(Luận văn thạc sĩ) Định lí điểm bất động chung trong không gian vectơ tôpô và ứng dụng

(Luận văn thạc sĩ) Định lí điểm bất động chung trong không gian vectơ tôpô và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Định lí điểm bất động chung trong không gian vectơ tôpô và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Định lí điểm bất động chung trong không gian vectơ tôpô và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Định lí điểm bất động chung trong không gian vectơ tôpô và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Định lí điểm bất động chung trong không gian vectơ tôpô và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Định lí điểm bất động chung trong không gian vectơ tôpô và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Định lí điểm bất động chung trong không gian vectơ tôpô và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Định lí điểm bất động chung trong không gian vectơ tôpô và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Định lí điểm bất động chung trong không gian vectơ tôpô và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Định lí điểm bất động chung trong không gian vectơ tôpô và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Định lí điểm bất động chung trong không gian vectơ tôpô và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Định lí điểm bất động chung trong không gian vectơ tôpô và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Định lí điểm bất động chung trong không gian vectơ tôpô và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Định lí điểm bất động chung trong không gian vectơ tôpô và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Định lí điểm bất động chung trong không gian vectơ tôpô và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Định lí điểm bất động chung trong không gian vectơ tôpô và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Định lí điểm bất động chung trong không gian vectơ tôpô và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Định lí điểm bất động chung trong không gian vectơ tôpô và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Định lí điểm bất động chung trong không gian vectơ tôpô và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Định lí điểm bất động chung trong không gian vectơ tôpô và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Định lí điểm bất động chung trong không gian vectơ tôpô và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Định lí điểm bất động chung trong không gian vectơ tôpô và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ QUỐC HẢI ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Bùi Thế Hùng THÁI NGUYÊN - 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu luận văn ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng 01 năm 2021 Người viết luận văn Vũ Quốc Hải Xác nhận khoa chuyên môn Xác nhận người hướng dẫn TS Bùi Thế Hùng Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới tiến sĩ Bùi Thế Hùng, người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, bảo tận tình, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, tồn thể thầy giáo khoa Toán- Tin, trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên truyền thụ cho kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi cho ý kiến đóng góp q báu suốt q trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè quan tâm giúp đỡ, động viên suốt trình làm luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 01 năm 2021 Người viết luận văn Vũ Quốc Hải ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt v Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian lồi địa phương 1.2 Ánh xạ đa trị ví dụ 1.3 Một số tính chất ánh xạ đa trị 1.3.1 Tính liên tục ánh xạ đa trị 1.3.2 Tính lồi ánh xạ đa trị 12 1.4 Định lí điểm bất động nguyên lí ánh xạ KKM 13 Chương Định lí điểm bất động chung họ ánh xạ đa trị không gian vectơ tôpô ứng dụng 16 2.1 Ánh xạ KKM suy rộng định lí tương giao 16 2.2 Định lí điểm bất động chung họ ánh xạ đa trị 21 2.3 Một số áp dụng 30 2.3.1 Bất đẳng thức tựa biến phân Stampacchia 30 2.3.2 Bài toán cân vectơ 35 Kết luận iii 40 Tài liệu tham khảo iv 41 Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt R tập số thực R+ tập số thực không âm R− tập số thực không dương Rn không gian véctơ Euclide n− chiều Rn+ tập véctơ không âm Rn Rn− tập véctơ không dương Rn 2X tập tất tập X f :X→Y ánh xạ đơn trị từ tập X vào tập Y F : X → 2Y ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y dom F miền định nghĩa ánh xạ đa trị F gph F đồ thị ánh xạ đa trị F A := B A định nghĩa B ∅ tập rỗng A⊂B A tập B A⊂B A không tập B A∪B hợp hai tập hợp A B A∩B giao hai tập hợp A B A\B hiệu hai tập hợp A B v B tích Descartes hai tập hợp A B cl A, A¯ bao đóng tơpơ tập hợp A int A phần tôpô tập hợp A conv A bao lồi tập hợp A (SQV I) toán bất đẳng thức tựa biến phân Stampacchia (SQV I)f toán bất đẳng thức f - tựa biến phân Stampacchia usc nửa liên tục lsc nửa liên tục ✷ kết thúc chứng minh vi Mở đầu Định lí điểm bất động cơng cụ quan trọng việc chứng minh tồn nghiệm số tốn tốn học Có nhiều cơng trình thiết lập định lí điểm bất động chung khơng gian metric, nhiên không gian vectơ tôpô kết nghiên cứu Năm 1936, Markov [14] năm 1938, Kakutani [12] họ ánh xạ liên tục affine từ tập lồi compact khơng gian lồi địa phương Hausdorff vào có điểm bất động chung Trong hai báo gần đây, nhóm tác giả R P Agarwal, M Balaj, D O’Regan ([2], [3]), thiết lập số định lí điểm bất động chung họ ánh xạ đa trị không gian lồi địa phương cơng cụ định lí phân hoạch đơn vị định lí điểm bất động Kakutani–Fan– Glicksberg Năm 2017, nhóm tác giả R P Agarwal, M Balaj, D O’Regan [4] chứng minh số định lí điểm bất động chung họ ánh xạ đa trị không gian vectơ tôpô hai phương pháp sử dụng định lí tương giao kết hợp với định lí điểm bất động thứ tự mà chúng áp dụng khác Mục đích luận văn trình bày cách có hệ thống kết Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận tài liệu tham khảo Chương dành cho việc trình bày số khái niệm khơng gian lồi địa phương số kiến thức giải tích đa trị khái niệm ánh xạ đa trị, tính liên tục tính lồi ánh xạ đa trị Ngồi chúng tơi trình bày Ngun lí ánh xạ KKM số định lí điểm bất động sử dụng chứng minh kết chương Chương trình bày số định lí điểm bất động chung họ vơ hạn ánh xạ đa trị không gian vectơ tôpô Một số ứng dụng định lí điểm bất động chung họ vô hạn ánh xạ đa trị vào toán bất đẳng thức tựa biến phân Stampacchia toán cân vectơ Định lí 2.2.9 Giả sử D K tập không rỗng, lồi compact không gian vectơ tôpô X, Y , tương ứng Giả sử T : D × K → 2D ánh xạ đa trị thỏa mãn điều kiện đây: (i) T có đồ thị mở với giá trị không rỗng lồi; (ii) Với y ∈ K , tập {x ∈ D : x ∈ T (x, y)} lồi; (iii) Với x ∈ D, tập {y ∈ K : x ∈ T (x, y)} lồi Khi họ ánh xạ đa trị {T (., y)}y∈K có điểm bất động chung Chứng minh Với y ∈ K , ánh xạ T (., y) : D → 2D có giá trị không rỗng, lồi [T (., y)]−1 (x) mở với x ∈ D Áp dụng Định lí điểm bất động Fan- Browder, tồn x∗ ∈ D cho x∗ ∈ T (x∗ , y) Ta định nghĩa ánh xạ Θ : K → 2D Θ(y) = {x ∈ D : x ∈ T (x, y)} với y ∈ K Khi ánh xạ Θ có giá trị khơng rỗng Vì T ánh xạ đóng nên Θ ánh xạ đóng Hơn nữa, giả thiết (i) (ii) ta suy ánh xạ Θ có giá trị lồi ảnh ngược lồi Áp dụng Định lí 2.1.4, ta có Θ(y) = ∅ y∈K Từ suy tồn x ¯ ∈ D cho x¯ ∈ T (¯ x, y) y∈K Định lí chứng minh Định lí 2.2.10 Giả sử D tập không rỗng, lồi compact không gian lồi địa phương X , K tập không rỗng, lồi không gian vectơ tôpô Y Giả sử T : D × K → 2D ánh xạ đa trị đóng với giá trị khơng rỗng lồi thỏa mãn điều kiện đây: 28 (i) Với y ∈ K , tập {x ∈ D : x ∈ T (x, y)} lồi; (ii) Với x ∈ D, tập {y ∈ K : x ∈ T (x, y)} lồi Khi họ ánh xạ đa trị {T (., y)}y∈K có điểm bất động chung Chứng minh Với y ∈ K , ánh xạ T (., y) : D → 2D usc với giá trị khơng rỗng, lồi đóng Áp dụng Định lí điểm bất động Kakutani- FanGlicksberg, tồn xy ∈ D cho xy ∈ T (xy , y) Ta định nghĩa ánh xạ Θ : K → 2D Θ(y) = {x ∈ D : x ∈ T (x, y)} với y ∈ K Khi ánh xạ Θ có giá trị khơng rỗng Vì T ánh xạ đóng nên Θ ánh xạ đóng Hơn nữa, giả thiết (i) (ii) ta suy ánh xạ Θ có giá trị lồi ảnh ngược lồi Áp dụng Định lí 2.1.4, ta có Θ(y) = ∅ y∈K Từ suy tồn x ¯ ∈ D cho x¯ ∈ T (¯ x, y) y∈K Định lí chứng minh Ví dụ 2.2.11 Giả sử X = Y = R, D = [0, 1] = K T : D × K → 2D ánh xạ đa trị xác định T (x, y) = [y, x + y] ∩ [0, 1] với x, y ∈ [0, 1] Khi T ánh xạ đóng với giá trị khơng rỗng lồi Với y ∈ [0, 1], tập {x ∈ D : x ∈ T (x, y)} = [y, 1] lồi Vậy giả thiết (i) Định lí 2.2.10 thỏa mãn Hơn nữa, với x ∈ [0, 1], tập {y ∈ K : x ∈ T (x, y)} = ∅, y = 0, [0, y), y = 0, lồi Vậy giả thiết (ii) Định lí 2.2.10 thỏa mãn Khi tất giả thiết Định lí 2.2.10 thỏa mãn x ¯ = điểm bất động chung họ ánh xạ {T (., y)}y∈K 29 2.3 Một số áp dụng Trong phần ta áp dụng định lí điểm bất động chung họ ánh xạ đa trị vào toán bất đẳng thức tựa biến phân Stampacchia toán cân vectơ 2.3.1 Bất đẳng thức tựa biến phân Stampacchia Giả sử E không gian định chuẩn E ∗ không gian đối ngẫu tôpô ∗ E Gọi D tập không rỗng, lồi E , Q : D → 2E ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng hàm f : D → R Bài toán bất đẳng thức tựa biến phân Stampacchia, kí hiệu (SQVI), tìm x0 ∈ D x∗0 ∈ Q(x0 ) cho x∗0 , y − x0 ≥ với y ∈ D Bài toán bất đẳng thức f - tựa biến phân Stampacchia, kí hiệu (SQVI)f , tìm x0 ∈ D x∗0 ∈ Q(x0 ) cho x∗0 , y − x0 + f (y) − f (x0 ) ≥ với y ∈ D Trước hết ta nhắc lại Định lí minimax Sion Định lí 2.3.1 (Định lí minimax Sion, [16]) Giả sử M N tập lồi không gian tôpô tuyến tính có tập compact f : M × N → R hàm thỏa mãn: (i) với y ∈ N , f (., y) tựa lõm usc M ; (ii) với x ∈ M , f (x, ) tựa lồi lsc N Khi sup inf f (x, y) = inf sup f (x, y) x∈M y∈N y∈N x∈M Định lí 2.3.2 Giả sử D tập không rỗng, lồi compact không gian định chuẩn E Q ánh xạ usc, lồi với giá trị compact Nếu với (x, y) ∈ D × D, tồn z ∗ ∈ Q(D) cho z ∗ , y − x ≥ tốn (SQVI) có nghiệm 30 Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ đa trị T : D × D → 2D T (x, y) = {z ∈ D : tồn z ∗ ∈ Q(z) cho z ∗ , y − x ≥ 0} Từ giả thiết suy T có giá trị khơng rỗng Với (x, y) ∈ D × D z1 , z2 ∈ T (x, y), tồn z1∗ ∈ Q(z1 ), z2∗ ∈ Q(z2 ) cho zi∗ , y − x ≥ với i ∈ {1, 2} Bởi ánh xạ Q lồi nên λz1∗ + (1 − λ)z2∗ ∈ Q(λz1 + (1 − λ)z2 ) với λ ∈ [0, 1] Mặt khác, ta lại có λz1∗ + (1 − λ)z2∗ , y − x = λ z1∗ , y − x + (1 − λ) z2∗ , y − x ≥ 0, với λ ∈ [0, 1] Điều kéo theo λz1 + (1 − λ)z2 ∈ T (x, y) Vậy ánh xạ T có giá trị lồi Ta chứng minh T ánh xạ đóng Lấy (x, y, z) ∈ GrT Khi tồn dãy {(xt , yt , zt )} ⊂ GrT cho (xt , yt , zt ) → (x, y, z) Bởi định nghĩa ánh xạ T nên với t, tồn zt∗ ∈ Q(zt ) cho zt∗ , yt − xt ≥ Vì Q usc với giá trị compact nên theo Mệnh đề 1.3.6, tồn dãy {zt∗α } dãy {zt } hội tụ z ∗ ∈ Q(z) Do tích vơ hướng , liên tục nên z ∗ , y − x ≥ Từ suy (x, y, z) ∈ GrT Vậy T ánh xạ đóng Mặt khác, với (x, y) ∈ D × D, ta có M := {y ∈ D : z ∈ T (x, y)} = {y ∈ D : z ∗ , y − x < với z ∗ ∈ Q(z)} = {y ∈ D : z ∗ , y − x < 0} z ∗ ∈Q(z) Từ suy tập M lồi Do giả thiết (ii) Định lí 2.2.8 thỏa mãn Vậy tất giả thiết Định lí 2.2.8 thỏa mãn Áp dụng Định lí 2.2.8, tồn x0 ∈ D cho x0 ∈ y∈D T (x0 , y) Từ với y ∈ D, tồn x∗y ∈ Q(x0 ) cho x∗y , y − x0 ≥ Điều kéo theo ∗max x∗ , y − x0 ≥ y∈D x ∈Q(x0 ) 31 Theo Định lí minimax Sion, ta có max x∗ , y − x0 = ∗max x∗ , y − x0 x∗ ∈Q(x 0) y∈D y∈D x ∈Q(x0 ) Từ suy max x∗ , y − x0 ≥ x∗ ∈Q(x 0) y∈D Điều kéo theo tồn x∗0 ∈ Q(x0 ) cho x∗0 , y − x0 ≥ với y ∈ D Vậy định lí chứng minh Định lí 2.3.3 Giả sử D tập không rỗng, lồi compact không gian định chuẩn E , Q ánh xạ usc, lồi với giá trị compact hàm f : D → R liên tục, lồi Hơn nữa, giả sử điều kiện sau thỏa mãn (i) Với (x, y) ∈ D × K , tồn z ∗ ∈ Q(D) cho z ∗ , y − x + f (y) − f (x) ≥ 0; (ii) Ánh xạ Q đơn điệu, tức với x1 , x2 ∈ D x∗1 ∈ Q(x1 ), x∗2 ∈ Q(x2 ) ta ln có x∗1 − x∗2 , x1 − x2 ≥ Khi tốn (SQVI)f có nghiệm Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ đa trị T : D × D → 2D T (x, y) = {z ∈ D : tồn z ∗ ∈ Q(z) cho z ∗ , y−x +f (y)−f (x) ≥ 0} Từ giả thiết suy T có giá trị khơng rỗng Với (x, y) ∈ D × D z1 , z2 ∈ T (x, y), tồn z1∗ ∈ Q(z1 ), z2∗ ∈ Q(z2 ) cho zi∗ , y − x + f (y) − f (x) ≥ với i ∈ {1, 2} Bởi ánh xạ Q lồi nên λz1∗ + (1 − λ)z2∗ ∈ Q(λz1 + (1 − λ)z2 ) với λ ∈ [0, 1] Ta dễ dàng kiểm tra λz1∗ + (1 − λ)z2∗ , y − x + f (y) − f (x) ≥ 0, 32 với λ ∈ [0, 1] Điều kéo theo λz1 + (1 − λ)z2 ∈ T (x, y) Vậy ánh xạ T có giá trị lồi Ta chứng minh T ánh xạ đóng Lấy (x, y, z) ∈ GrT Khi tồn dãy {(xt , yt , zt )} ⊂ GrT cho (xt , yt , zt ) → (x, y, z) Bởi định nghĩa ánh xạ T nên với t, tồn zt∗ ∈ Q(zt ) cho zt∗ , yt − xt + f (yt ) − f (xt ) ≥ Vì Q usc với giá trị compact nên theo Mệnh đề 1.3.6, tồn dãy {zt∗α } dãy {zt } hội tụ z ∗ ∈ Q(z) Do tích vơ hướng , hàm f liên tục nên z ∗ , y − x + f (y) − f (x) ≥ Từ suy (x, y, z) ∈ GrT Vậy T ánh xạ đóng Mặt khác, với y ∈ D, ta đặt M1 := {x ∈ D : x ∈ T (x, y)} Khi M1 = {x ∈ D : tồn x∗ ∈ Q(x) cho x∗ , y − x + f (y) − f (x) ≥ 0} Ta chứng minh tập M1 lồi Thật vậy, lấy x1 , x2 ∈ M1 Khi tồn x∗1 ∈ Q(x1 ), x∗2 ∈ Q(x2 ) cho x∗i , y − xi + f (y) − f (xi ) ≥ với i ∈ {1, 2} Lấy α, β > α + β = Vì ánh xạ Q lồi nên αx∗1 + βx∗2 ∈ Q(αx1 + βx2 ) Từ tính đơn điệu Q, ta x∗1 , y − x2 + x∗2 , y − x1 ≥ x∗1 , y − x1 + x∗2 , y − x2 (2.2) Từ (2.2), ta suy αx∗1 + βx∗2 , y − αx1 − βx2 = α2 x∗1 , y − x1 + αβ( x∗1 , y − x2 + x∗2 , y − x1 ) + β x∗2 , y − x2 33 ≥ α2 x∗1 , y − x1 + αβ( x∗1 , y − x1 + x∗2 , y − x2 ) + β x∗2 , y − x2 Từ bất đẳng thức α + β = ta αx∗1 + βx∗2 , y − αx1 − βx2 ≥ α x∗1 , y − x1 + β x∗2 , y − x2 (2.3) Bởi tính lồi f , f (y) − f (αx1 + βx2 ) ≥ f (y) − αf (x1 ) − βf (x2 ) (2.4) Từ (2.3) (2.4), ta thu αx∗1 + βx∗2 , y − αx1 − βx2 + f (y) − f (αx1 + βx2 ) ≥ α{ x∗1 , y − x1 + f (y) − f (x1 )} + β{ x∗2 , y − x2 + f (y) − f (x2 )} ≥ Vậy αx1 + βx2 ∈ M1 Do điều kiện (i) Định lí 2.2.10 thỏa mãn Với x ∈ D, ta đặt M2 := {y ∈ D : y ∈ T (x, y)} Khi M2 = {y ∈ D : x∗ , y − x + f (y) − f (x) < với x∗ ∈ Q(x)} = {y ∈ D : x∗ , y − x + f (y) − f (x) < 0} x∗ ∈Q(x) Từ f hàm lồi nên với x∗ ∈ Q(x), hàm y → x∗ , y − x + f (y) − f (x) lồi X Do tập {y ∈ D : x∗ , y − x + f (y) − f (x) < 0} lồi, với x∗ ∈ Q(x) Vậy M2 tập lồi Do điều kiện (ii) Định lí 2.2.10 thỏa mãn Vậy tất giả thiết Định lí 2.2.10 thỏa mãn Áp dụng Định lí 2.2.10, tồn x0 ∈ D cho x0 ∈ y∈D T (x0 , y) Từ với y ∈ D, tồn x∗y ∈ Q(x0 ) cho x∗y , y − x0 + f (y) − f (x0 ) ≥ Điều kéo theo ∗max { x∗ , y − x0 + f (y) − f (x0 )} ≥ y∈D x ∈Q(x0 ) 34 Theo Định lí minimax Sion, ta suy max min{ x∗ , y − x0 + f (y) − f (x0 )} ≥ x∗ ∈Q(x 0) y∈D Điều suy tồn x∗0 ∈ Q(x0 ) cho x∗0 , y − x0 + f (y) − f (x0 ) ≥ với y ∈ D Vậy định lí chứng minh 2.3.2 Bài toán cân vectơ Gọi D tập không rỗng, lồi, compact không gian vectơ tôpô X , K tập không rỗng Y không gian vectơ tôpô Giả sử ánh xạ đa trị F : D × K → 2Y , G : D × D → 2Y C : D → 2Y cho với x ∈ D, C(x) nón khơng rỗng lồi Y Xét toán cân vectơ sau: Bài tốn cân vectơ yếu: Tìm x ¯ ∈ D cho F (¯ x, y) ⊆ − int C(¯ x) với y ∈ K, ta giả thiết int C(x) = ∅ với x ∈ D Bài tốn cân vectơ lí tưởng: Tìm x ¯ ∈ D cho F (¯ x, y) ⊆ C(¯ x) với y ∈ K Định nghĩa 2.3.4 Cho D, K tập khác rỗng, lồi không gian vectơ X, Z , tương ứng Y không gian vectơ Gọi F : D × K → 2Y C : D → 2Y ánh xạ đa trị cho với x ∈ D, C(x) nón lồi Ta nói rằng: (i) F C - tựa lồi biến thứ hai với x ∈ D, y1 , y2 ∈ K t ∈ [0, 1], tồn số i ∈ {1, 2} cho F (x, yi ) ⊆ F (x, ty1 + (1 − t)y2 ) + C(x) (ii) F C - giống tựa lồi biến thứ hai với x ∈ D, y1 , y2 ∈ K t ∈ [0, 1], tồn số i ∈ {1, 2} cho F (x, ty1 + (1 − t)y2 ) ⊆ F (x, yi ) − C(x) 35 Định lí 2.3.5 Giả sử ánh xạ đa trị F, G C thỏa mãn điều kiện đây: (i) Với x ∈ D, G(x, x) ⊆ − int C(x); (ii) Với y ∈ K , tồn z ∈ D cho G(x, z) ⊆ F (x, y) với x ∈ D; (iii) G lsc ∆D := {(x, x) : x ∈ D} với y ∈ K, ánh xạ đa trị x → F (x, y) − C(x) đóng; (iv) G C - giống tựa lồi biến thứ hai Khi tồn x ¯ ∈ D cho F (¯ x, y) ⊆ − int C(¯ x) với y ∈ K Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ đa trị T : D × K → 2D T (x, y) = {z ∈ D : G(x, z) ⊆ F (x, y) − C(x)} Với y ∈ K , ta kí hiệu M := {x ∈ D : x ∈ T (x, y)} = {x ∈ D : G(x, x) ⊆ F (x, y) − C(x)} Ta chứng minh M tập đóng Thật vây, lấy dãy {xt } ⊆ M hội tụ x Từ G lsc ∆D nên với v ∈ G(x, x), tồn dãy {vt } cho vt → v vt ∈ G(xt , xt ) với t Vì {xt } ⊆ M nên vt ∈ F (xt , y) − C(xt ) với t Từ ánh xạ x → F (x, y) − C(x) đóng nên v ∈ F (x, y) − C(x) Điều chứng tỏ x ∈ M Vậy M đóng Giả sử {y1 , y2 , , yn } tập hữu hạn K Bởi giả thiết (ii), tồn {z1 , z2 , , zn } ⊆ D cho G(x, zi ) ⊆ F (x, yi ) với i ∈ {1, 2, , n} x ∈ D 36 Gọi I ⊆ {1, 2, , n} tập không rỗng tùy ý z ∈ conv{zi : i ∈ I} Từ giả thiết (iv), với x ∈ D, tồn ix ∈ I cho G(x, z) ⊆ G(x, zix ) − C(x) ⊆ F (x, yix ) − C(x) Do conv{zi : i ∈ I} ⊆ T (x, yi ) với x ∈ D i∈I Áp dụng Định lí 2.2.2, tồn x ¯ ∈ D cho x¯ ∈ T (¯ x, y) y∈K Ta chứng minh F (¯ x, y) ⊆ − int C(¯ x) với y ∈ K Thật vậy, giả sử tồn y ∈ K cho F (¯ x, y) ⊆ − int C(¯ x) Khi từ x ¯ ∈ T (¯ x, y) ta suy G(¯ x, x¯) ⊆ F (¯ x, y) − C(¯ x) ⊆ − int C(¯ x) − C(¯ x) = − int C(¯ x) Điều mâu thuẫn với (i) Vậy F (¯ x, y) ⊆ − int C(¯ x) với y ∈ K Định lí chứng minh Định lí 2.3.6 Giả sử ánh xạ đa trị F, G C thỏa mãn điều kiện đây: (i) Với x ∈ D, G(x, x) ⊆ C(x); (ii) Với y ∈ K , tồn z ∈ D cho F (x, y) ⊆ G(x, z) với x ∈ D; 37 (iii) Ánh xạ đa trị x → G(x, x) + C(x) đóng với y ∈ K , ánh xạ F (., y) lsc; (iv) G C - tựa lồi biến thứ hai Khi tồn x ¯ ∈ D cho F (¯ x, y) ⊆ C(¯ x) với y ∈ K Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ đa trị T : D × K → 2D T (x, y) = {z ∈ D : F (x, y) ⊆ G(x, z) + C(x)} Với y ∈ K , ta kí hiệu M := {x ∈ D : x ∈ T (x, y)} = {x ∈ D : F (x, y) ⊆ G(x, x) + C(x)} Ta chứng minh M tập đóng Thật vây, lấy dãy {xt } ⊆ M hội tụ x Từ F (., y) lsc nên với v ∈ F (x, y), tồn dãy {vt } cho vt → v vt ∈ G(xt , y) với t Vì {xt } ⊆ M nên vt ∈ G(xt , xt ) + C(xt ) với t Từ ánh xạ x → G(x, x) + C(x) đóng nên v ∈ G(x, x) + C(x) Điều chứng tỏ x ∈ M Vậy M đóng Giả sử {y1 , y2 , , yn } tập hữu hạn K Bởi giả thiết (ii), tồn {z1 , z2 , , zn } ⊆ D cho F (x, yi ) ⊆ G(x, zi ) với i ∈ {1, 2, , n} x ∈ D Gọi I ⊆ {1, 2, , n} tập không rỗng tùy ý z ∈ conv{zi : i ∈ I} Từ giả thiết (iv), với x ∈ D, tồn ix ∈ I cho G(x, zix ) ⊆ G(x, z) + C(x) Do F (x, yix ) ⊆ G(x, zix ) ⊆ G(x, z) + C(x) 38 Điều kéo theo z ∈ T (x, yix ) ⊆ T (x, yi ) i∈I Từ suy conv{zi : i ∈ I} ⊆ T (x, yi ) với x ∈ D i∈I Áp dụng Định lí 2.2.2, tồn x ¯ ∈ D cho x¯ ∈ T (¯ x, y) y∈K Từ suy F (¯ x, y) ⊆ G(¯ x, x¯) + C(¯ x) ⊆ C(¯ x) + C(¯ x) = C(¯ x) với y ∈ K Định lí chứng minh Nhận xét Trong Định lí 2.3.5 Định lí 2.3.6, tập K cần khơng rỗng mà khơng cần tính lồi hay đóng Ví dụ minh họa cho điều Ví dụ 2.3.7 Gọi K tập khơng rỗng tùy ý tập [1, +∞), D = [0, 1], Y = R ánh xạ đa trị G(x, z) = (−∞, z − x], z ≤ 21 , (−∞, x − z], z > 21 F (x, y) = (−∞, − xy] C(x) = (−∞, 0] Vì F (x, y) ⊆ G(x, 1) với y ∈ K x ∈ D nên điều kiện (ii) Định lí 2.3.6 thỏa mãn Các giả thiết cịn lại Định lí 2.3.6 hiển nhiên thỏa mãn Hơn nữa, x ¯ = nghiệm tốn cân lí tưởng 39 Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số kết sau: Trình bày số định lí tương giao khơng gian vectơ tơpơ (Định lí 2.1.3, Định lí 2.1.4, Định lí 2.1.5) Trình bày số định lí điểm bất động chung họ vô hạn ánh xạ đa trị không gian vectơ tơpơ (Định lí 2.2.2, Định lí 2.2.3, Định lí 2.2.8, Định lí 2.2.9, Định lí 2.2.10) Trình bày số ứng dụng định lí điểm bất động chung vào toán bất đẳng thức tựa biến phân Stampacchia (Định lí 2.3.2 Định lí 2.3.3) tốn cân vectơ (Định lí 2.3.5 Định lí 2.3.6) 40 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Đơng n (2007), "Giải tích đa trị", Nhà xuất khoa học tự nhiên công nghệ Tiếng Anh [2] R P Agarwal, M Balaj, D O’Regan (2009), "Common fixed point theorems and minimax inequalities in locally convex Hausdorff topological vector spaces", Appl Anal., 88, 1691- 1699 [3] R P Agarwal, M Balaj, D O’Regan (2014), "A common fixed point theorem with applications", J Optim Theory Appl., 163, 482- 490 [4] R P Agarwal, M Balaj, D O’Regan (2017), "Common Fixed Point Theorems in Topological Vector Spaces via Intersection Theorems", J Optim Theory Appl., DOI 10.1007/s10957-017-1082-7 [5] M Balaj (2010), "A common fixed point theorem with applications to vector equilibrium problemss", Appl Math Lett., 23, 241- 245 ă [6] L.E.J Brouwer (1912), Uber Abbildung von Mannigfaltigkeiten, Math Ann 71, 97–115 [7] F E Browder (1984), " Coincidence Theorems, minimax Theorems and variational inequalities contemp", Math, 26 , 67-80 41 [8] K Fan (1961), "A Generalization of Tychonoff’s Fixed Point Theorem", Mathematische Annalen, 142, 305-310 [9] Gopfert, A., Riahi, H., Tammer, C., Zalinescu, C (2003), Variational Methods in Partially Ordered Spaces New York, Springer Verlag [10] I Glicksberg (1952), A further generalization of Kakutani fixed point theorem with applications to Nash equilibrium points Proc Amer Math Soc 3, 170–174 [11] S Kakutani (1944), " A generalization of Brouwers fixed point theorem", Duke Math J, 8, 457-459 [12] S Kakutani (1938), "Two fixed point theorems concerning bicompact convex sets", Proc Imp Akad Tokyo, 14, 242- 245 [13] L J Lin (2010), "Some results on systems of quasi-variational inclusion problems and systems of generalized quasi-variational inclusion problems", Nonlinear Analysis, 72, 37-49 [14] A Markov (1936), "Quelques théoremes sur les ensembles abéliens", Dokl Akad Nauk SSSR, 10, 311- 314 [15] W Rudin (2000), Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-hill [16] M.Sion, On general minimax theorems, Pacific J Math 8, (1958) 171 –176 [17] N X Tan (2018), Quasi-equilibrium problems and fixed point theorems of separately l.s.c and u.s.c mappings Numer Funct Anal Optim 39(2), 233–255 [18] A Tychonoff (1935), Ein fixpunktsatz, Math Ann 111, 767–776 42 ... Ngun lí ánh xạ KKM số định lí điểm bất động sử dụng chứng minh kết chương Chương trình bày số định lí điểm bất động chung họ vô hạn ánh xạ đa trị không gian vectơ tôpô Một số ứng dụng định lí điểm. .. định lí tương giao khơng gian vectơ tơpơ (Định lí 2.1.3, Định lí 2.1.4, Định lí 2.1.5) Trình bày số định lí điểm bất động chung họ vô hạn ánh xạ đa trị khơng gian vectơ tơpơ (Định lí 2.2.2, Định. .. 2.2.2, Định lí 2.2.3, Định lí 2.2.8, Định lí 2.2.9, Định lí 2.2.10) Trình bày số ứng dụng định lí điểm bất động chung vào toán bất đẳng thức tựa biến phân Stampacchia (Định lí 2.3.2 Định lí 2.3.3)