Giải tích 1: Bài 5. Định lí về hàm khả vi và ứng dụng130

PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.n GIẢI TÍCH I BÀI §10 CÁC ĐỊNH LÍ VỀ HÀM KHẢ VI VÀ ỨN (TIẾP THEO) Đặt vấn đề 1 “Cấu trúc giới hồn hảo nhất, người thơng minh Khơng có xả giới mà khơng có tham gia lí th đại, cực tiểu” – Euler 2 Tia sáng qua gương: Heron, cực tiểu đ kỉ trước công nguyên PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.n  sin 3 Tia sáng qua nước, Fermat 1657, cos  cực tiểu thời gian Cơng thức khai triển Taylor, Maclaurin (k) Định lí f(x) có f (x) (k = 1, 2, , n) liên tục có f(n + 1)(x) U ( x0 )  f x  n  k 0 f k   n 1 c  x  0 x  x k  f x   0  n  1 ! k! với c x0 x0 + (x  x0),   Khi x0 = ta có cơng thức Maclaurin PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.n Ví dụ Viết công thức Taylor f(x) = x4 x0 GIẢI PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.n +) f (1)  1, f (1)  4x f (1)  24 x x 1  24, f x 1 (4)  4, f (1)  12 x x 1 (n ) (1)  24 x 1  24, f  12, (1)  0, n 5 c    f f k  x  1   x  1 , +)f  x   k! 5! k 0  k  c  f x   k 0 f k  1  x  1k k! 12  24  24       1 x   x 1  x 1  x 2! 3! 4!          1 x   x   x   x  PGS TS Nguyễ n Xn Thảo thao.n x Ví dụ Viết cơng thức Maclaurin f(x) = xe đ Công thức Maclaurin số hàm x2  e  1 x   2! x xn ec x n1,  x  , c gi   n !  n  1 ! n xk ec x n 1,  x     n  1 ! ! k k 0  GIẢI PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.n +) (ex )(k )(0)  1, k  n x k   (e ) +) e  k ! k 0 x  x2  1 x   2!  0 x  n 1   e c ( )  x  0  x  n  1! k xn ec   x n 1,  x  n !  n  1 ! x3 x5  sin x  x    3! 5! x n 1   1  2n  1 ! n   sin  c   2n     x n  2,  x     2n  ! , c PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.n  sin(c+(2n+2) ) ( 1)k x 2n  x 2k 1    2n  2 ! (2 1)!  k k 0 n  GIẢI PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.n   +) (sinx) (0)  sin( x  k )  sin(k ) x 0 k  2j  0,  , k   j ( 1) , k  j  (k) 2n 1 +) sinx   k  (sinx)    x  k (k )! k 0  2n    (sinx) c  2n 2  x  0  2n   !   sin  c+(2n+2)  n k ( 1)  2n   2k 1 x x    2n  2 ! (2 1)!  k k 0  PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.n n 1 x3 x5 x n    x    1   2n  1! 3! 5!     sin  c  2n      2n  2 !  x n 2 ,  x      cosc  2n   2n x x n x 2     cos x  1    1   2n !  2n  1 ! 2! 4!  x  , c x; PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.n   cos c   2n  1  n 2k k x  x2n1, x     1  2k ! 2n 1! k0     1    1  2     1 x  1  x  x  x 2! 3!    1   n  1 n  x  Rn  n!    1      n     n 1 n 1 c  Rn(x) = x  n  1! c x 10 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.n (n) Định lí f (x) liên tục U  c  có (n  1) (n) f’(c) = f’’(c) = = f (c) = 0, f (c)  Nếu n chẵn, đạt cực tiểu x = c f(n)(c) > (n) đạt cực đại x = c f (c) < Nếu n lẻ khơng đạt cực trị x = c  Cách tìm cực trị : - Tìm điểm tới hạn ci  (a, b ) : f (c i )  0, hoặ tồn f (ci ) - Xét dấu f ( x ) x biến thiên qua ci , i  1, 44 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.n - Định nghĩa f(x) nhận giá trị lớn (GT c [a ;b] : max f  c  a ; b   f ( x )  c,  x  [a ; b]    x0, x1  [a ; b] : f ( x0 )  c, f ( x1)  c Tương tự định nghĩa f(x) nhận giá trị bé c [a ;b]  Cách tìm max f (GTLN), f (GTBN) -) Tìm điểm tới hạn ci (a ; b), i  1, n -) max f  max f  ci , f  a  , f  b  ; a ; b  f  f  ci , f  a , f  b  a ; b  45 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.n Ví dụ2 Một mảnh vườn hình chữ nhật có 450m rào lại để thỏ không vào phá vư cạnh mảnh vườn tường thước chiều dài cần rào ngắn bao nh Ví dụ Một kg khoai tây cửa hàng nhập v 70 cent, người bán hàng bán đượ khoai tây với giá 1,5đơla/1kg Biết với mà người bán hàng hạ giá số lượng bán tăng gấp 25 lần Hỏi người bán hàng cần đ khuyến để thu nhiều Ví dụ Một tia sáng từ A đến mặt gươn đến B theo luật phản xạ CMR: đ 46 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.n ngắn từ A đến B qua gương Có kết lu thay mặt gương mặt nước điểm nước? Ví dụ Tìm cực trị: a (K53) y   x  x  (ymin(4) = ymin(0) = 0; ymax y   x  x  (ymin(0) = ymin(8) = 0; ymax(6) b) (K55) y  x 3 1 x  47 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.n (ymin(1) = ; ymax  5   y   x x (ymin(0) = ; ymax  5 c) (K57) y  x 1  x     ( y  0, y max   d) (K59) y  2x  x  x 1 48 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.n ( ymin 1     , ymax 1     42 42 e(K60) y  3arctan x  ln( x  1) 3 13 ( ymax ( )  3arctan  ln ) 2 ( y max ( 1)  ln y  ln( x  3)  arc co t x ymin (2)  ln5  arc cot 2) 49 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.n f)(K62) y  x  2ln x ( y ( 2 )  3 x ( x  x  7) ( y max (1)  3e, y y e  g)(K63)   ( 3) y x x h)(K64) y (1) 4, ym  ( max GIẢI 50 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo +) TXĐ thao.n 3      9x)  ( 3) ( y x x x x +) x  12 x  y   0 3 ( x  x  9x )2 x2  4x  3 ( x  6x  9x )2 Dễ thấy khơng có y (3) y (0) +) Xét dấu x=0; 1; có y   ymax (1)  4, ymin (3)  Vdụ a (K53) Tìm giá trị lớn nhất, bé 51  PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.n 2 2 y =   3x  6arccot x , 1  x  (max f = 3   / ; Tìm giá trị lớn nhất, bé y =  + 3x  6arccot x ,   x  (max f = 3 , f = b(K55) Chứng minh 2 4   ln  x , x arctan x Chứng minh x  x arctan x  ln 1  x  , x  52 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.n c(K63) Tìm giá trị nhỏ y  x  sin x, x   ( y ( )   3 GIẢI 53 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.n y    2cosx   cos x  , x  (0;  +)     x=  y ( )   3 3 +) y (0)  0, y ( )        Min y  Min  0;  ;     [0; ]   54 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.n Phương pháp Newton (tiếp tuyến) Ta cần giải gần phương trình f ( x )  , có nghiệm r (a;b) hàm f khả vi +) Lấy x1  (a; b ) , viết phương trình tiếp t y  f ( x ) ( x1; f ( x1)) , có y  f ( x1 )( x  x1 )  +) Tiếp tuyến cắt trục ox ( x2 ;0) , f ( x1)  f ( x1)( x2  x1)  f ( x1)  x2  x1  ,  f (  f ( x1 ) +) Tiếp tục trình sau (n-1) bước, ta đ f (xn ) , xn   x n  f ( xn ) 55 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.n với f ( xn ) khơng đổi dấu ta có lim xn n  Ví dụ Tìm nghiệm gần phương tr cos x  x đến chữ số thập phân GIẢI 56 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.n +) Đặt f ( x )  cos x  x , có f (0)  1, f (1)  cos1    phương trình cho lu nghiệm  (0;1) có nghiệm f ( x )   sin x   0, x  [0; 1] +)Theo ta có f ( x )   sin x   , cos x n  x n xn 1  xn  sinxn  x1  1, x  0,750 ta có x3  0,73911289 , x4  0,73908513 , x5  0,73908513 +) Lấy 57 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.n +) Do x4 , x trùng đến chữ số thập p nghiệm xác đến chữ số thập p phương trình cho x  0,73908513 HAVE A GOOD UNDERSTANDING 58 ... f(x2) 35 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.n Định nghĩa Hàm số f(x) đơn điệu [a ;  đoạn hàm số tăng (giảm, khơ khơng giảm) Định lí f(x) liên tục [a ; b], khả vi tron Nếu f(x) tăng (giảm) [a ; b] ... thao.n Bất đẳng thức hàm lồi Định nghĩa f(x) xác định [a ; b], f(x) [a ; b]   t  [0 ; 1] ta có tf(a) + (1  t)f(b)  f(ta + (1  t)b) Nếu dấu “” ta có f(x) lõm [a ; b] Định lí Nếu f’’(x) > khoảng... x ln 1  x  0, x0  (a   khả vi x =  x  ax  ln(1  x ) ,x   Tìm a để f  x    x  e x  1 0, x0  13 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.n (a  khả vi x = b) (K57) 1) Tính f (0),