KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN MÊTRIC
Định nghĩa 1.1 Giả sử X là một tập hợp khác rỗng và d :X ×X → R là hàm thỏa mãn các tiên đề sau.
(1) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X; d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;
1 d được gọi là một mêtric xác định trên X;
2 Cặp (X, d) được gọi là một không gian mêtric Ký hiệu là (X, d).
Ví dụ 1.1 Cho X = R Ánh xạ d được xác định bởi d : R×R −→ R
(x, y) 7−→ d(x, y) =|x−y| là một mêtric trên R và (X, d) là một không gian mêtric.
Chứng minh Dễ dàng thấy rằng d thỏa mãn các tiên đề (1) và (2).
Do vậy, ánh xạd là một mêtric trên R và (X, d) là một không gian mêtric.
Ví dụ 1.2 Cho X = R k và ánh xạ d được xác định bởi d : R k ×R k −→ R
|x i −y i | 2 trong đó x = (x 1 , x 2 , , x k ), y = (y 1 , y 2 , y k ) ∈ R k Khi đó, d là một mêtric trên R k và (X, d) là một không gian mêtric.
Chứng minh Dễ dàng chứng minh được d thỏa mãn các tiên đề (1) và (2). Bây giờ, với mọi x, y, z ∈ R k , ta có d(x, z) v u u t k
Do vậy, d là một mêtric trên R k và (X, d) là một không gian mêtric. Định nghĩa 1.2 Giả sử (X, d) là một không gian mêtric, Y là tập con của X Ta đặt d |Y ×Y : Y ×Y −→ R
Khi đó,d |Y ×Y là một mêtric trênY và(Y, d |Y ×Y ) là một không gian mêtric.
Ta nói rằng(Y, d |Y ×Y ) là mộtkhông gian mêtric con của không gian mêtric(X, d).
DÃY HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC
MÊTRIC Định nghĩa 1.3 Giả sửX là không gian mêtric và{x n }là một dãy trong
X Ta nói rằng {x n } là dãy hội tụ đến x ∈ X nếu với mọi ε > 0, tồn tại n 0 ∈ N ∗ sao cho d(x n , x) < ε với mọi n ≥ n 0 , nghĩa là n→∞lim d(x n , x) = 0.
Lúc đó, ta kí hiệu: lim n→∞x n = x hoặc x n → x.
Bổ đề 1.1 Trong không gian mêtric X, các khẳng định sau đây là đúng:
1 Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất;
2 Nếu x n → x, thì mọi dãy con của {x n } cũng hội tụ đến x;
Chứng minh (1) Giả sử x n → a, x n → b Khi đó, theo các tiên đề của mêtric, với mọi n ∈ N ∗ , ta có
Hơn nữa, vì xn → a, xn →b nên d(xn, a) → 0, d(xn, b) → 0, kéo theo
Từ bất đẳng thức trên ta suy ra a = b Như vậy, giới hạn của dãy hội tụ là duy nhất.
(2) Giả sử x k n là một dãy con bất kì của dãy {x n } Khi đó, vì {x n } là dãy hội tụ đến x nên với mọi ε > 0, tồn tại k 0 ∈ N ∗ sao cho d(x n , x) < ε với mọi n ≥ k 0
Mặt khác, vì k n ≥k 0 với mọi n ≥ k 0
Suy ra rằng d(x k n , x) < ε với mọi n≥ k 0 Điều này chứng tỏ x k n →x.
(3) Ta có d(x n , y n ) ≤ d(x n , a) +d(a, b) +d(b, y n ), kéo theo rằng d(x n , y n )−d(a, b) ≤ d(x n , a) +d(b, y n ).
Hoàn toàn tương tự ta thu được d(a, b)−d(x n , y n ) ≤ d(x n , a) +d(b, y n ).
Từ đó, suy ra rằng
Cuối cùng, vì x n → a, y n → b nên từ bất đẳng thức trên ta suy ra d(x n , y n ) → d(a, b).
KHÔNG GIAN MÊTRIC ĐẦY ĐỦ
Định nghĩa 1.4 Giả sử X là một không gian mêtric Khi đó,
1 {x n } được gọi là dãy Cauchy nếu m,n→∞lim d(xn, xm) = 0, nghĩa là với mọi ε > 0, tồn tại n 0 ∈ N ∗ sao cho d(x m , x n ) < ε với mọi m, n ≥ n 0
2 X được gọi là không gian mêtric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong
Nhận xét 1.1 Mọi dãy hội tụ trong không gian mêtric đều là dãy Cauchy.Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung là không đúng.
ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC
MÊTRIC Định nghĩa 1.5 Giả sử (X, d) và (Y, ρ) là hai không gian mêtric và ánh xạ f : (X, d) →(Y, ρ) Khi đó,
1 f được gọi là ánh xạ liên tục tại x o ∈ X nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ >0 sao cho với mọi x ∈ X mà d(x, x 0 ) < δ, ta đều có ρ(f(x), f(x0)) < ε.
Hàm f được coi là liên tục trên không gian X nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc X Định lý 1.1 nêu rằng, cho hai không gian mêtric (X, d_X) và (Y, d_Y) cùng với ánh xạ f: X → Y, thì f là liên tục tại điểm x ∈ X nếu và chỉ nếu với mọi dãy {x_n} trong X mà x_n tiến đến x, ta có f(x_n) cũng tiến đến f(x).
Chứng minh (1) Điều kiện cần Giả sử rằng f là ánh xạ liên tục tại x, {x n } ⊂ X và x n → x Khi đó, với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi y ∈ X mà dX(y, x) < δ, thì dY(f(y), f(x)) < ε.
Mặt khác, vì x n →x nên tồn tại n 0 ∈ N ∗ sao cho d X (x n , x) < δ với mọi n ≥ n 0
Do đó, d Y (f(x n ), f(x)) < ε với mọi n ≥n 0 Như vậy, f(x n ) → f(x).
(2) Điều kiện đủ Giả sử mọi dãy {x n } trong X mà x n → x ta đều có f(x n ) →f(x) Ta chứng minh rằng f liên tục tại x.
Thật vậy, giả sử ngược lại rằng f không liên tục tại x Khi đó, tồn tại ε > 0 sao cho với mọi δ >0, tồn tại x δ ∈ X sao cho d X (x δ , x) < δ, d Y (f(x δ ), f(x)) ≥ε.
Do đó, với mỗi n ∈ N ∗ , tồn tại x n ∈ X sao cho d X (x n , x) < δ;d Y (f(x n ), f(x)) ≥ ε.
Như vậy, dãy {x n }hội tụ đến x trong X nhưng f(x n ) không hội tụ đến f(x) trong Y Bởi thế, định lí được chứng minh.
ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA BANACH
Định nghĩa 1.6 Giả sử (X, d) là không gian mêtric và T : X → X là một ánh xạ Khi đó,
1 T được gọi là ánh xạ co kiểu Banach nếu tồn tại α ∈ [0; 1), sao cho d[T(x), T(y)] ≤ αd(x, y) với mọi x, y ∈ X.
Lúc này, ta nói rằng α là hằng số co của T.
2 Điểm x được gọi là điểm bất động của ánh xạ T nếu
Nhận xét 1.2 Mỗi ánh xạ co kiểu Banach đều là ánh xạ liên tục.
Chứng minh Theo Định lí 1.1, ta chỉ cần chứng minh mỗi dãy {x n } trong
X mà x n →x ∈ X, kéo theo T(x n ) → T(x) Thật vậy, vì T là ánh xạ co kiểu Banach nên
0≤ d(T(xn), T(x)) ≤αd(xn, x) (1.1) Mặt khác, vì x n →x, nên cho n → ∞ hai vế của (1.1) ta được
Khi n tiến tới vô cùng, khoảng cách d(T(x n), T(x)) tiến tới 0, có nghĩa là T(x n) hội tụ về T(x) Theo Định lý 1.2, trong một không gian metric đầy đủ X, nếu T : X → X là một ánh xạ co kiểu Banach, thì T sẽ có duy nhất một điểm bất động.
Chứng minh Lấy x 0 thuộc vào X và ta đặt xn = T(x n−1 ) với mọi n ∈ N ∗ Khi đó,
Thật vậy, vì T là ánh xạ co với hằng số coα ∈ [0; 1)nên với mọi n ∈ N ∗ , ta có d(x n , x n+1 ) =d[T(x n−1 ), T(x n )] ≤ αd(x n−1 , x n )
Mặt khác, với mọi p ∈ N ∗ , ta có d(x n , x n+p ) ≤ d(x n , x n+1 ) +d(x n+1 , x n+2 ) + +d(x n+p−1 , x n+p ). Suy ra d(xn, xn+p) ≤(α n +α n+1 + + α n+p−1 )d(x0, x1)
1−αd(x 0 , x 1 ) = 0 Do đó, từ bất đẳng thức trên ta suy ra rằng n→∞lim d(x n , x n+p ) = 0.
Như vậy, {x n } là một dãy Cauchy trong X.
(2) T có điểm bất động trong X.
Dãy {x n } là dãy Cauchy trong không gian metric đầy đủ X, do đó nó hội tụ trong X, tức là xn → x ∈ X Từ đẳng thức x n+1 = T(x n ) với mọi n ∈ N và tính liên tục của T, ta suy ra T(x) = x, cho thấy x là điểm bất động của T.
(3) x là điểm bất động duy nhất của T.
Thật vậy, giả sử y cũng là một điểm bất động của T Khi đó, d(x, y) =d[T(x), T(y)] ≤αd(x, y).
Suy ra (1−α)d(x, y) ≤ 0 Mặt khác, vì α < 1 nên 1−α > 0, kéo theo x = y Như vậy, x là điểm bất động duy nhất của T.
Trong chương này, chúng tôi sẽ định nghĩa không gian b-metric, cung cấp ví dụ minh họa và nêu ra một số tính chất quan trọng, tạo nền tảng cho việc trình bày kiến thức trong Chương 3.
KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN b-MÊTRIC
Định nghĩa 2.1 Giả sử X là tập khác rỗng và s ≥ 1 là một số thực. Hàm d : X ×X → [0,+∞) được gọi là b-mêtric nếu với mọi x, y, z ∈ X các tiên đề sau được thoả mãn
Tập X cùng với một b-mêtric trên nó được gọi là không gian b-mêtric với tham số s, nói gọn là không gian b-mêtric và được kí hiệu bởi (X, d) hoặc X.
Từ định nghĩa không gian mêtric và không gian b-mêtric ta thấy rằng không gian mêtric là trường hợp đặc biệt của không gian b-mêtric khi s = 1.
Ví dụ 2.1 1) Giả sử (X, ρ) là một không gian mêtric và d : X ×X →
[0,+∞) là hàm được cho bởi d(x, y) = ((ρ(x, y)) 4 với mọi x, y ∈ X.
Khi đó, d là b-mêtric với s = 8.
Thật vậy, các điều kiện (1) và (2) của Định nghĩa 2.1 được thoả mãn. Dựa vào tính lồi của hàm f(x) = x 4 ta suy ra a+b 2
Từ đó, với mọi x, y, z ∈ X ta có d(x, y) = ρ(x, y) 4
Như vậy, điều kiện (3) của Định nghĩa 2.1 được thoả mãn và d là một b-mêtric.
2) Giả sử, X = R và ρ là một mêtric được xác định bởi ρ(x, y) = |x−y|.
Khi đó, d(x, y) = (x−y) 4 là một b-mêtric trên R với s = 8 nhưng không là một mêtric trên R bởi vì d(1;−1) = 16 > 2 = d(1; 0) +d(0;−1).
3) (X, ρ) là một không gian mêtric và d : X ×X → [0,+∞) là hàm được cho bởi d(x, y) = ((ρ(x, y)) p với mọi x, y ∈ X với p > 1 là một số thực Khi đó, ρ được gọi là b-mêtric với tham số s = 2 p−1
DÃY HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC
b-MÊTRIC Định nghĩa 2.2 Giả sử (X, d) là không gian b- mêtric và {x n } là một dãy trong X.
1 Ta nói rằng {x n } là dãy b-hội tụ (nói gọn là hội tụ) đến x∈ X nếu n→∞lim d(xn, x) = 0, nghĩa là với mọi ε > 0, tồn tại n 0 ∈ N ∗ sao cho d(x n , x) < ε với mọi n ≥ n 0
Lúc đó, kí hiệu lim n→∞x n = x hoặc x n → x.
2 {x n } được gọi là dãy b-Cauchy (nói gọn là dãy Cauchy) nếu m,n→∞lim d(x n , x m ) = 0, nghĩa là với mọi ε > 0, tồn tại n 0 ∈ N ∗ sao cho d(x n , x m ) < ε với mọi m, n ≥ n 0
3 X được gọi là không gian b-mêtric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong
X được định nghĩa là một tập con của R Một số x ∈ R được gọi là cận trên của X nếu mọi phần tử y ∈ X đều thỏa mãn y ≤ x Ngược lại, x ∈ R được coi là cận dưới của X nếu với mọi phần tử y ∈ X, x ≤ y Điều này áp dụng cho tập hợp X là khác rỗng.
1 Cận trên bé nhất của X được gọi là supermum của tập X Kí hiệu là supX.
2 Cận dưới lớn nhất của X được gọi là infimum của tập X Kí hiệu là inf X.
Bổ đề 2.1 Với mọi dãy số thực {x n }, ta có
2 Tồn tại lim n→∞x n = a khi và chỉ khi lim inf n→∞ x n = lim sup n→∞ x n = a.
Bổ đề 2.2 Giả sử {x n } là dãy trong không gian b-mêtric (X, d) và x n → x ∈ X Khi đó,
3 1 sd(x, y) ≤lim inf n→∞ d(xn, y) ≤lim sup n→∞ d(xn, y) ≤ sd(x, y) với mọi y ∈ X.
Chứng minh (1) Bởi vì x n → x nên với mọi ε > 0 tồn tại số tự nhiên n 0 sao cho d(x n , x) < ε
Từ đó suy ra d(x n , x m ) ≤ s[d(x n , x) +d(x, x m )] 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X mà d(x, x 0 ) < δ, ta đều có ρ T(x), T(x 0 ) < ε.
2 T được gọi là b-liên tục trên X (hay liên tục) nếu nó liên tục tại mọi điểm của X. Định lý 2.1 Cho (X, d X ), (Y, d Y ) là hai không gian b-mêtric và ánh xạ
T : X → Y Khi đó, ánh xạ T liên tục tại điểm x ∈ X khi và chỉ khi với mọi dãy {x n } ⊂ X mà x n → x ta đều có T(x n ) → T(x).
Chứng minh Điều kiện cần.
Giả sử T là ánh xạ b-liên tục tại điểm x, với dãy {x n } ⊂ X hội tụ về x Khi đó, với mọi ε > 0, có tồn tại δ > 0 sao cho với mọi y ∈ X thỏa mãn dX(y, x) < δ, ta có dY(T(y), T(x)) < ε Hơn nữa, vì x n → x, nên tồn tại n 0 ∈ N ∗ sao cho dX(xn, x) < δ với mọi n ≥ n0.
Do đó, d Y (T(x n ), T(x)) < ε với mọi n≥ n 0 Như vậy, T(x n ) → T(x). Điều kiện đủ.
Giả sử mọi dãy {x n } trong X mà x n →x ta đều có T(x n ) → T(x) Ta chứng minh rằng f liên tục tại x.
Thật vậy, giả sử ngược lại rằng T không liên tục tại x Khi đó, tồn tại ε > 0 sao cho với mọi δ >0, tồn tại x δ ∈ X sao cho dX(xδ, x) < δ;dY(T(xδ), T(x)) ≥ ε.
Do đó, với mỗi n ∈ N ∗ , tồn tại x n ∈ X sao cho d X (x n , x) < δ;d Y (T(x n ), T(x)) ≥ε.
Như vậy, dãy {x n } hội tụ đến x trongX nhưng
T(x) trong Y Bởi thế, định lí được chứng minh.
Chương 3 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
Trong chương này, tôi xin trình bày một số định lí điểm bất động của các ánh xạ co trong không gian b-mêtric.
MỘT MỞ RỘNG CỦA NGHUYÊN LÍ ÁNH XẠ CO BA-
XẠ CO BANACH Định nghĩa 3.1 Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric và T : X → X là một ánh xạ Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của ánh xạ T nếu
T(x) = x. Định nghĩa 3.2 Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric và T : X → X. Ánh xạ T được gọi là co kiểu Banach nếu tồn tại α ∈ [0; 1), sao cho d[T(x), T(y)] ≤ αd(x, y) với mọi x, y ∈ X.
Lúc này, ta nói rằng α là hằng số co của T.
Ví dụ 3.1 Cho X = [0,1] và d(x, y) = |x −y| 2 với mọi x, y ∈ X Khi đó, (X, d) là một không gian b-mêtric đầy đủ với tham số s= 2 Ta định nghĩa
Như vậy, T là một ánh xạ co kiểu Banach với hằng số co α = 1
Nếu T : X → X là ánh xạ co kiểu Banach, thì T là liên tục Điều này có thể chứng minh tương tự như Nhận xét 1.2 Định lý 3.1 chỉ ra rằng, trong không gian b-metric đầy đủ (X, d), nếu T : X → X là ánh xạ co kiểu Banach với hằng số co α và α < 1, thì T có một điểm bất động duy nhất x ∗ và chuỗi T n (x 0 ) hội tụ về x ∗ với mọi x 0 ∈ X.
Chứng minh Lấy x 0 ∈ X và xây dựng dãy {x n } trong X bởi x n+1 = T(x n ) = T n+1 (x 0 ) với mọi n∈ N (3.1) Khi đó, vì T là ánh xạ co với hằng số co α ∈
0,1 s nên với mọi n ∈ N ∗ ta có d(x n , x n+1 ) =d[T(x n−1 ), T(x n )] ≤ αd(x n−1 , x n )
Từ (3.2) với d là một b-mêtric, ta suy ra d(x n , x n+p ) ≤s[d(x n , x n+1 ) +d(x n+1 , x n+p )]
≤ ≤ sd(x n , x n+1 ) +s 2 d(x n+1 , x n+2 ) + . +s p−1 [d(xn+p−2, xn+p−1) +d(xn+p−1, xn+p)]
Khi n tiến đến vô hạn, ta có lim d(x_n, x_n+p) = 0 với mọi p ∈ N, chứng tỏ dãy {x_n} là dãy Cauchy trong không gian b-metric (X, d) Do (X, d) là không gian đầy đủ, tồn tại x* sao cho T_n(x_0) = x_n → x* Để chứng minh x* là điểm bất động của ánh xạ T, ta thấy T liên tục và do đó T(x_n) → T(x*), dẫn đến x_n+1 → T(x*) Vì x_n+1 → x* và giới hạn của dãy hội tụ là duy nhất, ta suy ra T(x*) = x* Nếu y ∈ X cũng là điểm bất động của T, tức T(y) = y, thì ta có d(x*, y) = d(T(x*), T(y)) ≤ αd(x*, y).
0,1 s nên α < 1 Suy ra d(x ∗ , y) = 0, tức là x ∗ = y. Như vậy, điểm bất động của T là duy nhất.
Từ những lập luận trên, định lí được chứng minh hoàn toàn.
MỞ RỘNG CÁC NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ CO KANNAN,
KANNAN, CHATTERJEA TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC Định nghĩa 3.3 Cho (X, d) là không gian mêtric và T : X → X Khi đó,
1 Ánh xạ T được gọi làco kiểu Kannan nếu tồn tại α ∈
0, 1 2 sao cho với mọi x, y ∈ X, ta có d(T(x), T(y)) ≤ α d(x, T(x)) +d(y, T(y))
2 Ánh xạ T được gọi là co kiểu Chatterjea nếu tồn tại α ∈
0, 1 2 sao cho với mọi x, y ∈ X, ta có d(T(x), T(y)) ≤ α d(x, T(y)) +d(y, T(x))
Trong không gian mêtric đầy đủ (X, d), Kannan đã chứng minh rằng mọi ánh xạ co kiểu Kannan trên X đều có điểm bất động duy nhất Tương tự, Chatterjea cũng đã chứng minh rằng mọi ánh xạ co kiểu Chatterjea trên X cũng có điểm bất động duy nhất.
Ta hãy xem mở rộng của các kết quả trên cho trường hợp không gian b-mêtric. Định lý 3.2 Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric đầy đủ với s ≥ 1 và
T : X → X là ánh xạ sao cho tồn tại β ∈
Khi đó, T có duy nhất một điểm bất động x ∗ ∈ X và T n (x0) →x ∗ với mọi x 0 ∈ X.
Chứng minh Lấy x0 ∈ X và xây dựng dãy {x n } trong X bởi x n+1 = T(x n ) = T n+1 (x 0 ) với mọi n ∈ N. Theo giả thiết (3.4) của định lí ta có d(x n , x n+1 ) =d(T(x n−1 ), T(x n )) ≤β d(x n−1 , x n ) +d(x n , x n+1 ) với mọi n= 1,2, Do đó, với β ∈
Từ (3.5) suy ra rằng d(xn, xn+1) ≤ β
Lúc đó, từ (3.4) và (3.6) ta có d(x n , x m ) =d(T(x n−1 ), T(x m−1 ))
Do vậy, {x n }là dãy Cauchy Mặt khác, vìX là không gian b-mêtric đầy đủ nên mọi dãy Cauchy đều hội tụ Do đó, tồn tại x ∗ ∈ X sao cho x n → x ∗
Sử dụng điều kiện (3.4) ta có d(x ∗ , T(x ∗ )) ≤ s d(x ∗ , x n ) +d(x n , T(x ∗ ))
≤ sd(x ∗ , xn) + sβ d(xn−1, xn) +d(x ∗ , T(x ∗ )) Bởi vì sβ < 1 nên ta suy ra
1−sβd(x n−1 , x n ) (3.7) với mọi n = 1,2, Hơn nữa, vì x n → x ∗ nên vế phải của (3.7) dần tới 0 khi n → ∞ Từ đó, ta suy ra rằng d(x ∗ , T(x ∗ )) = 0, tức là x ∗ = T(x ∗ ).
Do vậy, x ∗ là điểm bất động của T.
Giả sử x, y ∈ X là hai điểm bất động của T Khi đó, theo giả thiết (3.4) ta có
Trong không gian b-metric đầy đủ (X, d), nếu d(x, y) = 0 thì x phải bằng y, điều này chứng tỏ rằng điểm bất động của ánh xạ T là duy nhất Theo định lý 3.3, tồn tại một λ sao cho λs ∈
, s 2 λ < 1 và với mọi x, y ∈ X, ta có d(T(x), T(y)) ≤λ d(x, T(y)) +d(y, T(x)) (3.8)
Khi đó, T có duy nhất một điểm bất động x ∗ ∈ X và T n (x 0 ) →x ∗ với mọi x 0 ∈ X.
Chứng minh Lấy x 0 ∈ X và xây dựng dãy {x n } trong X bởi x n+1 = T(x n ) = T n+1 (x 0 ) với mọi n ∈ N. Theo điều kiện (3.8), với mọi n∈ N ∗ , ta có d(x n , x n+1 ) = d(T(x n−1 ), T(x n )) ≤ λ d(x n−1 , x n+1 ) +d(x n , x n )
≤ sλ d(x n−1 , x n ) +d(x n , x n+1 ) Khi đó, bởi vì λs 0 Kết hợp (3.15) cho ta kết quả
(1−a)d(xn+1, xn) ≤ (b+c)d(xn, x n−1 ), kéo theo d(x n+1 , x n ) ≤ (b+ c)
Tiếp tục quá trình trên ta suy ra d(x n+1 , x n ) ≤ p n d(x 0 , x 1 ) với mọi n∈ N. Với d là một b-mêtric, ta có d(x n , x n+q ) ≤ s d(x n , x n+1 ) +d(x n+1 , x n+q )
1−spd(x 0 , x 1 ), với mọin = 1,2, và mọiq = 0,1, Bởi vìp ∈ [0,1)nên sp n
0 khi n→ ∞ Suy ra rằng n→∞lim d(x n , x n+q ) = 0 với mọi q = 0,1, Điều này chứng tỏ {x n } là dãy Cauchy trong(X, d) Hơn nữa, vì (X, d) là không gian b-mêtric đầy đủ nên tồn tại x ∗ sao cho T n (x 0 ) =x n → x ∗
Bây giờ, ta sẽ chứng minh x ∗ là điểm bất động của T Ta có d(x ∗ , T(x ∗ )) ≤s d(x ∗ , xn) +d(xn, T(x ∗ ))
≤s d(x ∗ , x n ) +ad(x ∗ , T(x ∗ )) +bd(x n−1 , T(x n−1 )) +cd(x n−1 , x ∗ ) Suy ra rằng
(1−as)d(x ∗ , T(x ∗ )) ≤ s d(x ∗ , xn) +bd(x n−1 , xn) +cd(x n−1 , x ∗ )
Bởi vì as < 1 nên ta có d(x ∗ , T(x ∗ )) ≤ s
1−as d(x ∗ , x n ) + bp n d(x 0 , x 1 ) +cd(x n−1 , x ∗ ) , trong đó 0≤ p < 1 Cho n → ∞ hai vế ta được n→∞lim d(x ∗ , T(x ∗ )) = 0.
Suy ra x ∗ = T(x ∗ ) Do vậy, x ∗ là điểm bất động của T.
Giả sử x và y ∈ X là hai điểm bất động của T tức là x = T(x) và
Bởi vì c < 1 nên từ bất đẳng thức trên ta suy ra x = y Như vậy, điểm bất động của T là duy nhất.
Hardy và Roger đã đưa ra kết quả quan trọng trong không gian mêtric Cụ thể, định lý 3.5 nêu rằng đối với không gian mêtric (X, d) và tự ánh xạ T : X → X, có điều kiện d[T(x), T(y)] ≤ ad(x, T(x)) + bd(y, T(y)) + cd(x, T(y)).
+ed(y, T(x)) +f d(x, y), (3.16) với mọi x, y ∈ X và a, b, c, e, f là các số thực không âm Ta đặt α = a+b+c+e+f.
1 Nếu X là một không gian mêtric đầy đủ và α < 1 thì T có duy nhất một điểm bất động;
Nếu điều kiện x ≠ y và T vẫn thỏa mãn (3.16), giả sử X là một không gian compact, T là một hàm liên tục và α = 1, thì T sẽ có duy nhất một điểm bất động.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá một mở rộng của định lý trong không gian b-metric Cụ thể, định lý 3.6 khẳng định rằng nếu (X, d) là một không gian b-metric đầy đủ và T : X → X là một ánh xạ, thì với mọi x, y ∈ X, ánh xạ T thỏa mãn điều kiện d[T(x), T(y)] ≤ ad(x, T(x)) + bd(y, T(y)) + cd(x, T(y)).
+ed(y, T(x)) +f d(x, y), (3.17) trong đó a, b, c, e, f là các số thực không âm sao chos(a+b)+s 2 (c+e) < 1 và khi ta đặt α = a+b+c+e+f thì α ∈
Ở đây, s ≥ 1 là tham số của d Khi đó, T có duy nhất một điểm bất động.
Trước khi đi vào chứng minh định lí, ta chứng minh bổ đề sau đây.
Bổ đề 3.1 Cho (X, d) là một không gian b-mêtric đầy đủ và tự ánh xạ T trên đó thỏa mãn (3.17) Khi đó, nếu α ∈
0, 1 2s với s ≥ 1 là tham số của d, thì tồn tại 0 ≤ β < 1 sao cho d(T(x), T 2 (x)) ≤ βd(x, T(x)).
Chứng minh Trong (3.17), đặt y = T(x), ta dễ dàng suy ra được d(T(x), T 2 (x)) ≤ a+f
Sử dụng tính chất của b-mêtric d, ta có d(x, T 2 (x)) ≤ s[d(x, T(x)) +d(T(x), T 2 (x))], kéo theo d(T(x), T 2 (x)) ≥ 1 sd(x, T 2 (x))−d(x, T(x)).
Kết hợp bất đẳng thức trên với (3.18) ta suy ra
1−bd(x, T 2 (x)). Bởi vì 1−b−cs > 0 nên ta có d(x, T 2 (x)) ≤ (1 +a+f −b)s
1−b−cs d(x, T(x)) (3.19) Thay (3.19) vào (3.18), ta có kết quả sau d(T(x), T 2 (x)) ≤ a+f +cs
Ta sẽ chứng minh a+f +cs
Tương tự, nếu ta đặt x = T(y), thì ta chỉ cần thay a bởi b và c bởie trong (3.20), ta có kết quả sau d(T(x)x, T 2 (x)) ≤ b+f + es
Cuối cùng, ta thực hiện lấy β = min a+f + cs
Lúc đó, β thỏa mãn kết luận của bổ đề.
Bây giờ ta sẽ đi vào chứng minh Định lí 3.6.
Chứng minh Lấy x 0 ∈ X và xây dựng dãy {x n } trong X bởi x n+1 = T(x n ) = T n+1 (x 0 ) với mọi n ∈ N.
Sử dụng Bổ đề 3.1 ta được d(x n , x n+1 ) = d (T(x n−1 ), T 2 (x n−1 )
Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh {x n } là một dãy Cauchy trong X.
Thật vậy, với d là một b-mêtric trong X, ta có d(x n , x n+p ) ≤ s d(x n , x n+1 ) +d(x n+1 , x n+p )
(3.22) với mọi n = 1,2, và mọi p = 0,1, Bởi vì β ∈ [0,1) nên ta có sβ n
Khi n tiến tới vô cùng, ta có giới hạn d(x n, x n+p) tiến tới 0 với mọi p = 0, 1, , điều này chứng tỏ dãy {x n} là dãy Cauchy trong không gian b-metric (X, d) Do (X, d) là không gian b-metric đầy đủ, nên tồn tại một điểm x* sao cho T n(x 0) = x n tiến tới x* Tiếp theo, ta chứng minh rằng x* là điểm bất động của T thông qua bất đẳng thức d(x*, T(x*)) ≤ s[d(x*, x n) + d(x n, T(x*))].
≤ s[d(x ∗ , x n ) + ad(x n−1 , T(x n−1 )) +bd(x ∗ , T(x ∗ )) +cd(x n−1 , T(x ∗ )) +ed(x ∗ , T(x n−1 )) +f d(x n−1 , x ∗ )]. Suy ra rằng d(x ∗ , T(x ∗ )) ≤ s[ad(x n−1 , x n ) + bd(x ∗ , T(x ∗ ))
+cd(x n−1 , T(x ∗ )) + (e+ 1)d(x ∗ , x n ) + f d(x n−1 , x ∗ )]. Bây giờ, ta cho n → ∞ hai vế của bất đẳng thức trên ta được d(x ∗ , T(x ∗ )) ≤ sb.d(x ∗ , T(x ∗ )) +sc lim n→∞d(x n−1 , T(x ∗ )) (3.23) Theo Bổ đề 2.2 ta suy ra n→∞lim d(x n−1 , T(x ∗ )) ≤sd(x ∗ , T(x ∗ )), thay vào (3.23) ta được h
Theo định nghĩa, nếu sb+s 2 c < 1 thì 1−(sb+s 2 c) > 0, dẫn đến d(x ∗ , T(x ∗ )) = 0 hay x ∗ = T(x ∗ ) Do đó, x ∗ được xác định là điểm bất động của T Giả sử x và y ∈ X là hai điểm bất động của T, tức là x = T(x) và y = T(y).
T(y) = y Khi đó, ta có d(x, y) = d(T(x), T(y)) ≤ ad(x, T(x)) +bd(y, T(y))
Suy ra được x = y Ta kết luận điểm bất động của T là duy nhất.
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu về không gian mêtric, không gian mêtric đầy đủ, không gian b-mêtric và định lý điểm bất động của các ánh xạ co trong không gian b-mêtric Các kết quả đạt được trong nghiên cứu này có ý nghĩa quan trọng trong lĩnh vực toán học.
Bài viết hệ thống lại kiến thức về không gian mêtric, bao gồm tính chất của dãy hội tụ, tính liên tục và khái niệm không gian mêtric đầy đủ Ngoài ra, luận văn cũng trình bày định lý điểm bất động của Banach trong không gian mêtric đầy đủ.
2 Trình bày về không gian b-mêtric, không gian b-mêtric đầy đủ và các tính chất trong không gian này được kế thừa và mở rộng từ không gian mêtric.
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày và chứng minh chi tiết một số định lý về điểm bất động của các ánh xạ co trong không gian b-metric Cụ thể, chúng tôi sẽ chứng minh sự tồn tại của điểm bất động cho các ánh xạ co kiểu Banach (Định lý 3.1), Kannan (Định lý 3.2), Chatterjea (Định lý 3.3) và Reich (Định lý 3.4) Những định lý này không chỉ mở rộng các khái niệm đã biết mà còn cung cấp cái nhìn sâu sắc về tính chất của các ánh xạ trong không gian b-metric.
Do hạn chế về thời gian, kinh nghiệm và kiến thức, bài viết không thể tránh khỏi những sai sót Tác giả rất mong nhận được sự thông cảm và góp ý từ quý thầy cô và bạn đọc để hoàn thiện luận văn hơn nữa.