2 ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN
2.2 Sự hội tụ trong không gian metric nón
Định nghĩa 2.14. Cho (X, d) là một không gian metric nón, {xn} ⊂ X
và x ∈ X. Ta nói rằng {xn} là dãy hội tụ đến x nếu với mọi c ∈ E mà
0 c, tồn tại N ∈ N∗ sao cho
d(xn, x) c với mọi n> N. Khi đó, x được gọi là điểm giới hạn của {xn} và ta viết
lim
n→∞xn = x hoặc xn → x.
Bổ đề 2.15. Giả sử (X, d) là một không gian metric nón, P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K và {xn} là một dãy trong X. Khi đó, {xn} hội tụ đến x nếu và chỉ nếu d(xn, x) → 0.
Chứng minh. (1) Điều kiện cần. Giả sử {xn} là dãy trong X hội tụ đến
x ∈ X. Ta chứng minh rằng d(xn, c) → θ.
(1.1) Trước tiên, ta chứng minh rằng nếu IntP 6= ∅, thì với mọi ε > 0, tồn tại c ∈ E sao cho
0 c, K k c k< ε.
Thật vậy,
(i) Nếu K = 0, thì hiển nhiên.
(ii) Nếu K 6= 0, thì
Trường hợp 1: θ ∈ IntP. Khi đó, tồn tại dãy {cn} ⊂E, cn → θ. Mặt khác, vì IntP là lân cận của θ nên tồn tại N1 ∈ N∗ sao cho {cn} ∈ IntP
k cn k< ε
K với mọi n > N2. Đặt N = max{N1, N2}, ta có
cn ∈ IntP và K k cn k< ε với mọi n > N.
Trường hợp 2. θ /∈ IntP. Khi đó, do IntP 6= ∅ nên tồn tại c∗ ∈ IntP. Đặt xn = c ∗ n. Suy ra nc∗ n o hội tụ đến θ. Mặt khác, do ánh xạ x 7−→ λx, λ 6= 0 là phép đồng phôi nên nc∗ n o
⊂ IntP. Hơn nữa, vì c∗
n → θ nên tồn tại N ∈ N∗ sao cho
kc ∗ nk < ε K với mọi n > N. Suy ra k c∗ k N < ε K. Ta đặt c = c∗ N, suy ra c ∈ IntP và K k c k< ε.
(1.2) Bây giờ, ta chứng minh rằng d(xn, x) → θ. Thật vậy, với mọi
ε > 0, theo (1.1), tồn tại c ∈ E sao cho K k c k< ε. Bởi vì xn → x nên tồn tại N ∈ N∗ sao cho
d(xn, x) c với mọi n> N. Mặt khác, vì P là nón chuẩn tắc nên ta suy ra
k d(xn, x)−θ k=k d(xn, x) k< K k c k< ε.
Như vậy, d(xn, x) → θ.
(2) Điều kiện đủ. Giả sử d(xn, x) → 0. Khi đó, với mọi c ∈ E mà 0 c, vì c ∈ IntP nên tồn tại δ > 0 sao cho hình cầu mở B(c, δ) ⊂ IntP. Do đó, với mọi x ∈ E mà k x k< δ ta có
k c−c+x k=k x k< δ.
Suy rac−x ∈ B(c, δ) ⊂IntP. Do vậy, nếukx k< δkéo theoc−x ∈ IntP. Lại vì d(xn, x) → 0 nên tồn tại N sao cho
Suy ra c−d(xn, x) ∈ IntP. Điều này chứng tỏ rằng d(xn, x) c. Như vậy, {xn} hội tụ đến x theo Định nghĩa 2.14.
Bổ đề 2.16. Cho (X, d) là một không gian metric nón, P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K. Khi đó, nếu c ∈ P và c ε với mọi ε ∈ P
thì c = 0.
Chứng minh. Theo giả thiết và theo Định nghĩa 2.1 ta có
c d n với mọi d ∈ P, n ∈ N∗. Suy ra, d n −c ∈ IntP ⊂P. Lại vì P là tập đóng và nd n −c o
hội tụ đến −c nên theo Định lý 1.17 ta suy ra −c ∈ P.
Cuối cùng, vì c ∈ P và −c ∈ P nên theo Định nghĩa 2.1(c), ta suy ra
c = 0.
Bổ đề 2.17. Cho (X, d) là một không gian metric nón, P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K và {xn} là một dãy trong X. Khi đó, nếu {xn} hội tụ đến x và {xn} hội tụ đến y, thì x = y, nghĩa là, giới hạn của một dãy hội tụ {xn} trong không gian metric X là duy nhất.
Chứng minh. Với bất kì c ∈ E, 0 c, vì xn → x, yn → x nên theo Định nghĩa 2.14 tồn tại N sao cho d(xn, x) c và d(xn, y) c với mọi n > N. Ta có
d(x, y) 6 d(xn, x) +d(xn, y) c+c = 2c.
Do đó, k d(x, y) k6 2K k c k. Bởi vì c là tùy ý nên suy ra d(x, y) = 0. Hơn nữa, d là một metric nón nên suy ra x = y. Vậy giới hạn của dãy {xn} là duy nhất.
Định nghĩa 2.18. Cho (X, d) là một không gian metric nón, {xn} là dãy nằm trong X. Nếu với bất kì c ∈ E mà 0 c, tồn tại N ∈ N∗ sao cho
d(xn, xm) c với mọi n, m > N.
Định nghĩa 2.19. Cho (X, d) là một không gian metric nón, nếu mọi dãy Cauchy trong X là hội tụ, thì X được gọi là một không gian metric nón đầy đủ.
Bổ đề 2.20. Cho (X, d) là một không gian metric nón, {xn} là dãy nằm trong X. Khi đó, nếu {xn} hội tụ đến x, thì {xn} là một dãy Cauchy. Chứng minh. Bởi vì {xn} hội tụ đến x trong X, nên với bất kì c ∈ E mà
0 c, tồn tại N sao cho
d(xn, x) c
2 và d(xm, x) c
2 với mọi n, m > N.
Bởi vì X là một metric nón nên ta có
d(xn, xm) 6 d(xn, x) +d(xm, x) c
2 + c 2 = c.
Suy ra d(xn, xm) c. Do vậy, theo Định nghĩa 2.18 ta suy ra {xn} là dãy Cauchy trong X.
Bổ đề 2.21. Cho (X, d) là một không gian metric nón, P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K, {xn} ⊂ X. Khi đó, {xn} là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu d(xn, xm) → 0.
Chứng minh. Giả sử {xn} là dãy Cauchy. Với bất kì ε > 0, chọn c ∈ E
mà 0 c và K k c k< ε. Thì tồn tại N sao cho
d(xn, xm) c với mọi n, m > N. Suy ra
k d(xn, xm) k6 K kc k< ε với mọi n, m > N.
Do vậy, d(xn, xm) →0.
Ngược lại, giả sử d(xn, xm) → 0. Cho c ∈ E mà 0 c, tồn tại δ > 0
sao cho k x k< δ, tức là c−x ∈ IntP. Với mỗi δ tồn tại N sao cho k d(xn, xm) k< δ với mọi n, m > N.
Suy ra, c−d(xn, xm) ∈ IntP kéo theo d(xn, xm) c. Do đó, theo Định nghĩa 2.18 ta suy ra {xn} là dãy Cauchy.
Bổ đề 2.22. Cho (X, d) là một không gian metric nón, P là một nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K và {xn}, {yn} là hai dãy nằm trong
X sao cho xn → x, yn → y. Khi đó,
d(xn, yn) →d(x, y).
Chứng minh. Với mỗi ε > 0, chọn c ∈ E mà 0 c và k c k< ε 4K + 2.
Bởi vì xn → x và yn → y nên theo Định nghĩa 2.18, tồn tại N sao cho
d(xn, x) c và d(yn, y) c với mọi n > N. Ta có d(xn, yn) 6 d(xn, x) +d(x, y) +d(yn, y) 6 d(x, y) + 2c, d(x, y) 6 d(xn, x) +d(xn, yn) +d(yn, y) 6 d(xn, yn) + 2c. Suy ra 0 6 d(x, y)−d(xn, yn) + 2c 6 4c. Như vậy, k d(x, y)−d(xn, yn) + 2c k6 4K k c k và d(xn, yn)−d(x, y) 6 d(x, y) + 2c−d(xn, yn)−2c. Suy ra k d(xn, yn)−d(x, y) k 6k d(xn, yn) + 2c−d(x, y) k + k 2c k 6 4K k c k +2 k c k= (4K + 2) kc k< ε. Do đó, d(xn, yn) k −d(x, y) k6 ε. Như vậy, d(xn, yn) → d(x, y).
Định nghĩa 2.23. Cho (X, d) là một không gian metric nón. Nếu với bất kì dãy {xn} trong X, tồn tại dãy con {xni} của {xn} sao cho {xni} hội tụ trong X, thì X được gọi là một không gian metric nón compact.