Giải tích 1. Bài 9: Tích phân xác định, tích phân suy rộng126

PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hus GIẢI TÍCH I BÀI §2.2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (TT) Các tính chất tích phân xác định b b   a) Tuyến tính  f  x  dx ,  g  x  dx a  a b b b a a a  x    g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx   f    b) Cộng tính f(x) khả tích đoạn có độ dài lớn b], [a ; c], [c ; b] PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hus  f(x) khả tích đoạn cịn lại có b a c b f  x  dx  f  x  dx  f  x  dx a c) Bảo toàn thứ tự c b  +) f(x) khả tích khơng âm [a ; b]  f  x  dx  a +) f(x), g(x) khả tích [a ; b] f(x)  g(x) b  b   f  x  dx  g  x  dx a a PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hus b +) f(x) khả tích [a ; b]  a b f  x  dx   f  x  dx a +) Nếu m  f(x)  M [a ; b] b   m(b  a)  f  x  dx  M(b  a) a d) Các định lí trung bình - Định lí trung bình thứ f(x) khả tích [a b  m  f(x)  M    [m ; M] để có f  x  dx = ( a Nếu thêm f(x) liên tục [a ; b]  c  [a ; b]: PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hus b a f  x  dx  f (c )(b  a) - Định lí trung bình thứ hai f(x), g(x) khả tích [a ; b], m  f(x)  M có đổi dấu [a ; b] b  b      [m ; M]: f  x  g  x  dx   g  x  dx a a Nếu thêm f(x) liên tục [a ; b]  c  [a ; b]: b  a b  f  x  g  x  dx  f  c  g  x  dx a PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hus PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hus e) Tính chất 1/ Tích phân hàm chẵn, lẻ  a a  f  x  dx, f   x   f ( x) f  x  dx    a f   x    f ( x)  0,  ( n  1)!!   /2  /2 , n2   n!! n n 2/ sin xdx  cos xdx   ( n  1)!!  0 , n2  n!! (W     PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hus III Công thức đạo hàm theo cận, cơng thứ Leibnitz x  Định lí f(x) khả tích [a ; b]  I  x   f  t  a [a ; b] Nếu thêm f(t) liên tục t = x  [a ; b]  I’(x) = f Hệ Cho ,  khả vi, f liên tục, có :  ( x )  d  f  t  dt   f ( ( x )) ( x )  f ( ( x ))  dx   (x)   PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hus Ví dụ x d t a) e dt dx 1 GIẢI a), c) d b) dx x  t dt d c) dx PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hus x d  t2  x   e dt   e a)  dx  1   x3  d  sin t dt   x sin( x )2  x sin( x )2 c)  dx  x   x sin( x )  2x sin( x ) x   d (K52) lim  cot x t sin t dt  x 0      /2   lim  tan3 x    2t  cos t dt   x 0  x       PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hus x2 e (K53) lim x 0 0 ln 1  2t  dt x sin x (1 x3  lim tan t dt ( ) x ln(1  x ) f (K54) 1.Tìm a để tích phân đạt giá trị nhỏ x 0 a  e x arctan 1  x  dx (a = 1) PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hus +) t   x  x   t  I  ar c cot td(3  t 1   1 +)  arc cot td ( t  3)  ar c cot td( t  1) 0  (t  1)arc cot t  1  t2 1    2   t    3x e GIẢI 2) sin(2 x )dx ( t  1)dt PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hus  3x   e  3x [3sin(2x)-2cos(2x)]  +) e sin(2 x )dx   94    3 +)  [-2e -(-2)]= (1-e 3 ) 13 13  §2.3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG Đặt vấn đề  Vídụ1  1  (0 1)       dx ? x1 x2 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hus I Tích phân suy rộng với cận vô tận  A Định nghĩa f  x  dx  lim a A a f  x  dx Ta nói tích phân suy rộng hội tụ vế phải tồn t phân kì trường hợp ngược lại a Tương tự ta định nghĩa  Ta định nghĩa    a f  x  dx  lim B   a f  x  dx      f x d B  f  x  dx  f  x  dx a Tích phân hội tụ  hai tích phân vế phải h PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo Ví dụ Tính  dx a) x   GIẢI a) thao.nguyenxuan@hus  b) dx   4x PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo b +) dx 1  x  thao.nguyenxuan@hus b  arctan x b  arctan b  arctan1  arc  +)  lim  lim (arctan b  ) 2 b   x b   x 1       4   dx arctan x dx c) d)  ,    x x 1 GIẢI d)   dx  dx  PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hus b  ln x ,    ln b ,  1 b  dx   1 b +)   1  b 1  x x ,  1  ,  1   1       ,  1     Tích phân hội tụ +)   , b    1 ,      e) x2 x e  dx f) dx  1  x 2  PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hus  g (K50) 0 2x  e 2x  dx (1) e  1 h (K54)  x 1 x2 dx (   x3 x 1   i (K55) dx dx  x 2  x  ( x 1 1 8ln 3 4ln dx ) ) ( ln3 ) PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hus   j (K59) 1 x 1 x    x  2 dx  l (K64) 1) (arctan x )2 x2   dx dx  ( x  3)(x  x  1) ln2 ( ) ( (  ln 2)) arctan x  k (K62) dx 3 ( ) 24 14 (  117 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo  2)  dx (3 2)  x x thao.nguyenxuan@hus  ln3 ( ) 3)   GIẢI 3) Xét hội tụ tính xe  x dx 0 xe x dx PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hus b x +) xe dx  (  xe 0 x  e x b )  b 1 e b b 1  b 1  +) xe dx  lim xe dx  lim   b  b  b   e  0  x   1) Xét hội tụ tính x dx  ( x  3)( x  x  1) PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hus x 4 1 ( ) +)   2 ( x  3)( x  x  1) 13 x  x  x  1 1 2x     ( ) 13 x  x  x    (x ) b dx  +) I ( b)  ( x  3)( x  x  1)  [  13 b 0 dx  x3 b d( x 0  x  1)  2 x  x 1 b d(x  0 ( x  )2 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hus 1 2 [ln x  - ln(x  x  1)  arctan  13 2 b x x3 2x  [ln arctan ]   13 3 (x  x  1) b 3 2b  [ln (arctan -a   ln3  13 3 (b  b  1) PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hus   +) I  lim I ( b)  [  ln3  (  )] b 13 2 14 ln3 ]=   [  ln3  13 3 117 13 Các dấu hiệu hội tụ a) Khi f(x)  khả tích [a ; A],  A > a   A  Định lí f  x  dx hội tụ  f  x  dx  L,  A a a Định lí f, g khả tích [a ; A],  A > a;  f(x)  g(x),  x  PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hus   a a   Nếu g  x  dx hội tụ  f  x  dx hội tụ   Nếu f  x  dx phân kì  g  x  dx phân kì a a Ví dụ 2.(K62) Xét hội tụ, phân kỳ   GIẢI dx e3 x  x (HT PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo +) e +) 3x 0 x    e thao.nguyenxuan@hus 3x dx 3x e , x    lim  b  b   3b ) e 0 3x dx 2 lim (1  e   b phân suy rộng cho hội tụ e3 x  x 2  lim e b    0 e 3x dx  e 3x hội tụ, d Have a good understanding! ...  x ) f (K54) 1.Tìm a để tích phân đạt giá trị nhỏ x 0 a  e x arctan 1  x  dx (a = 1) PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hus Tìm a để tích phân đạt giá trị lớn a  GIẢI 2) e  x arctan... -(-2)]= (1-e 3 ) 13 13  §2.3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG Đặt vấn đề  Vídụ1  1  (0 1)       dx ? x1 x2 PGS TS Nguyễ n Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hus I Tích phân suy rộng với cận vơ tận  A Định... với cận vơ tận  A Định nghĩa f  x  dx  lim a A a f  x  dx Ta nói tích phân suy rộng hội tụ vế phải tồn t phân kì trường hợp ngược lại a Tương tự ta định nghĩa  Ta định nghĩa   