng minh : Đầu tiên ta chứng minh : f (𝜀 − 𝛿 ) − 𝑐ô đặc , nghĩa với 𝜀 > , tồi 𝛿 > cho: với A tập bị chặn chứa D , 𝜀 ≤ 𝜒(𝐴) ≤ 𝜀 + 𝛿 𝜒�𝑓(𝐴)� < 𝜀 Với 𝜀 > , 𝜑 liên tục ≤ 𝜑(𝑟) < 𝑟 với r > nên tồn 𝛿 > cho : với 𝜀 ≤ 𝑟 ≤ 𝜀 + 𝛿 𝜑(𝑟) < 𝜀 Với A ⊂ D , 𝜀 ≤ 𝜒(𝐴) = 𝑟 ≤ 𝜀 + 𝐴1 , 𝐴2 , … 𝐴𝑛 𝛿 có đường kính nhỏ 𝑛 , tạp A phủ số hữu hạn tập 𝑟+ 𝛿 , 𝑛 𝐴 ⊂ � 𝐴𝑖 𝐾ℎ𝑖 đó: 𝑓(𝐴) ⊂ � 𝑓 (𝐴𝑖 ) ����� Với 𝑖 ∈ 1, 𝑛 1 𝑓 (𝐴𝑖 ) ⊂ 𝑈(𝐴𝑖 ) + 𝐶(𝐴𝑖 ) với 𝐶(𝐴𝑖 ) tập compact tương đối , 𝛿 𝜒�𝐶 (𝐴𝑖 )� = 𝑈(𝐴𝑖 ) có đường kính nhỏ 𝜑 �𝑟 + � 𝛿 Suy ra: 𝜒�𝑈(𝐴𝑖 )� < 𝜑 �𝑟 + � 𝑉ậ𝑦: 𝜒 �𝑓(𝐴𝑖 )� ≤ 𝜒�𝑈(𝐴𝑖 ) + 𝐶 (𝐴𝑖 )� = 𝜒�𝑈(𝐴𝑖 )� < 𝜑 �𝑟 + 𝛿 � 𝛿 1, 𝑛 � < 𝜑 �𝑟 + � < 𝜀 Từ tính chất (iii) ta có: 𝜒�𝑓 (𝐴)� ≤ 𝑚𝑚𝑚�𝜒�𝑓 (𝐴𝑖 )�, 𝑖 ∈ ����� Vậy: f (𝜀 − 𝛿 ) −cô đặc Đặt: 𝐴1 = 𝑐𝑐 ���𝑓(𝐷 ), 𝐴𝑛+1 = 𝑐𝑐 ���𝑓 (𝐴𝑛 ) với 𝑛 ∈ ℕ Khi đó: 𝐴𝑛+1 ⊂ 𝐴𝑛 𝜒(𝐴𝑛 ))𝑛 dãy giảm , không âm Đặt: 𝑎 = lim𝑛 𝜒(𝐴𝑛 ) Ta chứng minh: a = Giả sử: a > tồi 𝛿 > cho : 𝑎 ≤ 𝜒(𝐴) ≤ 𝑎 + 𝛿 𝜒�𝑓 (𝐴)� < 𝑎 Với 𝑛 ∈ ℕ cho: 𝑎 ≤ 𝜒(𝐴𝑛 ) ≤ 𝑎 + 𝛿 , ta có : 31 𝜒�𝑓(𝐴𝑛 )� = 𝜒�𝑐𝑐 ���𝑓(𝐴𝑛 )� = 𝜒(𝐴𝑛+1 ) < 𝑎 Mâu thuẫn 𝜒(𝐴𝑛 ) ≥ 𝑎 với n 𝑉ậ𝑦: 𝑎 = lim 𝑥 = ∞ 𝑛 Đặ𝑡: 𝐾 = � 𝐴𝑛 Tương tự chứng minh định lí 2.2.2 , K tập lồi compact khác rỗng f(K) ⊂ K Áp dụng định lí Schauder , f có điểm bất động K Định lí chứng minh 2.3 Ứng dụng cho phương trình tích phân Xem phương trình tích phân: 𝑡 𝑎 (𝐼) 𝑥(𝑡 ) = � 𝐴(𝑠)𝑥 (𝑠)𝑑𝑑 + � 𝑔(𝑡, 𝑠, 𝑥 (𝑠)𝑑𝑑 , Trong : i) ii) 𝑡 ∈ [0, 𝑎] , {𝐴(𝑡)} họ ánh xạ tuyến tính từ ℝ𝑛 vào ℝ𝑛 , phụ thuộc liên tục theo t g : [0, 𝑎] × [0, 𝑎] × ℝ𝑛 → ℝ𝑛 liên tục cho : |𝑔(𝑡, 𝑠, 𝑥)| =0 |𝑥|→+∞ |𝑥| lim đề𝑢 𝑡ℎ𝑒𝑒 𝑠, 𝑡 ∈ [0, 𝑎] Khi phương trình (I) có nghiệm [0, 𝑎] 32 Chứng minh: Đặt E = C([0, 𝑎], ℝ𝑛 ) với chuẩn sup đặt U , C : E → E định bởi: với 𝑥 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ [0, 𝑎], 𝑡 𝑎 𝑈𝑈 (𝑡 ) = � 𝐴(𝑠)𝑥 (𝑠) 𝑑𝑑 𝑣à 𝐶 (𝑥)(𝑡 ) = � 𝑔�𝑡, 𝑠 𝑥 (𝑠)� 𝑑𝑑 0 Khi đó: U tuyến tính liên tục thỏa mãn: (𝑚𝑚)𝑛 ‖𝑈 𝑥) − 𝑈 (𝑦)‖ ≤ ‖𝑥 − 𝑦‖ 𝑛! 𝑛( 𝑛 Với m = max {‖𝐴(𝑡)‖ , 𝑡 ∈ [0,1]} C ánh xạ compact Trên E đặt chuẩn ‖∙‖1 định bởi: với 𝑥 ∈ 𝐸 , ∞ ‖𝑥‖1 = �‖𝑈 𝑛 (𝑥)‖ , 𝑣ớ𝑖 𝑈 = 𝐼 𝑛=0 (𝑙à á𝑛ℎ 𝑥ạ đồ𝑛𝑛 𝑛ℎấ𝑡 ) Khi đó: ‖𝑥‖ ≤ ‖𝑥‖1 ≤ 𝑒 𝑚𝑚 ‖𝑥‖ Vậy ‖∙‖1 tương đương với chuẩn ‖∙‖ Hơn ta có ‖𝑈𝑈‖1 = ‖𝑥 ‖2 − ‖𝑥‖ ≤ �1 − 𝑒 𝑚𝑚 � ‖𝑥‖1 = 𝐾 ‖𝑥‖1 𝑣ớ𝑖 𝑘 = − 𝑒 −𝑚𝑚 < Đặt f = U + C Từ (ii) ta chứng minh; tồn R > cho 𝑓(𝐵′ (0, 𝑅 )) ⊂ 𝐵′ (0, 𝑅) Và f có điểm bất động 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ nghiệm phương trình (I) Với 𝜀 > , < 𝜀 < − 𝐾 (ii) nên tồn N > cho : |𝑔(𝑡, 𝑠, 𝑥)| ≤ 𝑁 + Suy ra: ‖𝐶(𝑥)‖ ≤ 𝑁𝑁 + 𝜀‖𝑥 ‖ 𝜀 |𝑥| 1+𝑎 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑠, 𝑡 ∈ [0, 𝑎] 33 Do 𝜀 > nên : ‖𝐶(𝑥)‖ =0 ‖𝑥‖→∞ ‖𝑥 ‖ lim Do hai chuẩn ‖∙‖1 , ‖∙‖ tương đương nên: ‖𝐶(𝑥)‖1 =0 ‖𝑥‖→∞ ‖𝑥 ‖1 lim (𝑎) Do C ánh xạ compact (a) , với < 𝜀 < − 𝑘 , tồn M > cho: ‖𝐶 (𝑥)‖1 ≤ 𝑀 + 𝜀 ‖𝑥‖1 , ∀𝑥 ∈ 𝐸 Do 𝜀 + 𝑘 < , nên tồn R > cho: (𝜀 + 𝑘 )𝑅 + 𝑀 < 𝑅 Khi đó: với ∈ 𝐸 , ‖𝑥 ‖1 ≤ 𝑅 , ta có: ‖𝐹(𝑥)‖1 = ‖𝐶 (𝑥) + 𝑈(𝑥)‖1 ≤ ‖𝐶 (𝑥)‖1 ‖𝑈(𝑥)‖1 ≤ 𝑀 + (𝜀 + 𝑘 )‖𝑥‖1 < 𝑅 Vậy 𝑓(𝐵′ (0, 𝑅 )) ⊂ (𝐵′ (0, 𝑅 ) (𝐸 , ‖∙‖1 ) Áp dụng định lí Krasnoselskii , f có điểm bất động 𝑥 ∗ , 𝑓 (𝑥 ∗ ) = 𝑥 ∗ Vậy phương trình (I) có nghiệm 𝑥 ∗ 34 Chứơng ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ TĂNG 3.1 Không gian Banach có thứ tự Định nghĩa 3.1.1 1) Tập K khơng gian Banach X gọi nón nếu: i) K tập đóng ii) K + K ⊂ K , 𝜆𝜆 ⊂ 𝐾 , ∀𝜆 ≥ iii) K∩ (−𝐾) = {𝜃} 2) Nếu K nón thứ tự X sinh K định : 𝑥 ≤ 𝑦 ⇔ 𝑦 − 𝑥 ∈ 𝐾 Mỗi 𝑥 ∈ 𝐾 \{𝜃 } gọi dương Mệnh đề 3.1.1 ̋ ≤ ̏ thứ tụ sinh nón Khi đó: Giả sử 1) 𝑥 ≤ 𝑦 ⇒ 𝑥 + 𝑧 ≤ 𝑦 + 𝑧 , 𝜆𝜆 ≤ 𝜆𝜆 , ∀𝑧 ∈ 𝑋 , ∀𝜆 ≥ 2) ((𝑥𝑛 ≤ 𝑦𝑛 , ∀𝑛 ∈ ℕ∗ )˄(lim 𝑥𝑛 = 𝑥 , lim 𝑦𝑛 = 𝑦)) ⇒ 𝑥 ≤ 𝑦 3) Nếu {𝑥𝑛 } dãy tăng hội tụ x 𝑥𝑛 ≤ 𝑥 , ∀𝑛 ∈ ℕ∗ Chứng minh 2) Từ 𝑥𝑛 ≤ 𝑦𝑛 , suy 𝑦𝑛 − 𝑥𝑛 ∈ 𝐾 Do 𝑦𝑛 − 𝑥𝑛 → 𝑦 − 𝑥 ∈ 𝐾 (do tính chất đóng K ) Vậy 𝑥 ≤ 𝑦 3) Cho 𝑚 → ∞ 𝑥𝑛 ≤ 𝑥𝑛+𝑚 áp dụng 2) ta phải chứng minh Nón chuẩn Định nghĩa 3.1.2 Nón K gọi nón chuẩn ∃𝑁 > 0: 𝜃 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦 ⇒ ‖𝑥‖ ≤ 𝑁‖𝑦‖ 35 Mệnh đề 3.1.2 Giả sử ̋ ≤ ̏ thứ tụ sinh nón chuẩn Khi 1) Nếu 𝑢 ≤ 𝑣 đoạn 〈𝑢, 𝑣〉 ≔ {𝑥 ∈ 𝑋: 𝑢 ≤ 𝑥 ≤ 𝑣 } bị chặn theo chuẩn 2) Nếu 𝑥𝑛 ≤ 𝑦𝑛 ≤ 𝑧𝑛 , ∀𝑛 ∈ ℕ∗ 𝑣à lim 𝑥𝑛 = 𝑎 , lim 𝑧𝑛 = 𝑎 𝑡ℎì lim 𝑦𝑛 = 𝑎 3) Nếu {𝑥𝑛 } đơn điệu có đãy hội tụ 𝑎 𝑡ℎì lim 𝑥𝑛 = 𝑎 Chứng minh 1) ∀𝑥 ∈ 〈𝑢, 𝑣〉 ⇒ 𝜃 ≤ 𝑥 − 𝑢 ≤ 𝑣 − 𝑢 ⇒ ‖𝑥 − 𝑢‖ ≤ 𝑁‖𝑢 − 𝑣 ‖ ⇒ ‖𝑥‖ ≤ ‖𝑢‖ + 𝑁‖𝑢 − 𝑣 ‖ 2) 𝜃 ≤ 𝑦𝑛 − 𝑥𝑛 ≤ 𝑧𝑛 − 𝑥𝑛 ⇒ ‖𝑦𝑛 − 𝑥𝑛 ‖ ≤ 𝑁‖𝑧𝑛 − 𝑥𝑛 ‖ 3) Coi {𝑥𝑛 } tăng lim𝑘→𝑥 𝑥𝑛𝑘 = 𝑎 𝑥𝑛 ≤ 𝑥𝑛𝑘 (n cố định, k đủ lớn) nên nên 𝑥𝑛 ≤ 𝑎, ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ Cho 𝜀 > , chọn 𝑘0 để �𝑥𝑛𝑘 − 𝑎� < 𝜀 𝑁 ta có ∀𝑛 ≥ 𝑛𝑘0 ⇒ 𝑎 − 𝑥𝑛 ≤ 𝑎 − 𝑥𝑛0 ⇒ �𝑎 − 𝑥𝑛 Nón qui � ≤ 𝑁 �𝑎 − 𝑥𝑛𝑘0 � < 𝜀 Định nghĩa 3.1.3 Nón K gọi qui dãy tăng , bị chặn hội tụ Mệnh đề 3.1.3 Nón qui nón chuẩn Chứng minh Giả sử K qui khơng nón chuẩn ∀𝑛 ∈ ℕ∗ , ∃𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ∶ 𝜃 ≤ 𝑥𝑛 ≤ 𝑦𝑛 , ‖𝑥𝑛 ‖ > 𝑛2 ‖𝑦𝑛 ‖ 36 Đặt 𝑢𝑛 = 𝑥𝑛 𝑦𝑛 , 𝑣𝑛 = 𝑡ℎì 𝜃 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 𝑣𝑛 , ‖𝑢𝑛 ‖ = , ‖𝑣𝑛 ‖ < ‖𝑥𝑛 ‖ ‖𝑥𝑛 ‖ 𝑛 𝑉ì ∑∞ 𝑛=1‖𝑣𝑛 ‖ < ∞ 𝑛ê𝑛 𝑡ồ𝑛 𝑡ạ𝑖 𝑣 ≔ ∑∞ 𝑛=1 𝑣𝑛 Dãy 𝑠𝑛 ∶= 𝑢𝑛 + ⋯ + 𝑢𝑛 tăng , bị chặn ( 𝑣 ) nên hội tụ Suy lim 𝑢𝑛 = 𝜃 , điều dẫn đến mân thuẫn với ‖𝑢𝑛 ‖ = Ví dụ Nón hàm khơng âm 𝐿𝑝 (1 ≤ 𝑝 < ∞) nón qui 3.2 Định lí điểm bất động ánh xạ tăng 3.2.1.Nguyên lí Entropy Giả sử : i) ii) X tập thứ tự cho dãy đơn điệu tăng X có cận (𝑥𝑛 ≤ 𝑎 ∈ 𝑋 ) S ∶ X → [−∞, +∞) hàm đơn điệu tăng (𝑢 ≤ 𝑣 ⇒ 𝑆(𝑢) ≤ 𝑆(𝑣)) bị chặn (∃𝑀 ∶ 𝑆(𝑢) ≤ 𝑀, ∀𝑢 ∈ 𝑋 ) Khi , tồn phần tử 𝑢0 ∈ 𝑋 có tính chất : Chứng minh ∀𝑢 ∈ 𝑋 , 𝑢 ≥ 𝑢0 ⇒ 𝑆(𝑢) = 𝑆(𝑢0 ) Coi 𝑆(𝑋) ≠ {−∞} lấy tùy ý 𝑢1 ∈ 𝑋 𝑚à 𝑆(𝑢1 ) ≠ −∞ xây dựng phân tử 𝑢1 ≤ 𝑢2 ≤ ⋯như sau Giả sử có 𝑢𝑛 , ta đặt 𝑀𝑛 = {𝑢 ∈ 𝑋: 𝑢 ≥ 𝑢𝑛 }, 𝛽𝑛 = 𝑠𝑠𝑠{𝑆(𝑢): 𝑢 ∈ 𝑀𝑛 } Nếu 𝛽𝑛 = 𝑆(𝑢𝑛 ) 𝑢𝑛 cần tìm Nếu 𝛽𝑛 > 𝑆(𝑢𝑛 ) ta tìm 𝑢𝑛+1 thỏa 37 𝑢𝑛+1 ∈ 𝑀𝑛 , � 𝑆(𝑢𝑛+1 ) > 𝛽𝑛 − [𝛽𝑛 − 𝑆(𝑢𝑛 )] Nếu trính vơ hạn ta có dãy tăng {𝑢𝑛 } thỏa: 2𝑆(𝑢𝑛+1 ) − 𝑆(𝑢𝑛 ) > 𝛽𝑛 , ∀𝑛 ∈ ℕ∗ Gọi 𝑢0 cận {𝑢𝑛 } , với 𝑢 ≥ 𝑢𝑛 , ta có : 𝑢 ∈ 𝑀𝑛 , ∀𝑛 ∈ ℕ∗ ⇒ 𝑆(𝑢) ≤ 𝛽𝑛 ≤ 2𝑆(𝑢𝑛+1 ) − 𝑆(𝑢𝑛 ) ⇒ 𝑆(𝑢) ≤ lim 𝑆(𝑢𝑛 ) ( ý giới hạn tồn ) ⇒ 𝑆(𝑢) ≤ 𝑆(𝑢0 ) hay 𝑆(𝑢) = 𝑆(𝑢0 ) Định lí 3.2.1 Giả sử X khơng gian Banach K , M ⊂ X tập đóng F : M → X ánh xạ tăng , thỏa mãn : i) ii) 𝐹 (𝑀) ⊂ 𝑀, ∃𝑥0 ∶ 𝑥0 ≤ 𝐹 (𝑥0 ) F biến dãy tăng thuộc M thành dãy hội tụ Khi F , có điểm bất động M Chứng minh Đặt 𝑀𝑜 = {𝑥 ∈ 𝑀: 𝑥 ≤ 𝐹(𝑥)} , 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑠𝑠{‖𝐹 (𝑦) − 𝐹(𝑧)‖: 𝑧, 𝑦 ∈ 𝑀𝑜 , 𝑦 ≥ 𝑧 ≥ 𝑥} • Ta áp dụng nguyên ký Entropy cho 𝑀0 hàm (−𝑔) i) ∀{𝑥𝑛 } ⊂ 𝑀0 , {𝑥𝑛 } tăng ∃𝑥 ≔ lim 𝐹 (𝑥𝑛 ), 𝑥 ∈ 𝑀 Ta có 𝑥𝑛 ≤ 𝑥 (𝑑𝑑 𝑥𝑛 ≤ 𝐹(𝑥𝑛 ) ≤ 𝑥 ⇒ (𝐹 (𝑥𝑛 ) ≤ 𝐹 (𝑥) ∀𝑛 ≥ ) ⇒ 𝑥 ≤ 𝐹 (𝑥) Vậy 𝑥 ∈ 𝑀𝑜 , 𝑥 cân {𝑥𝑛 } 38 ii) 𝑥1 ≤ 𝑥2 ⇒ {(𝑦, 𝑧) ∈ 𝑀02 ∶ 𝑦 ≥ 𝑧 ≥ 𝑥2 } ⊂ {(𝑦, 𝑧) ∈ 𝑀02 ∶ 𝑦 ≥ 𝑧 ≥ 𝑥1 } Do 𝑔(𝑥2 ) ≤ 𝑔(𝑥1 ) 𝑣à − 𝑔 hàm tăng Do ∃𝑎 ∈ 𝑀0 : ∀𝑢 ∈ 𝑀0 , 𝑢 ≥ 𝑎 ⇒ 𝑔(𝑢) = 𝑔(𝑎) • Ta chứng minh 𝑔(𝑎) = Nếu 𝑔(𝑎) > 𝐶 > ta có : ∃𝑦2 , 𝑦1 ∈ 𝑀0 : 𝑦2 ≥ 𝑦1 𝑎 , ‖𝐹 (𝑦2 ) − 𝐹 (𝑦1 )‖ > 𝐶 Do 𝑔(𝑦2 ) = 𝑔(𝑎) > 𝐶 𝑛ê𝑛 ∃𝑦3 , 𝑦4 ∈ 𝑀0 : 𝑦4 ≥ 𝑦3 ≥ 𝑦2 , ‖𝐹 (𝑦4 ) − 𝐹 (𝑦3 )‖ > 𝐶 Kết ta có dãy tăng{𝑥𝑛 } ⊂ 𝑀 , thỏa mãn ‖𝐹 (𝑦2𝑛 ) − 𝐹(𝑦2𝑛−1 )‖ > 𝐶 > Vậy dãy {𝐹(𝑦𝑛 )} không hội tụ , ta gặp mâu thuẫn • Do 𝑔(𝑎0 = 𝑛ê𝑛 𝐹(𝑦) = 𝐹 (𝑎), ∀𝑦 ∈ 𝑀0 , 𝑦 ≥ 𝑎 Vì 𝑎 ∈ 𝑀0 nên 𝐹(𝑎) ≥ 𝑎 𝐹�𝐹 (𝑎)� = 𝐹 (𝑎) hay b:= 𝐹 (𝑎) điểm bất động Hệ 3.2.1 i) ii) Giả sử F :〈𝑢, 𝑣 〉 → 𝑋 ánh xạ tăng , thỏa mãn : 𝑢 ≤ 𝐹𝐹 ; 𝐹𝐹 ≤ 𝑣 𝐹(〈𝑢, 𝑣〉) tập compact tương đối ; K nón chuẩn Khi , F có điểm bất động 〈𝑢, 𝑣 〉 Chứng minh ∀{𝑥𝑛 } ⊂ 〈𝑢, 𝑣 〉 , {𝑥𝑛 } tăng , ta có {𝐹(𝑥𝑛 )} có dãy hội tụ Do {𝐹(𝑥𝑛 )} hội tụ ( 𝐹(𝑥𝑛 ) ↑ , K chuẩn ) 39 Hệ 3.2.2 Giả sử F : 〈𝑢, 𝑣〉 → 𝑋 ánh xạ tăng , thỏa : 𝑢 ≤ 𝐹𝐹 ; 𝐹𝐹 ≤ 𝑣 i) ii) K nón qui Khi , F có điểm bất động 〈𝑢, 𝑣 〉 3.3 Ứng dụng vào phương trình vi phân Xét tốn tìm nghiệm tuần hồn chu kỳ 2𝝅 phương trình 𝑥 ′ + 𝑎(𝑡 )𝑥 = 𝑓 [𝑡(𝑥 (𝑡 ), 𝑥 (𝑡 − ℎ))] Giả sử : (∗) 2𝜋 • 𝑎(𝑡 ) liên tục , có chu kỳ 2𝜋 , ∫0 𝑎(𝑡 )𝑑𝑑 > • 𝑓 (𝑡, 𝑥, 𝑦) liên tục bị chặn ℝ3 ; có chu kỳ 2𝜋 theo t tăng theo biến x y Định lí 3.3.1 Phương trình (∗) có nghiệm tuần hoàn với chu kỳ 2𝜋 Chứng minh Bước 1: Đưa (∗) phương trình tích phân tốn điểm bất động • Cơng thức tìm nghiệm phương trình � 𝑥 ′ + 𝑎 (𝑡 )𝑥 = 𝑔 (𝑡 ) , 𝑡∈ℝ 𝑥 (0) = 𝑥0 𝑡 𝑙à: 𝑥 (𝑡 ) = ℎ(𝑡 ) �𝑥0 + � 𝑔(𝑠) 𝑑𝑑� (∗∗) ℎ(𝑠) 𝑡 (trong đó: h(t)=𝑒 − ∫0 𝑎(𝑠)𝑑𝑑 ) Để nghiệm thỏa 𝑥 (0) = 𝑥(2𝜋) thì: 40 2𝜋 2𝜋 0 𝑔(𝑠) 𝑔 (𝑠 ) ℎ(2𝜋) � 𝑥0 = ℎ(2𝜋) �𝑥0 + � 𝑑𝑑� ℎ𝑎𝑎 𝑥0 = 𝑑𝑑 ℎ (𝑠 ) − ℎ(2𝜋) ℎ(𝑠) Do (∗∗) trở thành : 2𝜋 𝑡 𝑔 (𝑠 ) 𝑔 (𝑠 ) ℎ(2𝜋) 𝑑𝑑 + � 𝑑𝑑� , 𝐶 = 𝑥 (𝑡 ) = ℎ(𝑡 ) �𝐶 � ℎ (𝑠 ) ℎ (𝑠 ) − ℎ(2𝜋) 0 Đặt 𝐶̃ [0,2𝜋] = {𝑥 ∈ 𝐶 [0,2𝜋] , 𝑥 (0) = 𝑥(2𝜋)} xét ánh xạ 𝑆: 𝐶̃ [0,2𝜋] → 𝐶̃ [0,2𝜋] , 𝑆𝑆 (𝑡 ) = � Xét tốn tìm hàm x thỏa mãn : 𝑥 (𝑡 − ℎ ) 𝑛ế𝑢 ℎ ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 𝑥 (𝑡 + 2𝜋 − ℎ) 𝑛ế𝑢 ≤ 𝑡 ≤ ℎ 𝑥 ′ + 𝑎(𝑡 )𝑥 = 𝑓(𝑡, 𝑥 (𝑡 ) , � 𝑥 (0) = 𝑥(2𝜋) 𝑆𝑆(𝑡) Do chứng minh , ta có: 2𝜋 (∗∗∗) 𝑡 ′ 𝑓�𝑠, 𝑥 (𝑠), 𝑆𝑆 (𝑠)� 𝑓(𝑠, 𝑥 (𝑠), 𝑆𝑆(𝑠) (∗∗∗) ⇔ 𝑥 (𝑡 ) = ℎ(𝑡 ) �𝐶 � 𝑑𝑑 + � 𝑑𝑑� ≔ 𝐹 (𝑥)(𝑡 ) ℎ (𝑠 ) ℎ (𝑠 ) 0 Nếu 𝑥 ∈ 𝐶̃ [0,2𝜋] điểm bất động F ta có 𝑥 (0) = 𝑥 (2𝜋), 𝑥+′ (0) = 𝑥 ′ (2𝜋) Từ hàm ta xây dụng hàm khả vi , tuần hồn , có chu kỳ 2𝜋 nghiệm (∗) Bước 2: Chướng minh F có điểm bất động ta áp dụng hệ 3.2.1 ta có : i) F ánh xạ tăng , F hàm tăng theo biến x,y Do hàm f bị chặn nên với b > đủ lớn hàm 𝑥0 (𝑡 ) = 𝑏 thỏa −𝑥0 ≤ 𝐹(−𝑥0 ); F(𝑥0 ) ≤ 𝑥0 41 ii) Do f bị chặn nên dễ chứng minh : ∃𝑀 > 0: |(𝐹𝐹)′ (𝑡 )| ≤ 𝑀 , ∀𝑥 ∈ 〈−𝑥0 , 𝑥0 〉 , ∀𝑡 ∈ [0,2𝜋] , Và áp dụng định lí Arzela – Ascolita có 𝑓 [〈−𝑥0 , 𝑥0 〉] compact tương đối Nón hàm khơng âm 𝐶 [0; 2𝜋] nón chuẩn Vậy điều kiện hệ 3.2.1 thỏa mãn Do F có điểm bất động 42 KẾT LUẬN Luận văn giới thiệu số định lí điểm bất động quan trọng , bao gồm : • Định lí Banach điểm bất động ánh xạ co mở rộng định lí Krasnoselskii ánh xạ co suy rộng , định lí điểm bất động ánh xạ 𝜀 − 𝛿 𝑐𝑐 , ánh xạ 𝜑 − 𝑐𝑐 , ánh xạ không giãn , ánh xạ đa trị co Luận văn dã làm rõ mối liên hệ định lí • Định lí Schauder mở rộng định lí Krasnoselskii , định lí ánh xạ k - đặc • Định lí điểm bất động ánh xạ tăng khơng liên tục khơng gian Banach có thứ tự Luận văn trình bày ứng dụng định lí việc chứng minh tồn tại, nghiệm số phương trình vi phân tích phân Luận văn làm tài liệu tham khảo cho sinh viên Đại học học viên Cao học làm quen với Giải tích phi tuyến TÀI LIỆU THAM KHẢO Hoàng tụy: Lý thuyết hàm thực Giải tích hàm NXB Đại học quốc gia Lê Hồn Hóa: Định lý điểm bất động ứng dụng để nghiên cứu tồn nghiệm phương trình Đề tài NCKH cấp sở, mã số CS.2008-19.02 K.Deim ling: Nonlinear Functional Analysis Springer, 1985 ... văn giới thiệu số định lí điểm bất động quan trọng , bao gồm : • Định lí Banach điểm bất động ánh xạ co mở rộng định lí Krasnoselskii ánh xạ co suy rộng , định lí điểm bất động ánh xạ