Để mở rộng các kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co trong không gian mêtric. Bài viết chứng minh một định lý về sự tồn tại và duy nhất điểm bất động cho một lớp ánh xạ co suy rộng trong không gian S−mêtric nón.
Vinh University Tạp chí khoa học, Tập 50 - Số 3A/2021, tr 33-46 ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRONG KHƠNG GIAN S -MÊTRIC NĨN Nguyễn Thị Ngân Trường THPT Quỳ Hợp 3, xã Châu Quang, Quỳ Hợp, Nghệ An Ngày nhận 04/5/2021, ngày nhận đăng 18/7/2021 Tóm tắt: Trong báo này, chứng minh định lý tồn điểm bất động cho lớp ánh xạ co suy rộng khơng gian S−mêtric nón Kết mở rộng thực số kết tương tự [2] , [5] , [6] Từ khóa: Điểm bất động; ánh xạ co suy rộng; khơng gian nón S−mêtric Mở đầu Để mở rộng kết tồn điểm bất động ánh xạ co không gian mêtric, năm 2007, H L Guang Z Xian [3] đưa khái niệm khơng gian mêtric nón, cịn Sedghi cộng [7] đưa khái niệm không gian D∗ −mêtric thiết lập số kết điểm bất động không gian Sau đó, vào năm 2012, Sedghi cộng [5] mở rộng lớp không gian D∗ −mêtric cách đưa khái niệm không gian S−mêtric chứng minh số định lý điểm bất động không gian S−mêtric đầy đủ Đến năm 2017, Dhamodharan Krishnakumar [2] giới thiệu khái niệm không gian S−mêtric nón vài kết điểm bất động Từ đó, vấn đề tồn điểm bất động lớp khơng gian S−mêtric S−mêtric nón nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết (xem [2], [4], [5], [6]) Trong báo này, chứng minh định lý tồn điểm bất động cho lớp ánh xạ co suy rộng khơng gian S−mêtric nón Kết qủa chúng tơi mở rộng thực số kết [2] , [5] , [6] Đầu tiên, nhắc lại số khái niệm kết qủa khơng gian S−mêtric nón 1.1 Định nghĩa ([3]) Giả sử E không gian Banach thực P tập E P gọi nón (i) P đóng E, P khác rỗng P = {0}; (ii) αx + βy ∈ P với x, y ∈ P với α, β ∈ R, α ≥ 0, β ≥ 0; (iii) P ∩ (−P ) = {0} Giả sử P nón khơng gian Banach E Ta xác định thứ tự phận ≤ E tương ứng với P x ≤ y ⇔ y − x ∈ P Ta viết x < y x ≤ y x = y viết x P ) y y − x ∈ intP (intP phần Email: ngannguyen2994@gmail.com (N T Ngân) 33 Nguyễn Thị Ngân / Định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng khơng gian S-mêtric nón Trong báo này, ta ln giả thiết P nón khơng gian Banach thực E ≤ quan hệ thứ tự phận E tương ứng với P intP = ∅ Nón P gọi nón chuẩn tắc tồn số K cho với x, y ∈ E mà ≤ x ≤ y ta có ||x|| ≤ K.||y|| Số dương K nhỏ thỏa mãn điều kiện vừa nêu gọi số chuẩn tắc P 1.2 Bổ đề ([3]) Giả sử P nón khơng gian Banach thực E, a, b, c phần tử E Khi đó, (i) Nếu a ≤ b b ≤ c a ≤ c; (ii) Nếu a ≤ b b c a c; (iii) Nếu a ≤ b αa ≤ βb với α, β ∈ R, ≤ α ≤ β; (iv) Nếu a b αa βb với α, β ∈ R, < α ≤ β; (v) Nếu a ∈ P tồn λ ∈ [0, 1) cho a ≤ λa a = 0; (vi) Nếu a ∈ P ≤ a c với c ∈ intP a = 0; (vii) Nếu {xn } dãy P {xn } hội tụ tới c ∈ intP tồn số tự nhiên nc cho xn c với n ≥ nc 1.3 Định nghĩa ([3]) Giả sử X tập khác rỗng d : X × X → E Hàm d gọi mêtric nón X điều kiện sau thỏa mãn (i) d(x, y) ≥ với x, y ∈ X d(x, y) = x = y; (ii) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X; (iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với x, y, z ∈ X (bất đẳng thức tam giác) Tập X với mêtric nón gọi khơng gian mêtric nón kí hiệu (X, d) X Từ định nghĩa ta thấy khái niệm khơng gian mêtric nón tổng qt khái niệm khơng gian mêtric, khơng gian mêtric khơng gian mêtric nón trường hợp E = R P = {x ∈ R|x ≥ 0} 1.4 Định nghĩa ([1]) a) Giả sử X tập khác rỗng, E khơng gian Banach, P nón E hàm D∗ : X → E thỏa mãn điều kiện sau với x, y, z, a ∈ X (1) D∗ (x, y, z) ≥ 0; 34 Vinh University Tạp chí khoa học, Tập 50 - Số 3A/2021, tr 33-46 (2) D∗ (x, y, z) = x = y = z; (3) D∗ (x, y, z) = D∗ (z, x, y) = D∗ (y, z, x) = D∗ (x, z, y) = D∗ (z, y, x) = D∗ (y, x, z) (tính đối xứng); (4) D∗ (x, y, z) ≤ D∗ (x, y, a) + D∗ (a, z, z) (bất đẳng thức tứ giác) Khi đó, hàm D∗ gọi D∗ −mêtric nón X cặp (X, D∗ ) gọi khơng gian D∗ −mêtric nón b) Trong Định nghĩa a), lấy E = R P = {x ∈ R|x ≥ 0} hàm D∗ gọi D∗ −mêtric X cặp (X, D∗ ) gọi không gian D∗ −mêtric Nhận xét a) Không gian D∗ −mêtric trường hợp đặc biệt khơng gian D∗ −mêtric nón b) Giả sử (X, D∗ ) khơng gian D∗ −mêtric nón Khi đó, với x, y ∈ X, ta có ∗ D (x, x, y) = D∗ (x, y, y) 1.5 Định nghĩa ([5]) Cho X tập khác rỗng Hàm S : X → R gọi S−mêtric X thỏa mãn điều kiện sau với x, y, z, a ∈ X a) S(x, y, z) ≥ 0, b) S(x, y, z) = x = y = z, c) S(x, y, z) ≤ S(x, x, a) + S(y, y, a) + S(z, z, a) Cặp (X, S) gọi không gian S-mêtric 1.6 Định nghĩa ([2]) Giả sử P nón khơng gian Banach thực E X tập hợp khác rỗng Hàm S : X × X × X → E gọi S−mêtric nón X thỏa mãn điều kiện sau với x, y, z, a ∈ X a) S(x, y, z) ≥ b) S(x, y, z) = x = y = z, c) S(x, y, z) ≤ S(x, x, a) + S(y, y, a) + S(z, z, a) Tập X với mêtric nón S X gọi khơng gian S-mêtric nón ký hiệu (X, S) 1.7 Ví dụ Giả sử (X, d) khơng gian mêtric nón S : X × X × X → E hàm cho S (x, y, z) = d (x, y) + d (y, z) + d (z, x) ∀x, y, z ∈ X Ta dễ dàng kiểm tra S S−mêtric nón X Do (X, S) khơng gian S−mêtric nón 1.8 Nhận xét a) Nếu (X, D∗ ) không gian D∗ −mêtric nón (X, D∗ ) khơng gian S−mêtric nón Thật vậy, sử dụng điều kiện (3) (4) Định nghĩa 1.4 ta có D∗ (x, y, z) ≤ D∗ (x, y, a) + D∗ (a, z, z) ≤ D∗ (x, a, a) + D∗ (y, y, a) + D∗ (z, z, a) ∀x, y, z, a ∈ X 35 Nguyễn Thị Ngân / Định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng không gian S-mêtric nón Từ suy D∗ −mêtric S−mêtric nón X b) Trong Định nghĩa 1.6, lấy E không gian số thực R với chuẩn thơng thường nón P = [0; +∞) ta nhận (X, S) khơng gian S−mêtric Nói cách khác, khơng gian S−mêtric trường hợp đặc biệt khơng gian S−mêtric nón 1.9 Bổ đề ([2]) Nếu (X, S) khơng gian S−mêtric nón S (x, x, y) = S (y, y, x) ∀x, y, ∈ X 1.10 Định nghĩa Giả sử (X, S) khơng gian S−mêtric nón a) Dãy {xn } X gọi hội tụ tới x ∈ X ký hiệu lim xn xn → x n→∞ n → ∞ với c ∈ intP tồn số tự nhiên n0 cho với n ≥ n0 ta có S(xn , xn , x) c b) Dãy {xn } X gọi dãy Cauchy với c ∈ intP tồn số tự nhiên n0 cho với n, m ≥ n0 ta có S(xn , xn , xm ) c Điều tương đương với: Với c ∈ intP tồn số tự nhiên n0 cho với n ≥ n0 với p = 0, 1, ta có S(xn , xn , xn+p ) c c) Không gian S−mêtric (X, S) gọi đầy đủ dãy Cauchy hội tụ 1.11 Bổ đề Nếu {xn } dãy hội tụ khơng gian mêtric nón (X, S) {xn } dãy Cauchy {xn } hội tụ tới điểm Chứng minh Giả sử {xn } hội tụ x ∈ X Khi đó, với c ∈ intP tồn số tự nhiên n0 cho với n ≥ n0 ta có c S (xn , xn , x) Do theo điều kiện c) Định nghĩa 1.6 với n m ≥ n0 ta có S (xn , xn , xm ) ≤ 2S (xn , xn , x) + S (xm , xm , x) c c c + Điều chứng tỏ {xn } dãy Cauchy Giả sử {xn } hội tụ tới hai điểm x y Khi đó, với c ∈ intP tồn hai số tự nhiên n1 n2 cho với n ≥ n1 , ta có S (xn , xn , x) c S (xn , xn , y) c với n ≥ n2 ta có Do đó, với n ≥ max{n1 , n2 } ta có S (x, x, y) ≤ 2S (x, x, xn ) + S (y, y, xn ) = 2S (xn , xn , x) + S (xn , xn , y) c Kết hợp với Bổ đề 1.2 (vi), suy S(x, x, y) = Do x = y 36 + c c Vinh University Tạp chí khoa học, Tập 50 - Số 3A/2021, tr 33-46 1.12 Định nghĩa Giả sử (X, S) khơng gian S−mêtric nón Hàm f : X → X gọi liên tục điểm x ∈ X {xn } dãy X mà xn → x n → ∞ f (xn ) → f (x) n → ∞ Các kết Giả sử (X, S) khơng gian S−mêtric nón, f : X → X Với (x, y) ∈ X × X ta ký hiệu: Q (x, y) = a1 S (x, x, y) + a2 S (x, x, f x) + a3 S (y, y, f y) + a4 S (x, x, f y) +a5 S (y, y, f x) + a6 S (x, y, f x) + a7 S (x, y, f y) +a8 S (x, f x, f y) + a9 S (y, f x, f y) M (x, y) = max { S (x, x, y) , 2S (x, x, f x) + S (y, y, f y) , S (x, x, f y) , S (y, y, f x) , S (x, y, f x) , S (x, y, f y) , S (x, f x, f y) , S (y, f x, f y) }, đó, số khơng âm, i = 1, 2, , 2.1 Định lý Giả sử (X, S) khơng gian S−mêtric nón đầy đủ f : X → X Khi đó, tồn số không âm a1 , a2 , , a9 α thỏa mãn điều kiện (i) max {a1 +a2 +a3 +3a4 +a6 +2a7 +2a8 +a9 +3α, a1 +a4 +a5 +a6 +a7 +a8 +a9 +α} < (ii) S(f x, f x, f y) ≤ Q(x, y) + αM (x, y), ∀(x, y) ∈ X × X a) f có điểm bất động x ∈ X x = lim f n x0 với x0 ∈ X n→∞ b) Với c ∈ intP với n = 1, 2, ta có S (f n x0 , f n x0 , x) ≤ 2λn S (x0 , x0 , f x0 ) + c, 1−λ đó: λ= a1 + a2 + 2a4 + a6 + a7 + a8 + 2α ; − a3 − a4 − a7 − a8 − a9 − α c) f liên tục điểm bất động x Chứng minh a) Lấy x0 ∈ X Đặt xn+1 = f xn = f n+1 x0 rn = S(xn , xn , xn+1 ), ∀n = 0, 1, Sử dụng điều kiện (ii) định nghĩa S−mêtric nón, với n=1,2, , ta có 37 Nguyễn Thị Ngân / Định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng không gian S-mêtric nón rn = S(xn , xn , xn+1 ) = S(f xn−1 , f xn−1 , f xn ) ≤ Q(xn−1 , xn ) + αM (xn−1 , xn ) = a1 S(xn−1 , xn−1 , xn ) + a2 S(xn−1 , xn−1 , xn ) + a3 S(xn , xn , xn+1 ) + a4 S(xn−1 , xn−1 , xn+1 ) + a5 S(xn , xn , xn ) + a6 S(xn−1 , xn , xn ) + a7 S(xn−1 , xn , xn+1 ) + a8 S(xn−1 , xn , xn+1 ) + a9 S(xn , xn , xn+1 ) + α max{S(xn−1 , xn−1 , xn ), 2S(xn−1 , xn−1 , xn ) + S(xn , xn , xn+1 ), S(xn−1 , xn−1 , xn+1 ), S(xn−1 , xn , xn+1 ), S(xn−1 , xn , xn+1 ), S(xn , xn , xn+1 ), S(xn−1 , xn , xn )} ≤ (a1 + a2 )rn−1 + (a3 + a9 )rn + a4 (2rn−1 + rn ) + a6 rn−1 + a7 (rn−1 + rn ) + a8 (rn−1 + rn ) + α(2rn−1 + rn ) = (a1 + a2 + 2a4 + a6 + a7 + a8 + 2α)rn−1 + (a3 + a9 + a4 + a7 + a8 + α)rn Do ta có rn = a1 + a2 + 2a4 + a6 + a7 + a8 + 2α rn−1 = λ.rn−1 , ∀n = 1, 2, − a3 − a4 − a7 − a8 − a9 − α Từ suy rn ≤ λrn−1 ≤ λ2 rn−2 ≤ ≤ λn r0 , ∀n = 1, 2, (1) Từ điều kiện (i) suy λ ∈ [0; 1) Với n = 1, 2, với p = 0, 1, 2, , sử dụng điều kiện c) định nghĩa S−mêtric nón (1) ta có S(xn , xn , xn+p ) ≤ 2S(xn , xn , xn+1 ) + S(xn+p , xn+p , xn+1 ) = 2S(xn , xn , xn+1 ) + S(xn+1 , xn+1 , xn+p ) ≤ 2S(xn , xn , xn+1 ) + 2S(xn+1 , xn+1 , xn+2 ) + S(xn+2 , xn+2 , xn+p ) ≤ ≤ 2(rn + rn+1 + + rn+p−2 ) + rn+p−1 ≤ 2(λn + λn+1 + + λn+p−2 )r0 + λn+p−1 r0 ≤ 2(λn + λn+1 + + λn+p−1 )r0 − λp r0 = 2λn r0 ≤ 2λn 1−λ 1−λ (2) r0 → n → ∞ Do đó, theo Bổ đề 1.2 (vii) với c ∈ intP 1−λ tồn số tự nhiên nc cho Vì λ ∈ [0; 1) nên 2λn 2λn r0 1−λ c ∀n ≥ nc Kết hợp với (2) suy với n ≥ nc với p = 0, 1, ta có S(xn , xn , xn+p ) 38 c Vinh University Tạp chí khoa học, Tập 50 - Số 3A/2021, tr 33-46 Điều chứng tỏ {xn } dãy Cauchy Vì (X, S) đầy đủ nên tồn x ∈ X cho x = lim xn = lim f xn−1 = lim f n−1 x0 = lim f n x0 n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ Tiếp theo, ta chứng minh x điểm bất động f Sử dụng định nghĩa S−mêtric điều kiện (ii) ta có S(x, x, f x) ≤ 2S(x, x, xn+1 ) + S(xn+1 , xn+1 , f x) = 2S(x, x, xn+1 ) + S(f xn , f xn , f x) ≤ 2S(x, x, xn+1 ) + Q(xn , x) + αM (xn , x) = 2S(x, x, xn+1 ) + a1 S(xn , xn , x) + a2 S(xn , xn , xn+1 ) + a3 S(x, x, f x) + a4 S(xn , xn , f x) + a5 S(x, x, xn+1 ) + a6 S(xn , x, xn+1 ) + a7 S(xn , x, f x) + a8 S(xn , xn+1 , f x) + a9 S(x, xn+1 , f x) + α max{S(xn , xn , x), 2S(xn , xn , xn+1 ) + S(x, x, f x), S(xn , xn , f x), S(x, x, xn+1 ), S(xn , x, f xn ), S(xn , x, f x), S(xn , xn+1 , f x), S(x, xn+1 , f x)} ≤ (2 + a5 )S(x, x, xn+1 ) + a1 S(xn , xn , x) + a2 S(xn , xn , xn+1 ), + a3 S(x, x, f x) + a4 [2S(xn , xn , x) + S(x, x, f x)] + a6 [S(xn , xn , x) + S(xn+1 , xn+1 , x)] + a7 [S(xn , xn , x) + S(x, x, f x)] + a8 [2S(xn , xn , x) + S(xn+1 , xn+1 , x) + S(x, x, f x)] + a9 [S(xn+1 , xn+1 , x) + S(x, x, f x)] + α[2S(xn , xn , x) + 2S(xn , xn , xn+1 ) + S(x, x, f x) + S(x, x, xn+1 )] ∀n = 1, 2, Từ suy (1 − a3 − a4 − a7 − a8 − a9 − α)S(x, x, f x) ≤ (2 + a5 + a6 + a8 + a9 + α)S(x, x, xn+1 ) + (a1 + 2a4 + a6 + a7 + a8 + 2α)S(xn , xn , x) + (a2 + 2α)S(xn , xn , xn+1 ) ∀n = 1, 2, (3) Vì xn → x nên với c ∈ intP tồn số tự nhiên n0 cho với n ≥ n0 , ta có (2 + a5 + a6 + a8 + a9 + α)S(x, x, xn+1 ) +(a1 + 2a4 + a6 + a7 + a8 + 2α)S(xn , xn , x) +(a2 + 2α)S(xn , xn , xn+1 ) c Kết hợp với (3) ta có (1 − a3 − a4 − a7 − a8 − a9 − α)S(x, x, f x) c (4) với c ∈ intP Vì a3 + a4 + a7 + a8 + a9 + α < nên từ (4) Bổ đề 1.2 ta có S(x, x, f x) = 0, tức x = f x Như x điểm bất động f 39 Nguyễn Thị Ngân / Định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng không gian S-mêtric nón Bây giờ, ta chứng minh x điểm bất động f Giả sử y ∈ X điểm bất động f , tức y = f y Khi đó, ta có S(x, x, y) = S(f x, f x, f y) ≤ Q(x, y) + αM (x, y) = a1 S(x, x, y) + a2 S(x, x, x) + a3 S(y, y, y) + a4 S(x, x, y) + a5 S(y, y, x) + a6 S(x, y, x) + a7 S(x, y, y) + a8 S(x, x, y) + a9 S(y, x, y) + α max{S(x, x, y), S(x, y, y), S(x, y, x), S(y, x, y)} ≤ (a1 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 )S(x, x, y) + αS(x, x, y) = (a1 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + α)S(x, x, y) Kết hợp với điều kiện a1 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + α < suy S(x, x, y) = tức x = y Do đó, x điểm bất động f b) Theo biểu thức (2), với n p ta có S (xn , xn , xn+p ) ≤ 2λn r0 1−λ Từ xn → x n → ∞ suy với c ∈ intP tồn số tự nhiên k0 cho với p ≥ k0 n ta có c S (x, x, xn+p ) Do với c ∈ intP với n ta có S (f n x0 , f n x0 , x) = S (xn , xn , x) = S (x, x, xn ) ≤ 2S (x, x, xn+p ) 2λn 2λn +S (xn , xn , xn+p ) ≤ c + 1−λ r0 = 1−λ S (x0 , x0 , f x0 ) + c c) Giả sử x ∈ X điểm bất động f Ta chứng minh f liên tục x Giả sử xn → x n → ∞ Để chứng minh f liên tục x ta cần chứng tỏ f xn → f x n → ∞ Vì x điểm bất động f nên x = f x Do đó, sử dụng điều kiện (ii) ta có S (f x, f x, f xn ) ≤ a1 S (x, x, xn ) +a2 S (x, x, x) + a3 S (xn , xn , f xn ) + a4 S (x, x, f xn ) + a5 S (xn , xn , x) +a6 S (x, xn , x) + a7 S (x, xn , f xn ) + a8 S (x, x, f xn ) + a9 S (xn , x, f xn ) +α max {S (x, x, xn ) , 2S (x, x, x) + S (xn , xn , f xn ) , S (x, x, f xn ) S (xn , xn , x) , S (x, xn , x) , S (x, xn , f xn ) , S (x, x, f xn ) , S (xn , x, f xn ) } ≤ a1 S (x, x, xn ) + a3 [2S (xn , xn , x) + S (x, x, f xn )] + a4 S (x, x, f xn ) +a5 S (x, x, xn ) + a6 S (x, x, xn ) + a7 [S (xn , xn , x) + S (x, x, f xn )] +a8 S (x, x, f xn ) + a9 [S (xn , xn , x) + S (x, x, f xn )] +α [2S (x, x, xn ) + S (x, x, f xn )] = (a1 + 2a3 + a5 + a6 + a7 + a9 + 2α) S (x, x, xn ) + (a3 + a4 + a7 + a8 + a9 + α) S (x, x, f xn ) ∀n = 1, 2, 40 Vinh University Tạp chí khoa học, Tập 50 - Số 3A/2021, tr 33-46 Kết hợp với a3 + a4 + a7 + a8 + a9 + α < suy S (f x, f x, f xn ) ≤ a1 + 2a3 + a5 + a6 + a7 + a9 + 2α S (x, x, xn ) − (a3 + a4 + a7 + a8 + a9 + α) với n Vì xn → x n → ∞ nên từ bất đẳng thức cuối suy f xn → f x n → ∞ 2.2 Chú ý Vì khơng gian S−mêtric trường hợp đặc biệt khơng gian S−mêtric nón (xem Nhận xét 1.8 b) nên Định lí 2.1 áp dụng cho khơng gian S−mêtric đầy đủ Mặt khác, ta lấy E không gian số thực R với chuẩn thông thường nón P = [0; ∞) khẳng định b) Định lý 2.1 cho c → ta S (f n x0 , f n x0 , x) ≤ 2λn S (x0 , x0 , f x0 ) ∀n 1−λ Do đó, Định lí 2.1, lấy a1 = a ∈ [0; 1) , α = = 0, i = 2, 3, , ta nhận hệ qủa sau 2.3 Hệ ([5]) Cho (X, S) không gian S−mêtric đầy đủ f : X → X ánh xạ co, tức tồn a ∈ [0, 1) cho S (f x, f x, f y) ≤ aS (x, x, y) ∀x, y ∈ X Khi đó, f có điểm bất động x với x0 ∈ X ta có x = lim f n x0 n→∞ S (f n x0 , f n x0 , x) ≤ 2an 1−a S (x0 , x0 , f x0 ) ∀n 2.4 Hệ ([6]) Giả sử (X, S) không gian S−mêtric đầy đủ f : X → X ánh xạ cho tồn số không âm b1 , b2 , , b5 thõa mãn max{b1 + b2 + 3b4 + b5 , b1 + b3 + b4 , b4 + 2b5 } < S (f x, f x, f y) ≤ b1 S (x, x, y) + b2 S (x, x, f x) + b3 S (y, y, f x) + b4 S (x, x, f y) + b5 S (y, y, f y) với x, y ∈ X Khi đó, f có điểm bất động X f liên tục điểm bất động Chứng minh Khẳng định cần chứng minh suy từ việc sử dụng Định lí 2.1 với việc lấy (X, S) không gian S−mêtric đầy đủ, a1 = b1 , a2 = b2 , a3 = b5 , a4 = b4 , a5 = b3 , α = = 0, i = 6, 7, 8, 41 Nguyễn Thị Ngân / Định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng không gian S-mêtric nón Trong Định lí 2.1, lấy (X, S) không gian S−mêtric đủ α ∈ 0; , = 0, i = 1, , ta nhận hệ sau 2.5 Hệ ([6]) Giả sử (X, S) không gian S−mêtric đầy đủ f : X → X ánh xạ cho tồn α ∈ [0; ) thõa mãn S (f x, f x, f y) ≤ α max{S (x, x, y) , S (x, x, f x) , S (y, y, f y) , S (x, x, f y) , S (y, y, f x)} với x, y ∈ X Khi đó, f có điểm bất động f liên tục điểm bất động 2.6 Hệ ([1], Định lí 2.2) Giả sử (X, D∗ ) không gian D∗ −mêtric nón đầy đủ f : X → X Khi đó, tồn số khơng âm a, b, c, d cho a + b + c + d < D∗ (f x, f y, f z) ≤ aD∗ (x, y, z) + bD∗ (x, f x, f x) + cD∗ (y, f y, f y) + dD∗ (z, f z, f z) với x, y, z ∈ X f có điểm bất động X Chứng minh Từ giả thiết hệ ta có D∗ (f x, f x, f y) ≤ aD∗ (x, x, y) + bD∗ (x, f x, f x) +cD∗ (x, f x, f x) + dD∗ (y, f y, f y) ∀x, y ∈ X ∗ Vì khơng gian D −mêtric nón trường hợp đặc biệt khơng gian S−mêtric nón nên từ bất đẳng thức suy khẳng định cần chứng minh nhận từ việc áp dụng Định lý 2.1 với a1 = a; a2 = b + c; a3 = d, α = = 0, i = 4, 5, , 2.7 Hệ ([8], Định lí 2) Giả sử (X, D∗ ) không gian D∗ −mêtric đầy đủ f : X → X ánh xạ thỏa mãn D∗ (f x, f y, f z) ≤ a [D∗ (x, y, z) + D∗ (x, f x, f x) + D∗ (y, f y, f z)] , ∀x, y, z ∈ X, (5) a số dương thuộc [0; ) Khi đó, f có điểm bất động Chứng minh Theo điều kiện (5), với x, y ∈ X ta có D∗ (f x, f x, f y) ≤ a [D∗ (x, x, y) + D∗ (x, f x, f x) + D∗ (x, f x, f y)] Đặt a1 = a, a2 = a, a8 = a, a3 = a4 = a5 = a6 = a7 = a9 = α = Ta dễ dàng kiểm tra điều kiện Định lý 2.1 thỏa mãn Do theo Định lý 2.1 f có điểm bất động 42 Vinh University Tạp chí khoa học, Tập 50 - Số 3A/2021, tr 33-46 2.8 Hệ ([8], Định lí 3) Giả sử (X, D∗ ) không gian D∗ −mêtric đầy đủ f : X → X ánh xạ thỏa mãn D∗ (f x, f y, f z) ≤ aD∗ (x, y, z) + 2b [D∗ (x, f x, f y) + D∗ (y, f y, f z)] + 2c [D∗ (x, y, f y) + D∗ (y, z, f z)] , x, y, z ∈ X, (6) 3 a, b, c ≥ a + b + c < Khi đó, f có điểm bất động 2 Chứng minh Từ điều kiện (6), ta có D∗ (f x, f x, f y) ≤ aD∗ (x, x, y) + 2b [D∗ (x, f x, f x) + D∗ (x, f x, f y)] + 2c [D∗ (x, x, f x) + D∗ (x, y, f y)] ∀x, y ∈ X, (7) b+c c b , a7 = , a8 = , a3 = a4 = a6 = a7 = a9 = α = Ta dễ dàng kiểm 2 tra điều kiện Định lý 2.1 thỏa mãn Do theo Định lý 2.1 f có điểm bất động Đặt a1 = a, a2 = 2.9 Hệ ([2], Định lí 2.5) Giả sử (X, S) khơng gian S−mêtric nón đầy đủ với P nón chuẩn tắc f : X → X ánh xạ cho tồn số không âm h1 , h2 , , h6 thỏa mãn max {h1 + h2 + 3h4 + h5 + 3h6 , h1 + h3 + h4 + h6 } < S (f x, f x, f y) ≤ h1 S (x, x, y) + h2 S (f x, f x, x) + h3 S (f x, f x, y) +h4 S (f y, f y, x) + h5 S (f y, f y, y) +h6 sup {S (x, x, y) , S (f x, f x, x) , S (f y, f y, x) S (f x, f x, y) , S (f y, f y, y)} ∀x, y ∈ X (8) Khi đó, f có điểm bất động x ∈ X x = lim f n x0 với x0 ∈ X n→∞ Chứng minh Đặt a1 = h1 , a2 = h2 , a3 = h5 , a4 = h4 , a5 = h3 , a5 = h3 , α = h6 h7 = h8 = h9 = Ta có max{a1 + a2 + a3 + 3a4 + a6 + 2a7 + 2a8 + a9 + 3α, a1 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + α} = max{h1 + h2 + h5 + 3h4 + 3h6 , h1 + h4 + h3 + h6 } < (8) trở thành S (f x, f x, f y) ≤ Q (x, y) + αM (x, y) ∀x, y ∈ X Như điều kiện Định lí 2.1 thỏa mãn Do điều phải chứng minh suy từ Định lí 2.1 43 Nguyễn Thị Ngân / Định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng khơng gian S-mêtric nón 2.10 Chú ý Định lý 2.5 [2] cần thêm giả thiết P nón chuẩn tắc Định lí 2.1, khơng cần tới giả thiết Ví dụ sau chứng tỏ Định lí 2.1 thực tổng quát vài kết [5] [6] (tức Hệ 2.3 Hệ 2.5 2.11 Ví dụ Giả sử X = {1, 2, 3} Ta xác định hàm S : X → [0; +∞) S (1, 2, 3) = 4, S (2, 2, 3) = S (1, 1, 2) = S (1, 1, 3) = S (x, y, z) = ⇔ x = y = z S (x, y, z) = S (y, z, x) = S (z, x, y) = (S có tính đối xứng theo biến) Ta dễ dàng kiểm tra (X, S) không gian S−mêtric đầy đủ Ta xác định hàm f : X → X f = f = 1, f = Rõ ràng f có điểm bất động Đầu tiên, ta chứng minh f thỏa mãn điều kiện Định lí 2.1 (tức Định lí 2.1 áp dụng cho f ) Thật vậy, lấy a6 = , a9 = , = với i = 1, 2, 3, 4, 5, 7, α = Ta thấy điều kiện (i) Định lí 2.1 thỏa mãn Ta có S (f 1, f 1, f 2) = S (f 2, f 2, f 1) = nên điều kiện (ii) thõa mãn với (1,2) (2,1) ∈ X × X Ta có Q (1, 3) = Q (3, 1) = Q (2, 3) = Q (3, 2) = S (f 1, f 1, f 3) = S (1, 1, 2) = 2, (1, 3, 1) + 51 S (3, 1, 2) = 79 + S (f 3, f 3, f 1) = S (2, 2, 1) = 3, 7 S (3, 1, 2) + S (1, 2, 1) = + S (f 2, f 2, f 3) = S (1, 1, 2) = 2, 7 S (2, 3, 1) + S (3, 1, 2) = + S (f 3, f 3, f 2) = S (2, 2, 1) = 2, 7 S (3, 2, 2) + S (2, 2, 1) = + 9S > = S (f 1, f 1, f 3) ; > = S (f 3, f 3, f 1) ; > = S (f 2, f 2, f 3) ; > = S (f 3, f 3, f 2) Do điều kiện (ii) Định lí 2.1 thõa mãn cho (1,3), (3,1), (2,3), (3,2) ∈ X ×X Như điều kiện Định lí 2.1 thõa mãn Bây giờ, ta chứng minh Hệ 2.3 Hệ 2.5 không áp dụng cho f Ta có S (f 1, f 1, f 3) = S (1, 1, 2) = > aS (1, 1, 3) = 2a với a ∈ [0, 1) Do điều kiện co Hệ 2.3 khơng cho (1,3) ∈ X × X Như Hệ 2.3 không áp dụng cho f Nếu cặp (1, 3) thỏa mãn điều kiện co Hệ 2.5 α max{S (1, 1, 3) , S (1, 1, 1) , S (3, 3, 2) , S (1, 1, 2) , S (3, 3, 1)} = 3α ≥ = S (f 1, f 1, f 3) 44 Vinh University Tạp chí khoa học, Tập 50 - Số 3A/2021, tr 33-46 Điều mẫu thuẫn với α ∈ [0; ) Do Hệ 2.5 không áp dụng cho f TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] C T Aage, J N Salunke, “Some fixed point theorems in generalized D∗ −metric spaces,” Applied Sciences, 12, 1-13, 2010 [2] D Dhamodharan and R Krishnakumar, “Cone S−metric space and fixed point theorems contractive mappings,” Annals of Pure and Applied Mathematics, Vol 14, No 2, 237-243, 2017 [3] H L Guang, Z Xian, “Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mapping,” J Math Anal Appl., Vol 332, No 2, 1468-1476, 2007 [4] G S Saluja, “Fixed point theorems on cone S−metric spaces using implicit relation,” CUBO, A Mathematical Jounal, Vol 22, No 02, 273-289, 2020 [5] S Sedghi, N Shobe, A Aliouche, “A generalization of fixed point theorems in S−metric spaces,” Math Vesik, 64(3), 258-266, 2012 [6] S Sedghi, N V Dung, “Fixed point theorems on S−metric spaces,” Math Vesik, 66(1), 113-124, 2014 [7] S Sedghi, N Shobe, H Zhou, “A common fixed point theorem in D∗ −metric spaces,” Fixed Point Theory Appl., Article ID 27906, 13 pages, 2007 [8] T Veerapandi and Aji M Pillai, “A common fixed point theorem and some fixed point theorems in D∗ −metric spaces,” African Journal of Mathematics and Science Research, Vol 4(8), 273-280, 2011 45 Nguyễn Thị Ngân / Định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng khơng gian S-mêtric nón SUMMARY FIXED POINT THEROREM FOR GENERALIZED CONTRACTIVE MAPPINGS IN CONE S−METRIC SPACES Nguyen Thi Ngan Quy Hop Secondary School, Chau Quang, Quy Hop, Nghe An Received on 04/5/2021, accepted for publication on 18/7/2021 In this paper, we establish the existence and uniqueness of fixed point for generalized contractive mappings in cone S−metric spaces This results extend and generalize wellknown results in [2], [5], [6] Keywords: Fixed point; generalized contractive mapping; cone S−metric space 46 ... f x Như x điểm bất động f 39 Nguyễn Thị Ngân / Định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng khơng gian S-mêtric nón Bây giờ, ta chứng minh x điểm bất động f Giả sử y ∈ X điểm bất động f , tức... Ngân / Định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng khơng gian S-mêtric nón Từ suy D∗ −mêtric S−mêtric nón X b) Trong Định nghĩa 1.6, lấy E không gian số thực R với chuẩn thông thường nón P =... / Định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng khơng gian S-mêtric nón Trong báo này, ta giả thiết P nón khơng gian Banach thực E ≤ quan hệ thứ tự phận E tương ứng với P intP = ∅ Nón P gọi nón