Không gian metric
Định nghĩa 1.1 Cho tập X 6= ∅ Ánh xạ d : X ×X −→R (x, y) 7−→d(x, y) được gọi là một metric nếu các điều kiện sau được thỏa mãn a) d(x, y) > 0, với mọi x, y ∈ X;
Nếu d(x, y) = 0 thì x = y, với mọi x, y ∈ X; b) d(x, y) = d(y, x), với mọi x, y ∈ X; c) d(x, y) 6 d(x, z) +d(y, z), với mọi x, y, z ∈ X.
Khi đó, cặp (X, d) được gọi là một không gian metric.
Ví dụ 1.2 Cho X = R Ánh xạ d được xác định bởi d : R×R −→R (x, y) 7−→d(x, y) = |x−y| là một metric trên R và (X, d) là một không gian metric.
Chứng minh Ta chứng minh d thỏa mãn các điều kiện của một metric trên R.
1 d(x, y)) > 0, với mọi x, y ∈ X. Để d(x, y) = 0 thì |x−y| = 0 Suy ra x − y = 0 hay x = y, với mọi x, y ∈ X.
Do vậy ánh xạ d được xác định như trên là một metric trên X và (X, d) là một không gian metric.
Ví dụ 1.3 Cho X = R k , ánh xạ d : R k ×R k −→ R
|x i −y i | 2 , trong đó x = (x 1 , x 2 , , x k ), y = (y 1 , y 2 , , y k ) ∈ R k , là một metric trên
R k và (X, d) là một không gian metric. Định nghĩa 1.4 Giả sử (X, d) là một không gian metric, Y ⊂ X Đặt d | Y ×Y : Y ×Y −→ R
Khi đó, d | Y ×Y là một metric trên Y và (Y, d | Y ×Y ) là một không gian metric.
Ta nói rằng (Y, d | Y ×Y ) là một không gian metric con của không gian metric (X, d).
Sự hội tụ trong không gian metric
Định nghĩa 1.5 Giả sử (X, d) là không gian metric và {x n }là dãy trong
X Ta nói rằng dãy {x n } hội tụ đến x 0 ∈ X nếu lim n→∞d(x n , x 0 ) = 0 Lúc đó, x 0 được gọi là giới hạn của dãy {x n } và ta kí hiệu n→∞lim x n = x 0 hay x n →x 0
Như vậy, lim n→∞x n = x 0 khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại n 0 sao cho với mọi n∈ N, n > n 0 , thì d(x n , x 0 ) < ε.
Trong không gian metric (X, d), nếu dãy {x n } hội tụ về điểm x 0, thì x 0 là duy nhất, cho thấy rằng giới hạn của một dãy hội tụ luôn là duy nhất Hơn nữa, nếu cả hai dãy {x n } và {y n } đều hội tụ về x 0 và y 0 tương ứng, thì khoảng cách giữa hai dãy sẽ hội tụ về khoảng cách giữa hai giới hạn, tức là d(xn, yn) sẽ tiến tới d(x0, y0).
Ví dụ 1.7 Cho X = R k , dãy {x n } ⊂ X và x 0 ∈ X.
|x i −y i | 2 , trong đó,x = (x1, x2, , xk)và y = (y1, y2, , yk),x, y ∈ R k Theo Định nghĩa 1.5, để chứng minh {x n } hội tụ đến x 0 trong X, ta cần chứng minh d(x n , x 0 ) → 0 Bởi vì x n → x 0 nên suy ra d(x n , x 0 ) → 0 Do đó, s k
→0.Suy ra, x (n) i →x (0) i với mọi i = 1, k Như vậy, sự hội tụ trong R k là hội tụ theo các thành phần tọa độ.
Tập hợp mở và tập hợp đóng
Định nghĩa 1.8 Cho (X, d) là không gian metric, x0 ∈ X, r > 0, tập
S(x 0 , r) = {x ∈ X : d(x, x 0 ) < r} được gọi là quả cầu mở tâm x 0 , bán kính r. b)
S[x0, r] = {x ∈ X : d(x, x0) 6 r} được gọi là quả cầu đóng tâm x 0 , bán kính r. c) Điểm x0 được gọi là điểm trong của E nếu tồn tại r > 0 sao cho
S(x 0 , r) ⊂E. d) Điểm x 0 được gọi là điểm ngoài của E nếu tồn tại r > 0 sao cho nếu S(x 0 , r) ⊂ X \E thì S(x 0 , r)∩E = ∅. e) Điểm x 0 được gọi là điểm biên của E nếu với mọi r > 0 ta đều có
S(x 0 , r)∩E 6= ∅ và S(x 0 , r)∩(X \E) 6= ∅. f) Điểm x 0 được gọi là điểm giới hạn của E nếu với mọi r > 0 ta đều có
S(x 0 , r)∩(E \ {x 0 }) 6= ∅. g) Điểm x 0 được gọi là điểm cô lập của E nếu tồn tại r > 0 sao cho
S(x 0 , r)∩E = {x 0 }. h) Điểm x 0 được gọi là điểm dính của E nếu với mọi r > 0 ta đều có
S(x 0 , r)∩E 6= ∅. Định nghĩa 1.9 Giả sử (X, d) là một không gian metric, E ⊂ X Ta nói rằng E là một tập mở nếu mọi điểm của E đều là điểm trong.
Như vậy, E là tập mở khi và chỉ khi mọi điểm của E đều là điểm trong hay với mọi x ∈ E, tồn tại r x sao cho S(x, r x ) ⊂ E.
Nhận xét 1.10 Mỗi hình cầu mở đều là tập hợp mở.
Chứng minh Giả sử S(x 0 , r) là một hình cầu mở Ta cần chứng minh nó là tập hợp mở.
Thật vậy, giả sử x ∈ S(x0, r) Đặt δ = r −d(x0, x) Bởi vì x ∈ S(x0, r) nên δ = r−d(x 0 , x) > 0 Khi đó, lấy bất kì y ∈ S(x, δ), ta có d(x, y) < δ. Suy ra, d(x 0 , y) 6 d(x 0 , x) +d(x, y) < δ+ d(x, x 0 ).
Trong không gian metric (X, d), nếu δ = r − d(x₀, x) thì δ + d(x₀, x) = r, dẫn đến d(x₀, y) < r, hay y thuộc S(x₀, r) Do đó, S(x, δ) nằm trong S(x₀, r), chứng minh rằng S(x₀, r) là một tập mở Theo Định lý 1.11, hợp của bất kỳ họ tập mở nào cũng là tập mở, trong khi giao của một số hữu hạn các tập mở cũng giữ tính chất mở Định nghĩa 1.12 chỉ ra rằng F được gọi là lân cận của x nếu x là điểm trong của F, tức là tồn tại r > 0 sao cho S(x, r) nằm trong F; nếu F là tập mở, thì F được xem là lân cận mở của x Cuối cùng, phần trong của một tập E, ký hiệu là IntE, bao gồm tất cả các điểm trong của E và rõ ràng IntE là tập con của E.
Tập IntE là tập mở và là tập mở lớn nhất trong E Trong không gian metric X, tập F được gọi là tập hợp đóng nếu phần bù X \ F là tập hợp mở Định lý 1.16 chỉ ra rằng giao của bất kỳ tập hợp đóng nào là tập đóng, và hợp của một số hữu hạn các tập đóng cũng là tập đóng Theo định lý 1.17, trong không gian metric (X, d), tập F là tập đóng nếu và chỉ nếu mọi dãy {x_n} trong X hội tụ về x thì x đều thuộc F.
Giả sử F là tập đóng và {x n } ⊂ X với x n → x, ta cần chứng minh x ∈ F Nếu x không thuộc F, tức là x thuộc X \ F, thì do F là tập đóng, X \ F là tập mở Theo định nghĩa, tồn tại r > 0 sao cho S(x, r) ⊂ X \ F Vì x n → x, nên có N sao cho d(x n, x) < r với mọi n > N, dẫn đến x n ∈ S(x, r) ⊂ X \ F cho mọi n > N, điều này mâu thuẫn với việc x n thuộc F Do đó, x phải thuộc F.
Vì x n không thuộc F, điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng {x n } là tập con của X, do đó x phải thuộc F Ngược lại, nếu với mọi tập con {x n } thuộc F mà x n hội tụ về x và x cũng thuộc F, thì ta có thể chứng minh rằng F là tập đóng Nếu F không phải là tập đóng, sẽ dẫn đến những hệ quả không đúng.
X \F là tập không mở Như vậy, theo Định nghĩa 1.8(c) ta suy ra, với mọi r > 0 ta đều có S(x 0 , r) 6⊂X \F Như vậy,
Khi r = 1/n, tồn tại xn thuộc S(x0, n1) và F cho mọi n = 1, 2, Do đó, tập hợp {xn} nằm trong F và vì d(x0, xn) < 1/n, nên xn hội tụ về x0, nhưng x0 không thuộc F, điều này mâu thuẫn với giả thiết x0 thuộc F Do đó, ta kết luận rằng F là một tập đóng Định nghĩa 1.18: Cho A là một tập con của không gian metric X, bao đóng của A được định nghĩa là giao của tất cả các tập đóng chứa A, ký hiệu là A.
Trong không gian metric (X, d), định lý 1.19 khẳng định rằng một điểm x thuộc tập F nếu và chỉ nếu mọi lân cận U của x đều có giao với F không rỗng Định lý 1.20 bổ sung rằng x thuộc F nếu tồn tại một dãy {x_n} trong F hội tụ về x.
Để chứng minh rằng tồn tại một dãy {x n } ⊂ F với x n → x, ta bắt đầu với giả thiết x ∈ F Với mọi lân cận U của x, luôn có U ∩ F 6= ∅, điều này cho thấy F không rỗng quanh x Hơn nữa, với mỗi n = 1, 2, , S x, 1/n là một lân cận của x, từ đó khẳng định sự tồn tại của dãy {x n } hội tụ về x.
Đối với mọi n = 1, 2, , ta có {x n } ⊂ F và d(x n , x) < 1/n → 0, điều này dẫn đến lim n→∞d(x n , x) = 0 hay x n → x Ngược lại, nếu tồn tại {x n } ⊂ F sao cho x n → x, ta có thể chứng minh rằng x ∈ F Bởi vì F là một tập đóng và {x n } ⊂ F, với x n → x, nên x phải thuộc F Hơn nữa, do F ⊂ F, ta kết luận rằng x ∈ F.
Không gian metric đầy đủ
Định nghĩa 1.21 Cho (X, d) là một không gian metric Dãy {x n } nằm trong X được gọi là dãy Cauchy (dãy cơ bản) nếu n→∞lim m→∞ d(x n , x m ) = 0.
Nhận xét 1.22 a) Mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy. b) Dãy Cauchy có thể không hội tụ.
Nhận xét 1.23 a) Không gian R là một không gian metric đầy đủ. b) Không gian R m là một không gian metric đầy đủ. c) Không gian C[a,b] là một không gian metric đầy đủ.
Bổ đề 1.24 (Bổ đề Cantor) Giả sử {S[a n , rn]} là dãy các hình cầu đóng, lồng và thắt trong không gian metric đầy đủ X, nghĩa là
Khi đó, các hình cầu có một điểm chung duy nhất.
Tập hợp compact
Trong không gian metric X, một tập K ⊂ X được gọi là tập compact nếu mọi dãy {x n } thuộc K đều có một dãy con {x n k } hội tụ về một điểm x 0 cũng thuộc K Ngoài ra, tập K được xem là tập compact tương đối nếu nó là tập con của một tập compact nào đó.
Trong không gian metric (X, d), nếu K ⊂ X là một tập compact, thì K sẽ là tập compact tương đối Ngược lại, nếu toàn bộ không gian X là tập compact, thì K sẽ là tập đóng Hơn nữa, bất kỳ tập con đóng nào của một tập compact cũng sẽ là tập compact.
Ánh xạ liên tục
Trong không gian metric (X, dX) và (Y, dY), một ánh xạ f : X → Y được coi là liên tục tại một điểm x0 ∈ X nếu với mọi ε > 0, tồn tại một δ = δ(x0, ε) > 0 sao cho với mọi x ∈ X, nếu khoảng cách dX(x, x0) nhỏ hơn δ thì khoảng cách dY(f(x), f(x0)) sẽ nhỏ hơn ε.
Ánh xạ X → Y được gọi là liên tục đều nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ = δ(ε) sao cho khi d X (x, y) < δ thì d Y (f(x), f(y)) < ε Định nghĩa 1.29 nêu rằng ánh xạ f : (X, d) → (Y, d) là phép đồng phôi khi f là song ánh và cả f cùng f −1 đều là các ánh xạ liên tục.
X và Y là hai không gian đồng phôi với nhau. Định nghĩa 1.30 Ánh xạ f : (X, d) −→ (Y, d) được gọi là phép đẳng cự nếu d(f(x), f(y)) = d(x, y) với mọi x, y ∈ X.
Định lý điểm bất động của Banach
Trong không gian metric (X, d), điểm x0 được gọi là điểm bất động của ánh xạ f nếu f(x0) = x0 Ánh xạ f: (X, d) → (Y, d) được xem là ánh xạ co nếu tồn tại một hệ số α (0 ≤ α < 1) sao cho khoảng cách giữa f(x) và f(y) không vượt quá α lần khoảng cách giữa x và y, với mọi x, y thuộc X Đặc biệt, nếu (X, d) là không gian metric đầy đủ và f: X → X là ánh xạ co, thì tồn tại một điểm duy nhất x trong X sao cho f(x) = x.
Chứng minh Lấy tùy ý một điểm x0 ∈ X Ta đặt x1 = f(x0), x2 = f(x1) = f(f(x0)), , xn+1 = f(xn),
Ta chứng minh {x n } là dãy Cauchy trong X Thật vậy, bởi vì f là ánh xạ co nên ∃α ∈ [0,1) sao cho với mọi n > 1, ta có d(x n , x n+1 ) = d(f(x n−1 ), f(x n ))
Suy ra, d(x n , x n+1 ) 6 α n d(x 0 , x 1 ) với mọi n > 1 (∗) Khi đó, với mọi n, với mọi p từ (∗) ta có d(x n , x n+p ) 6 d(x n , x n+1 ) +d(x n+1 , x n+2 ) +ã ã ã+d(x n+p−1 , x n+p )
Khi n tiến tới vô hạn, ta có lim d(x_n, x_n+p) = 0, điều này cho thấy dãy {x_n} là dãy Cauchy trong không gian metric X Vì X là không gian metric đầy đủ, tồn tại một điểm x ∈ X sao cho lim x_n = x khi n tiến tới vô hạn Từ đó, ta cũng có d(x_n, f(x_n)) = d(x_n, x_{n+1}) ≤ α_n d(x_0, x_1) với mọi n > 1.
Vì f là ánh xạ liên tục, nên d(x, f(x)) = 0, dẫn đến x = f(x) Để chứng minh rằng x là duy nhất, giả sử tồn tại y ∈ X với f(y) = y Ta cần chứng minh x = y, từ đó có d(x, y) = d(f(x), f(y)) ≤ αd(x, y).
Nghĩa là, d(x, y) = 0 Như vậy, x = y Do đó, x là điểm bất động duy nhất của f.
Không gian định chuẩn và không gian Banach
Một chuẩn trên không gian vectơ E trên trường K được định nghĩa bởi hàm k Hàm này thỏa mãn ba điều kiện: đầu tiên, kx k phải lớn hơn 0 với mọi x thuộc E và bằng 0 chỉ khi x là vectơ 0; thứ hai, kα.x k bằng |α| k x k cho mọi x, y thuộc E và mọi α thuộc K; cuối cùng, kx+y k không vượt quá k x k cộng k y k cho mọi x, y thuộc E và mọi α thuộc K.
Khi đú,E cựng vớik ã k được gọi là một khụng gian tuyến tớnh định chuẩn hay là không gian định chuẩn.
Ví dụ 1.35 Cho E = C n Ta đặt k ã k: E −→ R x 7−→k x k v u u t n
Trong không gian định chuẩn E, các hàm chuẩn được ký hiệu là k ã k, k ã k 1, và k ã k 2 Theo định lý 1.36, ta có thể định nghĩa một metric d trên E bằng công thức d(x, y) = kx - y k Định lý này cũng chỉ ra rằng d là một metric, đồng thời d(x+a, y+a) = d(x, y) và d(αx, αy) = |α|d(x, y) cho mọi x, y thuộc E và α thuộc K Định lý 1.37 khẳng định rằng chuẩn là một hàm liên tục đều Theo định lý 1.38, trong không gian định chuẩn E, phép tịnh tiến f(x) = x + a là phép đồng phôi đẳng cự, trong khi phép vị tự g(x) = αx là phép đồng phôi đều Cuối cùng, định nghĩa 1.39 cho biết không gian định chuẩn E được gọi là không gian Banach nếu nó là không gian metric đầy đủ với metric sinh bởi chuẩn.
Trong ví dụ 1.40, không gian E được xác định là C n, và cùng với các chuẩn được nêu trong ví dụ 1.35, E trở thành một không gian Banach Định nghĩa 1.41 chỉ ra rằng nếu E là một không gian định chuẩn và {x n } ⊂ E, thì tổng hình thức x 1 + x 2 + + x n + là một phần quan trọng trong việc nghiên cứu các không gian này.
X n=1 x n (1) được gọi là một chuỗi trong E Hơn nữa, a) s n n
P i=1 x i được gọi là tổng riêng thứ n của (1). b) Nếu tồn tại lim n→∞s n = s ∈ E, thì ta nói (1) hội tụ, s được gọi là tổng của (1) Ta kí hiệu
P n=1 xn = s. c) Nếu (1) không hội tụ thì ta nói nó phân kì. d) Giả sử (1) hội tụ và
P n=1 x n = s Khi đó, rn = s−sn = xn+1 +xn+2 +ã ã ã+xn+k +ã ã ã ∞
Ta nói rằng r n là phần dư thứ n của chuỗi (1). Định lý 1.42 Giả sử E là không gian định chuẩn Khi đó, nếu
Nếu chuỗi P n=1 xn hội tụ, thì với mọi ε > 0, tồn tại n 0 ∈ N ∗ sao cho k s n+p −s n k6kx n+1 k + k x n+2 k+ã ã ã+ k x n+p k< ε, ∀n > n 0, ∀p > 1 Hơn nữa, nếu E là không gian Banach, thì chiều ngược lại cũng đúng Định nghĩa 1.43 cho biết rằng E là không gian định chuẩn.
P n=1 xn được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi
P n=1 k x n k hội tụ. Định lý 1.44 Cho E là không gian Banach Khi đó, E là không gianBanach khi và chỉ khi mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối trong E đều hội tụ.
CHƯƠNG2 ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN
Không gian metric nón
Trong không gian Banach E trên trường số thực, một tập con P được gọi là nón nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: (a) P là tập đóng, không rỗng và khác tập chỉ chứa phần tử không; (b) với mọi x, y thuộc P và a, b là các số thực dương, thì ax + by cũng thuộc P; (c) nếu x thuộc P và -x cũng thuộc P, thì x phải là phần tử không.
Cho nón P ⊂ E, ta định nghĩa một thứ tự “ 6 ” thu hẹp trên P như sau x 6 y nếu và chỉ nếu y −x ∈ P.
Bổ đề 2.2 “6 ” là một thứ tự trên P.
Chứng minh (1) Giả sử x ∈ P, khi đó, x−x = θ ∈ P, kéo theo x 6 x.
Do đó, quan hệ “6 ” có tính chất phản xạ.
(2) Giả sử x, y ∈ P, x 6 y và y 6 x Suy ra, y −x∈ P và x−y = −(y −x) ∈ P.Theo tiên đề c của Định nghĩa 2.1 ta suy ra y −x = 0 hay x = y Do đó,quan hệ “6 ” có tính chất phản đối xứng.
(3) Giả sử x, y, z ∈ P, x 6 y và y 6 z Khi đó, ta có y − x ∈ P và z−y ∈ P Do đó, z −x = (z−y) + (y −x) ∈ P hay x6 z Như vậy, quan hệ “6 ” có tính chất bắc cầu.
Như vậy, “6 ” là một thứ tự trên P.
Ta ký hiệu x < y để chỉ rằng x thuộc P và x khác y, đồng thời y - x nằm trong IntP Định nghĩa 2.3 cho biết nón P được gọi là chuẩn tắc nếu tồn tại một số K > 0 sao cho với mọi x, y thuộc P và x không lớn hơn y, thì norm của x không lớn hơn K nhân với norm của y.
Hằng số chuẩn tắc của P là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn tính chất cụ thể Nón P được coi là chính quy nếu mọi dãy tăng và bị chặn trong E đều hội tụ Cụ thể, nếu tồn tại y ∈ E sao cho dãy {x_n} thỏa mãn điều kiện x_1 ≤ x_2 ≤ ≤ x_n ≤ ≤ y, thì sẽ có x ∈ P sao cho khoảng cách kx_n - xk tiến tới 0.
Bổ đề 2.5 Giả sử P là một nón Khi đó, P là nón chính quy khi và chỉ khi với mọi dãy giảm và bị chặn dưới đều hội tụ.
Chứng minh (1) Điều kiện cần Giả sử P là nón chính quy, {x n } là dãy giảm và bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại u ∈ X sao cho u 6 ã ã ã 6 x n 6 x n−1 6 ã ã ã 6 x 1
Suy ra xn−x n−1 ∈ P, xn −u ∈ P với mọi n∈ N ∗ , kéo theo
Như vậy,{−x n }là dãy tăng, bị chặn trên Cuối cùng, vìP là nón chính quy nên tồn tại x ∈ E sao cho k −x n −x k→ 0, kéo theo k x n −(−x) k→ 0. Suy ra {x n } hội tụ đến −x ∈ E.
Điều kiện đủ cho việc chứng minh P là nón chính quy được thiết lập khi giả sử mọi dãy giảm và bị chặn dưới đều hội tụ Cụ thể, nếu {x n} là dãy tăng và bị chặn trên, thì theo điều kiện cần, {x n} sẽ trở thành dãy giảm và bị chặn dưới Từ giả thiết này, ta suy ra rằng {−x n} hội tụ đến x ∈ E, dẫn đến k −x n − x k→ 0 và k x n −(−x) k→ 0 Do đó, {x n} hội tụ đến −x ∈ E, khẳng định rằng P là nón chính quy Định lý 2.6 khẳng định rằng mọi nón chính quy đều là nón chuẩn tắc.
Giả sử P là một nón chính quy, chúng ta sẽ chứng minh rằng P là nón chuẩn tắc Nếu ngược lại, tức là P không phải là nón chuẩn tắc, thì với mọi K > 0, sẽ tồn tại s K, t K ∈ P sao cho s K − t K ∈ P và ||s K|| > K ||t K|| Điều này dẫn đến việc với mọi n ∈ N∗, tồn tại t n, s n ∈ P thỏa mãn t n − s n ∈ P và ||s n|| > n^2 ||t n|| Cuối cùng, chúng ta định nghĩa y n = t n / ||t n|| và x n = s n / ||t n|| cho mọi n ∈ N∗.
Hơn nữa từ tính chất của P ta suy ra y n , x n , y n −x n ∈ P Mặt khác, từ (∗) ta suy ra k sn k kt n k > n 2 kéo theo k x n k> n 2 với mọi n ∈ N ∗ (∗∗)
P n=1 y n n 2 hội tụ tuyệt đối trong không gian Banach E Theo Định lý 1.44, ta suy ra
P i=1 yi i 2 → s ∈ E Hơn nữa, nhờ tính chất của P ta suy ra {s n } ∈ P Lại vì P là tập đóng nên theo Định lý 1.17 ta suy ra s∈ P Tiếp theo, ta có x 1 −θ = x 1 ∈ P, kéo theo θ 6 x 1 , (x 1 + 1
3 2 x 3 Bằng quy nạp ta suy ra θ 6 x 1 6 x 1 + 1
P i=1 x i i 2 là một dãy tăng Hơn nữa, từ chứng minh trên ta có y n −x n ∈ P với mọi n. Bởi vậy, từ tính chất của P ta suy ra
Do vậy, ta suy ra s n ∗ n
Do đó, {s n ∗ } bị chặn trên Cuối cùng, vì P là nón chính quy nên theo Định nghĩa 2.4, nó hội tụ về s ∗ ∈ E, nghĩa là
Do đó, x n n 2 → 0 kéo theo kx n k n 2 → 0 Điều này mâu thuẫn với (∗∗), kx n k n 2 > 1 với mọi n Vậy P là một nón chuẩn tắc.
Nhận xét 2.7 Một nón chuẩn tắc chưa chắc là một nón chính quy. Chứng minh Thật vậy, xét không gian Banach E = C R [0,1] với chuẩn k f k= sup x∈[0,1]
Khi đó, P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K = 1 Thật vậy, giả sử f, g ∈ E và 06 f 6 g Khi đó,
Suy ra, k f k6k g k Do vậy, P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K = 1.
Bây giờ, ta chứng minh rằng P không phải là nón chính quy Thật vậy, lấy dãy {f n } trong E cho bởi f n (x) = x n với mọi x ∈ [0,1].
Suy ra {f n } là dãy giảm và bị chặn dưới Hơn nữa, vì f n (x) →f(x) ( 1 nếu x = 1
0 nếu x ∈ [0,1) và f /∈ C R [0,1] nên ta suy ra {f n } không hội tụ trong E Do đó, P không phải là nón chính quy.
Mệnh đề 2.8 Nếu K là hằng số chuẩn tắc của nón P, thì K > 1.
Giả sử P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K < 1 Chọn x ∈ P, x 6= 0 và 0 < ε < 1 sao cho K < 1−ε Ta có x−[(1−ε)x] = εx ∈ P, dẫn đến (1−ε)x 6 x Vì P là nón chuẩn tắc, nên k(1−ε)x k 6 K k x k.
Do vậy, k x k= 0 Suy ra, x = 0 Điều này mâu thuẫn giả thiết x 6= 0 Do vậy, K > 1.
Mệnh đề 2.9 Với mỗi số thực k > 1, tồn tại nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K > k.
Chứng minh Cho số thực k > 1, xét không gian vectơ thực
E n ax+b | a, b ∈ R;x ∈ h1− 1 k,1 io , với chuẩn được xác định như sau ky k=kax+b k= max x∈[1− 1 k ,1]
Ta thấy, (E,k ã k) là khụng gian Banach Ta đặt
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một nón P nằm trên E và chứng minh rằng P là nón chính quy Giả sử rằng dãy {a_n x + b_n} là một dãy tăng và bị chặn trên Khi đó, tồn tại một hàm số cx + d thuộc E sao cho a_1 x + b_1 ≤ a_2 x + b_2 ≤ ≤ a_n x + b_n ≤ cx + d với mọi x trong khoảng (1 - 1/k, 1).
Do đó {a n } và {b n } là hai dãy trong R thỏa mãn a 1 > a 2 > ã ã ã > a n > ã ã ã > c, b 1 6 b 2 6 ã ã ã 6 b n 6 ã ã ã 6 d.
Suy ra,{a n }và{b n } là hai dãy hội tụ Giả sửa n →a vàb n →b Khi đó, vì
P là tập đóng nên theo Định lý 1.17, ta suy raa ∈ P vàb ∈ P Mặt khác, vì
P là nón nên với mọi x ∈ h1−1 k,1 i , ax+b ∈ P vàanx+bn → ax+b ∈ P.
Do đó {a n x+b n } n là dãy hội tụ trong P Do vậy P là một nón chính quy. Bởi thế, theo Mệnh đề 2.6, ta suy ra P là một nón chuẩn tắc.
Cuối cùng, theo Mệnh đề 2.8, ta suy ra tồn tại số thực K > 1 sao cho f, g ∈ P, 0 6 g 6 f thì k g k6 K k f k Ta chứng minh rằng K > k. Thật vậy, nếu đặt f(x) =−kx+k ∈ P, g(x) =k ∈ P, thì f −g ∈ P, kéo theo 06 g 6 f Do đó, k =k g k6 K k f k= K
Do vậy, k 6 K Bây giờ, nếu ta đặt f(x) = −k − 1 k x+k, g(x) = k, thì f ∈ P, g ∈ P và f −g ∈ P.
+k = 1− 1 k + 1 k 2 Suy ra, k.k f k= k−1 + 1 k. Bởi vì k > 1 nên k k f k6 k Suy ra, k k f k< k =k g k6 K k f k Như vậy, k < K.
Nhận xét 2.10 Tồn tại những nón không chuẩn tắc.
Chứng minh Xét không gian Banach E = C 2
R[0,1] với chuẩn kf k=k f k ∞ + k f 0 k ∞ , trong đó k f k ∞ = sup x∈[0,1]
|f(x)| và nón P = {f ∈ E | f > 0} Với mỗi k > 0, ta đặt f(x) =x, g(x) =x 2k
Từ (1) và (2) ta suy rak k f k6k g k nên k không phải là hằng số chuẩn tắc của P Do vậy, P không là nón chuẩn tắc.
Giả sử E là một không gian Banach trên trường số thực, và P là một nón trong E với IntP khác rỗng cùng với một thứ tự xác định trên P Định nghĩa 2.11 nêu rằng cho tập X không rỗng và ánh xạ d: X × X → E thỏa mãn các tiên đề: a) d(x, y) lớn hơn θ với mọi x, y thuộc X; d(x, y) bằng θ nếu và chỉ nếu x bằng y; b) d(x, y) bằng d(y, x) với mọi x, y thuộc X; c) d(x, y) nhỏ hơn hoặc bằng d(x, z) cộng d(y, z) với mọi x, y, z thuộc X.
Khi đó, d được gọi là một metric nón trên X và (X, d) được gọi là một không gian metric nón.
X = R, α > 0 và ánh xạ d: X ×X →E được xác định bởi d(x, y) = (|x−y|, α|x−y|).
Khi đó, (X, d) là một không gian metric nón.
Chứng minh (1) Giả sử x, y ∈ x Khi đó, vì |x − y| > 0, α > 0 nên d(x, y) ∈ P Suy ra d(x, y) > (0,0) Bởi thế,
(1.1) Nếu x 6= y, thì |x−y| > 0, α|x−y| > 0 Suy ra d(x, y) > (0,0). (1.2) Nếu x = y, thì |x−y| = 0, α|x−y| = 0 Suy ra d(x, y) = (0,0).
= (|x−y|+ |y−z| − |x−z|, α|x−y|+α|y −z| −α|x−z|) ∈ P. Bởi vậy, theo định nghĩa thứ tự trên P ta suy ra d(x, z) 6 d(x, y) +d(y, z).
Suy ra d là một metric nón và (X, d) là một không gian metric nón.
Hoàn toàn tương tự, ta có Ví dụ sau.
X = R và d : X ×X → E sao cho d(x, y) = (|x−y|, α1|x−y|, , α n−1 |x−y|) với α i > 0, với mọi 16 i 6 n−1 Khi đó(X, d) là một không gian metric nón.
Sự hội tụ trong không gian metric nón
Định nghĩa 2.14 Cho (X, d) là một không gian metric nón, {x n } ⊂ X và x ∈ X Ta nói rằng {x n } là dãy hội tụ đến x nếu với mọi c ∈ E mà
0 c, tồn tại N ∈ N ∗ sao cho d(x n , x) c với mọi n> N. Khi đó, x được gọi là điểm giới hạn của {x n } và ta viết n→∞lim xn = x hoặc xn → x.
Bổ đề 2.15 khẳng định rằng, trong không gian metric nón (X, d) với P là một nón chuẩn tắc có hằng số chuẩn tắc K, một dãy {x n } trong X sẽ hội tụ đến điểm x nếu và chỉ nếu khoảng cách d(x n , x) tiến gần đến 0.
Chứng minh (1) Điều kiện cần Giả sử {x n } là dãy trong X hội tụ đến x ∈ X Ta chứng minh rằng d(x n , c) → θ.
(1.1) Trước tiên, ta chứng minh rằng nếu IntP 6= ∅, thì với mọi ε > 0, tồn tại c ∈ E sao cho
Khi θ thuộc vào IntP, tồn tại một dãy {c_n} nằm trong E với c_n tiến tới θ Do IntP là lân cận của θ, có một số nguyên N1 sao cho mọi c_n thuộc IntP khi n lớn hơn N1 Đồng thời, vì c_n tiến tới 0, nên cũng tồn tại một số nguyên N2 sao cho độ lớn của c_n nhỏ hơn ε.
K với mọi n > N2, đặt N = max{N1, N2}, ta có c_n ∈ IntP và K_k c_n k < ε với mọi n > N Trong trường hợp 2, khi θ không thuộc IntP, do IntP không rỗng nên tồn tại c* ∈ IntP Đặt x_n = c* n, suy ra nc* n hội tụ đến θ Hơn nữa, ánh xạ x → λx (với λ ≠ 0) là phép đồng phôi, nên nc* n ⊂ IntP Vì c* n → θ, tồn tại N ∈ N* sao cho kc* nk < ε.
Chúng ta chứng minh rằng d(x_n, x) tiến tới θ Đối với mọi ε > 0, theo (1.1), tồn tại c ∈ E sao cho K ||c|| < ε Do x_n → x, nên tồn tại N ∈ N* sao cho d(x_n, x) < c với mọi n > N Hơn nữa, vì P là nón chuẩn tắc, ta suy ra ||d(x_n, x) - θ|| = ||d(x_n, x)|| < K ||c|| < ε.
(2) Điều kiện đủ Giả sử d(x n , x) → 0 Khi đó, với mọi c ∈ E mà 0 c, vì c ∈ IntP nên tồn tại δ > 0 sao cho hình cầu mở B(c, δ) ⊂ IntP Do đó, với mọi x ∈ E mà k x k< δ ta có k c−c+x k=k x k< δ.
Suy rac−x ∈ B(c, δ) ⊂IntP Do vậy, nếukx k< δkéo theoc−x ∈ IntP. Lại vì d(x n , x) → 0 nên tồn tại N sao cho kd(x n , x) k< δ với mọi n> N.
Suy ra c−d(x n , x) ∈ IntP Điều này chứng tỏ rằng d(x n , x) c.
Như vậy, {x n } hội tụ đến x theo Định nghĩa 2.14.
Bổ đề 2.16 Cho (X, d) là một không gian metric nón, P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K Khi đó, nếu c ∈ P và c ε với mọi ε ∈ P thì c = 0.
Chứng minh Theo giả thiết và theo Định nghĩa 2.1 ta có c d n với mọi d ∈ P, n ∈ N ∗
Lại vì P là tập đóng và nd n −c o hội tụ đến −c nên theo Định lý 1.17 ta suy ra −c ∈ P.
Cuối cùng, vì c ∈ P và −c ∈ P nên theo Định nghĩa 2.1(c), ta suy ra c = 0.
Bổ đề 2.17 khẳng định rằng trong không gian metric nón (X, d) với nón chuẩn tắc P và hằng số chuẩn tắc K, nếu dãy {x n} hội tụ đến hai điểm x và y, thì x phải bằng y Điều này có nghĩa là giới hạn của một dãy hội tụ trong không gian metric X là duy nhất.
Chứng minh Với bất kì c ∈ E, 0 c, vì x n → x, y n → x nên theo Định nghĩa 2.14 tồn tại N sao cho d(x n , x) c và d(x n , y) c với mọi n > N.
Trong không gian metric nón (X, d), nếu dãy {x_n} thỏa mãn điều kiện d(x_n, x_m) < c với mọi n, m > N cho một c ∈ E bất kỳ và c > 0, thì giới hạn của dãy này là duy nhất Từ đó, có thể suy ra rằng d(x, y) = 0, dẫn đến x = y, khẳng định rằng khoảng cách giữa hai điểm x và y là không đổi trong không gian này.
Dãy {x n} được xem là dãy Cauchy trong không gian metric (X, d) Nếu trong không gian metric nón (X, d) mọi dãy Cauchy đều hội tụ, thì không gian này được gọi là không gian metric nón đầy đủ.
Bổ đề 2.20 Cho (X, d) là một không gian metric nón, {x n } là dãy nằm trong X Khi đó, nếu {x n } hội tụ đến x, thì {x n } là một dãy Cauchy.
Chứng minh Bởi vì {x n } hội tụ đến x trong X, nên với bất kì c ∈ E mà
2 với mọi n, m > N. Bởi vì X là một metric nón nên ta có d(x n , x m ) 6 d(x n , x) +d(x m , x) c
Suy ra d(x n , x m ) c Do vậy, theo Định nghĩa 2.18 ta suy ra {x n } là dãy Cauchy trong X.
Bổ đề 2.21 Cho (X, d) là một không gian metric nón, P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K, {x n } ⊂ X Khi đó, {x n } là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu d(x n , x m ) → 0.
Chứng minh Giả sử {x n } là dãy Cauchy Với bất kì ε > 0, chọn c ∈ E mà 0 c và K k c k< ε Thì tồn tại N sao cho d(x n , x m ) c với mọi n, m > N.
Suy ra k d(x n , x m ) k6 K kc k< ε với mọi n, m > N.
Ngược lại, giả sử d(x n , x m ) → 0 Cho c ∈ E mà 0 c, tồn tại δ > 0 sao cho k x k< δ, tức là c−x ∈ IntP Với mỗi δ tồn tại N sao cho k d(x n , x m ) k< δ với mọi n, m > N.
Suy ra, c−d(xn, xm) ∈ IntP kéo theo d(xn, xm) c Do đó, theo Định nghĩa 2.18 ta suy ra {x n } là dãy Cauchy.
Bổ đề 2.22 Cho (X, d) là một không gian metric nón, P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K và {x n }, {y n } là hai dãy nằm trong
X sao cho xn → x, yn → y Khi đó, d(x n , y n ) →d(x, y).
Chứng minh Với mỗi ε > 0, chọn c ∈ E mà 0 c và k c k< ε
4K + 2. Bởi vì xn → x và yn → y nên theo Định nghĩa 2.18, tồn tại N sao cho d(x n , x) c và d(y n , y) c với mọi n > N.
Trong không gian metric nón (X, d), nếu dãy {x n } có một dãy con {x n i } hội tụ trong X, thì không gian này được gọi là compact Điều này có nghĩa là khoảng cách giữa các điểm trong dãy sẽ tiến gần đến khoảng cách giữa hai điểm x và y khi n tiến tới vô hạn.
Định lý điểm bất động trong không gian metric nón
Nón Định lý 2.24 nêu rằng trong không gian metric nón đầy đủ (X, d), nếu P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K và T : X × X là ánh xạ thỏa mãn điều kiện co d(T x, T y) ≤ kd(x, y) với mọi x, y ∈ X, trong đó k là hằng số thuộc khoảng [0,1), thì T sẽ có một điểm bất động duy nhất.
X Hơn nữa, dãy lặp {T n x} hội tụ đến điểm bất động với mọi x ∈ X. Chứng minh Lấy bất kì x 0 ∈ X Ta đặt x 1 = T x 0 , x 2 = T x 1 = T 2 x 0 , , x n+1 = T x n = T n+1 x 0 ,
Bằng quy nạp ta được d(x n+1 , x n ) = d(T x n , T x n−1 ) 6 kd(x n , x n−1 )
Suy ra Với mỗi c ∈ E mà 0 c, tồn tại δ >0 sao cho c+N δ (0) ⊆ P, với
Hơn nữa, chọn N 1 > 0 sao cho k m
1−kd(x1, x0) ∈ Nδ với mọi m > N1. Khi đó, với mọi m > N 1 ta có k m
Do đó, {x n }là dãy Cauchy trong(X, d) Bởi vì (X, d) là không gian metric đầy đủ nên tồn tại x ∗ ∈ X sao cho xn → x ∗ Ta lấy N2 > 0 sao cho d(x n , x ∗ ) c
2m với mọi n > N 2 , m > 1. Khi đó, d(T x ∗ , x ∗ ) 6 d(T x n , T x ∗ ) +d(T x n , x ∗ ) 6 kd(x n , x ∗ ) + d(x n+1 , x ∗ )
Hơn nữa, vì c m → 0 và P là tập đóng nên n c m −d(T x ∗ , x ∗ )o hội tụ đến
−d(T x ∗ , x ∗ ) ∈ P Mặt khác, d(T x ∗ , x ∗ ) ∈ P Do vậy, theo định nghĩa nón ta có d(T x ∗ , x ∗ ) = 0 và do đó T x ∗ = x ∗
Bây giờ, ta giả sử y ∗ cũng là điểm bất động của T Ta chứng minh rằng x ∗ = y ∗ Thật vậy, ta có d(x ∗ , y ∗ ) =d(T x ∗ , T y ∗ ) 6 kd(x ∗ , y ∗ )
Vì 0 6 k < 1 nên k d(x ∗ , y ∗ ) k= 0 và x ∗ = y ∗ Do đó điểm bất động của
Hệ quả 2.25 Cho (X, d) là một không gian metric nón đầy đủ, P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K Với mỗi c ∈ E mà 0 c và x0 ∈ X, ta đặt
Giả sử ánh xạ T :X ×X thỏa mãn điều kiện ánh xạ co d(T x, T y) 6 kd(x, y) với mọi x, y ∈ B(x 0 , c), với k là hằng số, k ∈ [0,1) và d(T x 0 , x 0 ) 6 (1−k)c Khi đó, T có điểm bất động duy nhất trong B(x 0 , c).
Chứng minh Theo Định lý 2.24, để T có điểm bất động duy nhất trong B(x 0 , c), ta chỉ cần chứng minh B(x 0 , c) là đầy đủ và T x ∈ B(x 0 , c) với mọi x ∈ B(x 0 , c).
Thật vậy, giả sử {x n } là một dãy Cauchy trong B(x0, c) Khi đó, {x n } cũng là dãy Cauchy trong X Hơn nữa, X là đầy đủ nên tồn tại x ∈ X sao cho x n →x Ta có d(x 0 , x) 6 d(x 0 , x n ) +d(x n , x) 6 d(x n , x) +c.
Bởi vì d(x n , x) → 0 nên ta suy ra d(x 0 , x) 6 c Do vậy, x ∈ B(x 0 , c) kéo theo B(x 0 , x) là đầy đủ.
Cuối cùng, với mọi x ∈ B(x 0 , c) ta có d(x0, T x) 6 d(T x0, x0) +d(T x0, T x)
Trong không gian metric nón đầy đủ (X, d), nếu P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K và T : X → X là ánh xạ thỏa mãn điều kiện d(T^n x, T^n y) ≤ k d(x, y) cho mọi x, y ∈ X và n > 1, với k ∈ [0,1), thì T có duy nhất một điểm bất động trong X.
Chứng minh Theo Định lý 2.24, thì T n có duy nhất điểm bất động nên tồn tại x ∗ ∈ X sao cho T n x ∗ = x ∗ Mặt khác, ta có
Điểm bất động T x ∗ là điểm bất động duy nhất của T n, dẫn đến T x ∗ = x ∗ và x ∗ cũng là điểm bất động của T Vì vậy, x ∗ vừa là điểm bất động của T vừa là điểm bất động của T n Hơn nữa, do điểm bất động của T n là duy nhất, x ∗ cũng trở thành điểm bất động duy nhất của T Định lý 2.27 nêu rằng trong không gian metric nón compact (X, d) với P là một nón chính quy, ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện d(T x, T y) < d(x, y) cho mọi x, y ∈ X với x khác y.
Khi đó, T có duy nhất điểm bất động trong X.
Chứng minh Lấy bất kì x 0 ∈ X Ta đặt x 1 = T x 0 , x 2 = T x 1 = T 2 x 0 , , x n+1 = T x n = T n+1 x 0 ,
Giả sử xn+1 = xn với mọi n, nghĩa là T xn = xn Khi đó, xn là điểm bất động của T, chứng minh kết thúc.
Ta giả sử x n+1 6= x n với mọi n Ta đặt d n = d(x n , x n+1 ).
Khi đó, dn+1 = d(xn+1, xn+2) = d(T xn, T xn+1) 6 d(xn, xn+1) =dn.
Dãy {d n} được xác định là dãy giảm khi d n+1 < d n, với điều kiện d n = d(x n+1, x n) > 0 do x n+1 ≠ x n Dãy này bị chặn dưới bởi 0 và hội tụ đến một giá trị d ∗ ∈ E nhờ vào tính chất của nón chính quy P Từ tính compact của không gian X, tồn tại một dãy con {x n i} của {x n} và một điểm x ∗ ∈ X sao cho x n i → x ∗ Vì P là nón chuẩn tắc, ta có d(T x n i, T x ∗) ≤ d(x n i, x ∗) cho mọi i = 1, 2,
Suy ra k d(T x n i , T x ∗ ) k6 K kd(x n i , x ∗ ) k→ 0, với K là hằng số chuẩn tắc của P Do đó T xn i → T x ∗
Ta cũng có d(T 2 xn i , T 2 x ∗ ) =d(T(T xn i ), T(T x ∗ ))
6 d(T x n i , T x ∗ ) 6 d(x n i , x ∗ ) với mọi i = 1,2, Suy ra k d(T 2 x n i , T 2 x ∗ ) k6 K kd(x n i , x ∗ ) k→ 0.
Vậy T 2 x n i →T 2 x ∗ Theo Bổ đề 1.6, ta có
Bởi vì X có tính compact nên tồn tại dãy con {d n i } của {d n } sao cho d n i → d ∗ Rõ ràng ta có, d(T x n i , x n i ) = d n i → d ∗ = d(T x ∗ , x ∗ ) Ta cần chứng minh rằng T x ∗ = x ∗ Nếu T x ∗ 6= x ∗ thì d ∗ 6= 0 Ta có d ∗ = d(T x ∗ , x ∗ ) > d(T 2 x ∗ , T x ∗ ) = lim i→∞d(T 2 x n i , T x n i )
Giới hạn lim i→∞ d(n i +1) = d∗ mâu thuẫn với T x∗ = x∗, cho thấy x∗ là điểm bất động của ánh xạ T Theo Định lý 2.24, điểm bất động của T là duy nhất Định lý 2.28 chỉ ra rằng trong không gian metric nón đầy đủ (X, d) với P là nón chuẩn tắc có hằng số chuẩn tắc K, ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện d(T x, T y) ≤ k(d(T x, x) + d(T y, y)) cho mọi x, y ∈ X, với k là hằng số trong khoảng (0, 1).
Khi đó, T có duy nhất một điểm bất động trongX Hơn nữa, dãy lặp {T n x}hội tụ đến điểm bất động với mọi x ∈ X.
Chứng minh Lấy bất kì x 0 ∈ X Ta đặt x 1 = T x 0 , x 2 = T x 1 = T 2 x 0 , , x n+1 = T x n = T n+1 x 0 ,
1−k. Khi đó, với mọi n > m, ta có d(x n , x m ) 6 d(x n , x n−1 ) +d(x n−1 , x n−2 ) +ã ã ã+d(x m+1 , x m ).
Bởi vì d(xn, x n−1 ) 6 hd(x n−1 , x n−2 ) 6 h 2 d(x n−2 , x n−3 ) 6 ã ã ã 6 h n−1 d(x1, x0), d(x n−1 , x n−2 ) 6 hd(x n−2 , x n−3 ) 6 h 2 d(x n−3 , x n−4 ) 6 ã ã ã 6 h n−2 d(x1, x0), d(x m+1 , x m ) 6 hd(x m , x m−1 ) 6 h 2 d(x m−1 , x m−2 ) 6 ã ã ã 6 h m d(x 1 , x 0 ). cho nên d(xn, xm) 6 h n−1 d(x1, x0) +h n−2 d(x1, x0) +ã ã ã+h m d(x1, x0)
Với mỗi c ∈ E mà 0 c, chọn N 1 > 0 sao cho h m
1−hd(x1, x0) c, với mọi n > N1. Khi đó, với n > m d(x n , x m ) c.
Như vậy, {x n } là dãy Cauchy trong (X, d) Bởi vì {x n } là dãy Cauchy trong (X, d) là không gian metric đầy đủ nên tồn tại x ∗ ∈ X sao cho x n → x ∗ Chọn N 2 > 0 sao cho d(xn+1, xn) c(1−k)
2m với mọi n > N 2 , m> 1 Khi đó, với mọi n> N 2 , ta có d(T x ∗ , x ∗ ) 6 d(T x n , T x ∗ ) +d(T x n , x ∗ )
Bởi vì c m → 0 và vì P là tập đóng nên n c m − d(T ∗ , x ∗ )o hội tụ đến
−d(T ∗ , x ∗ ) ∈ P Mặt khác, d(T ∗ , x ∗ ) ∈ P cho nên theo định nghĩa nón ta có d(T ∗ , x ∗ ) = 0 và do đó T x ∗ = x ∗
Bây giờ ta cần chứng minh x ∗ là duy nhất Thật vậy, giả sử y ∗ cũng là điểm bất động của T Khi đó, d(x ∗ , y ∗ ) = d(T x ∗ , T y ∗ ) 6 k(d(T x ∗ x ∗ ) +d(T y ∗ , y ∗ )) = 0.
Theo định lý 2.29, trong không gian metric nón đầy đủ (X, d) với một nón chuẩn tắc P có hằng số chuẩn tắc K, ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện co d(T x, T y) ≤ k(d(T x, y) + d(T y, x)) cho mọi x, y ∈ X, với k nằm trong khoảng (0, 1), dẫn đến việc suy ra d(x ∗, y ∗) = 0, từ đó xác định rằng x ∗ = y ∗ Điều này chứng tỏ rằng điểm bất động của ánh xạ T là duy nhất.
Khi đó, T có duy nhất một điểm bất động trongX Hơn nữa, dãy lặp {T n x}hội tụ đến điểm bất động với mọi x ∈ X.
Chứng minh Lấy bất kì x 0 ∈ X Ta đặt x 1 = T x 0 , x 2 = T x 1 = T 2 x 0 , , x n+1 = T x n = T n+1 x 0 ,
= k(d(xn+1, x n−1 ) + d(xn, xn)) =kd(xn+1, x n−1 )
1−k. Khi đó, với mọi n > m ta có d(x n , x m ) 6 d(x n , x n−1 ) +d(x n−1 , x n−2 ) +ã ã ã+d(x m+1 , x m ).
Bởi vì d(xn, x n−1 ) 6 hd(x n−1 , x n−2 ) 6 h 2 d(x n−2 , x n−3 ) 6 ã ã ã 6 h n−1 d(x1, x0), d(x n−1 , x n−2 ) 6 hd(x n−2 , x n−3 ) 6 h 2 d(x n−3 , x n−4 ) 6 ã ã ã 6 h n−2 d(x 1 , x 0 ), d(xm+1, xm) 6 hd(xm, x m−1 ) 6 h 2 d(x m−1 , x m−2 ) 6 ã ã ã 6 h m d(x1, x0), cho nên d(x n , x m ) 6 h n−1 d(x 1 , x 0 ) + h n−2 d(x 1 , x 0 ) + ã ã ã+ h m d(x 1 , x 0 )
Như vậy, {x n } là dãy Cauchy trong(X, d) Bởi vì (X, d) là đầy đủ nên tồn tại x ∗ ∈ X sao cho x n → x ∗ Chọn N 2 > 0 sao cho d(x n , x ∗ ) c(1−k)
2m với mọi n > N 2 Khi đó, với mọi n> N 2 ta có d(T x ∗ , x ∗ ) 6 d(T x n , T x ∗ ) +d(T x n , x ∗ )
Bởi vì c m → 0 và vì P là tập đóng nên n c m − d(T ∗ , x ∗ )o hội tụ đến
−d(T ∗ , x ∗ ) ∈ P Mặt khác, d(T ∗ , x ∗ ) ∈ P cho nên theo định nghĩa nón ta có d(T ∗ , x ∗ ) = 0 và do đó T x ∗ = x ∗
Ta cần chứng minh x ∗ là duy nhất Bây giờ giả sử y ∗ cũng là điểm bất động của T Bởi vì x ∗ và y ∗ đều là điểm bất động của T nên d(x ∗ , y ∗ ) =d(T x ∗ , T y ∗ ) 6 k(d(T x ∗ , y ∗ ) +d(T y ∗ , x ∗ ))
Do vậy, d(x ∗ , y ∗ ) = 0 hay x ∗ = y ∗ Vậy điểm bất động của T là duy nhất.
Ví dụ 2.30 Cho E = R 2 , mặt phẳng Euclide và
P = {(x, y) ∈ R 2 | x, y > 0} là một nón chuẩn tắc trên P.
Giả sử X = {(x,0) ∈ R 2 | 0 6 x 6 1} ∪ {(0, x) ∈ R 2 | 0 6 x 6 1} và ánh xạ d :X ×X → E được xác định bởi d((x,0),(y,0)) = 4
Khi đó (X, d) là một không gian metric đầy đủ.
Giả sử ánh xạ T : X →X với
2x,0 Thì T thỏa mãn điều kiện ánh xạ co d(T((x1, x2)), T((y1, y2))) 6 kd((x1, x2),(y1, y2)) với mọi (x 1 , x 2 ),(y 1 , y 2 ) ∈ X, với k là hằng số, k = 3
4 ∈ [0,1) Khi đó T có điểm bất động duy nhất (0,0) ∈ X.